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更高更妙的物理:专题21 说 磁


专题 21 说



“在观察的领域里,机遇只偏爱那种有准备的头脑” ,这句名言,最先是对丹麦科学家 奥斯特开创性地发现电流的磁效应所发的感慨。 19 世纪初,在人们对电与磁的认识尚是孤 立隔绝的时候,奥斯特却有了一个不同凡响的信念,他认为自然力是统一的,并且是可以互 相转化的,电与磁之间也应该有联系。奥斯特致力于电与磁统一性的研究十多年

,终于在 1819 年冬日的一次讲课中得到了机遇的惠顾:奥斯特将一根与伽伐尼电池相连接的导线垂 直跨放在一枚磁针上方, 没有发现磁针运动, 然后再换另一个更强的伽伐尼电池重复同样的 实验,还是不行。在准备结束演讲时,他忽然说“让我们把导线同磁针平行地放置试试 看??” , 于是出现了永垂青史的一幕—小磁针几乎和磁子午线成直角地大幅度摆动着!奥斯 特实验的旋风冲破了长期以来人们所信奉的电和磁没有联系的观念, 开启了电磁研究的新纪 元。 现在我们知道,一切磁现象的根源是电流,都是运动电荷之间通过磁场而发生的;电磁 场是一个不可分割的统一体, 从不同的参考系去考察电磁场时就有不同的描述, 表现出电场 或磁场的特征。 静磁场与静电场之间有着众多的物理相似,也存在明显的相异。 与电场一样, 磁场具有物质的基本属性, 会对引入磁场中的运动电荷或导体产生力的作 用,描述磁场的线称磁感线,其与电场线的比较如表 1 所示。

由表 1 我们看到,电场线是从正电荷出发,到负电荷终止,说明正电荷是电场的源头、 负电荷是电场的尾闾,静电场是有源场;磁感线都是封闭曲线,我们把磁场称为“涡旋场” , 这种差异是与正负电荷可以分离而 N 、 S 磁极不可分离的事实相联系的。将通过某一曲面 的总磁感线条数称为磁通量 ? m , ?m ? Bn ? ?S ,式中 Bn 是 B 在面 ? S 法向的分量,由于 磁感线总是闭合的, 因此穿人闭合曲面的磁感线数必然与穿出闭合曲面的磁感线数相等, 通 过任何闭合曲面的磁通量一定为零,这就是磁场中的高斯定理。 在电场中,人们从实验中得到关于点电荷间相互作用的库 仑定律,由库仑定律得出点电荷的场强,然后根据电场叠加原 理,得到电荷系形成的电场的场强。磁场是由电流产生的,根 据磁场与电场的相似性,人们做了同样的工作。安培设计精巧 的实验定量研究了电流与电流间的相互作用,他把电流看作无 穷多小段电流—电流元的集合,每一电流元用 I ?l 表示,得到 两个电流元间相互作用所遵从的“安培力公式” F ? k

I1?l ? I 2 ?l 。与万有引力、库仑力一 r2

样,两个电流元之间的作用力也是平方反比力(场力) ,方向与元电流方向垂直,如图所示

(不遵守牛顿第三定律?) 。公式中比例系数 k ?

?0 ? 4? ?10?7 N / A2 ,量纲为 ? M ?? L ??T ?
的安培力,即 B ?

?2

?I ?

?0 ,其中 ?0 称为真空磁导率,其值为 4?
。与电

?2

场类比,将磁感应强度定义为检验电流元 I ?l 在该点所受

F ,则电流元 I ?l 在空间某点 P 引起 I ?l I ?l sin ? 的磁场的磁感应强度为 B ? k , 式中 r 是 P 点对 r2 电流元 I ?l 矢径的大小(距离) , ? 是电流元 I ?l 与矢径 r 之间小于 ? 的夹角; B 的方向遵

守右手螺旋定则,即垂直于电流元与矢径所构成的平面,四指从电流经 ? 角转向矢径时拇 指所指方向,如图所示。这就是电流元在空间任一点的磁感应强度所遵从的规律,是由毕奥 和萨伐尔通过直线电流磁场的实验并由拉普拉斯做了数学处理而推广到一般的, 故被称为毕 奥一萨伐尔一拉普拉斯定律。根据磁场的叠加原理,从毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律出发, 就可以计算电流所产生的磁场。 比如无限长直线电流的磁场的磁感应强度。如图所示,直线电流 I 方 向向下,距直线电流 a 的一点 P 的磁感应强度 B 是直线电流上各电流元 I ?li 在 P 点引起的 Bi 的叠加。因为导线无限长,各电流元与矢径之间的 夹角从 0 ? ? ,取第 i 个电流元, P 点对它的张角为 ?? ? 表示为 ?li ? a ? tan i?? ? tan(i ? 1)?? ? ? a

?
2n

,其长度

?? , 由毕奥一萨伐尔 cos (i?? )
2

一拉普拉斯定律,该元电流在 P 点的磁感应强度

I ?li sin( ? i?? ) Ia ? ?? ? sin( ? i?? ) kI ? ?? ? cos(i?? ) 2 2 , Bi ? k ?k ? 2 a ri a cos 2 (i?? )( )2 cos(i?? ) 方向由右手螺旋定则判断为垂直于纸面向外;由叠加原理及对称性,直线电流在 P 点
引起的磁场的磁感应强度为
n kI ? ?? ? cos(i?? ) kI ? 2 lim ? ?? ? cos(i?? ) n ?? a a n?? i ?1 i ?1 n ? n ?1 ? sin( ? ) cos( ? ) n kI 2 2 n 2 2n ? ?0 ? I ? 2 lim ? 2 ? n ?? ?? ?? a ?? ?0 i ?1 2? a sin( / ) 2 2 再比如环形电流中心点 O 处的磁感应强度。 如图所示, 环形电流半径 2? a ? 0 ,其在 O 点处引起的磁感应强度 设为 a ,元电流长度 ?l ? n I ? 2? a I ? 2? Bi ? k ?k ,方向垂直纸面向里,则环形电流在 O 点的合磁 2 na na

?

?

B ? 2 lim ?

n

场磁感应强度为

B ? lim ? k
n ?? i ?1

n

I ? 2? I ? 2? ?0 I 。 ?k ? na a 2a

利用毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律可计算出 “无限长” 通电螺线管内部是一个 B ? ?0nI 的匀强磁场,其中 n 为单位长度线圈匝数,外部磁感应强度为零。绕得很紧密的细长的螺线 管可以理想化为“无限长”螺线管。

【例 l】两根长直导线沿半径方向引到铁环上 A 、 B 两点,并 与很远的电源相连,如图所示。求环中心的磁感应强度。 【分析与解】电流从结点 A 分流,通过劣弧与优弧后从 B 点 流出,设两弧上电流分别为 I1 和 I 2 ,两电流与两弧长度成反

I1 l 2 ? ;再来看两电流在 O 点引起的磁感应强度,由毕奥 I 2 l1 B Il 一萨伐尔一拉普拉斯定律可知 1 ? 1 1 ,显然, B1 ? B2 ;由右手螺旋定则可判断 B1 方向 B2 I 2l2 垂直纸面向里, B2 方向垂直纸面向外,故环中心 O 点的磁感应强度为零。 【例 2 】如图所示,一恒定电流沿着一长为 L 、半径为 R R )的螺线管流过,在螺线管内部产生了磁感应强度 (L 大小为 B0 的磁场,试求线圈末端即图中 P 点的磁感应强度及 以 P 为中心的半径为 R 的圆上的磁通量。 【分析与解】设 P 点的磁感应强度为 B ,设想在此螺线管左端再加一个完全相同的通电螺 B 线管, 则 P 点成螺线管内部, 其磁感应强度 2B ? ?0 nI ? B0 , 可知 B ? 0 ; 在线圈的端面, 2 B 磁感应强度的水平分量为 B ? 0 ,而竖直分量之合成为零,故以 P 为中心的半径为 R 的圆 2 B 2 上的磁通量 ? m ? 0 ? R 。 2 【例 3】 由相同导线构成的立方形框架如图所示, 让电流 I 从顶点 A 流入、 B 流出,求立方形框架的几何中心 O 处的磁感应强度。 【分析与解】如同我们在专题 19 中做过的,正方形框架各边上的 电流分布情况是 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 导线上电流均为 I / 3 ;其 O 点磁场是 12 条直线电流在 O 点引起的 余各边上电流均为 I / 6 ; 合磁场,磁感应强度由各电流在 O 点的分量叠加而成。注意到载 流导线 1 和 4 、 2 和 5 、 3 和 6 、 7 和 10 、 8 和 11 、 9 和 12 都各 是同向平行等值电流,在 O 点引起等值而反向的磁感应强度,各各对消,故 O 点的磁感应
比 强度为零。 【例 4】一 N 匝密绕的螺线管长为 L ,半径为 r ,且 L r 。 当通有恒定电流 I 时,试求作用在长螺线管侧面上的压强 p 。 【分析与解】作用在电流强度为 I 、长 ?l 的电流元上的安培力 大小为 F ? BI ?l , B 是受力电流元所在外磁场的磁感应强度。 在如图所示的长螺线管上 A 处取一电流元 I ?l ,电流元处在除 自身外的螺线管其余部分电流在该处产生的磁场中,设这个磁 场磁感应强度为 B1 。考察 A 处长螺线管外侧面,电流元在长螺

线管外侧面的 A 点产生的磁感应强度设为 B? ,由于长螺线管外侧面磁感应强度为零,则有 B1 ? B? ? 0 ;而在 A 处长螺线管内侧面,电流元产生的磁感应强度大小仍为 B? ,但方向相 反,螺线管其余部分电流在该处产生的磁场为 B1 ,而无限长通电螺线管内部磁场由全部电 流产生,则有 B1 ? B? ? 为 Fi ?

?0 NI
L

,故有 B1 ?

? 0 NI
2L

,于是可得电流元所受其余部分电流的力

?0 NI
2L

? I ? ?l ,而作用在长螺线管侧面上的压强 p ?

?0 NI 2 ?l
2 L?lL

?

?0 NI 2
2 L2



磁场是一个涡旋场,这使磁场与电场在力与能的属性上有诸多不同之处。同样的带电 粒子在磁场中的运动表现也与在电场中不一样。 如表 2 所示是带电粒子在匀强电场与匀强磁 场中运动的对照。

【例 5】如图所示,经 U ? 1000V 电压加速的电子(加速前 静止)从电子枪 T 射出,其初速度沿直线 a 方向。若要求电子 能击中在 ? ? 60 方向,与枪口相距 d ? 5.0cm 的靶 M ,试 求以下两种情况下, 所需的匀强磁场的磁感应强度的大小。 ⑴
0

磁场 B1 垂直于直线 a 与靶 M 所确定的平面;⑵磁场 B2 平行 于枪口 T 向靶 M 所引的直线 TM 。 【分析与解】磁场 B1 垂直于直线。与靶 M 所确定的平面时,电子将在此平面上做匀速圆周 运动,为击中靶 M ,应令其轨道过 M 点,由图甲所示几何关系,可求出轨道圆的半径为

r?

mv d d d ? ;由 ? e ,其中电子从电子枪射出时速度 v 可由加速电场中 0 2sin 60 3 3 eB1

1 me v 2 ? eU 求出,则此种情况下所需的匀强磁场的磁感应强度 B1 的大小为 2 3 ? 2meeU 6 ? 9.1?10?31 ?1.6 ?10?19 ?1000 B1 ? ? T ? 3.7 ?10?3 T 。 ?2 ?19 de 5.0 ?10 ?1.6 ?10 若磁场 B2 平行于枪口 T 向靶 M 所引的直线 TM ,电子将在与此平面垂直的平面上做 匀速圆周运动,同时沿直线 TM 方向匀速直线运动,其轨迹为以 TM 的平行线为轴的等距 螺旋线,为击中靶 M ,应令电子的螺旋线轨道过 M 点,如图乙所示。为此,在匀速直线运 d 动完成位移 d 的时间 t ? 内,匀速圆周运动应完成整周期运动,即有 v c o s 6 00

2? me d ,则 ?n 0 v cos 60 eB2

2? me v cos 600 n? B2 ? n ? de d
代入数据计算得

2meU 。 ( n 为正整数) e

B2 ?

n? 5 ?10?2

2 ? 9.1?10?31 ?1000 T ? 6.7 ?10?3 nT 。 1.6 ?10?19

【例 6】如图所示,一簇质量均为 m 、电量均为 q 的离子在

P 点以同一速率 v 沿 xy 上半平面中的各个方向射出,垂直 于 xy 平面的匀强磁场 B 将这些离子聚焦在 R 点,P 点与 R 点相距为 2 a ,离子轨道应是轴对称的。试确定磁场区的边 mv 界。讨论当 a ? 情况下可聚焦的离子发射角范围。 Bq
【分析与解】我们曾在电场中研究过类似的问题(递进测试 9 第 2 题) ,在那里,我们确定 了满足条件的电场的边界是抛物线。这里,我们也考虑到离子的运动有明显的轴对称性,设 离子在进入磁场前做直线运动,进入磁场区后,在洛伦兹力作用下沿一段圆弧运动,而后离 开磁场区,沿直线运动至 R 。对不同的离子射出角,以适当的圆弧与之衔接,如图所示, 各轨道直线与圆弧对接点,即离子出、入磁场的点的集合为所求磁场的边界。 如图所示,以 ? 角从 P 点射出的粒子,先做直线运动, 在坐标为( x , y )处进入磁场做匀速圆周运动,轨道半径

y mv , 由几何关系 r 2 ? x2 ? (r cos ? )2 , 而a , n t ?? qB a? x 2 2 2 2 2 mv 2 ) ,此即磁场 B 的边界方程 得 x (a ? x ) ? x y ? y ( qB ? 2 2 2 2 2 mv 2 ? x (a ? x) ? x y ? y ( qB ) ,(x ? 0,右边界) ? 或 ? mv 2 2 2 2 2 2 ? x (a ? x) ? x y ? y ( ) ,(x ? 0,左边界) ? qB ?
r?

x(a ? x) ? y ? ,(x ? 0,右边界) ? mv 2 2 ? ( ) ?x qB ? mv 0? x ? 。 ? x ( a ? x ) qB ?y ? ,(x ? 0,左边界) ? mv 2 2 ( ) ?x ? qB ? mv 由于磁场区域受到 0 ? x ? 条件的限制, 可聚焦的粒子的 qB

出射角范围也有限制,在题给条件 a ?

mv 下,磁场边界方程 Bq

? a?x ,(x ? 0,右边界) ?y ? x a?x ? ? ? y ? x a ? x,(x ? 0,左边界) ? a?x ? ? 如图所示,当离子射出角为 时,沿半径为 a 的半圆运动至 R ;当离子射出角为零时,沿 x 2 ? 轴运动至 R ;而当射出角 ? ? 时无法聚焦到 R 处。 2 mv mv 在a ? 及a ? 时可聚焦的粒子的出射角范围留给有兴趣的读者自行探讨。 Bq Bq
带电粒子在电场与磁场的复合场中,既受电场力,又受洛伦兹力的作用,运动情况将较 为复杂。我们介绍几种简单而重要的有应用背景的情况。 速度选择器 正交的匀强电场与匀强磁场区域被称为速度选择器, 它因只可以让各种速 度垂直于电场与磁场的带电粒子中具有一定速率的带电粒子直线通过而得名。 带电粒子在正 交的匀强电场与匀强磁场区域同时受到电场力 Fe ? qE 及洛伦兹力 Fm ? qvB 的作用,若该 二力大小相等、方向相反,即 qvB ? qE ,粒子在该区域所受合力为零,则会沿直线通过而 不因发生偏转落到电极板上,可见能通过“速度选择器”的带电粒子其速度大小须满足

v?

E 。 B

当带电粒子的速度大于或小于“选择速度”时,其运 动情况如何呢?不妨设带正电粒子的初速度为零,处于如 图所示的互相垂直的匀强电场 E 与匀强磁场 B 中, 释放后 受电场力的作用,粒子将会加速,一旦有了速度又将受到 洛伦兹力的作用而改变速度的方向,故粒子将做较为复杂 的曲线运动。现在我们运用分解运动的法宝—将复杂运动 分解成较为简单的两个运动—试试:将初速度为零等效为 与匀强电场 E 及匀强磁场 B 均垂直的大小 v1 ? 和方向相反、大小为 v2 ?

E 的速度 B

E 的速度的合成,在这样的初状态下,带电粒子受到三个力的作 B 用,电场力 Fe ? qE ;洛伦兹力 Fm1 ? qv1B 和洛伦兹力 Fm2 ? qv2 B ,方向如图所示,则粒
子将同时完成两个运动, 一个是以 v1 做匀速直线运动; 一个是在 Fm 2 这个向心力作用下以 v 2 做匀速圆周运动,则粒子的实际运动是这两个运动的合成,其轨迹为一滚轮线,相当于半径

mE 的圆轮在水平面上作纯滚动时轮缘上一点的运动。 qB 2 【例 7】如图所示,质量均为 m ,电量为 ? q 和 ? q 的两个带电质 点相距 2 R 。开始时,系统的质心 C 静止地位于坐标原点 O 处, 且两带电质点在 xOy 平面上绕质心 C 沿顺时针方向做圆周运动。 设当系统处于图所示位置时,规定为 t ? 0 时刻,从该时刻起在所 讨论的空间加上沿 z 轴方向的弱匀强磁场 B 。试求:质心 C 的速 度分量 vx 和 vy 随时间 t 的变化关系及运动轨迹方程,定性画出质 心 C 的运动轨迹。设两带电质点绕质心的圆周运动保持不变,忽略一切万有引力。两带电
为 质点间的相互作用力视作库仑力。

【分析与解】两带电质点构成的“双星”系统质心位于 O 处,未加磁场时,系统不受外力, 质心速度为零,两质点绕质心 C 做角速度为 ? 的匀速圆周运动,由动力学方程

q2 16?? 0 R
2

? mR? 2 ,得 ? ?

q 4R ?? 0 mR



加沿 z 轴方向的弱匀强磁场 B ,质心受到的磁场力是两电荷 所受洛伦兹力之合力:大小总是 F ? 2q? RB ,方向沿两质点连 线而指向 ? q 方向,是一个“有心力” ,此力引起的质心加速度为

a?

q? RB qB q ,角速度为 ? ? 。这使我们想到可 ? m m 4R ?? 0 mR qBR ? ? R (这是在磁场 B 作用下,电荷 q 沿半径为 R 的轨 m qBR 、角速度为 m ?? 0 R 的 ? 4BR 2 m

以把质心的运动分解成两个分运动:设质心的一个初速度为

v1 ?

道运动所对应的速度) ,方向为 ?x ,则质心的一个分运动是线速度为 v1 ?

??

qB q? RB qBR 、 向心加速度为 a ? 、 半径为 r ? ? m m m?

qBR q m 4R ?? 0 mR

匀速圆周运动;质心的另一个初速度是 v2 ?

qBR ,方向为 ? x ,故质心的另一个分运动为 m

qBR 匀速直线运动。这样,质心的运动是匀速圆周运动与匀速直线运动的合成,如图所示, m 质心速度的 x 方向分量与 y 方向分量分别是

qBR ? v ? v ? v cos ? t ? (1 ? cos ?t ), x 2 1 ? ? m ? ?v ? v sin ?t ? qBR sin ?t; y 1 ? m ?
质心运动轨迹为滚轮线,如图所示。

磁聚焦 如图所示, 通过在一组平行金属板 上加交变电压 U 产生横向电场,用载流长螺线 管得到其内部的纵向(横向)匀强磁场 B ,经 加速电场加速、速度为 vx 的电子束通过横向电 场后, 以各种发散角度 ? 进入纵向匀强磁场,电 子的运动轨迹为螺旋线,每经过相同的时间

2? me 2? me ,电子回旋一周并前进一个螺距 h ? vx ? ,若电子沿纵向磁场的运动路径 eB eB 长为 l ,可以调节磁感应强度 B ,使所有电子在 l 路径上完成整数个圆周运动,即比值 elB ? n 为整数,这样,被横向交变电场偏转发散的电子束经磁场作用,会聚到距入射 2? me vx T?

点 l 的同一处,这就是磁聚焦。若电子枪的加速电压为 U ,则由 eU ?

1 2 me vx ,可知 2

vx ?

2eU ,则 me

elB e 8? 2 n2 ? n ,即 ? 2 2 U ,上式中,加速电压 U 及 l 、 B 可 me l B 2eU 2? me me

测得,调节纵向磁场磁感应强度为 B1 时,电子束会聚(在荧光屏上有最细小的亮点) ,此时 电子绕行 n 周,将纵向磁场磁感应强度逐渐调大到 B2 时,电子束又一次会聚,此时电子绕 行 n ? 1 周,根据上式有

B1 n2 (n ? 1)2 ,得 n ? ,则利用磁聚焦还可以测得电子的 ? 2 2 B2 ? B1 B1 B2
0

荷质比。 【例 8】如图所示,在螺线环的平均半径 R 处有电子源 P ,由 P 点沿 磁感线方向注入孔径角 2? ( 2? ? 1 )的一电子束,其中的电子都是 以电压 U 0 加速后从 P 点发出的。假设螺线环内磁场磁感应强度 B 的 大小为常量,设 U0 ? 3kV , R ? 50mm 。

e ? 1.76 ?1011 C ? kg ?1 , me

并假设电子柬中各电子间的静电相互作用可以忽略。⑴为了使电子束 沿环形磁场运动,需要另加一个使电子束偏转的均匀磁场 B1 。对于在环内沿半径为只的圆 形轨道运动的一个电子,试计算所需的 B1 大小;⑵当电子束沿环形磁场运动时,为了使电 子束每绕一圈有四个聚焦点,即如图所示,每绕过 ? / 2 的周长聚焦一次,环内磁场 B 应有 多大?(这里考虑电子轨道时,可忽略 B1 ,忽略磁场 B 的弯曲) 【分析与解】绕在环形管上的一组圆形电流 形成环形螺线管,也称罗兰环,如图所示。 若环上线圈绕得紧密,则磁场几乎全部集中 在螺线环内,环外磁场接近于零,磁感线为 环的一系列同心圆,同一磁感线上各点磁感 应强度的量值相等、方向沿环面。这样的磁 场不能对沿环形磁场运动的电子提供向心 力,故需另加一个使电子束偏转的均匀磁场 对图所示电子速度为 v , 磁场 B1 的方向 B1 , 应 垂 直 于 电 子 圆 运 动 轨 道 平 面 ( 纸 面 ) 向 外 。 由 evB1 ? m

1 2 v2 , eU 0 ? mv , 可 得 2 R

1 2meU 0 1 2 ? 3000 ,代入题给数据得 B1 ? T ? 3.7 ?10?3 T 。 ?3 11 R e 50 ?10 1.76 ?10 当电子束沿环形磁场运动时,由于电子速度方向与磁感应强度 B 的方向成角度 ? ,电 2? me 子将沿螺旋线轨道运动—即在垂直于 B 的平面上做匀速圆周运动, 周期为 T ? , 沿B eB 2? me 方向速度为 v cos? ,螺距为 h ? v cos ? ? ;为了使电子束每绕一圈有四个聚焦点,应 eB 2? me 4 2meU 0 2eU 0 有 2? R ? 4v cos ? ? ,其中 v ? ,则 B ? cos ? 。在 2? ? 10 的条 eB R e me B1 ?
件下, B ?

4 2meU 0 ? 4B1 ? 1.48 ?10?2 T 。 R e

霍耳效应 把一载流导体放在磁场中时, 若磁场方向与 电流方向垂直, 则在与磁场及电流二者均垂直的方向上出现 横向电势差,这一现象是美国物理学家霍耳在 1879 年当他 还是一个年青学生时发现的,故被称为霍耳效应,此电势差 叫霍耳电势差。如图所示,通电金属导体中的载流子—定向 运动( V )的自由电子( e )在磁场( B )中受洛伦兹力

Fm ? eVB 的作用而发生横向漂移,方向向上,这种横向漂
移运动使导体上侧有多余的负电荷而下侧因缺少电子而有多余的正电荷, 于是在导体中形成 一个方向向上的附加电场 EH ,它将阻碍载流子的横向漂移运动,当载流子所受的洛伦兹力 与附加电场力平衡即 eEH ? eVB 时,电子的横向漂移运动停止,这时在导体的上下侧所形 成 的 电 势 差 就 是 霍 耳 电 势 差 U H ? EH b 。 导 体 单 位 体 积 内 的 自 由 电 子 数 为 n , 电 流

IB 1 ,式中 RH ? 由金属导体性质决定,称霍耳系数, neh ne IB 则金属导体的霍耳电势差 U H ? RH 。 h
,代入前式得 U H ? I ? neV hb 不但固体中有霍耳效应,在导电流体中也同样会产生霍耳效应,目前正在研究中的“磁 流体发电”的基本原理就是利用等离子流体的霍耳电势差。 【例 9】如图所示的一块半导体样品放在垂直于竖直面向 外的匀强磁场中, 磁感应强度为 B ? 5 ?10 T , 当有恒定 电 流 I ? 2.0mA 通 过 样 品 时 , 产 生 的 霍 耳 电 势 差 U H ? 5.0mV , 极 性 如 图 中 标 示 , a ? 1.00mm ,
?3

b ? 3.00mm 这块样品是 N 型半导体还是 P 型半导体? 载流子密度是多少,载流子定向运动的速度是多少? 【分析与解】 根据磁场方向与电流方向可知载流子所受洛伦兹力方向是向下的, 而下板聚集 负电荷,说明这块样品中多数载流子是电子,是 N 型半导体。
载流子密度设为 n ,由 U H ?

IB ,得 neh IB 2.0 ?10?3 ? 5 ?10?3 n? ? ? 1.25 ?1019 ; eaU H 1.6 ?10?19 ?1.0 ?10?3 ? 5 ?10?3

载流子漂移速度 V 由 eV B ?

UH U 5 ?10?3 e 可得 V ? H ? m / s ? 333m / s 。 b bB 3 ?10?3 ? 5 ?10?3

半导体中载流子密度比金属小、霍耳系数比金属大,所以半导体中的霍耳电势差更大, 用半导体晶片做成的四端霍耳元件在自动控制和检测技术中有广泛应用。 磁镜 有一如图所示的非均匀磁场,该磁场两端很 强,中间较弱。带电粒子在此非均匀磁场中向磁场较强 的方向运动时,可做螺旋线运动,我们已经知道,螺旋

mv ,带电粒子在非均匀磁场中向磁场较强 qB 的方向运动时的螺旋线轨迹半径随 B 的增大而减小;同
线半径 r ? 时, 带电粒子在非均匀磁场中所受洛伦兹力总有一指向磁场较弱方向的分量, 此分力的作用 效果是阻碍粒子向磁场强的方向运动, 最终使带电粒子掉头返转, 就像光线遇到镜面反射一 样,非均匀磁场对带电粒子的这种效应称为磁镜效应。由于磁场两端强、中间弱,磁镜效应 使带电粒子如同被两平面镜反射的光线,在两端之间来回振荡,被约束在一定范围内,形成 磁约束。形成这种磁场效应的装置叫磁镜。在受控热核反应装置中, 一般都采用这种磁场来约束等离子体。 磁约束现象也展现在宇宙空间,例如地球这个大磁体,其磁场

分布就是两极强而中间弱,成为一个天然的磁镜。外层空间的带电粒子进入后,将绕地磁感 线做螺旋运动,并被两极来回反射,约束在地磁感线区域,形成所谓范·阿伦辐射带,如图 所示。 美丽的极光也是范· 阿伦辐射带中的粒子因空间磁场的变化而有机会进入地极附近的 大气层而产生的。 【例 10】围绕地球周围的磁场是两极强、中间弱的 空间分布。1958 年,范·阿伦通过人造卫星搜集到 的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情 况后,得出了在距地面几千公里到几万公里的高空 存在着电磁辐射带(范·阿伦辐射带)的结论。有 人在实验室中通过实验装置,形成了如图所示的磁 场分布区域 MM ,在该区域中,磁感应强度 B 的大 小沿 z 轴从左到右,由强变弱,由弱变强,对称面 为 PP 。已知 z 轴上 O 点磁感应强度 B 的大小为 B0 ,两端 M 点的磁感应强度为 BM 。现有 一束质量均为 m 、 电量均为 q 、 速度大小均为 v0 的粒子, 在 O 点以与 z 轴成不同的投射角 ? 0 向右半空间发射。设磁场足够强,粒子只能在紧邻 z 轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力 管”内运动。试分析说明具有不同的投射角 ? 0 的粒子在磁场区 MM 问的运动情况。 提示:理论上可证明:在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度 v? 的平方与 磁力管轴上的磁感应强度的大小 B 之比为一常量。 【分析与解】通过本题我们半定量地了解磁镜的作用。我们知道,题给磁力管是理想化的磁 镜,粒子在其中沿螺旋线在中心 O 两侧往复运动,或从两端飞出。在 O 点,由题给条件
2 2 v0 ? ? kB0 ? (v0 sin ?0 ) ,比值 k ?

(v0 sin ? 0 )2 ; B0

带电粒子向 M 运动过程中,洛伦兹力总与速度方向垂直,故合速度大小 v0 保持不变,但做
2 圆运动的垂直于该处磁场 B 方向的分速度 v? ?

(v0 sin ?0 )2 B ,会随 B 的增大而增大;螺旋 B0

半径 R ?

mv? mv0 sin ? 0 ? qB q

1 随 B 的增大而减小; 沿磁场 B 方向的分速度 (管向速度) B0 B

2 v2 p ? v0 ?

(v0 sin ? 0 )2 B ,则会随 B 的增大而减小。下面讨论粒子在 M 端的管向速度情况。 B0 (v0 sin ?0 )2 BM ,若这个速度大于零, B0

2 在 M 端,粒子沿磁场方向即管向速度 v 2 pM ? v0 ?

2 v0 ?

B0 (v0 sin ? 0 )2 ,具有这样的投射角的粒子将从 M 冲出磁 BM ? 0 ,即 ? 0 ? arcsin BM B0
2 0

B0 (v0 sin ? 0 )2 力管;若粒子管向速度等于零, v ? ,具有这样 BM ? 0 ,即 ? 0 ? arcsin BM B0 mv0 的投射角的粒子在 M 处做半径为 r ? 的圆运动;若粒子管向速度小于零, qBM B0 (v0 sin ? 0 )2 ,这种情况下,粒子在到达 M 前,管向速 v ? BM ? 0 ,即 ? 0 ? arcsin BM B0 B0 度已然减为零,那么粒子在 B ? 处在垂直于管的平面上以 v0 做匀速圆周运动,这包 sin 2 ? 0
2 0

括?0 ?

? 时,粒子在 PP 面上做匀速圆周运动的情况。 2 B0 事实上在 ? 0 ? arcsin 时粒子在非均匀磁场中某处的匀速圆周运动是不稳定的, BM
B0 的位置之间振荡, sin 2 ? 0

由于微扰,粒子会偏离原轨道平面,前面我们分析过,带电粒子在非均匀磁场中所受洛伦兹 力总有一指向磁场较弱方向的分量,因此,粒子会在 O 两侧 B ? 即约束在磁力管内。 综上, 磁力管中投射角 ? 0 ? arcsin 的粒子则被约束在管区内。 1、如图所示,在半径为 R 的圆周上沿诸大圆绕有细导线,诸导线相交于同一直径 AB 的两 端,共有六个线圈,每相邻两线圈平面的夹角均为 30 ,导线上流过电流 I ,求在木球球心 O 处磁感应强度的大小与方向。
0

B0 B0 的粒子将冲出管区; 投射角 ? 0 ? arcsin BM BM

2、有一个宽为 b 、无限长薄铜片,通有电流 I 0 。求铜片中心线正上方 h ( h ? b )处的 P 点 的磁感应强度。

3、一个塑料圆盘,半径为 R ,带电 q ,均匀分布在盘表面上,圆盘绕通过圆心垂直于盘面 的轴转动,角速度为 ? ,试求圆盘中心处 O 的磁感应强度。

x2 y 2 ? ? 1( A ? B ,其中 A 和 B 均为已知量) A2 B 2 的椭圆形闭合导线当导线中通以稳恒电流 I 时,椭圆导线焦点处磁感应强度 B1 的大小。
4、试应用毕奥一萨伐尔定律,求解方程为

5、长直圆柱形载流导线内磁场具有轴对称性,离轴 r 处的磁感应强度 B ?

?0
2

? j ? r 。现有

半径为 a 的金属长圆柱体内挖去一半径为 b 的圆柱体,两圆柱体的轴线平行,相距 d ,如图 所示。 电流 I 沿轴线方向通过, 且均匀分布在柱体的截面上, 试求空心部分中的磁感应强度。

6、如图所示,质量不计的柔韧细导线的一端悬挂质量为 M 的重物,给细线提供张力 T , 另一端固定于天花板上。它的一段处于图中所示匀强磁场 B 中并通有电流 I ,求弧线的曲 率半径 R 。若带电量为 q 、质量为 m 的粒子从 a 点入射磁场,其动量如何才能使它沿弧线 运动?

7、带电粒子进入介质中,受到的阻力跟它的速度成正比。在粒子完全停止前,所通过的位 移为 s1 ? 10cm ,如果在介质中有一个跟粒子速度方向垂直的磁场,当粒子以跟原来相同的 初速度进入这一带有磁场的介质时,它则停止在距入射点的距离为 s2 ? 6cm 的位置上,如 果磁场强度减少 1/ 2 ,那么该粒子应停留在距入射点多远( s3 )的位置上?

8、如图所示, S 为一离子源,它能机会均等地向各个方向持续发射大量质量为 m 、电量为 q 、速率为 v 的正离子,在离子源的右侧有一半径为 R 的圆屏,离子源在其轴线 OO? 上。 在离子源与圆屏之间的空间有范围足够大的方向水平向右并垂直于圆屏的匀强磁场, 磁感应 强度为 B ,在发射的离子中有的离子不管 SO 距离如何改变,总能打在圆屏上。求这样的离 子数目与总发射离子数目之比。

9、 如图所示, 在 xy 平面上有一束稀疏的电子 (其间的相互作用可忽略) , 在 ?H ? y? H 范 围内,从 x 负半轴的远处以相同的速率 v 沿着 x 轴方向平行地向 y 轴射来。试设计一磁场区 域,使得⑴所有电子都能在磁场力的作用下通过坐标原点 O ;⑵这束电子最后扩展到 ?2H ? y ? 2H 范围内继续沿着 x 轴方向向 x 正半轴的远处平行地以相同速率射去。

10、如图所示,一窄束单能氩离子通过一扇形匀强磁场,此束射线的轴在进、出磁场时离子 束的轴线都与场的边界垂直。求质量数 m1 ? 36 和 m2 ? 40 的氩同位素的发散角。已知

? ? 600 。

11、如图所示的空间直角坐标系, z 轴为竖直方向,空间存在着匀强磁场,磁感应强度 B 的 方向沿 y 轴正方向,一个质量为 m 、带电量为 q 的带电微粒从原点 O 处以速度 v0 射出,初 速度方向为 x 轴正方向,试确定各物理量间满足什么条件,就能保证 v0 的大小不论取何值, 带电微粒运动过程中都能经过 x 轴上的 x0 点。

12、质量为 m 、电量为 q ( q ? 0 )的小球,在离地面高度为 h 处从静止开始下落,为使小 球始终不会和地面相碰, 可设想在它开始下落时就加上一个足够强的水平匀强磁场。 试求该 磁场磁感应强度的最小可取值 B0 ,并求出当磁场取 B0 时小球的运动轨道。

13 、如 图所 示的 磁动力泵 是高 h ? 0.1m 的 矩 形槽 ,槽相对 的两 壁是 导电 的,距离 为 l ? 0.05m 。 两导电壁加上电势差 U ? 1.4V , 垂直于两非导电壁加上磁感应强度 B ? 0.1T 的 均匀磁场。槽的下部与水银面接触,上部与竖直的非导电管相连。试问水银上升多高?(水 银的电阻率 ? ? 10?6 ?? m ,水银密度 ? ? 14 ?103 kg / m3 ,重力加速度 g ? 10m / s 2 )

14、一个初始时未充电的电容器的两个极板之间的距离为 d 。有一个磁感应强度为 B 的磁 场,平行于电容器的极板,如图所示。当一电中性的相对介电常数为 ? r 的液体以速度 v 流 过两个极板之间时,连接在电容器两个极板间的电压表的读数是多少?

15、如图所示,长为 L 、截面半径为 R 的圆柱体内,沿轴向流过均匀电流 I ,忽略边缘效 R。 应, 已知 L 一束质量为 m 、 电量为 ? q 的粒子以速度 v 平行于主轴从圆柱体左端入射, 不考虑粒子间的相互作用及与圆柱体内部微粒的作用, 且忽略圆柱体内电场; ⑴忽略粒子在 圆柱体内的径向移动距离及粒子轴向速度的变化,试证明通过圆柱体后粒子将聚焦于一点; ⑵考虑粒子在圆柱体内的径向运动而不计粒子轴向速度的变化, 求粒子束聚焦在圆柱右端所 需满足的条件。

16、有一正点电荷 Q 和细长磁棒的磁极处于同一位置,在它们所生成的电磁场中,有一质 量为 m 、电量为 q 的质点,沿圆轨道运动,圆轨道直径对产生电磁场的电荷及磁极所在点 张角为 2? ,已知细长磁铁的一个磁极产生的磁场 B ?

a ? r ,a 为常量,求质点运动的轨道 r3

半径。

17、如图所示,一个非常短的磁铁 A ,质量为 m ,被一根长 l ? 1m 的线水平地悬起。移动 另一个非常短的磁铁 B 慢慢地靠近 A ,保持两磁铁的磁极相互之间始终在同一水平线上。 当两个磁极间的距离为 d ? 4cm 时, 磁铁 A 与最初位置的水平距离为 s ? 1cm , 此后磁铁 A 可自发地慢慢向 B 移动。⑴磁铁间的相互作用力与其间距离的关系为 Fm ( x) ? ?

k ,正负 xn

表示两磁铁磁极间为引力或斥力。试确定 n 的值;⑵现将两磁铁放在开口向上的玻璃管中, B 在上方,并使两个磁铁相互排斥,磁铁 A 在玻璃管中有掉转方向的趋势,求两个磁铁处 于平衡时所能分开的距离。

18、如图所示的无限大匀强磁场磁感应强度为 B ,一个质量为 m 、电量为 ? q 的粒子以初速 度 v0 从 y 轴上的 Q 点开始运动,运动中受到大小恒定的阻力 F ,已知出发点坐标为( 0 ,

qv B mv0 ) 。⑴试确定粒子运动的轨迹方程;⑵若 F ? 0 ,求粒子的最终位置。 ? qB

19、在一个真空箱内,电流 I 流过一根电阻很小的长直导线,初速度为 v0 的电子垂直于导 线从距导线的径向距离为 r0 的一点开始运动。已知电子不能比 r0 / 2 更靠近导线,试确定电 子的初速度 v0 。不考虑地磁场的影响。

20、在外磁场中的超导体,平衡后超导体内部的磁感应强度处处为零,超导体表面外侧的磁 感应强度与表面平行。如图所示的 O ? xyz 直角坐标中, xy 平面是水平面,其中有一超导 平板, z 轴竖直向上,超导平板在 z ? 0 处,在 z ? h 处有一质量为 m 、半径为 r 、环心在 z 轴上、环平面为水平面的匀质金属圆环,且有 r ? h 。在圆环内通以稳恒电流,刚好使圆环 漂浮在 z ? h 处。⑴试求圆环中的电流强度;⑵若使圆环保持水平,从平衡位置稍稍偏上或 偏下,则圆环将上、下振动,试求振动周期 T1 ;⑶当圆环处在平衡位置时,其中与 x 轴平行 的直径标为 PP 与 y 轴平行的直径标为 Q1Q2 。 若保持 PP 使圆环绕 PP 1 2, 1 2 不动, 1 2 稍有倾斜, 即使 Q1Q2 与 y 轴有很小的夹角,则圆环将以 PP 1 2 为轴摆动,试求周期 T2 。


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