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2010届高三数学数列知识点复习:等差数列三


第五课时

等差数列

——热点考点题型探析 四、教学过程 (一)热点考点题型探析 考点 1、求等差数列的 Sn 最值 【例 1】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16. ⑴当 n 为何值时,Sn 取得最大值; ⑵求 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 的值; ⑶求数列 a

n 的 前 n 项和 Tn . 【解析】⑴? 等差数列 ?an ? 中, a1 ? 25, a4 ? 16. ? 公差 d ?

? ?

a 4 ? a1 ? ?3 4 ?1

? an ? ?3n ? 28,令 an ? ?3n ? 28 ? 0 ? n ? 9 ?当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 .? 当 n ? 9 时, Sn 取得最大值; ⑵? 数列 ?an ? 是等差数列 10( a 2 ? a 20 ) ? 10 a11 ? 10( 25 ? 3 ? 9) ? ?20 ; ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 ? 2 ⑶由⑴得,当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 .
? Tn ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? (a10 ? a11 ? ? ? an ) ? 2S9 ? Sn
53 3 ? ? 3 ? 2(9 ? 25 ? 36 ? 3) ? ?25n ? n(n ? 1)? ? n 2 ? n ? 234 2 2 ? ? 2
【反思归纳】求等差数列的 Sn 最值的方法主要有两种方法:1、不等式组法;2、利用二次 函数配方法。 考点 2、与等差数列有关的求和问题 题型 1 用倒序相加法求数列的前 n 项和 【 例 2 】 已 知 数 列

?a ?
n

是 公 差 为 d , 首 项
*

a

o

=d 的 等 差 数 列 ,

s

n?

? ac ac
0

0

1 n

n

1

,求 s n 。 ? ?a nc n(n ? N )

n

分析:采用倒序相加法。 【反思归纳】数列求和的关键是观察数列的特点和规律,根据数列 的特点,选取恰当的求和方法。 , 题型 2 用裂项法求数列的前 n 项和 【例 3】 【复资 P97 页例 6】 【反思归纳】裂项法及常见的裂项公式总结见复资 P97 页。 考点 3 等差数列与其它知识的综合 【例 4】已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ?

1 2 11 n ? n ;数列 ?bn ?满足: b3 ? 11, 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ,其前 9 项和为 153 .
⑴求数列 ?an ? 、 ?bn ?的通项公式;

⑵设 Tn 为数列 ?c n ?的前 n 项和, cn ?

k 6 ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

?n ? N ? 都成立的最大正整数 k 的值.
【解题思路】 ⑴利用 an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求; ⑵求出 Tn 后, 判断 Tn 的 单调性. 【解析】⑴? S n ?

1 2 11 n ? n, 2 2

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

1 2 11 1 11 n ? n ? ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) ? n ? 5 2 2 2 2

当 n ? 1 时, 1 ? 5 ? 6 ? a1 ,? an ? n ? 5 ;

? bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? bn ?1 ?
则?

bn ? bn ? 2 ,? ?bn ?是等差数列,设其公差为 d . 2

?b1 ? 2d ? 11 ? b1 ? 5, d ? 3 , ?9b1 ? 36d ? 153

? bn ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 .
⑵ ? cn ?

6 6 ? (2an ? 11)(2bn ? 1) ?2(n ? 5) ? 11??2(3n ? 2) ? 1?

?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

? n ? N ? ,? Tn 是单调递增数列.

?当 n ? 1 时, ?Tn ?min ? T1 ? 1 ? ? Tn ?

1 2 ? 3 3

k k 2 k ? ? ? k ? 38 对 ?n ? N ? 都成立 ? ?Tn ?min ? 57 57 3 57 ?所求最大正整数 k 的值为 37 .
【反思归纳】本题综合考查等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识,利用了函 数、方程思想,这是历年高考的重点内容. (二) 、巩固强化训练 1、设数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? ?8 , a15 ? 5 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 A. S10 ? S11 B. S10 ? S11 C. S9 ? S10 D. S9 ? S10

a 2 ? a16 a 2 ? a15 ? d ( a ? d ) ? a15 ? , S10 ? 2 ? S 9 ? S10 2 2 2 5 ? ( ?8) 13 69 ? 另法:由 a2 ? ?8 , a15 ? 5 ,得 d ? , a1 ? a 2 ? d ? ,计算知 S9 ? S10 15 ? 8 7 7
【解析】C. S 9 ? 2、数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最小值时, n ? 【解析】 24 由 an ? 2n ? 49 知 ?an ? 是等差数列, an ? 0 ? n ? 25. ? n ? 24 . . .

3、 已知等差数列 ?an ? 共有 10 项, 其奇数项之和为 10 , 偶数项之和为 30 , 则其公差是 【解析】 4 已知两式相减,得 5d ? 20 ? d ? 4. 4、设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? 【解析】 .

1 n( n ? 1) ? 1 利用迭加法(或迭代法) ,也可以用归纳—猜想—证明的方法. 2

5、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵数列 ?an ? 中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak ? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立? 若存在,求最小的正整数 k ,若不存在,说明理由. 【解析】⑴当 n ? 2 时, Sn Sn?1 ? 2an ? Sn Sn?1 ? 2( Sn ? Sn?1 )

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,且 ? ,? ?an ? 是以 ? 为公差的等差数列,其首项为 . 3 2 S1 3 S n S n ?1 2

?

1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1) ? ? Sn ? S n S1 2 6 5 ? 3n

?当 n ? 2 时, a n ?

1 18 S n S n ?1 ? 2 (3n ? 8)(3n ? 5)

?3( n ? 1) 18 18 ? 18 ? ? a1 ,? ? 当 n ? 1 时, ( n ? 2) ; (3 ? 8)(3 ? 5) 10 ? ? (3n ? 8)(3n ? 5)
⑵ a k ? a k ?1 ?

18 2 5 8 ? 0 ,得 ? k ? 或 k ? , 3 3 3 (3k ? 8)(3k ? 5)(3k ? 2)

?当 k ? 3 时, ak ? ak ?1 恒成立,所求最小的正整数 k ? 3.


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