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考点25 椭圆


世纪金榜 圆你梦想

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考点 25
解答题 1、 (2011·上海高考文科·T22)已知椭圆 C : 曲线 C 上的右顶点,定点 A 的坐标为 (2, 0) . (1)若 M 与 A 重合,求曲线 C 的焦点坐标; (2)若 m ? 3 ,求 PA 的最大值与最小值; (3)若 PA 的最小值为 MA ,求实数 m 的取值范围.

椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (常数 m ? 1 ) P 是曲线 C 上的动点, M 是 , 2 m

【思路点拨】本题考查圆锥曲线中的椭圆知识,椭圆的参数方程对本题的第二、三问帮助很大。 【精讲精析】 (1)将(2,0)代入椭圆的方程得: m ? 4 ,故方程
2

x2 ? y 2 ? 1, 焦半径 4

c ? a2 ? b2 ? 4 ?1 ? 3 ,故焦点坐标为 (? 3,0)
(2) m ? 3 时,显然 A 在焦点 (2 2,0) 与原点之间,设点 P(3cos ? ,sin ? ) ,则

| PA |2 ? (3cos? ? 2)2 ? sin 2 ? ? 9cos2 ? ?12cos? ? 4 ? 1 ? cos2 ? = 8cos2 ? ? 12cos ? ? 5 ,令
则 对称轴为 t ? t ? cos? (t ???1,1?) , | PA |2 ? 8t 2 ?12t ? 5 , 当 t ? ?1 时, 取最大值为 | PA |max ? 5 (3)设 P(m cos ? ,sin ?) ,则

3 3 2 , 则当 t ? 时, 取最小值为 | PA |min ? , 4 4 2

| PA |2 ? (m cos? ? 2)2 ? sin 2 ? ? m2 cos2 ? ? 4m cos? ? 4 ?1 ? cos2 ? = (m2 ?1)cos2 ? ? 4m cos? ? 5 ,
| MA |?| m ? 2 | ,令 t ? cos? (t ???1,1?) 则: | PA |2 ? (m2 ?1)t 2 ? 4mt ? 5 ,

| MA |2 ?| m ? 2 |2 ? m2 ? 4m ? 4 ,因为 | MA | 为 | PA | 的最小值,可以解得 m? (1,1 ? 2)
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世纪金榜 圆你梦想 2、(2011·重庆高考文科·T21) (本小题满分 12 分, (I)小问 4 分, (II)小问 8 分.) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (Ⅰ) 求该椭圆的标准方程; (Ⅱ) 设动点 P 满足: 其中 M 、N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? OP ? OM ? 2ON ,

2 , 一条准线的方程是 x ? 2 2 . 2
? . ?

问:是否存在两个定点 F ,使得 PF 与点 P 到直线 l : x ? 2 10 的距离之比为定值?若存在,求 F 的坐

标;若不存在,说明理由. 【思路点拨】 由椭圆的离心率及准线的定义可求出 a, c 的值,然后由 b ?

a 2 ? c 2 可求出 b 的值,从而得出

椭圆的标准方程.直接设出 P, M , N 的坐标,根据题目中的条件列出等式求解.

【精讲精析】(Ⅰ)由 e ?

c 2 a2 ? , ? 2 2 , 解得 a ? 2, c ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a 2 c

故椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

(Ⅱ)设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则由 OP ? OM ? 2ON 得

( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ),
即 x ? x1 ? 2 x2 y ? y1 ? 2 y2 . 因为点 M , N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以
2 2

x1 ? 2 y1 ? 4 , x2 ? 2 y2 ? 4
2 2 2 2

故 x 2 ? 2 y 2 ? ( x1 ? 4x2 ? 4x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2

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世纪金榜 圆你梦想

? ( x1 ? 2 y1 ) ? 4 ( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )
2 2 2 2

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y 2 )
设 k OM , k ON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题设条件知

k OM ? k ON ?

y1 y 2 1 ? ? ,因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 x1 x2 2

所以 x 2 ? 2 y 2 ? 20 所以 P 点是椭圆

x2 (2 5 ) 2

?

y2 ( 10) 2

? 1 上的点.设该椭圆的右焦点为 F ( 10,0) ,离心率为 e ?

2 , 直线 2

l : x ? 2 10 是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在点 F ( 10,0) ,使得 PF 与点 P 到直线 l : x ? 2 10 的距离之比为定值.

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