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直线、平面垂直的判定与性质(复习题)


直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识点
1、直线与平面垂直: 判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直。 符号表示:

l
?

P
n m

性质定理:一条直线与一个平面垂直,则该直线垂直于平面内任意一条直线。 2、平面与平面垂直: 判定定理:一个平面过另外一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直。

二、实例运用
例 1、 如图, 三棱锥 P-ABC 中, D 是 AC 的中点, PA=PB=PC= 5, AC=2 2, AB= 2,BC= 6。求证:PD⊥平面 ABC;

变式 1 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥ 底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点。求证:PB⊥DM。

例 2、如图所示,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至△ABD 的位置,使 CD=AC, 求证:平面 ABD⊥平面 ABC

变式 2 如图,A 是△BCD 所在平面外一点,AB=AD,CB=CD,E 是 BD 的中点,
求证:平面 AEC⊥平面 ABD.
A

B E

D

C

《提高》 如图所示,已知△ABC 是等边三角形,EC⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,且 EC、DB 在平面 ABC 的同侧,M 为 EA 的中点,CE=2BD,求证: (1)平面 BDM⊥平面 ECA; (2)平面 DEA⊥平面 ECA.


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