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平面几何(一)
一、 (本题满分 20 分)如图,AB 是⊙O 的直径,M 为圆上一点,ME⊥AB,垂足为 E, 点 C 为⊙O 上任一点,AC,EM 交于点 D,BC 交 DE 于点 F. D (Ⅰ)求证:EM2=ED·EF; A C M (Ⅱ)若 E, F 分别线段 OB, EM 的中点,且 AB=4, A A 求 CF 的长.
A A O A FA A

E A B A

二、 (本题满分 20 分)如图,△ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上 的点,且 AD=AC=AE.求证:直线 DE 过△ABC 的内心.
A

E D C B

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三、 (本题满分 20 分)如图,已知 PA, PB 是⊙O 的两条切线,PCD 是⊙O 的一条割线, PC CE ? E 是 AB 与 PD 的交点.证明: . A _ PD DE
P _ O _ C _ E _ B _ D _

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四、 (本题满分 20 分) 如图, 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , ?ABC 的内切圆 I 分别切边 AB, AC 于 点 D, E,直线 DE 分别与直线 BI, CI 相交于点 F, G. 1 证明: FG ? BC . 2
A
G

D F I E

B

C

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五、 (本题满分 20 分)如图,两圆 ?1 、 ?2 交于点 A, B,过点 B 的一条直线分别交圆 ?1 、

?2 于点 C, D,过点 B 的另一条直线分别交圆 ?1 、?2 于点 E, F,直线 CF 分别交圆 ?1 、?2
于点 P, Q.设 M, N 分别是弧 PB, QB 的中点.若 CD=EF,求证:C, F, M, N 四点共圆.

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一、 (本题满分 20 分)如图,AB 是⊙O 的直径,M 为圆上一点,ME⊥AB,垂足为 E, 点 C 为⊙O 上任一点,AC,EM 交于点 D,BC 交 DE 于点 F. (Ⅰ)求证:EM2=ED·EF; (Ⅱ)若 E, F 分别线段 OB, EM 的中点,且 AB=4, 求 CF 的长.
0 证明: (1)∵MN ? AB ,∴?B ? 90 ? ?BFE ? ?D ,

∴?AED ∽?FEB ,∴ AE·EB=ED·FE; 延长 ME 与⊙O 交于点 N,由相交弦定理, 得 EM·EN=EA·EB,且 EM=EN, ∴EM2=EA·EB= ED·EF. (2)∵AB=4, OE=EB,∴∠MOB=60° , ? OMB 为等边三角形 ∴ME= 3 ,MF=FE=

C A A A

O A

D A M A FA A E A N A

B A

3 7 ,又 BE=1,∴BF= 2 2
9 9 7 ,∴CF= . 4 14

由相交弦定理,CF·FB=MF·FN=3FE2=

二、 (本题满分 20 分)如图,△ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上 的点,且 AD=AC=AE.求证:直线 DE 过△ABC 的内心.
A
证明:设角 C 的内角平分线与 DE 交于点 I,连接 AI, IC, CE, 由于 AE 是 ? ABC 外接圆的切线, 故 ?ACB ? 180 ? ?DAE ,又 AD ? AE , 故 180 ? ?DAE ? ?ADE ? ?AED ? 2?AED ,

D

I

E

B

1 故 ?ACI ? ?ACB ? ?AED ,所以 A, E, I, C 四点共圆. 2
?IAC ? ?IEC ? ?AEC ? ?AED

C

?

1 180 ? ?CAE 180 ? ?DAE 1 ? = (?DAE ? ?CAE ) ? ?A , 2 2 2 2

故 AI 为角 A 的角平分线, I 为 ?ABC 的内心.

三、 (本题满分 20 分)如图,已知 PA, PB 是⊙ O 的两条切线,PCD 是⊙ O 的一条割线, PC CE ? E 是 AB 与 PD 的交点. 证明: . A _ PD DE 证法一:连结 AC ,AD,BC 和 BD ,
P _
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O _ C _ E _ B _ D _



PC S ?PAC S ?PBC ? ? PD S ?PAD S ?PBD

∵ ?PAC ∽ ?PDA , ?PBC ∽ ?PDB

S ?PAC AC 2 S ?PBC BC 2 ∴ , ? ? S ?PAD AD 2 S ?PBD BD 2


AC BC ? AD BD



PC AC 2 AC BC ? ? ? PD AD 2 AD BD
BC CE ? DA AE



又∵ ?ACE ∽ ?DBE , ?BCE ∽ ?DAE ∴

AC AE ? DB DE

②,



故由①、②、③得

PC CE ? PD DE

证法二: (同证法一前)∴

PC AC 2 AC BC ? ? ? PD AD 2 AD BD



又∵

CE S ?ACE S ?BCE S ?ACE ? S ?BCE S ?ACB ? ? ? ? DE S ?DAE S ?BDE S ?DAE ? S ?BDE S ?ADB

? 而 ?ACB ? ?ADB ? 180 ,∴ sin ?ACB ? sin ?ADB



CE AC ? CB ? sin ?ACB AC ? CB ? ? DE DA ? DB ? sin ?ADB DA ? DB



由①、②知

PC CE ? . PD DE

四、 (本题满分 20 分) 如图, 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , ?ABC 的内切圆 I 分别切边 AB, AC 于 点 D, E,直线 DE 分别与直线 BI, CI 相交于点 F, G,证明: FG ? 证法一:分别连接 CF,BG,ID,IE,AI , 则 A、D、I、E 四点共圆. 1 1 所以 ?IDE ? ?A ,从而 ?BDF ? 90? ? ?A , 2 2 1 1 又 ?BIC ? 180? ? (?B ? ?C)=90? ? ?A , 2 2 所以 ?BDF ? ?BIC . FB DB ? 又 ?DBF ? ?CBI ,得 ?FDB ∽ ?CIB .所以 . CB IB
1 BC . 2
G

A

D F I E

B

C

1 又由 ?DBI ? ?FBC , 得 ?IDB ∽ ?CFB ,所以 CF ? BF , 从而 ?FCG ? ?A ? 30? . 2 FG 1 ? BC ,所以 FG ? BC . 同理 BG ? GC ,所以 B、C、F、G 四点共圆,由此 sin ?FCG 2 1 180? ? ?A 1 ? (?B ? ?C ) , 证法二:因为 ?BIG ? (?B ? ?C ) ,又因为 ?BDG ? ?ADE ? 2 2 2
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所以 B、D、I、G 四点共圆,因此 ?BGC ? ?BDI ? 90? . 同理 ?CFB ? 90? ,所以 B、C、F、G 四点共圆. 1 又 ?FCG ? 90? ? ?FBC ? ?BCI ? 90? ? (?B ? ?C ) ? 30? , 2 1 所以 FG ? BC sin ?FCG ? BC . 2 五、 (本题满分 20 分)如图,两圆 ?1 、 ?2 交于点 A, B,过点 B 的一条直线分别交圆 ?1 、

?2 于点 C, D,过点 B 的另一条直线分别交圆 ?1 、?2 于点 E, F,直线 CF 分别交圆 ?1 、?2
于点 P, Q.设 M, N 分别是弧 PB, QB 的中点.若 CD=EF,求证:C, F, M, N 四点共圆. 证明:连结 AC, AD, AE, AF, DF, 由∠ADB=∠AFB, ∠ACB=∠AEF 及 CD=EF 知 ? ? ACD≌ ? AEF ?AD=AF ?∠ADF=∠AFD ?∠ABC=∠AFD=∠ADF=∠ABF ?AB 是∠CBF 的角平分线 连结 CM, FN.∵M 是弧 PB 的中点, ∴CM 是∠DCF 的角平分线. 同理,FN 是∠CFB 的平分线 于是,BA, CM, FN 三线共点, 设交点为 I. 在圆 ?1 、 ?2 中,由圆幂定理得
CI IM ? AI IB , AI IB ? NI IF ? NI IF ? CI IM . 从而,C, F, M, N 四点共圆.

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