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【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5


本章优化总结

知识体系网络 本 章 优 化 总 结

专题探究精讲

知识体系网络

专题探究精讲

数列通项公式的求法 题型特点:数列的通项公式是数列的核心内容, 题型特点:数列的通项公式是数列的核心内容, 它如同函数中的解析式一样, 它如同函数中的解析式一样,有了解析式

便可研 究其性质等, 究其性质等,而有了数列的通项公式便可研究数 列其它问题,求数列通项公式常见题型为: 列其它问题,求数列通项公式常见题型为:已知 数列的前几项,已知数列的前n项和 项和, 数列的前几项 , 已知数列的前 项和 , 已知数列 的递推关系等条件来求数列的通项公式, 的递推关系等条件来求数列的通项公式,题型多 为解答题. 为解答题.

知识方法:在解题时,根据题目所给条件的不同, 知识方法:在解题时,根据题目所给条件的不同, 可以采用不同的方法求数列的通项公式, 可以采用不同的方法求数列的通项公式,常见方 法有如下几种: 法有如下几种: 1.观察归纳法 . 观察归纳法就是观察数列特征, 观察归纳法就是观察数列特征,找出各项共同的 构成规律,横向看各项之间的关系, 构成规律,横向看各项之间的关系,纵向看各项 与项数n的内在联系, 与项数 的内在联系,从而归纳出数列的通项公 的内在联系 式.

例1 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通

项公式. 项公式. 1 1 1 1 (1) , , , ; 2×4 3×5 4×6 5×7 × × × × (2)-3,7,- ,-15,31; - ,- ; (3)2,6,2,6.

【解】 (1)均是分式且分子均为 1,分母均是两 均是分式且分子均为 , 因数的积, 因数的积,第一个因数是项数加上 1,第二个因 , 数比第一个因数大 , 数比第一个因数大 2, 1 . ∴an= )(n+ ) (n+1)( +3) + )(

(2)正负相间,可用 -1) 来表示符号,各项的绝 正负相间,可用(- 来表示符号, 正负相间 n n+1 对值恰是 2 的整数次幂减 1,∴an=(-1) (2 - , - 1). . 2+6 + (3)这样的摆动数列, 这样的摆动数列, 这样的摆动数列 一般求两数的平均数 =4 2 而 2=4-2,6=4+2,中间符号用 -1)n 来表示. = - = + ,中间符号用(- 来表示.
?2,n是奇数 , 是奇数 . an=4+(-1) ·2 或 an=? +- , 是偶数 ?6,n是偶数
n

n

2.公式法 . 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列, 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列, 所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否 符合等差、等比数列的定义,然后用等差、 符合等差、等比数列的定义,然后用等差、等比 数列的通项公式表示它. 数列的通项公式表示它.

例2

已知数列{a 为无穷数列 为无穷数列, 已知数列 n}为无穷数列,若an-1+an+1 - +

=2an(n≥2且n∈N*),且a2=4,a6=8,求通项 n. 且 ∈ , , ,求通项a

【解】 ∵an-1+an+1=2an, 成等差数列. ∴an-1,an,an+1 成等差数列. * n≥ n∈ 又∵n≥2 且 n∈N , 数列{a 为等差数列 为等差数列, ∴数列 n}为等差数列, 设首项为 a1,公差为 d, , ?a2=4, ?a1=3, , , 可得? 由? , = , ?a6=8, ?d=1, ∴通项 an=3+(n-1)×1=n+2. + - × = +

3.利用 an 与 Sn 的关系 . 项和关系式有两种形式: 前 n 项和关系式有两种形式:一种是 Sn 与 n 的关 系 式 , 记 为 Sn = f(n) , 它 可 由 公 式 an =
?S1 ? ?Sn-Sn-1

(n=1) = ) 直接求出通项 an, 但要注意 n (n≥2) ≥ )

=1 与 n≥2 两种情况能否统一;另一种是 Sn 与 ≥ 两种情况能否统一; an 的关系式,记为 f(an,Sn)=0,求它的通项公式 的关系式, = , an

例3

已知数列{a 满足关系式 满足关系式lg(1+a1+a2+… 已知数列 n}满足关系式 + 由题意知lg(Sn+1)=n, 由题意知 = ,

的通项公式. +an)=n(n∈N*),求数列 n}的通项公式. = ∈ ,求数列{a 的通项公式 【解】 ∴Sn=10n-1. 当n=1时,a1=S1=9. = 时
- 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(10n-1)-(10n-1-1) 时 - - - =9×10n-1. × - 显然, = 时也满足关系式 时也满足关系式9× 显然,n=1时也满足关系式 ×10n-1. - 综上,an=9×10n-1(n∈N*). 综上, × ∈ .

4.叠加法、叠乘法 .叠加法、 有些数列,虽然不是等差数列或等比数列, 有些数列,虽然不是等差数列或等比数列,但是 它的后项与前项的差或商具有一定的规律性. 它的后项与前项的差或商具有一定的规律性.这 时,可考虑利用叠加或叠乘法,结合等差、等比 可考虑利用叠加或叠乘法,结合等差、 数列的知识解决. 数列的知识解决.

an+1 n+2 + 例4 已知 a1=1, , a = n ,求 an. n a2 a3 an 【解】 当 n≥2 时,an=a1· · ·…· ≥ … a1 a2 an - 1 n+1 + 3 4 5 =1× × × ×…× × 1 2 3 n-1 - n(n+1) ( + ) . = 2 也适合上式. 而 a1=1 也适合上式. 1 故{an}的通项公式 an= n(n+1). 的通项公式 + . 2

例5 已知数列 n}中 , a1 = 1, 且 an+ 1 - an = 3n 已知数列{a 中 , +

的通项公式. -n,求数列 n}的通项公式. ,求数列{a 的通项公式 【解】 由an+1-an=3n-n, , + - - , 得an-an-1=3n-1-(n-1), - - an-1-an-2=3n-2-(n-2), - , - - … a3-a2=32-2,a2-a1=3-1. , - 个等式两端分别相加, 当n≥2时,以上 -1)个等式两端分别相加,得 时 以上(n- 个等式两端分别相加 (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1) - + - - + + - - =3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1], + - - + - + + ,

3(1-3n-1) n(n-1) ( - ( - ) . 即 an-a1= - 2 1-3 - 又∵a1=1, , n(n-1) 1 ( - ) 1 n ∴an= ×3 - - . 2 2 2 也适合上式, 显然 a1=1 也适合上式, 1 ∴ {an} 的 通 项 公 式 为 an = ×3n - 2


n(n-1) 1 ( - ) - . 2 2

5.构造法 . 形如:已知 为常数)形式 形如:已知a1,an+1=pan+q(p、q为常数 形式 、 为常数 + 均可用构造等比数列法, 均可用构造等比数列法,即an+1+x=p(an+x), = , + {an+x}为等比数列,或an+2-an+1=p(an+1- 为等比数列, 为等比数列 + + + an),{an+1-an}为等比数列. 为等比数列. , + 为等比数列

例6

已知 f(x)=(x-1) ,g(x)=10(x-1),数列 = - = - ,

2

9 {an}满足 a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0,bn= 满足 , + = , 10 (n+2)·(an-1).求证:数列 n-1}是等比数列. + 是等比数列. .求证:数列{a 是等比数列
【证明】 证明】 ∵(an+1-an)g(an)+f(an)=0, + = , +

f(an)=(an-1)2,g(an)=10(an-1). = = . ∴(an+1-an)×10(an-1)+(an-1)2=0. × + + 即(an-1)(10an+1-9an-1)=0. = +

a 又 a1=2, , 可知对任意 n∈N+, n-1≠0, ∈ ≠ , 9 1 所以 an+1= an+ . 10 10 9 1 an + - 1 an+1-1 10 10 9 ∵ = = , 10 an - 1 an - 1 ∴{an-1}是以 a1-1=1 为首项, 是以 = 为首项, 9 的等比数列. 公比为 的等比数列. 10

数列求和 题型特点: 题型特点:求数列的和是数列运算的重要内容之 一,数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求 和,特殊数列就是指等差或等比数列,非等差或 特殊数列就是指等差或等比数列, 非等比数列称为一般数列. 非等比数列称为一般数列.一般多以解答题形式 出现,难度较大. 出现,难度较大.

知识方法:数列求和常用的方法有:①公式法( 知识方法: 数列求和常用的方法有: 公式法 即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解), 即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解 , 倒序相加法, 错位相减法, 裂项相消法, ② 倒序相加法 , ③ 错位相减法 , ④ 裂项相消法 , 分组转化法(即把数列的每一项分成多个项或把 ⑤分组转化法 即把数列的每一项分成多个项或把 数列的项重新组合, 数列的项重新组合 , 使其转化为等差数列或等比 数列,然后由等差、等比数列的求和公式求解). 数列,然后由等差、等比数列的求和公式求解 .

1 例7 求数列 求数列{ }的前 n 项和 Sn. 的前 )(2n+ ) (2n-1)( +1) - )(

1 【解】 令 an= , )(2n+ ) (2n-1)( +1) - )( 1 1 1 ), 则 an= ( - , 2 2n-1 2n+1 - + ∴Sn=a1+a2+…+an 1 1 1 1 1 1 )] = [(1- )+( - )+…+( - + + - 2 3 3 5 2n-1 2n+1 - + 1 1 n )= . = (1- - = 2 2n+1 2n+1 + +

例8

设数列{a 为等比数列 为等比数列, 设数列 n}为等比数列,Tn=na1+(n- -

1)a2+…+2an-1+an,且T1=1,T2=4. + , - (1)求数列 n}的首项和公比; 求数列{a 的首项和公比 的首项和公比; 求数列 (2)求数列 n}的通项公式. 求数列{T 的通项公式 的通项公式. 求数列

【解】 (1)设等比数列 n}的公比为 q, 设等比数列{a 的公比为 , 设等比数列 ∵Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an, - ?T1=1, ?a1=1, , , 由? 得? , , ?T2=4, ?2a1+a2=4,
?a1=1, , ∴q=2. = ∴? , ?a2=2,

故首项 a1=1,公比 q=2. , = (2)由(1)知 a1=1,q=2, 由 知 , = , ∴an=a1×qn-1=2n-1. ∴Tn=n×1+(n-1)×2+…+2×2n-2+2n-1,① × + - × + × 2Tn=n×2+(n-1)×22+…+2×2n-1+1×2n, × + - × × × ② =-n+ + 由②-①得 Tn=- +2+22+…+2n-1+2n 2-2×2n - × =-n+ =-n+ =-(n+ + =- + =- +2n+1-2=- +2)+2n+ =- 1-2 -
1

.

等差、 等差、等比数列的性质 题型特点:等差、等比数列性质是数列中的基础, 题型特点:等差、等比数列性质是数列中的基础, 试题多以选择题和填空题的形式考查,属于基础题, 试题多以选择题和填空题的形式考查,属于基础题, 难度不大. 难度不大. 知识方法: 等差数列的性质 等差数列的性质: 知识方法:(1)等差数列的性质: d>0时为递增数列 时为递增数列; d<0时为递减数列 时为递减数列; ①当d>0时为递增数列;当d<0时为递减数列; 当d=0时为常数列. = 时为常数列. 时为常数列 ②若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an + = + , , , ∈ , =ap+aq. 在等差数列{a 中 , 成等 ③在等差数列 n}中,若k1,k2,…,kn,…成等 差数列, 差数列,则ak1,ak2,…,akn,…也成等差数 , 也成等差数 列.

成等差数列. ④Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. (2)等比数列的性质: 等比数列的性质: 等比数列的性质
?a1>0 ?a1<0 ①当? 或? 时为递增数列;当 > < < ?0<q<1 ?q>1 ?a1>0 ?a1<0 ? 时为递减数列; 或? 时为递减数列;当 q<0 时 < < < > ?0<q<1 ?q>1

为摆动数列; 为摆动数列;当 q=1 时为常数列. = 时为常数列.

②若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an + = + , , , ∈ , =ap· aq. ③在等比数列{an}中,若k1,k2,…,kn,…成 在等比数列 中 , 成 等差数列, 等差数列,则ak1,ak2,…,akn,…成等比数 , 成等比数 列. ④当Sk≠0时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等 时 成等 比数列. 比数列.

例9

等比数列{a 中 等比数列 n}中,a5a14=5,则 , ) B.25 . D.75 . ∵a8a11=a9a10=a5a14=5, ,

a8a9a10a11=( A.10 . C.50 . 【解析】 解析】

∴a8a9a10a11=(a5a14)2=25. 【答案】 答案】 B

数列知识的综合应用 题型特点: 题型特点:等比数列与等差数列综合的应用是高 考的热点之一,对公式的变形应用是考查重点, 考的热点之一,对公式的变形应用是考查重点, 一般多以解答题的形式考查,有时作为压轴题, 一般多以解答题的形式考查,有时作为压轴题, 难度较大. 难度较大. 知识方法: 知识方法:解决此类问题一般都不能直接套用公 式,需对题目中的已知条件进行变形,使之符合 需对题目中的已知条件进行变形, 等差或等比数列的形式, 等差或等比数列的形式,才可以使用等差或等比 数列的公式和性质. 数列的公式和性质.

1 年高考福建卷)数列 数列{a 中 例10 (2010 年高考福建卷 数列 n}中,a1= ,前 3 1 n+ 1 * n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=( ) (n∈N ). ∈ . 3 (1)求数列 n}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; 求数列{a 的通项公式 求数列 (2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 若 成等差数列, , 成等差数列 t 的值. 的值.
1 n+1 1 n+ 1 【解】 (1)由 Sn+1-Sn=( ) 得 an+1=( ) (n 由 3 3 1 1 * ∈N ).又 a1= ,故 an= n(n∈N ). . ∈ . 3 3
*

1 1 ×(1- n) - 3 3 1 1 从而 Sn= = (1- n)(n∈N*). - ∈ . 2 3 1 1- - 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1= ,S2= ,S3= . 由 可得 3 9 27 由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得 , 成等差数列可得 1 4 13 1 4 +3×( + )=2×( + )t,解得 t=2. × = × , = 3 9 27 3 9


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