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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导:整式的恒等变形


内容: (1)运用运算性质法则。 (2)灵活运用乘公式。 (3)配方法。 (4)应用因式分解。 (5)代换法。 一. (运用性质和法则) 1. 设 x , y , z 都是整数,且 11 整除 7x+2y-5z , 求证:11 整除 3x-7y+12z . 2. 已知 y ? ax ? 6 x ? cx ? d ,当 x = 0 时,y = - 3 ;当 x = -5 时,y =

9 , 求当 x =
5 3

5 时 y 的值。 二. (灵活运用乘法公式) 3. 计算: ?2 ? 1? 2 2 ? 1 2 4 ? 1 ?? 2 32 ? 1 ? 1 4. 设 a , b , c 为有理数,且 a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ? 0 .
3 3 3

?

??

?

?

?

求证:对于任何正奇数 n ,都有 a ? b ? c ? 0
n n n

5. 当 a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ? 1 时,试求下列各式的值:
2 2 2

(1) bc ? ca ? ab ; (2) a ? b ? c
4 4

4

6. 试求 x

243

? x 81 ? x 27 ? x 9 ? x 3 ? x 被 x ? 1 除的余数。

三. (配方法) 7. 证明:当 a , b 取任意有理数时,多项式 a ? b ? 2 a ? 6b ? 11 的值总是正数。
2 2

8. 若 14 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?a ? 2b ? 3c ? ,求 a : b : c .
2

?

?

9. 已知 a , b , c , d 为正数,且 a ? b ? c ? d ? 4abcd ,
4 4 4 4

求证: a = b = c = d . 11. 解方程: 3 x 2 ? 12 x 2 y ? 12 x 2 y 2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 12.若 a , b , c , d 是整数,且 m ? a ? b
2 2

, n ? c2 ? d 2 ,

求证:mn 可表示成两个整数的平方和。 13.已知 a ? b ? 1 , a ? b ? 2 ,求 a ? b 的值。
2 2

7

7

四. (应用因式分解) 14.在三角形 ABC 中, a 2 ? 16 b 2 ? c 2 ? 6ab ? 10 bc ? 0 (a , b , c 是三角形的三边) , 求证: a ? c ? 2b 15.已知 a 2 b ? ac 2 ? b 2 c ? b 2 a ? bc 2 ? a 2 c ,试求 ?a ? b ??b ? c ??c ? a ? 的值。 五. (代换法)

16.已知 a , b , c 适合 a ? b ? c ? d , 求证 a
1993

a 3 ? b3 ? c 3 ? d 3 。

? b1993 ? c 1993 ? d 1993

17.证明:

?b ? c ? 2a ?3 ? ?c ? a ? 2b ?3 ? ?a ? b ? 2c ?3 ? 3?b ? c ? 2a ??c ? a ? 2b ??a ? b ? 2c ?
18.已知 x ? y ? z ? 3 ,且 ? x ? 1?3 ? ? y ? 1?3 ? ? z ? 1?3 ? 0 , 求证:x , y , z 中至少有一个等于 1。 19. 若 a ? b ? 10 , a 3 ? b 3 ? 100 ,则 a 2 ? b 2 ? _______ 20.若 a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? b ? c ? 1 则 abc = ______ 2 2 2 21.设 x-y=1+m , y-z =1-m , 则 x +y +z -xy-yz-zx = ________ 2 2 2 22.若 2a=6b=3c , 且 ab+bc+ca=99, 则 2a +12b +9c =_______ 23.若多项式 a ? ma ? na ? 16 含有因式(a-2)和(a-1) , 则 mn=________
4 3

24. 2 x 2 ? 4 xy ? 5 y 2 ? 12 y ? 13 的最小值是_____


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