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1990年全国高中数学联赛试题及解答


1990 年全国高中数学联赛 第一试 (10 月 14 日上午 8∶00—10∶00) 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设 α∈(4 ,2 ),则(cos?)cos?,(sin?)cos?,(cos?)sin?的大小顺序是 A.(cos?)cos?<(sin?)cos?<(cos?)sin? B.(cos?)cos?<(cos?)sin?

<(sin?)cos? C.(sin?)cos?<(cos?)cos?<(cos?)sin? D.(cos?)sin? <(cos?)cos?<(sin?)cos? 2.设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的函数,且是偶函数,已知当 x∈[2,3]时,f(x)=x, 则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( ) A.f(x)=x+4 B. f(x)=2-x C. f(x)=3-|x+1| D. f(x)=2+|x+1| 3.设双曲线的左右焦点是 F1、F2,左右顶点是 M、N,若△PF1F2 的顶点 P 在双曲线上, 则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是( ) A.在线段 MN 内部 B.在线段 F1M 内部或在线段 NF2 内部 C.点 M 或点 N D.不能确定的 1 1 4.点集{(x,y)|lg(x3+3y3+9)=lgx+lgy}中元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.多于 2 1990 ? x ? ? y ?1990 5.设非零复数 x、y 满足 x2+xy+y2=0,则代数式?x+y? +?x+y? 的值是( ) ? ? ? ? A.2-1989 B.-1 C.1 D.以上答案都不对 2 2 x y 6.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴影表 示是下面图中的( )
y
(2,1)

? ?

y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

O

x
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

A.

B.

C.

D.

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 1 的最小值是 . n + 1+a 1+bn 2.设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60° ),cos(2t-60° ))为动点,则当 t 由 15° 变到 45° 时,线段 AP 扫过的面积是 . 3.设 n 为自然数,对于任意实数 x,y,z,恒有(x2+y2+z2)2?n(x4+y4+z4)成立,则 n 的最小 值是 . 4.对任意正整数 n,连结原点 O 与点 An(n,n+3),用 f(n)表示线段 OAn 上的整点个数(不 计端点),试求 f(1)+f(2)+?+f(1990). 5.设 n=1990,则 1.设 n 为自然数,a、b 为正实数,且满足 a+b=2,则

-1-

1 2 2C4 3 6 994 1998 995 1990 . 2n(1-3Cn+3 n-3 Cn+?+3 C n -3 C n = 6 . 8 个女孩与 25 个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有 种不同和排列方法.(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的). 三.(本题满分 20 分) 2ab π 已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ=a2+b2,(其中 0<θ<2),An=(a2+b2)nsinnθ.求证:对 于一切自然数 n,An 均为整数. 四.n2 个正数排成 n 行 n 列
a11 a12 a13 a14 ??a1n a21 a22 a23 a24 ??a2n a31 a32 a33 a34 ??a3n a41 a42 a43 a44 ??a4n ?????????????? an1 an2 an3 an4 ??ann

其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等.已知 a24=1, 1 3 a42=8,a43=16,求 a11+a22+??+ann. 五.设棱锥 M—ABCD 的底面为正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果△AMD 的面积为 1, 试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
M

D A

C

B

-2-

第二试 (10 月 14 日上午 10∶30—12∶30) 一.(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4.求证 OP、O1O3、O2O4 三直线共点.

D O3 O4 O O1 F B P O2 C

A

二.(本题满分 35 分) 设 E={1,2,3,??,200}, ? G={a1,a2,??,a100} ? E. 且 G 具有下列两条性质: ⑴ 对任何 1?i<j?100,恒有 ai+aj≠201; ⑵ 100 Σ1ai=10080. i=

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数.且 G 中所有数字的平方和为一个定数.

三.(本题满分 35 分) 某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名代表(1?Ci?39,1?i?n)来到体育馆观看球赛, n 全部学生总数为 Σ Ci=1990.看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必须坐在同 i=1 一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下.

-3-

1990 年全国高中数学联赛(解答) 第一试 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.设 α∈(4,2),则(cos?)cos?,(sin?)cos?,(cos?)sin?的大小顺序是 A.(cos?)cos?<(sin?)cos?<(cos?)sin? B.(cos?)cos?<(cos?)sin? <(sin?)cos? C.(sin?)cos?<(cos?)cos?<(cos?)sin? D.(cos?)sin? <(cos?)cos?<(sin?)cos? 解:α∈(4,2 )?0<cosα<sinα<1, ∴ (cos?)cos?<(sin?)cos?;(cos?)sin?<(cos?)cos?;选 D. 2. 设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的函数, 且是偶函数, 已知当 x∈[2,3]时, f(x)=x, 则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( ) A.f(x)=x+4 B. f(x)=2-x C. f(x)=3-|x+1| D. f(x)=2+|x+1| 解 设 x∈[-2,-1],则 x+4∈[2,3],于是 f(x+4)=x+4,但 f(x)= f(x+4)=x+4 (x∈[-2,-1]), 又设 x∈[-1,0),则-x∈(0,1],故 f(-x)=-x+2,由 f(x)= f(-x)=-x+2 (x∈[-1,0). ? ? 3-(-x-1)=x+4 (x∈[-2,-1]), f(x)=3-|x+1|=? 故选 C. (x∈(-1,0)). ?3-(x+1)=-x+2 ? 3.设双曲线的左右焦点是 F1、F2,左右顶点是 M、N,若△PF1F2 的顶点 P 在双曲线上, 则△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是( ) y A.在线段 MN 内部 B.在线段 F1M 内部或在线段 NF2 内部 P C.点 M 或点 N D.不能确定的 F I 解:设内切圆在三边上切点分别为 D、E、F,当 P 在右支上时,PF1 E D F F O x M N -PF2=2a. 但 PF1-PF2=F1D-F2D=2a,即 D 与 N 重合,当 P 在左支上时,D 与 M 重合.故选 C. 1 1 4.点集{(x,y)|lg(x3+3y3+9)=lgx+lgy}中元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.多于 2
1 2

? ?

(1990 年全国高中数学联赛)

? ?

1 1 1 1 解: x3+3y3+9=xy>0. 但 x3+3y3+9?3 9 y= 3
3

3

1 31 3 3 1 3 1 x3· y · =xy , 等号当且仅当 x = y = 时, 即 x= 3 9 3 9 3

3



时成立.故选 B.

? x ?1990 ? y ?1990 5.设非零复数 x、y 满足 x2+xy+y2=0,则代数式?x+y? +?x+y? 的值是( ) ? ? ? ? A.2-1989 B.-1 C.1 D.以上答案都不对 x 解:y=ω 或 ω2,其中 ω=cos120° +isin120° .1+ω+ω2=0.且 ω3=1. x ω 1990 1 1990 x 2 ω2 1990 1 若y=ω,则得(1+ω) +(ω+1) =-1.若y=ω ,则得(1+ω2) +(ω2+1)1990=-1.选 B. x2 y2 6.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)通过点(2,1),所有这些椭圆上满足|y|>1 的点的集合用阴影表 示是下面图中的( )
-4-

y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

y
(2,1)

x O
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

O

x
( 5 ,0)

x O
(2,-1)

A.

B.

C.

D.

4 1 1 4 1 5 4 1 5 解:a2+b2=1,由 a2>b2,故得b2<1<b2+b2=b2,1<b< 5.a2+b2=1?a2<1,a2>5.故选 C. 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1 1 1.设 n 为自然数,a、b 为正实数,且满足 a+b=2,则1+an +1+bn的最小值是 . a+b 2 1 1 1+an+1+bn n n 解: ab?( 2 ) =1, 从而 a b ?1, 故1+an +1+bn = 1+an+bn+anbn?1. 等号当且仅当 a=b=1 时成立.即所求最小值=1. 2.设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60° ),cos(2t-60° ))为动点,则当 t 由 15° 变到 45° 时,线段 AP 扫过的面积是 . y 解 : 点 P 在 单 位 圆 上 , sin(2t - 60° )=cos(150° - 2t) , cos(2t - 1 3 60° )=sin(150° -2t).当 t 由 15° 变到 45° 时,点 P 沿单位圆从(-2, 2 ) x O 1 3 1 运动到(2, 2 ).线段 AP 扫过的面积=扇形面积=6π. 3. 设 n 为自然数, 对于任意实数 x, y, z, 恒有(x2+y2+z2)2?n(x4+y4+z4) 成立,则 n 的最小值是 . 2 2 2 2 4 4 4 2 2 解: (x +y +z ) =x +y +z +2x y +2y2z2+2z2x2?x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4). 等 号当且仅当 x=y=z 时成立.故 n=3. 4.对任意正整数 n,连结原点 O 与点 An(n,n+3),用 f(n)表示线段 OAn 上的整点个数(不 计端点),试求 f(1)+f(2)+?+f(1990). n+3 解 线段 OAn 的方程为 y= n x(0?x?n),故 f(n)等于该线段内的格点数. k+1 若 n=3k(k∈N+),则得 y= k x (0?x?n)(k∈N*),其内有两个整点(k,k+1),(2k,2k+2), 此时 f(n)=2; 若 n=3k± 1(k∈N+)时,则由于 n 与 n+3 互质,故 OAn 内没有格点,此时 f(n)=0. 1990 ∴ f(1)+f(2)+?+f(1990)=2[ ]=1326. 3 5.设 n=1990,则 1 2 2C4 3 6 994 1998 995 1990 C . n -3 C n = n(1-3Cn+3 n-3 Cn+?+3 2 1 3 1 3 1 3 1 解:取(-2+ 2 i)1990 展开的实部即为此式.而(-2+ 2 i)1990=-2+ 2 i.故原式=-2. 6 . 8 个女孩与 25 个男孩围成一圈,任何两个女孩之间至少站两个男孩,则共有 种不同和排列方法.(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的). 解:每个女孩与其后的两个男孩组成一组,共 8 组,与余下 9 个男孩进行排列,某个女孩
-5-

始终站第一个位子,其余 7 组在 8+9-1 个位子中选择 7 个位子,得 C8+9-1=C16种选法. 7 个女孩可任意换位,25 个男孩也可任意换位,故共得 C16?7!?25!种排列方法. 三.(本题满分 20 分) 2ab π 已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ=a2+b2,(其中 0<θ<2),An=(a2+b2)nsinnθ.求证:对 于一切自然数 n,An 均为整数. a2-b2 2ab 证明:由 sinθ=a2+b2,得 cosθ= a2+b2 .记 An=(a2+b2)ncosnθ. 当 a、b 均为正整数时,A1=2ab 、B1=a2-b2 均为整数. A2=4ab(a2-b2),B2=2(a2-b2)2-(a2+b2)2 也为整数. 若 Ak=(a2+b2)ksinkθ、Bk=(a2+b2)kcoskθ 均为整数, 则 Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)θ=(a2+b2)k+1sinkθcosθ+(a2+b2)coskθsinθ=Ak?B1+A1Bk 为整数. Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)θ=(a2+b2)k+1coskθcosθ-(a2+b2)k+1sinkθsinθ=BkB1-AkA1 为整数. 由数学归纳原理知对于一切 n∈N*,An、Bn 为整数. 四.n2 个正数排成 n 行 n 列
a11 a12 a13 a14 ??a1n a21 a22 a23 a24 ??a2n a31 a32 a33 a34 ??a3n a41 a42 a43 a44 ??a4n ?????????????? an1 an2 an3 an4 ??ann
7

7

7

1 其中每一行的数成等差数列, 每一列的数成等比数列, 并且所有公比相等. 已知 a24=1, a42=8, 3 a43=16, 求 a11+a22+??+ann.(1990 年全国高中数学联赛) 分析 由 a42、a43 或求 a44,由 a24,a44 可求公比. 解 设第一行等差数列的公差为 d,各列的公比为 q. 1 ∴ a44=2a43-a42=4. 由 a44=a24?q2,得, 1 q=2. ∴ a12=a42?q-3=1. ∴ ∴ ∴ 令 Sn= a11+a22+?+ann.
-6-

d=

a14-a12 1 = 2, 4-2

1 a1k=a12+(k-2)d=2k(k=1,2,3,?,n) 1 1 k-1 1 k akk=a1kqk-1=2k· (2) =(2) · k.



n k n+1k-1 1 n 1 1 n S- S=k= Σ1 k-k= Σ2 k = +k= Σ 2 k- n+1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n n+2 =2 +2 -2n-2n+1 =1-2n+1.

n+2 ∴ S=2- 2n . 五.设棱锥 M—ABCD 的底面为正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果△AMD 的面积为 1, 试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. M 解:取 AD、BC 中点 E、F,则 ME⊥AD,AB⊥MA,AB⊥AD, ?AB⊥平面 MAD, R ∴ 平面 MAD⊥平面 ABC. ∴ ME⊥平面 ABC. O H C Q D ∴ 平面 MEF⊥平面 ABC. F E P ∵ EF∥AB,故 EF⊥平面 MAD,∴ 平面 MEF⊥平面 MAD. A B ∵ BC⊥EF,BC⊥ME,∴ BC⊥平面 MEF, ∴平面 MEF⊥平面 MBC. 2 4 2 4 设 AB=a,则 ME= a,MF= a2+a2.a+a?2 2, a2+a2?2. 取△MEF 的内切圆圆心 O, 作 OP⊥EF、 OQ⊥ME, OR⊥MF, 由于平面 MEF 与平面 MAD、 ABC、MBC 均垂直,则 OP、OQ、OR 分别与平面 ABC、MAD、MBC 垂直.从而以此内切圆 半径为半径的球与平面 MAD、ABC、MBC 都相切, 设此球的半径为 r,则 1 2 ∴ r=2(a+a- 4 a2+a2)? 2 2 a+a+ 4 a2+a2 ? 1 2 = 2-1.等号当且仅当 a=a,即 a= 2时成 2+1

立. 作 QH⊥MA,由于 OQ∥AB,故 OQ∥平面 MAB,故球心 O 与平面 MAB 的距离=QH, 10 当 AB= 2,ME= 2,MA= 2 ,MQ= 2-( 2-1)=1. 2 1·2 QH AE MQ· AE 5 ∵ △MQH∽△MAE,∴MQ=MA,QH= MA = = 5 > 2-1. 10 2 即 O 与平面 MAB 的距离>r,同理 O 与平面 MCD 的距离>r.故球 O 是放入此棱锥的最大 球. ∴ 所求的最大球半径= 2-1.

-7-

第二试 (10 月 14 日上午 10∶30—12∶30) 一.(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4.求证 OP、O1O3、O2O4 三直线共点. 证明 ∵O 为⊿ABC 的外心,∴ OA=OB. ∵ O1 为⊿PAB 的外心,∴O1A=O1B. E 1 ∴ OO1⊥AB. D 作⊿PCD 的外接圆⊙O3,延长 PO3 与所作圆交于点 E,并 O3 2 C 与 AB 交于点 F,连 DE,则?1=?2=?3,?EPD=?BPF, ∴ ?PFB=?EDP=90?. O4 P ∴ PO3⊥AB,即 OO1∥PO3. O2 同理,OO3∥PO1.即 OO1PO3 是平行四边形. O ∴ O1O3 与 PO 互相平分,即 O1O3 过 PO 的中点. 同理,O2O4 过 PO 中点. O1 3 A ∴ OP、O1O3、O2O4 三直线共点.
F B

二.(本题满分 35 分) 设 E={1,2,3,??,200}, ? G={a1,a2,??,a100} ? E. 且 G 具有下列两条性质: ⑴ 对任何 1?i<j?100,恒有 ai+aj≠201; ⑵ 100 Σ1ai=10080. i=

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数.且 G 中所有数字的平方和为一个定数. 证明:⑴取 100 个集合:{ai,bi}:ai=i,bi=201-i(i=1,2,?,100),于是每个集合中至 多能取出 1 个数.于是至多可以选出 00 个数.现要求选出 100 个数,故每个集合恰选出 1 个 数. 把这 100 个集合分成两类:① {4k+1,200-4k};② {4k-1,202-4k}.每类都有 50 个 集合. 设第①类选出 m 个奇数,50-m 个偶数,第②类中选出 n 个奇数,50-n 个偶数. 于是 1?m+0?(50-m)+(-1)?n+2?(50-n)≡10080≡0(mod 4).即 m-3n≡0(mod 4),即 m+n ≡0(mod 4) ∴ G 中的奇数的个数是 4 的倍数. ⑵ 设选出的 100 个数为 x1, x2, ?, x100, 于是未选出的 100 个数为 201-x1, 201-x2, ?, 201-x100. 故 x1+x2+?+x100=10080. ∴ x12+x22+?+x1002+(201-x1)2+(201-x2)2+?+(201-x100)2 =2(x12+x22+?+x1002)-2×201×(x1+x2+?+x100)+100×2012 =2(x12+x22+?+x1002)-2×201×10080+100×2012 =12+22+32+?+2002. 1 ∴ x12+x22+?+x1002=2[(12+22+32+?+2002)+2×201×10080-100×2012]
-8-

11 =2[6×200×201×401+201×20160-20100×201] 1 =2×[100×67×401+201×60]=1349380.为定值. 三.(本题满分 35 分) 某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名代表(1?Ci?39,1?i?n)来到体育馆观看球赛, n 全部学生总数为 Σ Ci=1990.看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必须坐在同 i=1 一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下. 解:首先,199>39×5,故每排至少可坐 5 所学校的学生. 1990=199×10,故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制,则全部学生只 要坐在 10 排就够了. 现让这些学生先按学校顺序入坐,从第一排坐起,一个学校的学生全部坐好后,另一个学 校的学生接下去坐,如果在某一行不够坐,则余下的学生坐到下一行.这样一个空位都不留, 则坐 10 排,这些学生就全部坐完.这时,有些学校的学生可能分坐在两行,让这些学校的学 生全部从原坐处起来,坐到第 11、12 排去.由于,这种情况只可能在第一行末尾与第二行开 头、第二行末尾与第三行开头、??第九行末尾与第十行开头这 9 处发生,故需要调整的学校 不超过 10 所,于是第 11、12 行至多各坐 5 所学校的学生,就可全部坐完.这说明 12 行保证 够坐. 其次证明,11 行不能保证就此学生按条件全部入坐:199=6×33+1.1990=34×58+18. 取 59 所学校,其中 58 所学校 34 人,1 所学校 18 人.则对前 58 所学校的学生,每排只能 坐 5 所学校而不能坐 6 所学校.故 11 排只能坐其中 55 所学校的学生.即 11 排不够坐. 综上可知,最少要安排 12 横排才能保证全部学生都能坐下.

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