上海中学高三数学综合练习(三)

高三数学综合练习三
班级___________ 学号________ 姓名______________ 成绩________ 一、填空题 1．复数

1 ? 2i 的虚部是 3 ? 4i
x

2．已知函数?(2 )的定义域为[-1，1]，则函数 y=?(log2 x)的定义域为 3．自圆 x 2 ? y 2 ? 4上点

A(2,0) 引此圆的弦 AB, 则弦的中点的轨迹方程为 4．已知函数 f ( x) ? ? .

?| lg | x ||,( x ? 0) ，则方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? 0 的实根共有 ( x ? 0) ?0,

.

5．在 ?ABC 中, 若?C ? 3?B, 则 的取值范围为 6．已知函数 y ?

c b

ax ? 3 对定义域内的任意 x 的值都有 ? 1 ? f ( x) ? 4 , 则 a 的取值范围为 x2 ?1

7 ． 函 数 f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? 1

(a ? 0) 的 图 象 的 顶 点 A 在 直 线 mx ? ny ? 1 ? 0 上 ， 其 中
.

m ? n ? 0 ，则

1 2 ? 的最小值为 m n

8．一个四面体的各个面都是边长为 5 , 10 , 13 的三角形，则这个四面体体积为 9．考察下列一组不等式：

2 3 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 2 ,

2 4 ? 5 4 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 53 ,

25 ? 55 ? 23 ? 52 ? 2 2 ? 53 ,?? .

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特 例，则推广的不等式可以是
2 2

.

10．关于 x 的方程 2 x ? 3ax ? a ? a ? 0 至少有一个模为 1 的复数根，则实数 a 的所有可能值 为 11． 已知不等式 a 的取值范围为 12．在一个给定的正(2n+1)边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是 相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为 . 二、选择题

1 1 1 1 2 ? ??? ? log a (a ? 1) ? 对大于 1 的自然数 n 都成立,则实数 n ?1 n ? 2 2n 12 3

13．已知 A ? x y ? 值范围是

?

5 x ? x 2 ? 4 , B ? x x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 , 若A ? B ? A ，那么实数 a 的取
（ ）

?

?

?

A．(-1,2)

B． 2, ?

? 18 ? ? 7? ?

C． ? ? 1,

? ?

18 ? ? 7?

D． ? ? 1,

? ?

18 ? 7? ?

14． 已知 ?ABC 的三个顶点 A 、 B、 C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB , 则点 P 与 ?ABC 的关系为 A. P 在 ?ABC 内部 C. P 在 AB 边所在直线上 B. P 在 ?ABC 外部 D. P 是 AC 边的一个三等分点 （ ） ( )

15．若 a ? 1, b ? 1, 且 lg( a ? b) ? lg a ? lg b, 则lg( a ? 1) ? lg( b ? 1)的值 A．等于 1 B．等于 lg 2 C．等于 0 D．不是常数

16 ．对 b>a>0, 取第一象限 的点 A k(xk,yk)(k =1,2, … ,n), 使 a,x1 ,x2 , … ,xn ,b 成 等差数列，且 a,y1 ,y2 ,…,yn ,b 成等比数列，则点 A 1 ，A2 ，…，A n 与射线 L：y=x(x>0)的关系为 （ A 各点均在射线 L 的上方； B 各点均在射线 L 的上面； C 各点均在射线 L 的下方； D 不能确定 三、解答题 ）

5 x 1 2 17． 已知函数 f ( x) ? ? 与 g ( x) ? cos 2 x ? a(1 ? cos x) ? cos x ? 3 的图像在 ?0, ? ? 内 x 2 2 sin 2 sin
至少有一个公共点, 求的 a 的取值范围.

18．在 ?ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C, 的对边，且

cos B b ?? . cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小；(2)若 b ? 13 ， a ? c ? 4 ，求 a 的值.

19． 如图， 在四棱锥 P ? ABCD 中，PA ? 底面 ABCD ， AB ? AD ，AC ? CD，?ABC ? 60° ， PA ? AB ? BC ， E 是 PC 的中点． (1)求异面直线 CD 和 PB 所成角大小； (2)求直线 CD 和平面 ABE 所成角大小；

P

E A B
20．设关于 x 的方程 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的两根分别为 ? 、 ? (1)证明 f ( x) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数； (2)当 a 为何值时， f ( x) 在区间 ?? , ? ? 上的最大值与最小值之差最小

D

C

?a ?? ? ? ? ，函数 f ( x) ? 4 x 2

x ?1

21． 现有流量均为 300m3 /s 的两条河流 A， B 汇合于某处后， 不断混合， 它们的含沙量分别为 2kg/m3 和 0.2 kg/m3. 假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点 的过程中，其混合效果相当于两股水流在 1 秒内交换 100 m3 的水量，其交换过程为从 A 股 流入 B 股 100 m3 的水量，经混合后，又从 B 股流入 A 股 100 m3 水并混合，问从第几个观测 点开始，两股河水的含沙量之差小于 0.01kg/m3.（不考虑泥沙沉淀）

22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上， F 1、F 2 分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦 → 点构成等边三角形,且|F1 F2|=2； (1)求椭圆方程 (2)对于 x 轴上的某一点 T，过 T 作不与坐标轴平行的直线 L 交椭圆于 P 、Q 两点，若存在 x 轴上的点 S，使得对符合条件的 L 恒有∠PST=∠QST 成立，我们称 S 为 T 的一个配对点， 当 T 为左焦点时，求 T 的配对点的坐标； (3)在(2)条件下讨论当 T 在何处时，存在有配对点？

答案及错误率 一. 填空题 1.

2 5

（0.26）

2. ? 2 ， 4? （0.09） 3.（x-1)2 ? y 2 ? 1,( x ? 2) （0.06） 4.

?

?

7

（0.43） 8. 2 2

5. （ 1 ， 3 ）（ 0.26 ）

6,[-4,4]

（ 0.23 ）

7. 8

（ 0.09 ）

9. 2n ? 5n ? 2n?k 5k ? 2k 5n ?k , n ? 3,1 ? k ? n （0.7） 10. a ? 2 ? 2, a ? ?1 二．选择题 13.D （0.11） 14.D （0.4） (0.17) （0.2） 15.C （0.03） 16.C （0.2）

（0.37） 11.

1? a ?

1? 5 2

（0.37）12.

n＋1 （0.97） 4n ? 2

17． [2, ??)

18 . （1） B ? 120? , （0.11）(2)a=1,c=3 或 a=3,c=1

19.

(1) arccos

6 4

(0.11)

(2) arcsin

7 7

(0.46)

20.(1)证明略 21.

（0.86） （2）a=0, 差为 4 （0.63）

3 1 bn ? bn ?1 ? an ?1 4 4 2 1 11 9 1 11 9 1 an ? an ?1 ? bn , an ? ? ( ) n ?1 , bn ? ? ( ) n ?1 , 第9个观测点。(0.68) 3 3 10 10 2 10 10 2
22.(1)

x2 y 2 ? ? 1 (0.17) 4 3
(0.86)

(2)(-4,0)

(3) x0 ? (?2, 0) ? (0, 2), 配对点 （

4 , 0) x0

(100%)