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2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则 (1)


⒛ 15年 全国高中数学联赛江苈赛 区 初赛参考答案与评分细则
填空题 (本 题共 10小 题 ,满 分 9O分 ,每 小题 7分 。要求直接将答案写在横线上 .)
已知点 Pl4,1)在 函数 仰 )=logσ ←一纷 ⒄)⑴ 的图象上 ,则 劢 的最大值是 一
4.

5,在 平面直角坐标系 x‘V中 ,设 焦距为 2c的 椭

圆 +荃 =1(夕 )D)0)与 椭 圆 +苔 =1有 才 目 同 乒 乒


3.

)⒍ 滋 +狞 ⒋ 且 夕 由题意知 ,b酞 4均 =⒈ 即 夕

L份



解 :有 两类情况 :同 为 自球 的概率是 ,同 为红球 的概率是 磊矮埕←亻头 岩 搌 臁 醮 ?



: :

⒐ 从而 扔 ≤ 叩

=⒋

=3=2时 ,汕 的最大值是 4. 当曰
⒉ 函数 炯

=币 顿



F篑 均 在

处 的值是

一 ⒉ =辔 =岢 =2犷¢ =雨 ⒍ 以 灭 繁 碍 畀所 爹 宀 谔=钅 =畏 ℃
若不等式 |锚 +1}≤ 3的 解集为 姒 |-2≤ y≤ 1),则 实数 ε的值是

.

=2. 设函数 如 )=|钳 +l,则 灭一勾=灭 1)=3,故 夕
第 一 只 口袋里有 3个 白球 、7个 红 球 、 15个 黄球 ,第 二 只 口袋里有 10个 自球 、6个 红球 、

9个 黑球 ,从 两个 口袋里各取 出一 球 ,取 出的球颜色相 同的概率是

.
=溃瞥 所求 的

,则 g的 值是 的离 心 率 ε
解 ⒍

.
瓶 毗 沌 且有 =兰 兰,解 得 纩J凵 」⒎ 茹 矛 号

若沩

吨 则手=兰 予茎,得 夕

,对 角线 BlD与 平面 /lBC1交 于 E点 .记 四棱锥 E— 'BCD— 'lB1GD1中 彳 BCD的 体积 为 /l,长 方体 彳 1B1GDl的 体 'BCD一 积 为 均,则 的值是


如图,在 长方体

(第

6题 图 )

⒛ 15年 全 国高中数学联赛江 苏赛 区初赛答案第

1页



5页

解 :记 四棱锥 B1—

口 ,刃 =伽 虫 图

'BCD的
1,

体积 为

/,

'=:乃 ,所 以 =各 从而 T/l=:/.又 冫 镌

(第

6题 图)

7,若 实数集合 彳=(31x,6助 )与 B=(5〃 ,4∞ )仅 有 一个 公共元素 ,则 集合
之积 的值是

B中 所有元素
'∪

.

解 :因 为 31宽 ×6助 =5刀 ×403=⒛ 15v.若 刀 ≠0,则 集合 /和 集合 B中 有 一 组相等 ,则 另 一 组也必然相等 ,这 不合题意 .所 以 v=0,从 而 /∪

B中 所有元素之积 的值 为 0.

8,设 向量 四 =(∞ m,sinα ),D=(~Sinα ,⑽ ⑻.向 量 均 ,均 ,¨ ? ,均 中有 3个 为 ε ,其 余 为 D;
,ヵ 中有 2个 为 伤 ,其 余为 D.则 盂男 向量 y1,ヵ ,¨ ? v`的 可 能取值 中最小 的为
产1



:因 为


=D? 〃? ε

D=1,四 .j=0,所

以 量芳 v氵 的 最 小 值 为 2.
`=1

9.在

3的 幻方 中填数 ,使 每行 、每列及两条对角线上 的三个数之和都相等 .如 图,三 个

方格 中的数分别为 1,2,⒛ 15,则 幻方 中其余 6个 数之和 为 ,贝 刂 由题 意知 解 :如 图 ,设 幻方 正 中间 的数 为 艿

.
I

2

四 =— ⒛ 12,从 而 对 角 线 上三 个 数 的和 为 x— ⒛ 11, 因此 3=豸 —⒛ 14,c=-4026,'=— ⒛ 13,g=丌 +⒛ 14,
(第

2015

9题 图 )
C
1

+c+艿 =x— 2011,解 得 丌 =一 哿 由乙


.



9个 数 朔

VⅡ

×← 辔

一朋

D=」 嘤

,



X

2

所 以幻方 中其 余

6个 数之和 为 —嘤

-201:=一 丝笋

.



2015
(第

9题 图)

10.在 平 面直 角 坐 标 系 双V中 ,设 D是 满足 豸 ≥0,`≥ 0,∝ +'+M+阴 ≤ 19的 点 ←,D形 成
的区域 (其 中卜 ]是 不超过 艿的最大整数 ).则 区域 D中 整 点的个数 为 解 :区 域 D中 整点 的个数为

1+2+3+… +10=55.

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二、解答题 (本 大题共 4小 题,每 小题 20分 ,共 sO分 )
11.在 等 比数列(‰ )中 ,饧 =2,g是 公比,记 岛为(‰ )的 前 刀 项和,‰ 为数列(吒 )的 前 刀 项和 。 若

=2‰ ,求 g的 值 岛 刀
解:若


,

g=1,则 ‰=%=2,蜣 =4,则 岛ヵ =4刀 ,马 =4刀 ,s9″ ≠2‰
g=-1,则


.

=2×

(—

1)刀

,蜣

=4,则

岛 刀=0,‰

=4刀 ,岛

刀≠

2‰

.

? … … … … …… …… … … … ¨ 5分

若 g≠ ±1,则 ‰=勿

刀2,

柙 峤狎 艹 岬
? ……………………………¨ 15分 垆 亏
.

.

由骟 裼 轧
0∠

则 赢 旁

剖 ¨沪+纩叫=⒍ 解得 尸

g的 劬 二⊥ 立≡和二⊥ Ⅱ≡

? …? … … … …… …… ∴ … … ?⒛ 分

BC中 如 图 ,Δ 犭

,'B)彳 C,点 D、 E分 别在边 /B、 P两 点 。
'、

彳 C上 ,且

BD=Cε 。z夕r的 外角

平分线与 △煜石 的外接 圆交于 求证 :'、
P、 B、

C四 点共 圆

.

证 明 :如 图 ,连 结 PD,PE,PC.

(第

12题 图)

PDE是 圆内接 四边形 因为 四边形 彳
所 以 z刀 D=zPED,

,

z〃

F=zPDE,
,

又 因为

'P是 所 以 z″ D=z〃

z&r的

,

外 角平 分 线

从 而 zPED=ZPDE, 故 PD=″
.

… …… …… … …… … … …… ?1o分

又 z'DP=z/EP, 所 以 ZBDP=zCEP. 又 因为 BD=CE,所 以△BDP≌ △ CEP, 从而 zPBD=ZPCE,即 所以
'、
P、

zP似 =zR乡

,

B、

C四 点共 圆

.

… … … …… … … …… … …… ?10分

⒛ 15年 全 国高 中数学联赛江 苏赛 区初赛答案第

3页



5页

13.如 图 ,在 平面直角坐标系 艿 o`中 ,圆

@l、

圆 o都 与直线

两 圆的半径之积为 2,两 圆的一 个交点为 P(2,纷 ,求 直线 解 :由 题意 ,圆 心 o,o都 在 豸轴与直线
若直线 =tanα 斜率 肟
,

`:'=肋
`的

及 艿轴正半轴相切 ,若

方程 。

角平分线 上 .'
`的

`的
设 冖 切 谔

,则



可号爷

.

圆心 o1,o在 直线



,

'=红
可设 o(,P:,r99θ
, @2(刀 ,

刀 0.

(第

13题 图)

交点 又 2,勾 在第 一 象 限 ,昭 ,刀 ,r>0.
2, 所以⊙@rα _,99)2+臼 一昭 旷=(,99θ

? ……………………………… 4分

… … … … :分 所 以 二 丰 礻 {g≡ 芹 {韦 8≡箐 茑 箱即 忘 黥 氡…
?2’
:’

2=(刀 2, ⊙@l:α ~02+臼 —刀 θ θ

=8. 所 以 昭,刀 是方程 X2— ⒁+4θ X+8=0的 两根 ,妫 刀
衅 径 勰 ⒄ Ⅸ刀 θ毛 得 ′ 铹

,故



:.…

……



……



⒗ 分

=南 所以 庀
14.

=戋



=P? 直线 几 ′

¨ ……………………………? ⒛分

将正十 一 边形 的 乃 个顶 点染红色 ,其 余顶点染蓝色

.

(1)当 庀 =2时 ,求 顶 点均为蓝色 的等腰 三 角形 的个数

;

(2)庀 取何值 时 ,三 个顼点同色 (同 红色或 同蓝色 )的 等腰 三 角形个数最少 ?并 说 明理 由

:

.

(1)设 正十 一边形 的顶 点 彳1,彳 2,'3,。 ¨ 彳11,贝 刂 易知其 中任意 三 点为顶 点的三 角形都
不是正 三 角形
.

以这些点为顶点的等腰 三 角形个数可 以如此计算 :以 的等腰 三 角形有∵

/`('=1,2,3,… ,1l)为 顶角顶 点

=5个 ,这 些三角形均不是等边三 角形 ,即 当丿 ≠川寸 ,以 ~0y为 顶角
.

顶 点的等腰二角形都不是上述等腰三角形 故所有 的等腰 三 角形共有 5×

11=55个

.

? … …… … … …… … 5分
.

=2时 ,设 其 中 /″ ,/刀 染成 红色 ,其 余染成蓝色 当斤

'励

为顶角顶 点的等腰 三 角形有 5个 ,以
'仞

为底角顶 点的等腰 三 角形有 10个 ;同

,/刀 为顶 点的等腰 三 角形有 3个 ,这 些等腰三角形 的顶点不 同色 ,且 共有 6+10) 时以彳 泖

×2-3=27个

.

⒛15年 全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第

4页 共 5页

注意到仅有这些等腰三角形 的三 个顶 点不 同蓝色 ,故 所求 三 个顶 点 同为蓝色 的等腰 三 角形有 55— ” =28个 . ………………………… 10分
11一 庀 个染蓝色 .则 这些 顶点间连线段 (边 或对角

(2)若 11个 顶 点中 庀个染 红色 ,其 余

四 迎 线 )中 ,两 端 点染红色 的有 芳 察 ,两 端点染蓝色 的

条 ,两 端 点染 一 红
.

一 蓝 的有 《lI— θ条 .并 且每条连线段必属于且 仅属于 3个 等腰 三 角形 把等腰 三 角形分

4类 :设 其 中三 个顶点均为红色 的等腰 三 角形有 均个 ,三 个顶点均

为蓝色 的等腰 三 角形有 均个 ,两 个顶 点为红色 一个顶 点为蓝色 的等腰 三 角形有 坨个 ,两 个顶 点为蓝色 一个顶 点为红色 的等腰 三 角形有 沏个 ,则 按顶 点颜色计算连线段
,

甄圯 司 × 叩
3艿

,
,




2+泓 =3×

⒉3+?犰 =3× 【11_θ ,
由①


‰ 一 一 庀 D划 毛 【 叶 α 1硎 1— α

+② 得
代焰



+功 妩


"训


,



构 +均 镑

卜 旷 5×



=幺 3'亠

"汁



?

=5或 当 佬

6盹



均‰ n=幺 5×

4讯 × 卜

o=⒑
6.… ……… 20分

=5或 即顶点 同色 的等腰 三 角形最少有 10个 ,此 时 乃

⒛ 15年 全 国高 中数学联赛汪苏赛 区初赛答案第

5页



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