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第二讲 椭圆、双曲线、抛物线


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专题六
第二讲

解析几何

椭圆、双曲线、抛物线

1.椭圆的定义. 平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件. (1)到两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数 2a. (2)2a>|F1F2|.

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1.双曲线的定义. 平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件: (1)到两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a. (2)2a<|F1F2|.

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3.等轴双曲线. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, 其标准方程为 x2-y2
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=λ(λ≠0),离心率 e= 2,渐近线方程为 y=± x.

1.抛物线的定义. 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点 的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准 线.

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若二元方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程,或曲线 C 是方程 f(x, y)=0 的曲线,则必须满足以下两个条件: 1.曲线上点的坐标都是二元方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性). 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线 C 上的点(完备性).

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是 椭圆.(×) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成△PF1F2 的周长为 2a+ 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距).(√) (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.(√)

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x 2 y2 y2 x 2 (4) 2+ 2=1(a>b>0)与 2+ 2=1(a>b>0)的焦距相同.(√) a b a b x 2 y2 (5)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.(×) m n

1.平面内到点 A(0,1)、B(1,0)距离之和为 2 的点的轨迹为(A) A.椭圆 C.两条射线 B.一条射线 D.一条线段

解析:因为点到两定点 AB 距离之和为 2>|AB|= 2,所以该点 的轨迹为椭圆.故选 A. x 2 y2 2.以知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线 4 12 右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 9. 解析: 注意到 A 点在双曲线的两支之间, 且双曲线右焦点为 F′(4, 0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a=4, 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5, 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F′三点共线时等号 成立. x 2 y2 3. (2015· 新课标Ⅰ卷)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点, 且 16 4 3 25 圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为(x- )2+y2= . 2 4 解析:由题意知 a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2), (0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过
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点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为 (x-m)2+y2= 3 ? m = ? 2, ? ?m +4=r , 2 r (0<m<4,r>0),则? 解得? 所以圆的标准 2 2 25 ?(4-m) =r , ? 2 ? ?r = 4 .
2 2

3 25 方程为(x- )2+y2= . 2 4 x2 2 4. (2015· 北京卷)已知双曲线 2-y =1(a>0)的一条渐近线为 3x a +y=0,则 a=________. x2 2 x 解析: 双曲线 2-y =1 的渐近线为 y=± , 已知一条渐近线为 3 a a 1 3 x+y=0,即 y=- 3x,因为 a>0,所以 = 3,所以 a= . a 3 答案: 3 3

一、选择题 x2 y2 1 1.若椭圆 + =1 的离心率为 ,则实数 m 等于(A) 2 m 2 3 8 A. 或 2 3 8 C. 3 3 B. 2 3 2 D. 或 8 3 m-2 1 8 = ,解得 m= . m 4 3

解析:若 m>2,则

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若 0<m<2,则

2-m 1 3 = ,解得 m= . 2 4 2

2. (2015· 新课标Ⅱ卷)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆 交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=(C) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 解析:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, D+3E+F+10=0, D=-2, ? ? ? ? 则?4D+2E+F+20=0,解得?E=4, ? ? ?D-7E+F+50=0. ?F=-20. ∴ 圆的方程为 x2+y2-2x+4y-20=0. 令 x=0,得 y=-2+2 6或 y=-2-2 6, ∴ M(0,-2+2 6),N(0,-2-2 6)或 M(0,-2-2 6),N(0, -2+2 6),∴ |MN|=4 6,故选 C. x 2 y2 3.(2015· 福建卷)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 9 16 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于(B) A.11 B.9 C.5 D.3 4.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距 离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为(A)
?1 ? A.?4,-1? ? ? ?1 ? B.?4,1? ? ?

C.(1,2) 解析:如图,

D.(1,-2)

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抛物线的焦点 F(1,0),准线方程 l:x=-1,点 P 到准线的距 离为|PD|. 由抛物线的定义知|PF|=|PD|, 显然 D, P, Q 共线时, |PD|+|PQ| 1 最小,即|PF|+|PQ|最小.此时 yP=-1,代入抛物线方程知 xp= , 4
?1 ? ∴P?4,-1?. ? ?

x2 y2 5. (2014· 江西卷)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线 a b 与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆 经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为(A) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 12 7 9 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 8 8 12 4 x2 y2 b 解析:因为 C: 2- 2=1 的渐近线为 y=± x,所以 A(a,b)或 a b a A(a, -b). 因此 OA=c=4, 从而三角形 OAC 为正三角形, 即 tan 60° b x2 y2 = ,a=2,b=2 3,双曲线 C 的方程为 - =1. a 4 12 x2 y2 6.(2014· 全国大纲卷)双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心 a b

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率为 2,焦点到渐近线的距离为 3,则 C 的焦距等于(C) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 b 3 c b2 解析:由已知可知渐近线的斜率 k= = 2 且 =2,即 2= a a c -3 a 3 b2 且 1+ 2=4 解得 c2-3=1,所以 c=2,2c=4.故选 C. a c2-3 二、填空题 y2 7.(2015· 北京卷)已知(2,0)是双曲线 x - 2=1(b>0)的一个焦 b
2

点,则 b= 3. 解析:由题意得,双曲线焦点在 x 轴上,且 c=2.根据双曲线的 标准方程, 可知 a2=1.又 c2=a2+b2, 所以 b2=3.又 b>0, 所以 b= 3. 8.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且 与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾 斜角为 60°,则△OAF 的面积为 3. 解析: 由 y2=4x, 可求得焦点坐标为 F(1, 0), 因为倾斜角为 60°, 所以直线的斜率为 k=tan 60°= 3,利用点斜式,直线的方程为 y = 3x- 3,将直线和曲线方程联立,
?y= 3x- 3, ?1 ? 2 3? ? 2 ?, ?A(3,2 3),B? ,- 3 ? ?3 ? ?y =4x

1 1 因此 S△OAF= ×OF×yA= ×1×2 3= 3. 2 2 三、解答题 9.已知圆 O′过定点 A(0,p)(p>0),圆心 O′在抛物线 C:x2= 2py 上运动,MN 为圆 O′在 x 轴上所截得的弦.

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(1)当点 O′运动时,|MN|是否有变化?并证明你的结论; (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且 M, N 在原点 O 的右侧时, 试判断抛物线 C 的准线与圆 O′是相交、 相切还是相离, 并说明理由. 解析:(1)设 O′(x0,y0),则 x2 0=2py0(y0>0),则⊙O′的半径|O′
2 2 2 2 A|= x2 0+(y0-p) ,⊙O′的方程为(x-x0) +(y-y0) =x0+(y0-

p)2.
2 2 令 y=0,并把 x0 =2py0 代入得 x2-2x0x+x0 -p2=0.

解得 x1=x0-p,x2=x0+p, ∴|MN|=|x1-x2|=2p, ∴|MN|不变化,为定值 2p. (2)设 MN 的中点为 B,则|OM|+|ON|=2|OB|且 O′B⊥MN. 又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项,
? p? ∴|OM|+|ON|=2|OA|,可得 B(p,0),O′?p, 2?. ? ?

∴|O′A|=

?p ?2 5 p2+?2-p? = p. 2 ? ?

即圆 O′的半径为

5 p. 2

p ? p? 5 又∵点 O′到抛物线 C 的准线的距离为 -?-2?=p< p. 2 ? 2 ? ∴圆 O′与抛物线 C 的准线相交.

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x2 y 2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b a b >0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. 解析:(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1. x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1,即 b=1,所以 a b b a2=b2+c2=2. x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 (2)直线 l 的斜率显然存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=kx+ m,

?x +y2=1, 由? 2 消去 y 并整理得: ?y=kx+m,
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, 因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2- 2)=0, 整理得 2k2-m2+1=0.①
2 ? ?y =4x, 由? 消去 y 并整理得: ?y=kx+m, ?

2

k2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得 km=1.②

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?k= 2, ?k=- 2, 2 或? 2 综合①②,解得? ?m= 2. ?m=- 2.
所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

11.如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在 抛物线 E:x2=2py(p>0)上.

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q.证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. 解析:(1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30°. 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 3, y=|OB|cos 30°=12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p×12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y. (2)证法一 1 1 由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2

1 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2 ,且 l 的方程为 4 0

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1 1 1 2 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x0 . 2 2 4 x0-4 2 ?y=1x0x-1x0 , ?x= , 2 4 2x0 由? 得? ?y=-1, ?y=-1.
?x2 ? 0-4 所以 Q 为? ,-1?. ? 2x0 ?
2

→ ·MQ → =0 对满足 y =1x2(x ≠0)的 x ,y 恒 设 M(0,y1),令MP 0 0 0 4 0 0 成立.
?x2 ? 0-4 → → 由于MP=(x0,y0-y1),MQ=? ,-1-y1?, ? 2x0 ?

→ ·MQ → =0, 由MP x2 0-4 得 -y0-y0y1+y1+y2 1=0, 2
2 即(y1 +y1-2)+(1-y1)y0=0.①

1 由于①式对满足 y0= x2 (x ≠0)的 y0 恒成立, 4 0 0
? ?1-y1=0, 所以? 2 解得 y1=1. ? ?y1+y1-2=0,

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 证法二 1 1 由(1)知 y= x2,y′= x,设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0 4 2

1 1 1 1 2 = x2 0,且 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x0. 4 2 2 4 x0-4 2 ?y=1x0x-1x0 , ?x= , 2 4 2x0 由? 得? ?y=-1, ?y=-1.
?x2 ? 0-4 所以 Q 为? ,-1?. ? 2x0 ?
2

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取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为(x-
? 1? 1)2+y2=2, 交 y 轴于点 M1(0, 1), M2(0, -1); 取 x0=1, 此时 P?1,4?, ? ? ? 3 ? ? 1?2 ? 3?2 125 Q?-2,-1?,以 PQ 为直径的圆为?x+4? +?y+8? = ,交 y 轴 64 ? ? ? ? ? ? ? 7? 于点 M3(0,1),M4?0,-4?. ? ?

故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点.
?x2 ? x2 0-4 0-4 → → → → 因为MP=(x0, y0-1), MQ=? 所以MP· MQ= ,-2?, 2 ? 2x0 ?

-2y0+2=2y0-2-2y0+2=0. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).

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