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一元二次方程根与系数的关系课件


方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的求根公式是
2

?b ? b ? 4ac (b 2 ? 4ac ? 0) x? 2a
2

设方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的两根
2

为x1 , x2 , 试求出x1 ? x2 , x1 ? x2的值. 你能看出x

1 ? x2 , x1 ? x2的值与方程 的系数有何关系?

? b ? b 2 ? 4ac x1 ? 2a
X1+x2=

? b ? b 2 ? 4ac x2 ? 2a
? b ? b 2 ? 4ac 2a

? b ? b 2 ? 4ac 2a

+

b ? 2b = = 2a a
X 1 x 2=

? b ? b 2 ? 4ac 2a



? b ? b 2 ? 4ac 2a
4ac 4a 2

=

(?b) 2 ? ( b 2 ? 4ac ) 2 4a 2

=

c = a

一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理)
若方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的两根为x1 , x2 ,
2

b c 则x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

推 论 1

特别地:
2

若方程x ? px ? q ? 0的两根为x1 , x2, 则:x1 ? x2 ? ? p, x1 ? x2 ? q

例1. 根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程 两根 x1 , x2 的和与积。

?1? x ? 6 x ? 15 ? 0 2 ? 3? 5 x ? 1 ? 4 x
2

? 2 ? 3x

2

? 7x ? 9 ? 0

(4)2x2+5x+4=0

练习:

下列方程两根之和为 2 的是 ( c ) A. x ? 2 x ? 2 ? 0
2

B. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

C.x ? 2 x ? 4 ? 0
2

D.x ? 2 x ? 4 ? 0
2

例2、利用根与系数的关系,求作一个 一元二次方程,使它的两根为2和3.

X2-(2+3)X+2×3=0 即:X2-5X+6=0
推 论 2
以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程(二次项系数为1)是 x ? x1 ? x2)x ? x1 ? x2 ? 0 (
2

练习:

2 : 设方程x 2 ? 3x ? 2 ? 0的两个根分别为x1 , x2 以2 x1 ,2 x2为根的一元二次方程是________ X2-6x-8=0

例3、设

X1、X2是方程X -4X+1=0的两个根,则
4 1 X1+X2 = ___ ,X1X2 = ___, 14 X12+X22 =( X1+X2)2 - 2X1X2 = ___ ___

2

(X1-X2)2 =( X___2 )2 -4X1X2 = ___ 12 1+X

练习: 设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,求下列式子的值。

?1?

1 1 ? x1 x2

2 ? x12 ? x2 2 ? 1 1 ? 4? 2 ? 2 x1 x2

? 3? ? x1 ? 1?? x2 ? 1?
x2 x1 ? 5? ? x1 x2

2、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0

的两根的平方和比两根之积的3倍少
10,求k的值.

例3、 已知方程x2-(k+1)x+3=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 用两种解法

?

?

练习:
已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1, 求它的另一个根及m的值。

1、如果-1是方程2X2-X+m=0的一个根,则另 基 (还有其他解法吗?) 3 础 一个根是___,m =____。 -3 练 2


3、判断正误:

以2和-3为根的方程是X2-X-6=0

( × )

4、已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是 2和-1 _____ 。

4.K取何值时,关于x的方程
2 2

3x ? 2(3k ? 1) x ? 3k ? 1 ? 0

(1)有一根为0 (2)有两个互为相反数的实数根 5.已知x1、x2是一元二次方程

2 x ? 2 x ? 1 ? 3m ? 0
2

x1 ? x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 0
求实数m的取值范围。

的两个实数根,且x1、x2满足不等式

课堂小结
若方程ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的两根为x1 , x2 ,
2

b c 则x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

推 论 2

以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程(二次项系数为1)是 x ? x1 ? x2)x ? x1 ? x2 ? 0 (
2

拓展:方程2X2-mX+m-3=0有一个正根,一
个负根,求m的取值范围。
一正根,一负根 △>0

两个正根
△≥0

两个负根
△≥0

X1X2<0

X1X2>0
X1+X2>0

X1X2>0 X1+X2<0

作业:

P43

7、13、14


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