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2.4.2 抛物线的简单几何性质


预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版

2.4.2

抛物线的简单几何性质

2.4.2 抛物线的简单几何性质

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2.4.2

抛物线的简单几

何性质

[学习目标] 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何 性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.

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[知识链接]

2.4.2

抛物线的简单几何性质

类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,说出抛物线y2
=2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程 验证?

答案

(1)范围:x≥0,y∈R;

(2)对称性:抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称; (3)顶点:抛物线的顶点是坐标原点; (4)离心率:抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距 离的比叫抛物线的离心率.用e表示,由定义可知e=1.

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[预习导引] 1.抛物线的几何性质 标准 方程 y2 = 2px(p>0)

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抛物线的简单几何性质

y2 = x2= -2px(p>0) 2py(p>0)

x2= -2py(p>0)

图形

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抛物线的简单几何性质

范 x≥0, ∈R x ≥0 x∈R,y ≤0,∈R x∈R,y ≤0 ________y _____y ____ ____ 围
对 称 性 轴 质 顶 点 离 心 率
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x轴

x轴
(0,0) e= 1

y轴

y轴

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抛物线的简单几何性质

2.焦点弦 直线过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,与抛物线交于 A(x1, p y1)、B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|=x1+ ,|BF| 2 p x1+x2+p . =x2+ ,故|AB|=____________ 2

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抛物线的简单几何性质

3.直线与抛物线的位置关系 直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关 k2x2+2(kb-p)x+b2=0 的解的个数.当k≠0 于x的方程_____________________

时,若Δ >0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;当
Δ =0时,直线与抛物线有___ 一个公共点;当Δ<0时,直线

没有 公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称 与抛物线_____
平行或重合,此时直线与抛物线有___ 轴__________ 一 个公共点.

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抛物线的简单几何性质

要点一

抛物线的几何性质

例1

抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36

短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物 线的方程及抛物线的准线方程. x2 y2 解 椭圆的方程可化为 + =1, 4 9 其短轴在 x 轴上, ∴抛物线的对称轴为 x 轴, ∴设抛物线的方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0). p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3,即 =3, 2 ∴p=6.
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抛物线的简单几何性质

∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,

其准线方程分别为x=-3和x=3.
规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始 终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点, 抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的 交点和焦点关于抛物线的顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中,通过定义 的运用,实现两个距离之间的转化,简化解题过程.

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抛物线的简单几何性质

x2 y2 跟踪演练 1 已知双曲线方程是 - =1,求以双曲线的右 8 9 顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
x2 y2 解 因为双曲线 - =1 的右顶点坐标为(2 2,0), 8 9 p 所以 =2 2,且抛物线的焦点在 x 轴正半轴上,所以, 2 所求抛物线方程为 y2=8 2x, 其准线方程为 x=-2 2.

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要点二 例2 抛物线的焦点弦问题

2.4.2

抛物线的简单几何性质

已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰

好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设直线上任意一点坐标为 (x, y), 弦两端点 P1(x1, y1), P2(x2,y2). ∵ P1,P2 在抛物线上,∴y12= 6x1,y22=6x2. 两式相减,得(y1+ y2)(y1- y2)= 6(x1- x2).
y1- y2 6 ∵ y1+y2=2,∴ k= = =3, x1- x2 y1+y2 ∴直线的方程为 y- 1= 3(x-4),即 3x- y-11=0.
2 ? ?y = 6x, 由? 得 y2- 2y- 22= 0, ? ?y= 3x- 11,

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抛物线的简单几何性质

∴y1+y2=2,y1·y2=-22. 1 2 2 230 ∴|P1P2|= 1+ 2 -4×(-22)= . 9 3

规律方法

(1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定

义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标 问题,从而可借助根与系数的关系进行求解.

(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.

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跟踪演练2

2.4.2

抛物线的简单几何性质

已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物

线相交于A、B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离. 解 (1)因为直线l的倾斜角为60°,
所以其斜率 k=tan 60°= 3, 3 又 F( ,0). 2

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2.4.2

抛物线的简单几何性质

3 所以直线 l 的方程为 y= 3(x- ). 2 2 ? y ? = 6x, 联立? 3 ? ?y= 3( x-2) 9 消去 y 得 x2- 5x+ = 0. 4 若设 A(x1, y1), B(x2, y2).则 x1+ x2= 5, p p 而 |AB|= |AF|+ |BF|= x1+ + x2+ = x1+ x2+ p. 2 2 ∴ |AB|= 5+ 3= 8.

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2.4.2

抛物线的简单几何性质

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知 p p |AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ 2 2 =x1+x2+p=x1+x2+3=9, 所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3, 3 又准线方程是 x=- , 2 3 9 所以 M 到准线的距离等于 3+ = . 2 2

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要点三 例3

2.4.2

抛物线的简单几何性质

直线与抛物线的位置关系

已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),

斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2=4x:只有一个公
共点;有两个公共点;没有公共点?
解 由题意,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2).
? ?y-1=k(x+2), 由方程组? 2 (*) ? ?y =4x,

可得 ky2-4y+4(2k+1)=0. (1)当 k=0 时,由方程①得 y=1. 1 把 y=1 代入 y2=4x,得 x= . 4 1 这时,直线 l 与抛物线只有一个公共点( ,1). 4
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2.4.2

抛物线的简单几何性质

(2)当 k≠ 0 时,方程① 的判别式为 Δ=-16(2k2+ k- 1). 1°由 Δ= 0,即 2k2+ k- 1= 0, 1 解得 k=- 1,或 k= . 2 1 于是,当 k=- 1,或 k= 时,方程 ①只有一个解,从而方 2 程组 (*)只有一个解.这时,直线 l 与抛物线只有一个公共 点. 2°由 Δ>0,得 2k2+ k- 1<0, 1 解得- 1<k< . 2
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2.4.2

抛物线的简单几何性质

1 于是,当- 1<k< ,且 k≠ 0 时,方程①有两个解,从而方 2 程组 (*)有两个解.这时,直线 l 与抛物线有两个公共点. 3°由 Δ<0,即 2k2+ k- 1>0, 1 解得 k<- 1,或 k> . 2 1 于是,当 k<- 1,或 k> 时,方程①没有实数解,从而方程 2 组 (*)没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点.

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综上,我们可得

2.4.2

抛物线的简单几何性质

1 当 k=-1,或 k= ,或 k=0 时,直线 l 与抛物线只有一 2 个公共点; 1 当-1<k< ,且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有两个公共点; 2 1 当 k<-1,或 k> 时,直线 l 与抛物线没有公共点. 2 规律方法 直线与抛物线交点的个数,等价于直线方程、抛

物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在
和得到的方程二次项系数为0的情况.

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跟踪演练3

2.4.2

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如图,过抛物线y2=x上一点

A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC 交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜 率是定值. 证明 设kAB=k(k≠0), ∵直线AB,AC的倾斜角互补, ∴kAC=-k(k≠0),

∵AB的方程是y=k(x-4)+2
? ?y= k( x- 4)+ 2, 由方程组? 2 ? ?y = x,

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抛物线的简单几何性质

消去 y 后,整理得 k2x2+(- 8k2+4k- 1)x+ 16k2- 16k+4= 0. ∵ A(4, 2), B(xB, yB)是上述方程组的解. 16k2- 16k+ 4 4k2- 4k+ 1 ∴ 4· xB= ,即 xB= . k2 k2 以- k 代换 xB 中的 k, 4k2+ 4k+ 1 得 xC= , k2

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抛物线的简单几何性质

yB-yC k(xB-4)+2-[-k(xC-4)+2] ∴kBC= = xB-xC xB-xC 8k2+2 k(xB+xC-8) k( k2 -8) 1 = = =- . 4 xB-xC -8k k2 所以直线 BC 的斜率为定值.

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1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦) 长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 ( )

A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x 答案 解析 C

B.y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y

设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4.

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抛物线的简单几何性质

2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距 离,则点P的坐标为
1 2 A.( ,± ) 4 4 1 2 C.( , ) 4 4 答案 B 1 2 B.( ,± ) 8 4 1 2 D.( , ) 8 4

(

)

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解析

由题意知,点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的 1 距离,因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上,而 F( , 0), 4 1 2 所以 P 点的横坐标为 , 代入抛物线方程得 y=± , 故点 P 8 4 1 2 的坐标为( ,± ),故选 B. 8 4

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抛物线的简单几何性质

3.抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点

坐标为
A.(1,2) 答案 C B.(0,0) 1 C.( ,1) 2

(
D.(1,4)

)

解析 因为 y=4x2 与 y=4x-5 不相交,设与 y=4x-5 平行的直线方程为 y=4x+m.
2 ? y = 4 x , ? 则? ?4x2-4x-m=0. ? ?y= 4x+ m



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设此直线与抛物线相切有 Δ= 0, 即 Δ= 16+ 16m= 0, ∴ m=- 1. 1 将 m=- 1 代入①式, x= , y= 1, 2 1 所求点的坐标为 ( , 1). 2

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4.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直

线l的方程是
A.6x-4y-3=0 C.2x+3y-2=0

(

)

B.3x-2y-3=0 D.2x+3y-1=0

答案 A 解析 设直线 l 的方程为 3x- 2y+ c= 0,抛物线 y2= 2x 1 1 的焦点 F( , 0),所以 3× - 2× 0+ c= 0, 2 2 3 所以 c=- ,故直线 l 的方程是 6x- 4y- 3= 0.选 A. 2

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抛物线的简单几何性质

1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程; 利用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不 充分条件. 3.直线与抛物线的相交弦问题共有两类,一类是过焦点的 弦,一类是不过焦点的弦.解决弦的问题,大多涉及到抛 物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线 与抛物线联立,转化为关于x或y的一元二次方程,然后利 用根与系数的关系,这样避免求交点.尤其是弦的中点问 题,还应注意“点差法”的运用.
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抛物线的简单几何性质

再见
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