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三阶行列式与线性方程组


§1.5

Cramer法则

二阶、 二阶、三阶行列式与线性方程组 的关系可以推广到一般情形。 的关系可以推广到一般情形。

Cramer法则: 法则: 法则 设线性方程组

? a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ?a x + a x + L + a x = b

? 21 1 22 2 2n n 2 ? LL ? ?an1 x1 + an 2 x2 + L + an n xn = bn ?

的系数行列式

a11 D= a 21 a n1

a12 a 22 L

L a1n L a2n ≠0, L

a n 2 L a nn

则方程组有唯一解,且其解为: 则方程组有唯一解,且其解为:

xj =

Dj D

, j = 1,2, L, n 。 其中D 其中 j为把系

数行列式D中第 j 列元素用方程组右 数行列式D中第 端常数项代替而得到的n 阶行列式。 端常数项代替而得到的 阶行列式。

Remarks: 1:这里所说的方程组必须 : 是变量个数与方程组个 数相同的。 数相同的。 2:当系数行列式为零,或 :当系数行列式为零, 者变量个数与方程个数 不等时, 不等时,这里均没有讨 论其解的问题。 论其解的问题。

3:当 D :

≠ 0时,方程组可以有三个结

论: 有解。 有解。 唯一解。 唯一解。 解的形式为 x j =
Dj D , j = 1,2,L , n 。

4:Cramer 法则用于解方程组时,计算 : 法则用于解方程组时, 量很大。 量很大。法则更重要的意义在于理 论方面。 论方面。

特殊情形: 特殊情形: 当上述方程组中的常数项为0时 当上述方程组中的常数项为 时, 称为齐次线性方程组。 称为齐次线性方程组。 观察1:齐次线性方程组一定有解; 观察 :齐次线性方程组一定有解; 观察2: 法则, 观察 :由Cramer法则,当齐次线性方 法则 程组的变量个数与方程个数相同时, 程组的变量个数与方程个数相同时, 若系数行列式为0,则它仅有零解; 若系数行列式为 ,则它仅有零解;

由此可得: 由此可得: 推论: 推论:线性方程组

?a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = 0 ? a x + a x + La x = 0 ? 21 1 22 2 2n n ? LL ? ? a n 1 x1 + a n 2 x 2 + L a n n x n = 0 ?
有非零解的必要条件是系数行列式 D=0。 。

Remarks: 1、这里自然只针对变量个数 、 与方程个数相同的情形。 与方程个数相同的情形。 2、这里的结论是必要条件, 、这里的结论是必要条件, 但以后可以证明这也是充 分条件。 分条件。

例:证明 n-1 项多项式

f ( x ) = k 0 + k1 x + L + k n ?1 x
最多有n-1 个互异的根。 个互异的根。 最多有

n ?1

(k n?1 ≠ 0)

证明:反证法,利用 证明:反证法,利用Vandermonde 行列 式。


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