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第六届北京高中数学知识应用竞赛初赛及答案


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第六届北京高中数学知识应用竞赛初赛及答案
姓名 班别 学校 准考证号 1、(满分 16 分)永强加工厂接到一批订单,为完成订单任务,需用 a 米长的材 料 440 根, b 米长的材料 480 根,可采购到的原料有三种,一根甲种原料可截得 a 米长的材料 4 根,b

米长 的材料 6 根,b 米长的材料 2 根,成本为 50 元;一根丙种原料可截得 a 米长的材料 4 根,成本为 40 元,问怎样采购,可使材料成本最低? 解 设甲种取 x 根,乙种取 y 根,丙种取 z 根,则已知为 x、y、z 满足

2、(满分 16 分)中国青年报 2002 年 9 月 19 日报道:据北京市交通管理局的最新统计, 目前北京机动车总量已突破 180 万辆,每 100 个家庭拥有超过 10 辆汽车,城市汽车拥有量已跃 居全国首位。……,到 2008 年左右,北京机动车保有量将达到 300 万辆。 (1)请你按以上信息,计算北京今后 6 年的机动车平均年增长率; (2)给出一个适合北京远景规划的汽车新牌号设计原则和设计方案,设计 原则中应考虑城区普通车、农用车、警用车、外籍车等不同车种的区分。 解 (1)设平均年增长率为 x,则据已知信息,有

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3、(满分 16 分)体育彩票的抽奖是从写在 36 个球上的 36 个号码随机摇出 7 个。有人统计 了过去中特等奖的号码,声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多,它是一个幸运号码,人 们应该买这一号码,也有人说,若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少,由于每个号码出现 的机会相等,应该买这一号码,你认为他们的说法对吗? 解 体育彩票应本 36 个号码的 36 个球大小、 重量等应该是一致的, 严格说, 为了保证公平,

每次用的 36 个球,应该只允许用一次,除非能保证用过一次后,球没有磨损、变形,和没有用 过的球一样。 因此,当你把这 36 个球看成每次抽奖中只用了一次时,不难看出,以前抽奖的结果对今后 抽奖的结果没有任何影响,上述两种说法都是错的。 …………16 分

根据上面的分析,这六个情况中每一个的三次切割的切割面积(只记两个平行面中的一个) 分别是

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比较这六种情况的费用可知,第一种切割方式,即先纵切,再横切,最后平切的切割方式费 用最低。 ………………16 分

解法 2 首先考虑垂直和水平切割费用相同的情况,即 a=b 时,六种情况的费用为

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由这些结论可以看出,当各方向切割的费用相同时,切割策略的制定只需要选择切割量大的 方向首先切割就可以了,我们不妨称之为大切割量原理。……10 分

5、(满分 18 分)北京时间 2002 年 9 月 27 日 14 点,国航 CA981 航班从首都国际机场准时 起飞,当地时间 9 月 27 日 15 点 30 分,该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场;北京时间 10 月 1 日 19 点 14 分,CA982 航班在经过 13 个小时的飞行后,准点降落在北京首都国际机场,至此国 航北京--纽约直飞首航成功完成。这是中国承运人第一次经极地经营北京--纽约直飞航线。从北 京至纽约原来的航线飞经上海(北纬 31 ,东经 122 )东京(北纬 36 ,东经 140 )和旧金山(北 纬 37 ,西经 123 )等处,如果飞机飞行的高度为 10 千米,并假设地球是半径为 6371 千米的球 体,试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少。

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在地球上,两地间飞行的最短距离是这两地所在大圆(其半径为地球的半径与飞行高度

之和)的两地间劣弧长。 本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长,再计算北京到上海、上海到东京、东京到旧 金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和,然后求它们的差。

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6、 (满分 18 分)中国国家邮政局 2002 年 1 月 28 日宣布,从 2 月 1 日起,使用多年的民居、 长城等普通邮票将停止出售,新发行普通邮票两套。每套普票面值均暂定为十种:5 分、10 分、 30 分、60 分、80 分、1 元、1.5 元、2 元、4.2 元、5.4 元。 下表是目前国内邮件资费情况,单位:元。

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根据以上信息,假如在信封上最多可以贴四张邮票,试回答下面问题: (1)请你在 0.6 元、0.8 元两种面值基础上再从新发行的邮票中选出两种面值,形成一套四 面值且能满足重量不超过 500 克的所有国内信函(含明信片)付费需要的邮票; (2)请你设计九套均为四种面值的邮票,要去含 0.6 元、0.8 元两种面值,另两种面值的邮 票随意确定,但要满足重量不超过 500 克的所有国内信函(含明信片)付费需要; (3)在实际中,有很多指标可以用来衡量一套邮票的合理新。请你试列举出两个指标,并 分别用它们衡量你在前两问中所设计出的十套邮票,找出其中你认为最合理的一套邮票。 解 (1)另两种面值选 2 元,5.4 元. …………6 分

(2)符合题目要求的答案至少有一下 20 套:(单位:元)

…………12 分

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3、参考指标一:一套邮票的数量.对任何一种可能出现的邮资,均有若干张邮票面值和 与之相等,一套邮票的数量越少越合理。 参考指标二:每种邮票的面值大小,尽可能小便于组合使用,便于销售。 每种面值的邮票被使用的频率相近程度,这些邮票被使用的频率越相近,邮票面值组合越 为合理。 提出两种可行的指标即可,通过验算,指出自己设计的十套邮票中最合理的一组。 …………18 分

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