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2012高中数学必做100题--数学4(16题)


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高中数学必做 100 题—必修 4
时量:120 分钟 班级: 姓名: 计分: (说明: 《必修 4》共精选 16 题,每题 12 分, “◎”为教材精选, “☆”为《精讲精练.必修 4》精选) 1. 已知角?的终边经过 P(4,?3). (1)求 2sin?-cos?的值; (2

)求角?的终边与单位圆的交点 P 的坐标.

1 2. 已知 sin(? ? ? ) ? ? ,计算: 2
(1) sin(5? ? ? ) ; (2) sin(

(◎P29 B2)

?
2

? ? ) ; (3) cos(? ?

3? ? ) ; (4) tan( ? ? ) . 2 2

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高中数学必做 100 题◆必修 4

3. 求函数 y ? tan(

?

x ? ) 的定义域、周期和单调区间. (◎P44 例 2) 2 3

?

1 4. 已知 tanα = ? ,计算: (◎P71 4) 3 sin ? ? 2cos ? 1 (1) ; (2) . 5cos ? ? sin ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。—培根

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5. 画函数 y=3sin(2x+

? ),x∈R 简图,并说明此函数图象怎样由 y ? sin x 变换而来. (☆P15 例 1) 3

6. 某正弦交流电的电压 v (单位 V)随时间 t(单位:s)变化的函数关系是
v ? 120 2 sin(100? t ? ), t ?[0, ??) . 6

?

(◎P58 4 改编)

1 1 , 时,求瞬时电压 v ; 60 600 (3)将此电压 v 加在激发电压、熄灭电压均为 84V 的霓虹灯的两端,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时

(1)求该正弦交流电电压 v 的周期、频率、振幅; (2)当 t ?

间?(说明:加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管才发光. 取 2 ? 1.4 )

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?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 7. 平面上三个力 F1 、 F2 、 F3 作用于一点且处于平衡状态, | F1 |? 1 N , | F2 |? ?? ? ?? ? ?? ? 夹角为 45? ,求: (1) F3 的大小; (2) F3 与 F1 夹角的大小. (◎P113 4)

?? ? ?? ? 6? 2 N , F1 与 F2 的 2

? ? ? ? ? ? (2a ? b) ? 61 , 8. 已知 a ? 4, b ? 3 , (2a ? 3b)? ? ? ? ? ? ? (1)求 a 与 b 的夹角 ? ; (2)若 c ? (1,2) ,且 a ? c ,试求 a .

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9. 已知 tan ? ?

1 1 , tan ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值. (◎P138 17) 7 3

10. 已知 cos(

?

3 5? 12 ? 3? ? ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? ? ,? ? ( , ) , ? ? (0, ) ,求 sin( ? ? ?) 的值. (◎P146 2) 4 5 4 13 4 4 4

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1 3 , cos(? ? ? ) ? ,求 tan ? ?tan ? 的值; (◎P146 7) 5 5 1 1 (2)已知 cos ? ? cos ? ? , sin ? ? sin ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. (◎P147 B2) 2 3
11. (1)已知 cos(? ? ? ) ?

12. 已知函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x .

(◎P147 9)

(1)求它的递减区间; (2)求它的最大值和最小值.

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13. 已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x .

(◎P147 10)

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0, ] 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的集合. 2

?

14. 已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求常数 a 的值;

) ? sin( x ? ) ? cos x ? a 的最大值为 1. 6 6 (2)求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合.

?

?

(◎P147 12)

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? ? ? 15.(2009年广东卷.理16)已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2
(1)求 sin ? 和 cos? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? ,0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

? ? 3 3 x x ? 16. 已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b sin x 的最小值. (1)求 a? b 及 a ? b ; (2)求函数 f ( x) ? a ?

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班级: 姓名: (说明: 《必修 4》部分共精选 8 题, “◎”表示教材精选, “☆”表示《精讲精练.必修 4》精选) 1. 已知角 ? 的终边经过 P(4,?3). (1)求 2sin?-cos? 的值; (2)求角 ? 的终边与单位圆的交点 P 的坐标. 解: (1)∵ r ? x 2 ? y 2 ? 42 ? (?3)2 ? 5 , ∴
sin ? ? y ?3 3 x 4 ? ? ? , cos ? ? ? . r 5 5 r 5

。 。 。 。 。 。 。2 分 。 。 。 。 。 。6 分 。 。 。 。 。 。 。8 分

3 4 ∴ 2sin?-cos? ? 2 ? (? ) ? ? ?2 . 5 5

4 3 (2)角 ? 的终边与单位圆的交点 P 的坐标为 (cos ? ,sin ? ) ,即 ( , ? ) .。 。 。 。12 分 5 5

2. 已知 sin(? ? ? ) ? ? ,计算: (1) sin(5? ? ? ) ; (2) sin(

1 2

(◎P29 B2)

?
2

? ? ) ; (3) cos(? ?

3? ? ) ; (4) tan( ? ? ) . 2 2

1 1 解:? sin(? ? ? ) ? ? ? sin ? ? .....1分 2 2 1 (1) sin(5? ? ? ) ? sin ? ? ?? 3分 2

? 3 (2) sin( ? ? ) ? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ?? 6分 2 2 3? 3? 1 (3) cos(? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? ? ?? 9分 2 2 2 ? cos ? (4) tan( ? ? ) ? cot ? ? ? ? 3 ??12分 2 sin ?
3. 求函数 y ? tan(

x ? ) 的定义域、周期和单调区间. (◎P44 例 2) 2 3 ? ? ? 1 解: (1)由 x ? ? ? k? , k ? Z ,解得 x ? ? 2k , k ? Z . 2 3 2 3 1 ∴ 定义域 {x | x ? ? 2k , k ? Z} . 。 。 。 。 。3 分 3 ? (2)周期函数,周期 T ? ? 2 . 。 。 。 。 。 。6 分 ? 2 ? ? ? ? 5 1 由 ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ,解得 ? ? 2k ? x ? ? 2k , k ? Z 2 2 3 2 3 3 5 1 ∴ 函数的单调递增区间为 (? ? 2k , ? 2k ), k ? Z .。 。 。 。 。12 分 3 3
1 4. 已知 tanα = ? ,计算: 3

?

?

(◎P71 4)
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(1)

sin ? ? 2cos ? ; 5cos ? ? sin ?

(2)

1 . 2sin ? cos ? ? cos2 ?

1 ? ?2 sin ? ? 2 cos ? tan ? ? 2 5 解 : (1) ? ? 3 ? ? 6分 1 16 5cos ? ? sin ? 5 ? tan ? 5? 3 2 2 1 sin ? ? cos ? tan 2 ? ? 1 (2) ? ? 2sin ? ? cos 2 ? 2sin ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 1 ?1 10 9 ? ? ??12分 2 ? ?1 3 3
5. 画函数 y=3sin(2x+ 解:由五点法,列表:
x
-

? ),x∈R 简图,并说明此函数图象怎样由 y ? sin x 变换而来. (☆P15 例 1) 3
描点画图,如下:

?
6

?
12

? 2x+ 3
3sin(2x+

0

? 2

? 3
π 0

7? 12 3? 2

5? 6

2π 0

? 3

0

3

–3

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 这种曲线也可由图象变换得到,即:y=sinx

? 左移 3


个单

y=sin(x+

? ) 3

纵坐标不变

y=sin(2x+

? ) 3

纵坐标变为 3 倍 横坐标不变

y=3sin(2x+

? ) 3

。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

1 横坐标变为 2



6. 某正弦交流电的电压 v (单位 V)随时间 t(单位:s)变化的函数关系是 (◎P58 4 改编) ? v ? 120 2 sin(100? t ? ), t ?[0, ??) . 6 1 1 (1)求该正弦交流电电压 v 的周期、频率、振幅; (2)当 t ? , 时,求瞬时电压 v ; 60 600 (3)将此电压 v 加在激发电压、熄灭电压均为 84V 的霓虹灯的两端,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时 间?(说明:加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管才发光. 取 2 ? 1.4 ) 2? 1 1 解: (1)周期 T ? , 频率 f ? ? 50 ,振幅 A ? 120 2 . 。 。 。 。3 分 ? 100? 50 T 1 1 ? (2) t ? 时, v ? 120 2 sin(100? ? ; ? ) ? 120 2 sin 0 ? 0 (V) 600 600 6 1 1 ? 3? 时, v ? 120 2 sin(100? ? ? ) ? 120 2 sin 。 。 。6 分 t? ? ?120 2 (V). 。 60 60 6 2 ? ? 1 (3)由 120 2 sin(100 ? t ? ) ?84 及 2 ? 1.4 ,得 sin(100? t ? ) ? . 。 。 。 。 。9 分 6 6 2 ? ? 5? 1 1 结合正弦图象,取半个周期,有 ? 100? t ? ? ,解得 . ?t ? 6 6 6 300 100 历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。—培根
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1 1 2 (s).。 。 。 。 。12 分 ? ? 100 300 300 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 7. 平面上三个力 F1 、 F2 、 F3 作用于一点且处于平衡状态, | F1 |? 1 N , | F2 |?

所以,半个周期内霓虹灯管点亮的时间为

?? ? ?? ? ?? ? 夹角为 45? ,求: (1) F3 的大小; (2) F3 与 F1 夹角的大小. (◎P113 4)
解:∵三个力平衡,∴F1+F2+F3=0, 。 。 。 。 。 。2 分 ∴|F3|=|F1+F2|= F12 ? 2 F1 ? F2 ? F22 = 12 ? 2 ? 1 ?

?? ? ?? ? 6? 2 N , F1 与 F2 的 2

6+ 2 6+ 2 2 cos 45? ? ( ) = 4+2 3 = 2 2

3 +1, 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 而-F3 与 F1 的夹角可由余弦定理求得,
6? 2 2 ) 3 2 cos<-F3,F1>= = ,∴-F3 与 F1 的夹角为 30° . 。 。10 分 2 2 ? 1? ( 3 ? 1) 则 F3 与 F1 的夹角为 180° -30° =150° . 。 。 。 。 。 。12 分 12 ? ( 3 ? 1)2 -(
? ? ? ? ? ? (2a ? b) ? 61 , 8. 已知 a ? 4, b ? 3 , (2a ? 3b)? ? ? (1)求 a 与 b 的夹角 ? ; ? ? ? ? (2)若 c ? (1,2) ,且 a ? c ,试求 a . ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 (2a ? b) ? 4a ? 4a? b ? 3b ? 4 ? 16 ? 4 ? 4 ? 3 ? cos? ? 3 ? 9 =61, 解: (1)∵ (2a ? 3b)?
∴ cos? = ? , 。 。 。 。 。 。4 分 ∴ ? ? 120? .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 ? (2)设 a ? ( x, y ) ,则

1 2

? 8 5 ? 8 5 x?? x? ? ? ?x ? y ? 4 ? ? 5 5 ,解得 ? 或? .。 。 。 。 。10 分 ? ?x ? 2 y ? 0 ?y ? 4 5 ?y ? ? 4 5 ? ? 5 5 ? ? ? 8 5 4 5 8 5 4 5 所以, a ? (? 。 。 。 。 。 。12 分 , ) 或( ,? ) .。 5 5 5 5 1 1 9. 已知 tan ? ? , tan ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值. (◎P138 17) 7 3
2 2 2

1 2? 2tan? 3 ? 3 ?? 4分 解;tan2? = ? 2 1-tan ? 1 ? ( 1 ) 2 4 3 1 3 ? tan ? ? tan 2 ? ? tan(? ? 2 ? ) ? ? 7 4 ? 1??12分 1 ? tan ? tan 2 ? 1 ? 1 ? 3 7 4 ? 3 5? 12 ? 3? ? 10. 已知 cos( ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? ? ,? ? ( , ) , ? ? (0, ) ,求 sin( ? ? ?) 的值. (◎P146 2)
4 5 4 13 4 4 4 3 5 ? 3? ? ? 3? 已知 ? ? ? , 0<β < , cos( -α )= , sin( +β )= , 求 sin(α +β )的值. 5 13 4 4 4 4 4
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3? ? ? +β -( -α )= +(α +β ), 。 。 。 。 。 。 。2 分 4 4 2 ? 3? ? 3? ? 3? ∴ sin(α +β )=-cos [ +(α +β )] =-cos [( +β )-( -α )] =-[cos( +β )cos( -α )+sin( + 2 4 4 4 4 4 ? β )sin( -α )] 。 。 。 。 。4 分 4 ? 3? 3? ? ? ? ∵ <α < ? ? <-α < ? ? ? < -α <0, 4 4 4 4 2 4 ? 3? 3? 0<β < ? < +β <π .。 。 。 。 。 。6 分 4 4 4 ? 3 ? 4 ∴ sin( -α )= ? 1 ? cos 2 ( ? ? ) = ? 1 ? ( )2 = ? , 。 。 。 。8 分 4 5 4 5 3? 5 3? 12 ? ? ) = ? 1 ? ( ) 2 = ? .。 cos( +β )= ? 1 ? sin 2 ( 。 。 。 。10 分 4 13 4 13 12 3 5 4 56 由(1)得: sin(α +β )=-[ ? × + ×( ? )]= .。 。 。 。 。12 分 13 5 13 5 65 1 3 11. (1) (07 年江苏卷.11)已知 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,求 tan ? ?tan ? 的值; (◎P146 7) 5 5 1 1 (2)已知 cos ? ? cos ? ? , sin ? ? sin ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. (◎P147 B2) 2 3 1 解: (1)∵ cos (α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ= ①; 5 3 cos (α-β)= cosα cosβ+sinα sinβ= ②.。 。 。 。 。 。 。2 分 5 2 1 ①+②得 cosα cosβ= , ②-①得 sinα sinβ= , 。 。 。 。 。14 分 5 5 1 sin ? ? sin ? ∴ tanα·tanβ= = .。 。 。 。 。 。 。6 分 cos ? ?cos ? 2
解:∵

1 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos ? ? cos 2 ? ? (1) 2 4 1 1 sin ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? ? (2) ??8分 3 9 13 (1) ? (2)得2 ? 2 cos(? ? ? ) ? ??10分 36 59 ? cos(? ? ? ) ? ? ??12分 72 (2) cos ? ? cos ? ?
12. 已知函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x . (◎P147 9)

(1)求它的递减区间; (2)求它的最大值和最小值.

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。—培根

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解:y=(sinx+cosx)2 ? 2 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ?? 4分 4 ? ? 3 (1)2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 2 4 2 ? 5 得:k? ? ? x ? k? ? ? (k ? Z ) ?? 6分 8 8 ? 5 ? ? ? f ( x)的递减区间为 ? k? + , k? ? ? ? (k ? Z ) ? 8分 8 8 ? ? (2) f ( x)的最大值为2 ? 2;最小值为2- 2 ??12分

?

13. 已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x .

(◎P147 10)

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0, ] 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的集合.

?

2

解 : f ( x) ? cos x ? 2sin x cos x ? sin x
2 2

? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ? )?? 4分 4 (1)? ? ? ?? 6分 (2) ? 0 ? x ?
当2 x ?

?

?
2

?

?
4

? 2x ?

?

3 ?? ? x ? ? 4 8 ?3 ? ? x ? ? ? ?时f ( x)有最小值为 ? 2 ??12分 ?8 ? ? ?
14. 已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求常数 a 的值;

?

5 ? ? ?8分 4 4

) ? sin( x ? ) ? cos x ? a 的最大值为 1. 6 (2)求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合. 6

(◎P147 12)

解:f(x)=sin(x+ ) ? sin( x ? ) ? cos x ? a 6 6 ? 3 sin x ? cos x ? a ? 2sin( x ? ) ? a ?? 4分 6
(1) f ( x)的最大值为1?1 ? 2 ? a ? a ? ?1?? 6分 (2) f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 0 6 ? 1 ? ? 5? sin( x ? ) ? ? 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ( k ? Z ) ?8分 6 2 6 6 6 ? 2 ? ? x ? ? x 2k? ? x ? 2k? ? ? ; k ? Z ???12分 3 ? ?
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?

?

?

?

高中数学必做 100 题◆必修 4

? ? ? 15.(2009年广东卷.理16)已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) .

2

(1)求 sin ? 和 cos? 的值;

10 ? ,0 ? ? ? ,求 cos? 的值. 10 2 ? ? ? ? 解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2cos? ? 0 , 。 。 。2 分
(2)若 sin(? ? ? ) ? 即 sin? ? 2cos? ,代入 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,解得 sin ? ? ? 又 ? ? (0, ) ,∴ sin ? ?

2 5 5 .。 。 。 。6 分 ,cos? ? ? 5 5

?

2

2 5 5 .。 。 。8 分 ,cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

?? ?? ?

?
2



则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 .。 。 。 。 。 。10 分 10 2 .。 。 。 。 。12 分 2

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

? 3 3 x x ? 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b sin x 的最小值. (1)求 a? b 及 a ? b ; (2)求函数 f ( x) ? a ?
16. 已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] .

?

解: (1) a? b ? cos

? ?

3x x 3x x 。 。 。2 分 cos ? sin sin ? cos 2 x , 。 2 2 2 2

? ? 3x x 3x x a ? b ? (cos ? cos )2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2(cos 3x x 3x x cos ? sin sin ) 2 2 2 2

? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos x .。 。 。 。 。4 分
∵ x ? [0, ] ,

?

2 ? ? ? ? b ? a ? b sin x ? cos 2 x ? 2cos x sin x ?8分 (2) f ( x) ? a ?
? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ?

∴ cos x ? 0 .

? ? ∴ a ? b ? 2 cos x . 。 。 。 。6 分

?
4

)?10分

? 5? ? ?? ? . ? x ? ?0, ? ? ? 2 x ? ? 4 4 ? 2? 4 ? 3? 当2 x ? ? ? 即x ? 时f ( x)有最小值为 ? 2 ?12分 4 8

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