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专题2:函数的性质:奇偶性和单调性


高一上学期期末分科指导

专题二

专题二:函数的性质
一.基础知识复习
1.函数单调性的定义: 如果函数 f ( x) 对定义域内的区间 I 内的任意 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时都有

f ?x1 ? ? f ?x2 ?,则 f ?x ? 在 I 内是增函数;当 x1 ? x 2

时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则 f ?x ? 在 I 内时减函数. f ?x1 ? ? f ?x2 ? 2.单调性的定义①的等价形式:设 x1 , x2 ? ?a, b? ,那么 ? 0 ? f ?x ?在 x1 ? x2 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? 在 ? a, b? 是 减 函 数 ; ? a, b? 是 增 函 数 ; x1 ? x2

? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ??0 ?

f ( x) 在 ? a, b? 是减函数.

3.函数单调性的应用:利用定义都是充要性命题. 即若 f ( x ) 在区间 I 上递增(递减)且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? I ); 若 f ( x ) 在区间 I 上递递减且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? I ). ① 比较函数值的大小; ② 可用来解不等式; ③ 求函数的值域或最值等. 4.证明或判断函数单调性的方法:讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集. (1)用定义. (2)用已知函数的单调性. (3)图象法. (4)如果 f ( x ) 在区间 I 上是增(减)函数,那么 f ( x ) 在 I 的任一非空子区间上也是增 (减)函数 (5)复合函数的单调性结论: “同增异减” . (6)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反 的单调性. (7)在公共定义域内,增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数. ( 8 ) 函 数 y ? ax ?

? ? b b? ? b (a ? 0, b ? 0) 在 ? ?? , ? 或 , ?? ? ? ? ? ? 上单调递增;在 x a a ? ? ? ?

? b ? ? b? 或 0 , ? ?? , 0 ? ? 上是单调递减. ? ? a a ? ? ? ? 5 . 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 : 设 y ? f ( x) , x ? A , 如 果 对 于 任 意 x ? A , 都 有 f ( ? x) ? ? f ( x) , 则 称 函 数 y ? f ( x ) 为 奇 函 数 ; 如 果 对 于 任 意 x ? A , 都 有 f (? x)? f ( x,则称函数 ) y ? f ( x) 为偶函数.
6.奇偶函数的性质: (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2) f ( x ) 是偶函数 ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称; f ( x ) 是奇函数 ? f ( x ) 的图象关 于原点对称. (3) f ( x ) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) .

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(4)若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

二.训练题目(选讲)
(一)选择题 1.下列函数中,在区间 (??,0] 上是增函数的是( A. y ? x 2 ? 4 x ? 8 B. y ? log 1 (? x)
2



C. y ? ?

2 x ?1

D. y ? 1 ? x

2.若函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?3, ?? ? A. ? ?2,3? B. ? ??, ?3? C. ? ??,3? C. ? ?1,7 ? D. ?3, ?? ? ) D. ? ?4,10? 3.函数 f ( x ) 在递增区间是 ? ?4,7 ? ,则 y ? f ( x ? 3) 的递增区间是( B. ? ?1,10?

?1? ? ? ? f ?1? 的实数 x 的范围是( ) ?x? A. ?? 1,1? B. ?0,1? C. ?? 1,0? ? ?0,1? D. ?? ?,?1? ? ?1,??? 5.如果奇函数 f ( x ) 在区间 ?3,7? 上是增函数,且最小值为 5 ,那么在区间 ? ?7, ?3? 上是 A.增函数且最小值为 ?5 B.增函数且最大值为 ?5 C.减函数且最小值为 ?5 D.减函数且最大值为 ?5 6.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( ) A. ? ??,2? B. ? 2, ??? C. ? ??, ?2? ? 2, ??? D. ? ?2, 2 ? a 2 7.若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x ) ? 在区间 ?1, 2? 上都是减函数,则 a 的取值范围是 x ?1 A. ? ?1, 0? ? 0,1? B. ? ?1, 0? ? 0, 1? C. ? 0, 1? D. ? 0, 1?
4.已知函数 f ?x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? 8. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于 ( A. x 轴对称 B. y 轴对称 C.原点对称 ) D.以上均不对 9.设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,下列叙述正确的是( A. f ( x) ? f (? x) 是奇函数 C. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 )

B. f ( x) ? f (?x) 是奇函数 D. f ( x) ? f (? x) 是偶函数

10.已知 f ( x ) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x ) 为增函数,若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且

| x1 |?| x2 | ,则( ) A. f (? x1 ) ? f (? x2 ) C. ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

B. f (? x1 ) ? f (? x2 ) D. ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

(二)填空题 1.已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且在 (0,??) 上是增函数,则 f ( x) 在 (??,0) 上的单调性 为 .

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2.已知奇函数 f ( x ) 在 ? 0, ??? 单调递增,且 f (3) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集 是 . 3. 已知偶函数 f ( x) 在 [0, 若 a ? f (?1) , 2] 内单调递减, b ? f (log1
2

1 ) ,c ? f (lg 0.5) , 4
. .

则 a 、 b 、 c 之间的大小关系是_____________.

4. 若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 ? 0, ??? 上为增函数, 则实数 a 、b 的范围是 5.已知 y ? f ( x) 为奇函数,若 f (3) ? f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? f (?3) ?

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? . x 7.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , x ???2a ? 3, 1? 是偶函数,则 a ? b ?
6.设函数 f ( x) ?



7 5 3 8 .已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ? ____ ___.

9.已知函数 f ( x ) 是定义在 ? ??, ??? 上的偶函数,当 x ? ? ??,0? 时, f ( x) ? x ? x4 , 则当 x ? ? 0, ??? 时, f ( x) ? 10. 定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) ? (三)解答题 1.写出下列函数的单调区间 (1)y ? x ? 2 ? x ? 1 (2)y ?
2



x?m 是奇函数, 则常数 m ? ____,n ? _____ . x ? nx ? 1 2x ? 1 3x ? 2

(3)y ? ? ? x ? 3? x

2.判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? 2( x ? 1) ? 6 x( x ? 2) ? 2
3

(2) f ( x) ? ( 4) f ( x ) ? ?

x2 ?1 ? x2 ?1

(3) f ( x ) ?

1? x2 x?2 ?2

2 ? ( x ? 0) ?x ? x 2 ( x ? 0) ? ?? x ? x

3.利用单调性的定义: (1)证明函数 f ( x) ? ? x ? 1在(-∞,+∞)上是减函数.
3

(2)讨论函数 f ( x ) ?

ax ( a ? 0 )在(-1,1)上的单调性. x ?1
2

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4. (1)已知奇函数 f ( x) 在定义域 (?1,1) 内单调递减,且 f (1 ? m) ? f (1 ? m 2 ) ? 0 ,求 m 的取值范围. 实数 m 的取值范围.

(2)设定义在 ? ?2, 2? 上的偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) ,求

5. 设函数 f ( x) ? 上是单调函数.

其中 a ? 0 . 求证: 当 a ≥ 1 时, 函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??? x 2 ? 1 ? ax ,

ex a ? 是 R 上的偶函数. 6.设 a ? 0 , f ( x) ? (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在 (0, ??) a ex
上为增函数.

7 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 x ? 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 都 有

x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , f(x ) 1? x 2) ? f( x 1 )? f ( x 2 ,且当
2 (1) 求证:f ( x ) 是偶函数; (2) f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (3) 解不等式 f (2 x ? 1) ? 2


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