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1.1.2余弦定理


〖题号〗1 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题 〖题干〗在△ ABC 中,AB = 1, BC = 2, B = 60° ,则AC =____。 〖答案〗 3 〖解析〗由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接利用 余弦定理求得边 AC,即AC2 = AB2 +BC2 ? 2AB ? BC ·cos B = 1 + 4 ? 2 × 1 × 2 × = 3。
2 1

所以AC = 3。 〖题号〗2 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗已知三角形两边长分别为 5 和 3,它们夹角的余弦值 是方程5x 2 ? 7x ? 6 = 0的根,求三角形的第三边的长。 〖解答〗解方程5x 2 ? 7x ? 6 = 0,得x1 = ? , x2 = 2(舍去)。
5 3

故两边夹角的余弦值为? 。
5

3

由余弦定理,得第三边边长的平方为52 +32 ? 2 × 5 × 3 × (? ) = 52。
5 3

故所求边长为2 13。 〖点拨〗本题考查余弦定理的应用。已知两边及其夹角,求第 三边,利用余弦定理直接求解即可。 将余弦定理与方程综合在一起,使本题具有一定的综合性。 〖题号〗3 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b2 = ac,且c = 2a,则cos B等于( A. B. C. D.
1 4 3 4 2

)

4 2 3

〖答案〗B 〖解析〗因为b2 = ac,且c = 2a, 由余弦定理的推论,cos B =
a 2 +c 2 ?b 2 2ac

=

a 2 +4a 2 ?a×2a 2a×2a

= 。
4

3

〖题号〗4 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中,已知sin A : sin B : sin C = 4:5:6,求 cos A : cos B : cos C。 〖解答〗根据正弦定理
a sin A

=

b sin B

=

c sin C



得a: b: c = sin A: sin B: sin C = 4: 5: 6, 令a = 4k, b = 5k, c = 6k(k > 0), 由余弦定理的推论,得cos A = 同理,cos B =
9 16 25k 2 +36k 2 ?16k 2 2×5k ?6k

= ,
4

3

, cos C = ,
3 8 9 4 16 8

1

故cos A : cos B : cos C = :

: = 12: 9: 2。

1

〖点拨〗求三角形三个内角的余弦值,可通过三角形的三边, 利用余弦定理求得,所以如何求三边成为关键,结合已知条件, 利用正弦定理将三个内角的正弦之比转化为三边之比,问题即 可得到解决。 由a: b: c = 4: 5: 6,设a = 4k, b = 5k, c = 6k(k > 0)是处理这一类 比例式问题的常用方法。 〖题号〗5 〖分类〗例题 〖标记〗

〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中, (1)a = 1, b = 1, C = 120° ,求 c; (2)a = 3, b = 4, c = 37,求最大角; (3)a: b: c = 1: 3: 2,求 A、B、C。 〖解答〗(1)由余弦定理, c 2 = a2 +b2 ? 2ab cos C = 12 +12 ? 2 × 1 × 1 × (? ) = 3,
2 1

∴ c = 3。 (2)由c > > ,知 C 最大, ∵ cos C =
a 2 +b 2 ?c 2 2ab

=

32 +42 ?37 2×3×4

= ? ,∴ C = 120° 。
2 3x 2 +4x 2 ?x 2 2 3x ?2x 3 2

1

(3)∵ a: b: c = 1: 3: 2, ∴设a = x, b = 3x, c = 2x(x > 0)。 由余弦定理,cos A = ∴ A = 30° 。 同理cos B = , cos C = 0, ∴ B = 60° , C = 90° 。
2 1 b 2 +c 2 ?a 2 2bc

=

=



〖点拨〗本题考查余弦定理及其变形公式的应用,直接利用公 式求解即可。 (1)三角形的大角可由大边对大角来进行判断,若a > , > 同 时成立,则 A 为最大角。 (2)已知三角形的三边求角,可先用余弦定理求一角,再继续用 余弦定理求其他角。也可用正弦定理求另一个角,进而求出第 三个角。用正弦定理求角时,要注意根据大边对大角的原理确 定角的大小。

〖题号〗6 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在 △ ABC 中 , a = 2 3, c = 6 + 2, B = 45° ,解三角形。 〖解答〗解法一:根据余弦定理, b2 = a2 +c 2 ? 2ac cos B = 2 3 ( 6 + 2) × cos 45°= 8, ∴ b = 2 2。 ∵ cos A =
b 2 +c 2 ?a 2 2bc 2

+

6+ 2

2

?2×2 3×

=

8+( 6+ 2)2 ?(2 3)2 2×2 2×( 6+ 2)

= ,
2

1

∴ A = 60° , C = 180°? A + B = 75° 。 解法二:同解法一,可得b = 2 2。 ∵ a = 2 3 < = 6 + 2, ∴ A < 。 ∴A 一定是锐角。 由正弦定理,得sin A =
a sin B b

=

2 3 sin 45° 2 2

=

3 2



∴ A = 60° , C = 180°? A + B = 75° 。 〖点拨〗可以利用余弦定理先求出 b,再利用余弦定理求 A 或 C;也可利用余弦定理先求出 b,再利用正弦定理求 A 或 C。 两个方法的选择需根据题目的条件而定,一般地,若能比较出 a 与 c 的大小,选择解法二计算量小些,若 a,c 不易比较大小,

采用余弦定理可以避免讨论,求第三个角要用三角形内角和定 理。 〖题号〗7 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗证明题 〖题干〗在△ ABC中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,求证:
a 2 ?b 2 c2

=

sin (A ?B) sin C


a 2R

〖解答〗证明由正弦定理,得sin A = 外接圆的半径), 由余弦定理,有cos A =
sin (A ?B) b 2 +c 2 ?a 2

, sin B =

b 2R

(R 为△ ABC

∴右边= = sin C sin (A+B) sin A ·cos B ? cos A ? sin B = sinA ·cos B + cos A ? sin B = = =
a 2 +c 2 ?b 2 b 2 +c 2 ?a 2 ? b· 2ac 2bc a 2 +c 2 ?b 2 b 2 +c 2 ?a 2 a· 2ac +b· 2bc a 2 +c 2 ?b 2 ?(b 2 +c 2 ?a 2 ) 2c a 2 +c 2 ?b 2 +b 2 +c 2 ?a 2 2c a 2 ?b 2

2bc sin A· cos B ? cos A ?sin B

, cos B =

a 2 +c 2 ?b 2 2ac





c2

=左边,

〖点拨〗本题考查三角恒等式的证明问题。在本题中,等式的 左边是三角形中的三边关系,右边是三角关系,因而必须把两 边化为统一的形式,可将等式右边化为边的关系来证明。

合理选择边角互化的方向是解题技巧之一,若本题中采用化边 为角,则较难证明,即左边=
sin 2 A ? sin 2 B sin 2 C

=

cos 2B ? cos 2A 2sin 2 C

,再往

下化简就较难了。可见,化边为角与化角为边并不是对每个题 都适用,应根据实际问题合理选择,切忌搬硬套,当一种方法 不好用时,要注意换另一种方法来求解。 〖题号〗1 〖分类〗真题 〖标记〗2011 重庆 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗若△ ABC的内角 A、B、C 满足6 sin A = 4 sin B = 3 sin C,则cos B =( A. B
3 15 4

)

C.

4 3 15 16 11 16

D.

〖答案〗D 〖解析〗根据正弦定理把已知条件转化为6a = 4b = 3c, 6a = 4b = 3c = 12t t > 0 ,a = 2t, b = 3t, c = 4t, cos B =
a 2 +c 2 ?b 2 2ac

=

(2t)2 +(4t)2 ?(3t)2 2×2t×4t

=

11 16

。故选 D。

〖点拨〗利用正弦定理和已知条件得出三边之间的关系,再利 用余弦定理求解。

〖题号〗2 〖分类〗真题 〖标记〗2012 陕西 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题 〖题干〗在△ ABC中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若a = 2, B = , c = 2 3,则b =____。
6 π

〖答案〗2 〖解析〗由余弦定理, b2 = a2 +c 2 ? 2ac cos B π = 22 + (2 3)2 ? 2 × 2 × 2 3 ·cos = 4,
6

∴ b = 2。 〖点拨〗直接利用余弦定理求解即可。 〖题号〗3 〖分类〗真题 〖标记〗2012 重庆 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题

〖题干〗设△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a = 1, b = 2, cos C = ,则sin B =____。 〖答案〗
15 4 1 4 4 1

〖解析〗∵ c 2 = a2 + b2 ? 2abcosC, ∴ c 2 = 1 + 4 ? 2 × 1 × 2 × = 4, ∴ c = 2。 ∵ cosC = , ∴ sinC = ∴ sinB =
4 15 4 1

。 。

又b = c = 2,
15 4

〖点拨〗先利用余弦定理求 c,再利用 b、c 关系可得 sinB. 〖题号〗4 〖分类〗真题 〖标记〗2012 上海 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在△ ABC中,若sin2 A + sin2 B < sin2 C ,则△ ABC的形 状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

〖答案〗A 〖解析〗由正弦定理得a2 +b2 < c 2 ,故cos C = 以 C 为钝角,故选 A。 〖点拨〗利用正弦定理化角为边,再利用余弦定理的推论进行 判断。 〖题号〗5 〖分类〗真题 〖标记〗2010 上海 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗若△ ABC的三个内角满足sin A ∶ sin B ∶ sin C = 5 ∶ 11 ∶ 13,则△ ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 〖答案〗C 〖解析〗在△ ABC中,smA: sin B : sinC = 5: 11: 13, ∴ a: b: c = 5: 11: 13。 故令a = 5k, b = 11k, c = 13k(k > 0), cos C =
a 2 +b 2 ?c 2 2ab a 2 +b 2 ?c 2 2ab

< 0,所

=

25k 2 +121k 2 ?169k 2 2×5k ?11k

=?

23 110

< 0。

又∵ C ∈ (0, π),

∴ C ∈ ( , π),
2

π

∴△ ABC为钝角三角形,故选 C。 〖点拨〗根据正弦定理得出三边长,再利用余弦定理的推论进 行判断。 〖题号〗6 〖分类〗模拟 〖标记〗2013 东北三校第二次联考 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在△ ABC中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos
2A 2

=

b+c 2c

,则△ ABC是(

)

A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 〖答案〗A 〖解析〗因为cos
2A 2

=

b+c 2c

及2 cos 2 ? 1 = cos A,所以则△ ABC
2

A

是直角三角形,故选 A。 〖点拨〗利用半角公式结合已知条件可得△ ABC的边角关系, 从而可判断三角形的形状。

〖题号〗7 〖分类〗真题 〖标记〗2012 课标全国 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗已知 a,b,c 分别为△ ABC三个内角 A,B,C 的对边, c = 3a sin C ? c cos A。 (1)求 A; (2)若a = 2,△ ABC的面积为 3,求 b,c。 〖解答〗(1)由c = 3a sin C ? c ? cos A及正弦定理得 3 ·sin A sin C ? cos A ·sinC ? sin C = 0。 由于sin C ≠ 0,所以sin( A ? ) = 。
6 2 π 1

又0 < < π,故A = 。 (2)△ ABC的面积S = bc sin A = 3,故bc = 4。而
2 1 3

π

a = b +c ? 2bc cos A,故b2 +c 2 = 8。解得b = c = 2。
2 2 2

〖点拨〗(1)利用正弦定理将已知条件化边为角,求得关于 A 的 三角函数值,进而求得 A;(2)利用三角形面积公式得出 bc 的 值,再利用余弦定理构造关于 b、c 的方程组求解即可。 〖题号〗8 〖分类〗真题 〖标记〗2010 浙江 〖学段〗高中

〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 设 S 为△ ABC的面积,满足S = (1)求角 C 的大小; (2)求sin A + sin B的最大值。 〖解答〗(1)由题意可,知 ab sin C =
2 1 3 4 π 3 3 4

(a2 +b2 ?c 2 )。

? 2ab cos C,所以

tan C = 3。因为0 < < π,所以C = 。 (2)由已知sin A + sin B = sinA + sin( π ? C ? A) = sin A + sin( = sinA + 2π 3 ? A)

3 1 cosA + sinA 2 2
π 6

= 3 sin( A + ) ≤ 3。 当△ ABC为正三角形时取等号, 所以sin A + sin B的最大值是 3。 〖点拨〗(1)利用已知系数和余弦定理求得tan C的值,进而求得 角 C;(2)将sin A + sin B变形后再利用三角函数的有界性求解。 〖题号〗1 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五

〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中,b cos A = a cos B,试判断△ ABC的形状。 〖解答〗解法一:∵ b cos A = a cos B, ∴b·
b 2 +c 2 ?a 2 2bc 2 2

=a·

a 2 +c 2 ?b 2 2ac



∴ b2 +c ?a = a2 +c 2 ?b2 , ∴ a2 = b2 , 即a = b, ∴△ ABC 为等腰三角形, 解法二:∵ b cos A = a cos B, b = 2R sin B, a = 2R sin A, ∴ 2R sin B cos A = 2R sin A cos B, ∴ sin A cos B ? cos A sin B = 0, ∴ sin( A ? B) = 0。 又∵ 0 < < π,0 < < π, ∴ ?π < ? B < π, ∴ A ? B = 0,即A = B, ∴△ ABC为等腰三角形。 〖点拨〗若已知条件既含有边又含有角,一般应用正、余弦定 理完成边角转化,化为只含边或只含角的式子,然后再进行处 理。 〖题号〗2 〖分类〗例题 〖标记〗 〖学段〗高中

〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗设正实数 x,y 满足x 2 ?xy + y 2 = 1求x 2 ? y 2 的最大值 与最小值。 〖解答〗构造△ ABC,使C = 60° , AB = 1, BC = x, AC = y。 由正弦定理, = = = 。 sin A sin B sin 60° 3 4 x 2 ?y 2 = (sin2 A ? sin2 B) 3 4 2 = [sin A (1 ? sin2 B) ? sin2 B (1 ? sin2 A)] = (sin2 A cos 2 B ? sin2 B cos 2 A) = sin( A + B) sin( A ? B) = sin 120°sin( A ? B) =
3 2 3 3 3 4 3 4 3 4 x y 1 2 3

sin( A ? B)。
2 3 3 2

∵ ?120°< ? B < 120° , ∴ x 2 ? y 2 的最大值为 形求解。 〖题号〗1 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ ,最小值为?
2 3 3



〖点拨〗由x 2 ?xy + y = 1的形式联想到余弦定理,构造三角

〖题型〗单项选择 〖题干〗△ ABC中, b = 4, c = 7, A = 60° ,则 a 的值是( A.6 B. 37 C. 38 D. 39 〖答案〗B 〖解析〗∵ a2 = b2 +c 2 ? 2bc cos A = 42 +72 ? 2 × 4 × 7 · cos 60° = 37,∴ a = 37。 〖题号〗2 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在△ ABC中,若a = 7, b = 8, cos C = 弦值是( A.? B.? C.? D.?
1 5 1 6 1 7 1 8 13 14

)

,则最大角的余

)

〖答案〗C

〖解析〗c 2 = a2 +b2 ? 2ab cos C = 9, ,所以c = 3。根据三边的 长度知角 B 为最大角,故cosB = 所以cos B = ? 。
7 1 49+9?64 2×7×3

=? 。
7

1

〖题号〗3 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗△ ABC中,B = 60° , b2 = ac,则△ ABC是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 〖答案〗D 〖解析〗由余弦定理,b2 = a2 + c 2 2ac cos B,即ac = a2 + c 2 ? ac,所以(a ? c)2 = 0,即a = c。又因为B = 60°,所以△ ABC为 等边三角形。 〖题号〗4 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 )

〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗△ ABC中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,且 b2 = ac,则 a 的取值范围是( A.(0, )
3 π

)

B.( , π)
3

π

C.(0, ) D.(0, )
6 6 π

π

〖答案〗A 〖解析〗cos B =
a 2 +c 2 ?b 2 2ac π 3

=

(a ?c)2 +ac 2ac

=

(a ?c)2 2ac

+ ≥ ,
2 2

1

1

∵ 0 < < π,∴ B ∈ (0, )。 〖题号〗5 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在△ ABC中,AB = 7, BC = 5, AC = 6,则AB ? BC等于 ( ) A.19

B.?14 C.?18 D.?19 〖答案〗D 〖解析〗由余弦定理,cos B =
AB 2 +BC 2 ?AC 2 2?AB ?BC

=

72 +52 ?62 2×7×5

=

19 35



AB ·BC = ?BA ·BC = ? BA · BC ·cosB = ?7 × 5 × 〖题号〗6 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题

19 35

= ?19 。

〖题干〗在△ ABC中,已知a = 7, b = 3, c = 5,则最大的角是____。 〖答案〗120° 〖解析〗∵ a > c > b, ∴ A为最大角。 cos A =
b 2 +c 2 ?a 2 2bc

=

32 +52 ?72 2×3×5

= ? ,又∵ 0° < < 180°,
2

1

∴ A = 120°。 〖题号〗7 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五

〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题 〖题干〗在 △ ABC 中, B = 60°, a = 1, S△ABC = 〖答案〗2 〖解析〗由题意,得S△ABC = ac sin B , ∴ c = 2。
2 1 3 2

,则

c sin C

= ____ 。

由余弦定理,b2 = a2 +c 2 ? 2ac cos B = 3, ∴ b = 3。 由正弦定理,得 〖题号〗8 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题 〖题干〗在△ ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a = 3, b = 4, c = 6 ,则 bc cos A + ac cos B + ab cos C 的值是 ____ 。 〖答案〗
61 2 1 2 b 2 +c 2 ?a 2 2bc 2 c sin C

=

b sin B

= 2。

〖解析〗∵ cos A =
1 2 2

,∴ bc cos A = (b2 +c 2 ?a2 )。
2

1

同理ac cos B = (a2 +c ?b2 ), ab cos C = (a +b2 ?c 2 )。 ∴ bc cos A + ac cos B + ab cos C = (a2 +b2 +c 2 ) =
2 1 61 2



〖题号〗9 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题 〖题干〗若△ ABC是钝角三角形,a = 3, b = 4, c = x,则 x 的取 值范围是____。 〖答案〗(1, 7) ∪ (5,7) 〖解析〗∵ b > a, ∴ A不可能为钝角。 当 B 为钝角时, 3 + x > 4, a + c > , 即 x 2 < 7, b2 > a2 +c 2 , 解得1 < x < 7; 当 C 为钝角时, 3 + 4 > , a + b > , 即 x 2 > 25, c 2 > a2 +b2 , 解得5 < < 7。 综上,x 的取值范围是(1, 7) ∪ (5,7)。 〖题号〗10 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理

〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A = ,a = 4, b + c = 6,且b < ,求 b,c 的值。
4 1

〖解答〗∵ a2 = b2 +c 2 ? 2ac cos A ,b2 +c 2 = (b + c)2 ? 2bc, a = 4,cosA = ,
4 1

∴ 16 = (b + c) ? 2bc ? bc。
2 2

1

又b + c = 6, ∴ bc = 8。 b + c = 6, 解方程组 bc = 8, 得b = 2, c = 4, 或 b = 4, c = 2。 又∴ b < , ∴ b = 2, c = 4。 〖题号〗11 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中, a cos A + b cos B = c cos C,试判断△ ABC的 形状。 〖解答〗由余弦定理 cos A =
b 2 +c 2 ?a 2 2bc

, cos B =

a 2 +c 2 ?b 2

代入已知条件得:a · 去分母,得:

2ac b 2 +c 2 ?a 2 2bc

, cos C =
a 2 +c 2 ?b 2 2ac

a 2 +b 2 ?c 2

+b·

+c

2ab a 2 +b 2 ?c 2 2ab



= 0,

a2 (b2 +c 2 ?a2 )+b2 (a2 +c 2 ?b2 ) + c 2 (c 2 ?a2 ? ?b2 ) = 0, 展开整理,得: a4 + b4 ? 2a2 b2 = c 4 , 即 (a2 ?b2 )2 = c 4 , ∴ a2 ?b2 = ±c 2 ,即 a2 = b2 +c 2 或 b2 = a2 +c 2 。 根据勾股定理逆定理知△ ABC是直角三角形。 〖题号〗12 〖分类〗练习 〖标记〗 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,设 f(x) = ax ? (a ? b2 )x ? 4c 2 ,其中x ∈ R。若f(1) = 0,且 B = C + ,试求角 A,B,C。
3 π

〖解答〗∵ f(1) = 0, ∴ a2 ? (a2 ?b2 ) ? 4c 2 = 0,即b2 = 4c 2 。 ∵ b > 0,c > 0, ∴ b = 2c,即sin B = 2 sin C。 又∵ B = C + , ∴ sin B = sin C cos + cos C sin 。 ∴ 2smC = smC +
2 1 3 3 2 3 3 π π π

cos C,

即3smC = 3 cos C。 ∴ tan C =
3 3


π 6

∵ 0 < < π, ∴ C = 。

∴ B = + = ,A = 。
6 3 2

π

π

π

π

∴ A, B, C的值分别为 , , 。
3 2 6

3 π π π

〖题号〗1 〖分类〗模拟 〖标记〗2013 山东威海模拟 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在△ ABC中, A = 60° ,且最大边长和最小边长是方程 x ? 7x + 11 = 0的两个根,则第三边的长为( A.2 B.3 C.4 D.5 〖答案〗C 〖解析〗由A = 60°知△ ABC中最大边和最小边分别为b, c,故 b + c = 7, bc = 11。 由余弦定理,a2 = b2 + c 2 ? 2bc cos 60° = (b + c)2 ? 3bc = 72 ? 3 × 11 = 16,∴ a = 4。 〖题号〗2 〖分类〗模拟 〖标记〗2013 福建泉州模拟 )

〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在△ ABC中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A = , b = 1,△ ABC的面积为 ,则 a 的值为(
3 2 π 3

)

A.1 B.2 C.
3 2

D. 3 〖答案〗D 〖解析〗由已知得: bcsinA = × 1 × c × sin =
2 2 3 1 1 π 3 2

,解得
π 3

c = 2,由余弦定理可得:a2 = 4 + 1 ? 2 × 2 × 1 × cos = 3 ? a = 3。 〖题号〗3 〖分类〗模拟 〖标记〗2012 湖北荆州模拟 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在△ ABC中,若lg sin A ? lg cos B ? lg sin C = lg 2,则 △ ABC的形状是( )

A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 〖答案〗D 〖解析〗由条件得 余弦定理得2 · 角形。 〖题号〗4 〖分类〗模拟 〖标记〗2012 福建厦门模拟 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗单项选择 〖题干〗在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,其中 a 为最大边,如果sin2 (B + C) < sin2 B + sin2 C,则角 A 的取值范围为( A.(0, ) B.( , ) C.( , ) D.( , )
3 2 6 3 π π 4 2 π π 2 π π π sinA cosB · sinC a 2 +c 2 ?b 2 2ac

= 2,即2cosB ·sinC = sinA,由正、

·c = a,整理得c = b,故△ ABC为等腰三

)

〖答案〗D

〖解析〗由题意得:sin2 A < sin2 B + sin2 C, 再由正弦定理得a2 < b2 +c 2 ,即b2 + c 2 ? a2 > 0。 则cos A =
b 2 ?c 2 ?a 2 2bc

> 0。
π 2

∵ 0 < A < π, ∴ 0 < A < 。 又 a 为最大边,∴ A > 。
3 π

因此得角 A 的取值范围是( , )。
3 2

π π

〖题号〗5 〖分类〗模拟 〖标记〗2013 北京崇文模拟 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题 〖题干〗在△ ABC中,AB = 3, BC = 13, AC = 4,则A =____。 〖答案〗60° 〖解析〗由余弦定理的推论,得 cos A = =
1 2 AC 2 +AB 2 ?BC 2 2AC ?AB 42 +32 ?( 13)2 2×4×3

= ,则A = 60°。 〖题号〗6 〖分类〗模拟 〖标记〗2012 湖北荆州模拟

〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★ 〖题型〗填空题 〖题干〗在△ ABC中,已知(b + c): (c + a): (a + b) = 4: 5: 6,给 出下列结论: ①由已知条件,这个三角形被唯一确定; ②△ ABC一定是钝角三角形; ③sin A : sin B : sin C = 7: 5: 3; ④若b + c = 8,则△ ABC的面积是 其中正确结论的序号是____。 〖答案〗②③ 〖解析〗由已知可设 b + c = 4k,c + a = 5k, a + b = 6k(k > 0) , 则a = k,b = k, c = k,
2 2 2 7 5 3 15 3 2



∴ a: b: c = 7: 5: 3, ∴ sin A : sin B : sin C = 7: 5: 3, ∴③正确; 同时由于△ ABC边长不确定,故①错; 又cos A = =
b 2 +c 2 ?a 2 2bc
25 2 9 2 49 2 k +4k ? 4 k 4 5 3 2× 2 k× 2k

= ? < 0,
2

1

∴ Δ ABC为钝角三角形,∴②正确; 若b + c = 8,则k = 2, ∴ b = 5, c = 3, 易知A = 120°, ∴ S
Δ ABC

= bc sin A =
2

1

15 4

3,故④错。

〖题号〗7 〖分类〗模拟 〖标记〗2012 皖南八校三模 〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗在△ ABC中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,向 量m = (2 cos 2A + 3,2), n = (2 cos A, 1), 且m ∥ n。 (1)求角 A 的大小; (2)若a = 3, b + c = 3,求△ ABC 的面积。 〖解答〗 1 ∥ ? (2 2 + 3) × 1 ? 2 × 2 = 0 ? 2 2 + 3 ? 4 = 0 ? 4 2 ? 4 + 1 = 0 ? 1 (2 ? 1)2 = 0 ? = 。 ∵A 为△ 的内角,∴ = 。 (2)由(1)知 = 且 = + ? 2 · ,
2 2 3 3 2 π 3 2

即( 3)2 = 2 + 2 ? 2bc ? cos , 即3 = b2 +c 2 ? bc = (b + c)2 ? 3bc。 又∵ b + c = 3, ∴ 3 = 9 ? 3bc, ∴ bc = 2, ∴S
Δ ABC

= bcsinA = × 2 ×
2 2

1

1

3 2

=

3 2



〖题号〗8 〖分类〗模拟 〖标记〗2012 福建厦门模拟

〖学段〗高中 〖年级〗必修五 〖知识点〗余弦定理 〖难度〗★★★ 〖题型〗解答题 〖题干〗如图,角θ 的始边 OA 落在 x 轴上,其始边、终边与单 位圆分别交于点 A、C,θ ∈ (0, ),△ AOB为等边三角形。 (1)若点 C 的坐标为( , )。求cos ∠BOC;
5 5 3 4 2 π

(2)记f(θ ) = |BC|2 ,求函数f(θ )的解析式和值域。

〖解答〗(1)因为点 C 的坐标为( , ),根据三角函数定义知: sin ∠COA = , cos ∠ COA = ,
5 5 4 3 5 5

3 4

因为△ AOB为等边三角形,所以∠AOB = 60°, 所以cos ∠ COB = cos( ∠COA + 60°) = ∠ 60° ? ∠ CO 60° = × ? ×
5 2 5 3 1 4 3 2 3?4 3 10

=


π 3 π 3

(2)因为∠AOC = θ(0 < < ),所以∠BOC = + θ。 在△ BOC中, |OB| = |OC| = 1,由余弦定理可得: () = |BC|2 = |OC|2 + |OB|2 ? 2|OC| ·|OB| ·cos∠COB = 12 + 12 ? 2 × 1 × ( + ) 3 = 2 ? 2 ( + ) (0 < < )。 因为0 < < , 所以 < + <
3 2 3 5 6 3 2


1 2 3

所以?

3 2

< ( + ) < ,

所以1 < 2 ? 2 ( + ) < 2 + 3,
3



所以函数()的值域为(1,2 + 3)。


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