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广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编3:三角函数


广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 3:三角函数 姓 名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 1 .( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

?? ? f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ( A ? 0, ? ? 0 , x ? ? ??, ?? ? )的最小正周期为 ? ,且 f ? 0 ? ? 3 ,则函数 6? ?
? ? ?? y ? f ( x) 在 ? ? , ? 上的最小值是 ? 4 4?
A. ? 6 B. ?2 3 C. ?3 D. 2 3 ( )

2 . (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题)已知 f ( x) ?

3 cos 2 x ? 2sin x cos x, 则

13? f( )? 6
A. 3 B .? 3

3 C. 2

3 D. 2 ?

3 . 广 东 省 江 门 佛 山 两 市 2013 届 高 三 4 月 教 学 质 量 检 测 ( 佛 山 二 模 ) 数 学 理 试 题 ) 函 数 (

?? ? f ( x) ? sin ? ? x ? ? , x ? [?1, ,则 1] 2? ?
A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0

( B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 1] D. f ( x) 为奇 函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0



4 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) 若函数 y ? cos ? ? x ? )

? ?

??

? ?? ? N 6?
( )

*

?

的一个对称中心是 ? A.1
二、填空题

?? ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为 ?6 ?
B.2 C.4 D.8

5 . (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)在 ?ABC ,角 A, B, C 的对边

分别为 a, b, c ,且 a ? 2, c ? 3, A ? 45? ,则角 C ? ________.
6 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)若点 (a, ?1) 在函数 y ? log 1
3

x的

图象上,则 tan

4? 的值为________. a

7 . (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) 已知 )

? 3 ? 为锐角,且 cos ? ? ? ? ? , ? ? ? 4? 5

则 sin ? ? _______.

三、解答题 8. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长

分别是 a,b,c . (1)若 c ? 2 , C ?

? 且 △ ABC 的面积等于 3 ,求 cos( A ? B ) 和 a,b 的值; 3 3 12 (2)若 B 是钝角,且 cos A ? ,sin B ? ,求 sin C 的值. 5 13

9.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))如图,已知平面上直线 l1//l2,A、

B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一定点,C 到 l1 的距离 CM = 1 , C 到 l2 的距离 CN= 3 ,Δ ABC 内角 A、B、C 所对 边分别为 a、b、c,a > b ,且 b.cosB = a.cosA (1) 判断三角形 Δ ABC 的形状; (2)记 ?ACM ? ? , f (? ) ?

1 1 ? ,求 f(θ )的最大值. AC BC

10. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) 已知 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 )

? 1 A, B, C 的对边, sin(2C ? ) ? ,且 a 2 ? b2 ? c2 . 2 2
(1)求角 C 的大小;(2)求

a?b . c

11. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题) ?ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条

边长分别是 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C ? 0 (1)求 C 的值; (2)若 cos A ?

3 , c ? 5 3 ,求 sin B 和 b 的值. 5

12. (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的图像与 y 轴交于 (0,3 2) ,它在 y 右侧的第一个最高点和

第 一个最低点的坐标分别为 (m,6) 和 ( m ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式及 m 的值;

?
2

, ?6) .

(2)若锐角 ? 满足 tan ? ? 2 2 ,求 f (? ) .
13. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟 数学理试题(WORD版) 如图,A是单位圆与x轴正半轴的交 )

点,点B,P在单位圆上,且B( ( ? , ) , ?AOB ? ? , ?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP .设四边 形OAQP的面积为S, (1) 求 cos(? ?

3 4 5 5

????

??? ??? ? ?

?
6

??? ???? ? ) ;求 f (? ) = OA ? OQ ? S 的单调递增区间.

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 14.广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) ( 已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

15. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测 (佛山二模) 数学理试题) 在平面直角坐标 系 xOy 中,

以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S ?AOB . 5

16. 广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题 ( (WORD 版) 已知 )

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 ,( x ? R ,
2? , ?1) 3

其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的周期为 ? ,且图像上一个最低点为 M (

(1)求 f ( x) 的解析式;

(2)当 x ? [0,

? ] 时,求 f ( x) 的值域. 12

17. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) 某单位有 A 、 B 、 C 三个工作 )

点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之 间的距离分别为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

18 .( 广 东 省 潮 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 3:三角函数参考答案 一、选择题 1.

C 解析: A ? 2 3, ? ? 2 ? f ( x) ? 2 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

由? A 3. A 4. B
2.

?
4

?x?

?
4

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? ? ?? 得 f min ( x) ? 2 3 sin ? ? ? ? ?3 3 ? 3?

二、填空题 5. 6.

60? 或 120?
依题意得 a ? 3 ,则 tan

4? 4? ? 3. = tan a 3

7.

2 10

三、解答题 8.解:(1)∵ A ? B ? C

? ? ,C ?

? , 3

∴ A? B ?? ?C

∴ cos( A ? B ) ? cos(? ? C ) ? ? cos C ? ? cos 由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b 2 ? ab ? 4 , 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

?
3

??

1 2

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,
3 12 ,sin B ? 5 13
2

解得 a ? 2 , b ? 2 . (2) ∵ B 是钝角,且 cos A ?

4 ?3? ∴ sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? 5 ?5?
2

5 ? 12 ? cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?
∴ sin C ? sin ?? ? ( A ? B) ? ? sin( A ? B)

2

4 ? 5 ? 3 12 16 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 13 65

9.

10.

11.解:(1)因为 c sin

A ? 3a cos C ? 0 由正弦定理得:

2 R sin C sin A ? 2 R 3 sin A sin C ? 0
由 sin A ? 0 所以 tan C ? ? 3 , C ? (0, ? ) ;?C ? (2)由 cos A ?

3 ? 4 , A ? (0, ) 则 sin A ? 1 ? cos 2 A ? , 5 2 5

2? 3

sin B ? sin(? ? A ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?


4 1 3 3 3 3?4 ? (? ) ? ? ? 5 2 5 2 10
b c c sin B ,b ? ? ?3 3?4 sin B sin C sin C

12.

由 tan ? ? 2 2

? ? ? (0, )
2

? sin ? ?

2 2 1 ? cos ? ? 3 , 3
? 6 cos 2? sin

4 4 2 ? 6 2 sin ? cos ? ? 3 2 (2 cos ? ? 1)
?6 2?

f (? ) ? 6 sin(2? ?

?

) ? 6 sin 2? cos

?

?
4

2 2 1 1 8?7 2 ? ? 3 2[2 ? ( ) 2 ? 1] ? 3 3 3 3

方法二:因为由 tan ? ? 2 2

? ? ? (0, )
2

f (? ) ? 6 sin(2? ?
所以:

?

4 4 2 ? 3 2 (2 sin ? cos ? ? cos ? ? sin 2 ? )

) ? 6 sin 2? cos

?

? 6 cos 2? sin

?
4

3 2 (2 sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ? tan 2 ? 8 ? 7 2 ?3 2? ? 3 tan 2 ? ? 1 ?

13. 14.解:(1)函数 f ( x ) 要有意义,需满足: cos x ? 0 ,

解得 x ?

?
2

? k? , k ? Z ,

即 f ( x ) 的定义域为 {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }
2 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 1 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 4 ? 2 2 ? (2) ∵ f ( x) ? cos x cos x cos x

?

?

2cos 2 x ? 2sin x cos x ? 2(cos x ? sin x) cos x

4 4 2 2 ,得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin ? ? cos ? ? 1 3 3 9 3 4 2 ∴ cos ? ? ,∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? , sin ? ? ? 25 5 5 14 ∴ f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 5
由 tan ? ? ?
15. ⑴解法 1、

由题可知: A(?1,3) , B (cos ? ,sin ? ) ,

??? ? ??? ? OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? )

??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0
∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ?

1 3

解法 2、 由题可知: A(?1,3) , B (cos ? ,sin ? )

kOA ? ?3 ,

kOB ? tan ?

∵ OA ? OB ,∴ K OA ? K OB ? ?1

?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ?

1 3

解法 3、 设 B ( x , y ) ,(列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ OA ? ∴ sin ? ? ∵ OB ? 1

? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2
3 3 10 ?1 10 , cos ? ? (每式 1 分) ? ?? 10 10 10 10

cos ? ?

4 3 2 , 得 sin ? ? 1 ? cos ? ? (列式计算各 1 分) 5 5
3 10 4 10 3 3 10 (列式计算各 1 分) ? ? ? ? 10 5 10 5 10

sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ?

∴ S ?AOB ? 解法 2、

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 2 10

由题意得: AO 的直线方程为 3 x ? y ? 0 则 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

3 5

即 B ( , ) (列式计算各 1 分)

4 3 5 5

4 3 3 ? ? 3 5 5 5 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? ? 10 (列式计算各 1 分) 10 10
又 OA ?

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S ?AOB ?

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 分) 2 2 10 2

解法 3、 [来源:Z+xx+k.Com]

sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?
??? ?

即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) ,

??? ?

3 5

即 B ( , ) (每式 1 分)

4 3 5 5

4 3 5 5

??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 2 2 5 5 ? 10 OA ? (?1) ? (3) ? 10 , OB ? 1 , cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB
(模长、角的余弦各 1 分) ∴ sin ?AOB ? 1 ? cos ?AOB ?
2

3 10 10

则 S ?AOB ?

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 10 2

解法 4、 根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个内角的余弦与正弦 各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分)

16.解:(1)由

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? ,知 T ?

2?

?

? ? ,则有 ? ? 2 ;

所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1

因为函数图像有一个最低点 M (

2? , ?1) , A ? 0 , 3

所以 A ? 2



sin(2 ?

2? ? ? ) ? ?1 , 3 (k ? Z )

则有 2 ?

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

解得 ? ?

?
6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

x?R

(2)当 x ? [0,

? ? ? ? ] 时, 2 x ? ? [ , ], 12 6 6 3
?
1 ) ?[ , 6 2

则有 sin(2 x ?

? 3 ] ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? [2, 1 ? 3] 6 2

即 f ( x) 的值域为 [2, 1 ? 3]
17. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分 12 分)

解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m , 由余弦定理得 cos ?BAC ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 ? AB ? AC

?

802 ? 502 ? 702 1 ? 2 ? 80 ? 50 2
? 3

因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ?

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心

设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得 因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

BC ? 2R , sin A

3 ? ,所以 sin A ? . 2 3
A

70 140 3 70 3 所以 2 R ? ,即 R ? ? 3 3 3 2
过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 在△ OBD 中, OB ? R ? O B

70 3 BC 70 , BD ? ? ? 35 , 3 2 2
2

D

C

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ? 3 ? ? 35 ? ? ?
2 2

?

35 3 . 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m 3

方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , 由(1)知 ?BAC ? 所以 ?BOC ?

A

?? . 3 ? 所以 ?BOD ? 3

? , 3
B

O C

D

在 Rt △ BOD 中, BD ? 所以 OD ?

BC 70 ? ? 35 , 2 2

BD 35 35 3 ? ? ? tan ?BOD tan 60 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m 3

18.网解:(Ⅰ)∵

f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos2 x ? sin 2 x

? ?2 sin( 2 x ?

?
3

)

.

? f (x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)∵

x ? [?

? ?
3 3 ,

] ,

??

?
3

? 2x ?

?
3

??

,

??

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 3

? f (x) 的值域为 [?2, 3]

? 当 y ? sin( 2 x ?
?

?
3

) 递减时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

? ? ,即

?
12

?x?

?
3

.

故 f ( x ) 的递增区间为 ?

?? ? ? , ? ?12 3 ?


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