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苏教版高中数学选修2-2《2.2.2 间接证明》教案


教学目标: 1.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法; 2.了解反证法的思考过程、特点. 教学重点: 反证法的思考过程、特点. 教学难点: 反证法的思考过程、特点. 教学过程: 一、预习 1.问题:如图,四边形 ABCD 是平行四边形 求证:AB=CD,BC=DA.
D C

A

B

在《数学 2(必修) 》第三章中,如何证明“在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB 与 A1C 是异面直线”的?

2. 初中平面几何中有一个命题: “过在同一直线上的三点 A, B, C 不能作圆” . 如 何证明? 3.定义:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证 明方法叫反证法.

即:欲证 p 则 q,证:p 且非 q(反证法) . 反证法的步骤: (1)______________________________________________________; (2)______________________________________________________; (3)______________________________________________________; 反证法: (1)反设(即假设) p 则 q(原命题) 反设 p 且非 q.

(2)可能出现三种情况: ① 导出非 p 为真——与题设矛盾. ② 导出 q 为真——与反设中“非 q”矛盾. ③ 导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾. 反设是反证法的基础,归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模 式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导 出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式 矛盾;与反设矛盾;自相矛盾. 二、例题精讲 例1 证明 求证:正弦函数没有比 2π 小的正周期. 假设 T 是正弦函数的周期,则对任意实数 x 都有: sin( x+T )=sin x .

令 x=0,得 sin T=0 即 T=kπ,k∈ Z,又 0<T<2π,故 T=π,
π π 从而对任意实数 x 都有 sin( x+π)=sin x ,这与 sin( +π ) ≠ sin 矛盾. 2 2

所以正弦函数没有比 2π 小的周期. 例2 例3 证明 证明 2 不是有理数. (课本例 2) . 设 a3+b3=2 ,求证 a+b ≤ 2 . 假设 a+b>2 ,则有 a>2-b ,从而

a3>8-12b+6b2-b3, a3+b3 >6b2-12b+8=6(b-1)2+2, 因为 所以 6(b-1)2+2 ≥2, a3+b3>2,这与题设条件 a3+b3=2 矛盾,

所以,原不等式 a+b ≤ 2 成立.

注意: 注意一 “否定所证结论”是反证法的第一步,它的正确与否直接影响能否

正确使用反证法. 否定结论的步骤是:① 弄清结论本身的情况; ② 找出结论的全部相反情况; ③ 正确地否定上述结论. 注意二 反证法中引出矛盾的结论,不是推理本身的错误,而是由于开始假

定“结论的反面是正确的”是错误的. 注意三 在反证法证题的过程中,经常画出某些不正确的图形,甚至是不可

能存在的图形,这样做的目的,是为了能清楚地说明问题.在证明过程中,每一 步推理所得结论的正确性,应完全由它所依据的理由来保证,而不能借助图形的 直观性,这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的. 注意四 用反证法证明命题时,若原命题结论的反面不惟一,这时要把每种

可能一一否定,不要遗漏. 三、巩固练习 1.课本 86 页的练习(1,2,3,4,5) . 2. 用反证法证明 “如果 a> b , 那么 a> b ” , 假设的内容是______________. 3.用反证法证明: “ a>b” . 应假设(a≤ b) . 4. 用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角” 时, 假设正确的是 (假 设至少有两个钝角) . 5.有关反证法中假设的作用,下面说法正确的是( ). A.由已知出发推出与假设矛盾 C.由已知和假设出发推出矛盾 四、回顾小结 1. 反证法的步骤:① 否定结论;② 推理论证;③ 导出矛盾;④ 肯定结论. 2.反证法适用于证明“存在性,惟一性,至少有一个,至多有一个”等字样 的一些数学问题. 五、作业 课本 P87 第 8,9,10 题. B.由假设出发推出与已知矛盾 D.以上说法都不对
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