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中职数学基础模块上册人民教育出版社第五章三角函数教案集


第五章

三角函数

5.1.1

角的概念的推广

【教学目标】 1.理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念,掌握角的加减运算. 2.通过观察实例,使学生认识角的概念推广的可能性和必要性,树立运动变化的观点,并由此深刻 理解任意角的概念. 3.通过教学,使学生进一步体会数形结合的思想. 【教学重点】 理解任意角(正角、负角、零角) 、终边相同的角、第几象限的角的概念,掌握终边相同的角的表示 方法和判定方法. 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念. 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法,结合多媒体课件,带领学生发现旧概念的不足之处,进而探索新的概 念.讲课过程中,紧扣“旋转”两个字,让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 师: 初中学过的角的定义是 什么? 生:在平面内,角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形. 师:如图: ∠AOB=∠BOA=120?, B 设计意图

1.复习初中学习过的角的定义. 复 习 导 入

2.提出新问题: 运动员掷链球时,旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针,旋转量也不 止一个平角,那如何来度量角的大小 呢? A O 初中时的角不考虑旋转方 向, 只考虑旋转的绝对量而且角 的范围在 0~360° .

复习旧知, 使学生 发现旧知识的局限性, 激发学习新知识的兴 趣.





1.任意角的概念. (1)射线的旋转方向: 逆时针方向——正角; 顺时针方向——负角; 没有旋转——零角. 画图时,常用带箭头的弧来表示旋 转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的 角,又常称为转角. 例如, ∠ AOB=120° ,∠ BOA=-120° .

教师画图说明正角,负角, 零角,以及角的始边、终边. 教师小结: 由旋转方向的不 同定义正负角, 由旋转量的不同 得到任意范围内的角.

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B 120° -120° O A 1. 教师画图, 学生说角的度数. 2.学生练习:画出下列各角: (1)0,360° ,720° , 1 080° ,-360° ,-720° ; (2)90° ,450° ,-270° , -630° . 学生通过自己练 习画图, 深刻体会 “旋 转”两个字的含义, 加深对任意角的概念 的理解.



(2)射线的旋转量: 当射线绕端点旋转时,旋转量可以 超过一个周角, 形成任意大小的角.角的 度数表示旋转量的大小. 例如 450° ,-630° . 2.角的加减运算. 90° -30° =90° +(-30° ) =60° . B C 30° 60° 90°

学生练习:求和并作图表示: 30° +45° ,60° -180° .

学生自己动手画 图求和,加深对旋转 变化的理解.



o

A 师:观察我们刚画过的角, ( 1 ) 0, 360° , 720° , 1080° , -360° ,-720° ; (2)90° ,450° ,-270° , -630° . 思考: 始边、 终边相同的两 个角的度数有什么关系? 学生讨论后回答:终边相同 的两个角的度数相差 360° 的整数 倍. 师:与 30°始边、终边都相 同的角有哪些?有多少个?它们 能不能统一用一个集合来表示? 得出结论. 将例 1 分解为两 个小题,边讲边练, 小步子,低台阶,学 生容易消化吸收.

o 各角和的旋转量等于各角旋转量 的和. 3.终边相同的角. 所有与 α 终边相同的角构成的集合 可记为 S={x ? x = α + k?360° ,k?Z}.

例 1(1) 写出与下列各角终边相同的 角的集合. (1) 45° ; (2) 135° ; (3) 240° ; (4) 330° . 解 略. 4.第几象限的角. 在直角坐标系中讨论角时,通常使 角的顶点和坐标原点重合,角的始边与

例 1(1)由学生口答,教 师给出规范的书写格式.

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第五章

三角函数

x 轴的正半轴重合.这样角的大小和方向 可确定终边在坐标系中的位置 . 这样放 置的角,我们说它在坐标系中处于标准 位置. 处于标准位置的角的终边落在第 几象限,就把这个角叫做第几象限的 角.如果角的终边落在坐标轴上,就认 为这个角不属于任何象限. 例 1(2) 指出下列各角分别是第几象 限的角. (1) 45° ; (2) 135° ; (3) 240° ; (4) 330° . 例 2 写出终边在 y 轴上的角的集合. 解 终边在 y 轴正半轴上的一个角 为 90° , 终边在 y 轴负半轴上的一个角 为-90° ,因此,终边在 y 轴正半轴和负 半轴上的角的集合分别是 S1={α ? α = 90° +k· 360° ,k?Z} S2={α ? α =-90° +k· 360° ,k?Z} 所以终边在 y 轴上的角的集合为 S1∪S2={α?α=90° +k · 360° ,k?Z} ∪{α? α=-90° +k· 360° ,k?Z} ={α ? α=90° +k · 180° ,k?Z}.

例 1(2)学生口答.





讲解例 2 时, 教师结合教材 图示的平面直角坐标系, 带领学 生分析题意. 师: 角的终边落在 y 轴上包 含哪两种情况? 生: 终边落在 y 轴正半轴上 或者落在 y 轴负半轴上. 师:90° 的角终边落在 y 轴 的正半轴上吗?与它终边相同 的角的集合是什么? -90° 的角终边落在 y 轴的 负半轴上吗?与它终边相同的 角的集合是什么? 这两个集合的并集怎么求?

例 2 难度较大, 教师应详细讲解两个 集合如何求并集.

模仿练习: 写出终边在 x 轴上的角的集合. 例 3 在 0~360° 之间,找出与下列各角 例 3 引导学生画图解决, 或 终边相同的角,并分别判定各是第几象 者用计算器解答. 限的角? (1)-120° ; (2)640° ; (3)-950° . 例 4 写出第一象限的角的集合. 解 在 0~360° 之间,第一象限的 角的取值范围是 0° <α<90° ,所以第一 象限角的集合是 {α?k · 360° <α<90° +k · 360° ,k?Z}. 教师结合平面直角坐标系 讲解例 4. 学生分组练习: (1)写出第二象限角的集合; (2)写出第三象限角的集合; (3)写出第四象限角的集合. 可增加判断题: 使学生准确 区分 0~90° 的角,锐角,小于 90° 的角,第一象限角.

本模仿练习意在 渗透 B 组练习的解题 思路.

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小 结

1.任意角的概念. 2.角的加减运算. 3.终边相同的角的集合. 4.象限角的概念. 教材 P127,练习 A 组第 3、4 题; 练习 B 组第 1、3 题.

教师带领学生回顾本节课 的知识脉络图.

本节课概念众 多,通过梳理脉络, 帮助学生巩固知识.

作 业

巩固拓展.

5.1.2
【教学目标】

弧度制

1. 理解弧度制的概念以及弧长公式,掌握角度制与弧度制的换算. 2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系. 3. 通过教学,使学生体会等价转化与辩证统一的思想. 【教学重点】 理解弧度制的概念,掌握弧度制与角度制的换算. 【教学难点】 理解弧度制的概念. 【教学方法】 本节课采用类比教学法,在复习角度制的基础上引入弧度制,深入探究它们之间的换算方法,使学生 认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制与角度制的比较,使学生认识到弧度制的优越性, 逐步适应用弧度制度量角. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 师:初中学过角度制,1 度角 是怎么定义的? 生:把一圆周 360 等分,则 复 习 导 入 其中一份所对的圆心角是 1 度 复习初中学过的角度制. 角.且 1° =60′,1′=60″. 师:在数学和其他科学中我 们还经常用到另一种度量角的单 位制——弧度制. 复习角度制. 设计意图

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三角函数

1. 弧度制的度量单位——



教师引导学生考察圆心角、 弧长和半径之间的关系: 1 弧度的角. 如图,两个大小不同的同心 圆中圆心角为?,设? = n° ,则 l (1) 弧长与半径的比值 等于一 r 2πr l=n , 360 个常数,只与 ? 的大小有关, 2 π r' l' =n , 与半径长无关. 360 由此, l l' 2π = =n . r r' 360

通过说明同心圆 中弧长与半径的比值 是一个仅与圆心角 α 的大小有关的常数, 引入 1 弧度的概念.

课 O

? l'
r'

l r

所以,对于任何一个圆心角 ?, 所对弧长与半径的比值是一个 仅与角? 的大小有关的常数. 这就启示我们可以用圆的半

(2) 定义: 等于半径长的圆弧所对 径作单位去度量弧,从而得到一种 的圆心角叫做 1 弧度的角;弧度记作 新的度量角的制度——弧度制. rad. 2.角度制与弧度制的换算公式. 2πr 周角=360° = =2π rad, r 360° =2π rad. 平角=180° =π rad, 即 180° =π rad. 即 1° = π rad≈0.017 45 rad, 180 师举例: 若所对的弧长 l=2r, 那么圆心角的弧度数就是 2 rad; 若所对的弧长 l=3r, 那么圆心角的弧度数是多少? 生:3 rad. 若所对的弧长就是 l, 那么圆心角的弧度数是多少? 生: l rad. r 由定义出发,让 学生在教师的问题引 导下自己探究得出角 度制与弧度制之间的 换算公式和弧长公 式.

180 1 rad=( )?≈57.30° =57?18? . π 由此得到 n° 与 ? rad 的换算公 式:

师:圆的周长所对的圆心角 是多少弧度? 生:圆的周长 l=2πr, 周角= 360° = 2πr = 2π rad ,即 r

?=180 或者 n° =? · ( )° π
新 特殊角的弧度数与角度数的互 化,见教材 P 130 对应值表.



180

课 例 1 把 67?30? 化成弧度. 135 解 67?30? =( )?, 2 67?30? = = π 135 rad? 180 2 3π rad. 8

360° =2π rad. 师:180° 等于多少弧度?90° 呢?60° ,45° ,30° 呢? 得到特殊角的角度数与弧度 数的换算.利用教材 P130 的对应 值表或者数轴来记忆特殊角的弧 度数.

例 1 和例 2 可由学生自己完 成,教师只指导书写格式. 相应的练习题的练习方式: ( 1 )教师说出特殊角的角

帮助学生熟记特 殊角的弧度数.

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度,学生说弧度; 练习 1 教材 P131, 练习 A 组第 2 题. (2)教师说出特殊角的弧度 数,学生说角度数. 3π 例2 把 rad 化成度. 5 解 3π 180 3π rad =( )?? 5 π 5 =108° . 练习 2 教材 P131, 练习 A 组第 3、 4 题. 例 3 使用函数型计算器,把下列度 数化为弧度数或把弧度数化为度数 (精确到小数点后 4 位数) : (1)67° ,168° ,-86° ; (2)1.2 rad,5.2 rad. 解 略. 由于角有正负,我们规定: 正角 的弧度数为正数,负角的弧度数为负 数,零角的弧度数为 0. 这种用 “弧度” 做单位来度量角 的制度叫做弧度制. 无论是用角度制还是弧度制,都 能在角的集合与实数集 R 之间建立一 一对应的关系. 3.弧长公式. 由弧度的定义,我们知道弧长 l 与半径 r 的比值等于所对圆心角 α 的 弧度数(正值),即 新 α = l ,得到 l= α· r. r

熟练角的弧度数 与角度数的互化.

在例 4 中, 可加上 求扇形的面积一问, 为课后 B 组第 4 题 作准备.

这是弧度制下的弧长计算公式. 课 例 4 如图,⌒ AB 所对的圆心角为 60° , 半径为 5 cm,求⌒ AB 的长 l (精确到 0.1 cm).

B

60?
O

A

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三角函数

解 因为 60° =

π , 3

π 所以 l= αr= ?5≈5.2. 3 即⌒ AB 的长约为 5.2 cm. 小 结 本节知识点: (1)弧度制的定义; 让学生根据板书自己总结本 (2)角度制与弧度制的换算公式; 节主要内容. (3)弧长公式. 必做题: 教材 P 131,练习 A 组第 6 题, 练习 B 组第 1、2、3 题; 选做题: 教材 P 132,练习 B 组第 4 题. 归纳整理知识点,明 确弧度制的意义.

作 业

5.2.1 任意角三角函数的定义
【教学目标】 1. 理解并掌握任意角三角函数的定义;熟记其在各象限的符号;掌握三角函数线的定义及画法. 2.通过教学,使学生进一步体会数形结合的思想. 【教学重点】 任意角三角函数的定义. 【教学难点】 单位圆及三角函数线. 【教学方法】 本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法.在复习锐角三角函数定义的基础上,定义了任意角 的三角函数,讲练结合,使学生牢固掌握.然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三 角函数在各象限的符号,接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示,使数与形密切 结合起来,以加强学生对三角函数定义的理解. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图

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导 入

复习锐角三角函数定义.

师: 初中时我们学过锐角三 角函数,当时是怎样定义的? 问题 1: 当我们把锐角的概

以旧引新.

1. 任意角的三角函数定义. y?)是角? 的终边与两个半径不同的同 心圆的交点. (r= x2+y2 , r'= x'2+y'2 ) 新 如图所示: y P 课 O r P?’ r′ y′ x′ y x x

已知 ? 是任意角, P(x, y), P?(x?, 念推广为转角后, 我们如何定义 任意角的三角函数呢? 如左图所示, 由相似三角形 对应边成比例得, ?x ? ?x'? = , r r' 说明三角函数定 义的理论根据.

?y ? ?y'? ?y ? ?y'? = , = . r r' x x' 由于点 P,P' 在同一象限 内,所以它们的坐标符号相同, x x' y y' y y' 因此, = , = , = , r r' r r' x x' 所以三个比值 x y y , , 只依 r r x

赖于 ? 的大小,与点 P 在 ? 当角 ? 不变时,对于角 ? 的终边 上任意一点 P (x, y) , 不论点 P 在角 ? x y 的终边上的位置如何, 三个比值 , , r r y 始终等于定值.因此定义: x 角 ? 的余弦 cos ? = 角 ? 的正弦 sin ? = 角 ? 的正切 tan ? = x ; r y ; r y . x 教师引领学生识记三角函 数定义. 终边上的位置无关.

依照上述定义,对于每一个确定的 角 ?,都分别有唯一确定的余弦值、正 弦值、正切值与之对应,所以这三个对 应关系都是以角 ? 为自变量的函数, 分别叫做角 ? 的余弦函数、正弦函数 和正切函数. 2. 三角函数求值. 新 根据三角函数定义,可得计算三角 函数值的步骤: 依据函数定义说明角 ? 与三角函数值的对应关系.

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第五章

三角函数

S1 画角:在直角坐标系中,作转 课 角等于 α; S2 找点:在角 α 的终边上任找一 点 P,使?OP?=1,并量出该点的纵坐标 和横坐标; S3 求值:根据相应三角函数的定 义,求该角的三角函数值. 例 1 已知角 ? 终边上一点 P(2,- 3),求角? 的三个三角函数值. 解 已知点 P(2,-3) ,则 r=?OP?= 22+(-3)2 = 13 , 由三角函数的定义,得 -3 y 3 13 = =- ; r 13 13 x 2 cos ? = = = 2 13 ; r 13 13 y 3 tan ? = =- ; x 2 sin ? = 练习: 在直角坐标系中, 画出半 通过学生自己动

径为1的圆,求出 30°,38°, 手测量,加深学生对三 128°等角的正弦、余弦和正切 的值. 角函数定义的理解,并 为学习单位圆做铺垫.

在例 1 中强调: (1) P 为角 α 的终边上任意一

强调这几点为练 习 B 组第 1、2、3 做 铺垫.

练习 1 教材 P138,练习 A 组第 1、4、 点; 5 题. (2) 求三角函数值时用到的三 个量 x,y,r 以及三者的关系; 例 2 试确定三角函数在各象限的符号. 解 由三角函数的定义可知, y sin ?= ,角 ? 终边上点的纵坐 r 标 y 的正、负与角 ? 的正弦值同号; x cos ?= ,角 ? 终边上点的横坐 r 教师可通过教材 P138 练 习 A 组第 1 题中的练习让学生 自己总结出三角函数在各象限

通过练习 1, 熟练已知 角的终边上一点求三 角函数值的步骤.

标 x 的正、负与角 ? 的余弦值同号; 的符号. 由 tan ? = y , 则当 x 与 y 同号 x 根据三角函数的定义,及 各象限内点的坐标的符号得出 三角函数在各象限的符号, 教师 总结口诀,帮助学生记忆: + y - + - y + Ⅰ全正,Ⅱ正弦, Ⅲ正切,Ⅳ余弦. 由练习中的具体 题目到例 2 的理论分 析,由特殊到一般加 深学生对三角函数符 号的理解.

时,正切值为正,当 x 与 y 异号时, 正切值为负. 三角函数在各象限的符号如下图 所示: y + 新

O x - - sin α

O x - + cos α

O x + - tan α
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练习 2 确定下列各三角函数值的符号: (1)sin(-

练习 2 也可以用计算器直

π 4π 接求出三角函数值, 然后确定符 );(2)cos 130?;(3)tan . 4 3 号. 例 3 使用函数型计算器,计算下列三

角函数值: (1)sin67.5?, cos372?, tan (-86?); (2) sin1.2, cos 解 略. 3π 5π , tan . 4 6

3. 单位圆与三角函数线. 如图,以原点为圆心,半径为 1 的 圆称作单位圆. 师:在任意角三角函数的 1 P(cos ?,sin ?) 定义中,当角 ? 的终边上一点 P (x, y) 的坐标满足 r= x2+y2 ? A(1,0) =1 时,三角函数的正弦、余弦 O M x 会变成什么样呢? 看着图示, 结合三角函数定 义讲解正弦线、 余弦线、 正切线 的由来. 设角 ? 的终边与单位圆的交点 为 P(x,y),过点 P 作 PM 垂直于 x 轴, 则 sin ?=y,cos ?=x, 即 P(cos ?,sin ?). cos ?=x=OM;sin ?=y=MP. 于是我们把规定了方向的线段 OM,MP 分别称作角?的余弦线、正弦 学生自己动手,熟悉正弦 线. 练习 3(1) 在直角坐标系的单位圆 新 π 2π 中,分别画出 和- 的正弦线、余 3 3 弦线. 课 设单位圆在点 A 的切线与角?的终 边或其反向延长线相交于点 T ( T ? ) , 则 y AT tan ?= = =AT ( AT? ), x OA 所以 AT ( AT? )称作角 α 的正切线. 练习 3 (2) 在直角坐标系的单位 线,余弦线的画法. y

学生理解正切线 难度较大,教师要详 细讲解各个象限内的 角的正切线的做法.

学生自己动手,熟悉当角? 在不同象限时正切线的画法.

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第五章

三角函数

圆中,分别画出

π 2π 和- 的正切线. 3 3

回忆本节课所学知识点: 小 (1)任意角三角函数的定义 (代数表示) . (2) 任意角三角函数值的求法(两种方 结 法) . (3) 任意角三角函数值的符号(记住口 诀) . (4)任意角三角函数的几何表示 (三角函 数线). 作 业 本节教材内容颇 教材 P 138, 练习 A 组, 练习 B 组. 多,教师可根据当堂 内容布置相应作业. 让学生叙述本节所学知识 点以及典型例题及解题步骤. 梳理知识脉络.

5.2.2 同角三角函数的基本关系式
【教学目标】 1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式,会运用公式求值,化简,证明. 2. 通过教学,培养学生用方程(组)解决问题的方法,培养学生分析问题,解决问题的能力. 3. 通过学习,揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想. 【教学重点】 同角三角函数的基本关系式的推导及应用(求值、化简、恒等式证明) . 【教学难点】 同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用. 【教学方法】 本节主要采用讲练结合的方法.在教学过程中,要注意引导学生理解每个公式,懂得公式的来龙去 脉,并能灵活运用.课堂中,充分发挥学生的主体作用,让学生自主探究问题并解决问题,使学生熟练用 方程(组)解决问题的方法. 【教学过程】

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教学 环节

教学内容

师生互动

设计意图 推出 sin2?+cos2?=1

复习三角函数定义、单位圆和三角函数 y 线、勾股定理. P(cos ?,sin ?) 复 1 习 sin ? 导 O cos ? x 入

教师提出问题,学生回答.

sin ? =tan ? cos ? 这两个基本关系 式.



在单位圆中, 由三角函数的定义和勾股 定理,可得同角三角函数的基本关系式: sin2 ?+cos2?=1; sin ? =tan ? . cos ?



师讲解: 1.sin2?,cos2? 的读法、写法. 2.让学生验证 30° ,45° ,60° 的 初步认识和 正弦,余弦,正切值满足两个关 记 忆 两 个 关 系 系式. 式,理解 “同角” 3. “同角”的概念与角的表达形式 的含义. 无关,如:sin2 β+cos2 β=1. 4.同角的意义:一是“角相同” ; 二是“任意一个角” .

当我们知道一个角的某一三角函数值 时,利用这两个关系式和三角函数定义,就 可求出这个角的另外几个三角函数值.此 外, 还可用它们化简三角函数式和证明三角 恒等式. 同角三角函数的基本关系式应用之一: 求值. 4 例 1 已知 sin ?= ,且 ? 是第二象限的 5 角,求 ? 的余弦和正切值. 解 由 sin2?+cos2?=1,得 cos ?=± 1-sin2? . 因为? 是第二象限角,cos ?<0, 所以 cos ?=- 4 3 1-( )2 =- , 5 5

例 1 鼓励学生自己解决,教师只 在开方时点拨符号问题. 练习:教材 P141,练习 A 组第 1(2) (3)题. 小结步骤:已知正弦(或余弦)

多练几个类 似例题的题目, 使学生熟练两个 ?根据平方关系 ??? ?? 求余弦(或正弦) 基本关系式的应 用和用方程求值 ?根据商数关系 ??? ?? 求正切. 的方法.



4 5 sin ? 4 tan ?= = =- . 3 3 cos ? - 5 例 2 已知 tan ?=- 5 ,且 ? 是第二象 限角,求? 的正弦和余弦值. 解 由题意得 sin2 ?+cos2 ?=1, ① 例 2 可在教师的引导下解决,带 领学生详细解方程组. 练习:教材 P141,练习 A 组第 1 (4)题.




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第五章

三角函数

sin ? =- 5 . cos ? 例



小结步骤: 知正切 ??? ?? 求
解方程组

由②,得 sin ?=- 5 cos ? ,代入① 式得 6 cos2?=1, cos2?= 1 . 6 6 ,代入③式得 6 6 ) 6

余弦(或正弦) .

因为? 是第二象限角, 所以 cos ?=-

师:求值题目总结 1 .注意同角三角函数的基 本关系式的变形应用. 2.已知 sin ?,cos ?,tan? 中的任意一个, 可以用方程 (组) 求出其余的两个.

灵活应用公 式,加快运算速 度.为下面运用 公式化简和证明 做好知识铺垫.

sin α=- 5 cos α =- 5 × (- 30 = . 6 同角三角函数的基本关系式应用之二: 化简. sin θ-cos θ 例 3 化简: . tan θ-1 sinθ-cos θ sinθ-cos θ 解 原式= = sin θ sin θ-cos θ -1 cos θ cos θ =cosθ.

教师小结化简方法: 把切函数化为弦函数. 练习: 教材 P142, 练习 A 组第 2 题,练习 B 组第 1 题.

通过讨论探 究,使学生进一 步熟练公式的各 种变形.培养学 生的发散思维, 提高综合运用知 识分析问题、解 决问题的能力.

同角三角函数的基本关系式应用之三: 证明. 例 4 求证: (1) sin4 ?-cos4 ?=2 sin2?-1; (2) tan2 ?-sin2?=tan2? sin2?; 1+sin x cos x (3) = . cos x 1-sin x 证明: ( 1 ) 原 式 左 边 = (sin2? + cos2?)(sin2? - cos2?) 应 =sin2?-cos2? =sin2?-(1-sin2?) =2 sin2?-1 用 =右边. 4 因此 sin ?-cos4 ?=2 sin2 ?-1. (2)原式右边=tan2 ? (1-cos2 ?) 举 =tan2 ?-tan2 α cos2 ?

教师提示:证明恒等式一般 从繁到简,从高次到低次.从左 向右,或从右向左,或从两头向 中间来证明. 可让 学生自己 先独立探索 证明思路,再小组讨论.教师在 证明思路和解题格式上给予指 导. 由学生完成证明,展示不同 证法,分析优劣.

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sin2 ? =tan2 ?- 2 cos2 ? cos ? =tan2 ?-sin2 ? =左边. 因此 tan2 ?-sin2 ? =tan2 ? sin2 ?. (3)证法 1: 因为 = 1+sin x cos x - cos x 1-sin x 对(3)作分析: 思路 1:用作差法,不管分母, 只需将分子转化为零.

cos2 x-(1-sin x)2 (1-sin x)cos x

cos2 x-cos2 x = (1-sin x)cos x =0. 所以 1+sin x cos x = . cos x 1-sin x cos x cos x · 1-sin x cos x 思路 2:利用公分母将原式的左 边和右边转化为同一种形式的 结果. 练习:教材 P 142,练习 A 组第 3 题,练习 B 组第 2 题.

证法 2:因为 左边=

cos2 x = ; (1-sin x)cos x 右边= = 1+sin x 1-sin x · cos x 1-sin x cos2 x . (1-sin x) cos x

所以 左边=右边. 即原等式成立. 1. 同角三角函数的基本关系式 sin2?+cos2?=1, 小 结 sin ? =tan ?. cos ? 2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事 项. 必做题: 写出同角三角函数的基本关系式, 并写 出其变形公式. 选做题: 教材 P 142,练习 B 组第 3 题. 教材课后练习 A 组已融在新课 中. 师生共同总结.

作 业

5.2.3
【教学目标】

诱导公式

1. 理解并掌握诱导公式,会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式;
127

第五章

三角函数

2. 了解对称变换思想在数学问题中的应用; 3. 通过教学,使学生进一步体会数形结合的思想. 【教学重点】 利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简. 【教学难点】 诱导公式(一)、 (二) 、 (三)的推导. 【教学方法】 本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法,引导学生借助单位圆和三角函数线,充分利用对称 的性质,揭示诱导公式与同角公式之间的联系,然后讲练结合,使学生牢固掌握其应用. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 1. 教师运用多媒体展示三 复 习 导 入 1. 复习三角函数的定义、 单位圆与三角函 数线. 2. 复习对称点的知识. 角函数的定义、单位圆与三角函 数线, 提问相关问题, 学生回答. 2. 师:已知任意角 ? 的终 边与单位圆相交于点 P(x,y), 请分别写出点 P 关于 x 轴, y 轴,原点对称的点的坐标. 1.角?与?+k?2π (k?Z)的三角函数 间的关系. 直角坐标系中,?与?+k·2π (k?Z)的 终边相同,由三角函数的定义,它们的三 角函数值相等. 新 公式(一) : sin(?+k· 2π) = sin ?; cos(?+k· 2π) = cos ? (k?Z); 课 tan(?+k· 2π) = tan ?. 例 1 求下列各三角函数的值: (1) sin 13 π 19 π ;(2) cos ;(3) tan 405?. 2 3 例 1 由学生试着完成. 教师在例 1 结束后小结公式 (一)的作用:把任意角的三角函 数转化为 0~360?之间角的三角 函数. 体会诱导公式 (一)的作用. 熟练应用公式 (一)求值. 师生共同探讨得出公式 (一)的结构特征:等号两边是 同名函数,且符号都为正. 共同回顾,为 新课做准备. 设计意图

13 π π 解 (1)sin =sin( +6 π) 2 2 π =sin =1; 2 19 π π (2) cos =cos( +6 π) 3 3 =cos π 1 = ; 3 2

练习: 教材 P146, 练习 A 组第 1 (1) (2)题,第 2(1) (2)题, 第 3(1) (2)题.

128

基本模块 上册

(3) tan 405?=tan (45?+360?) =tan 45?=1. 2. 角? 和角-? 的三角函数间的关系. 如图 5-17,设 单位圆与 角?和角 -?的终 边的交点 分别是点 P 和点 P? . 新
M P(x,y)

y

观察图 5-17, 教师引导学生 回答,点 P? 与点 P 的位置关
?
O

系怎样?它们的坐标之间有什
x

???

么关系?推出诱导公式(二) .

P? (x,?y)

图 5-17

容易看出,点 P 与点 P? 关于 x 轴对 称. 已知 P(cos ?,sin ?)和 P?(cos(-?),sin(-?)). 于是,得到 公式(二) :sin(-?)=-sin ?; cos(-?)= cos ?; tan(-?)=-tan ?.



例 2 求下列各三角函数的值: (1) sin (- π ); 6 π (2) cos(- ); 4 7π (4) sin(- ). 3 学生独立完成,并交流解题 心得. 例 2 结束后教师小结诱导公 式(二)的作用:把任意负角的三 角函数转化为正角三角函数. 练习: 教材 P146, 练习 A 组第 1 (3) (4)题,第 2(3) (4)题, 第 3(3) (4)题. 熟练应用公式 (二)求值.

π (3) tan(- ); 3

π π 1 解 (1) sin (- )=-sin =- ; 6 6 2 π π (2) cos(- )= cos = 4 4 2 ; 2

π π (3) tan(- )=-tan =- 3 ; 3 3 (4) sin(- 7π 7π )=-sin 3 3

π π 3 =-sin( +2π )=-sin =- . 3 3 2 3.角? 与? ±π 的三角函数间的关系. 如图 5-18,角 ? 与 ? ±π 的终边与 单位圆分别相交于点 P 与点 P? ,容易看
129

教师用语言叙 教师引导学生观察图 5-18, 述公式,更利于学

第五章

三角函数

出, 点 P 与点 P? 关于原点对称, 它们的

并回答,点 P? 与点 P 的位置

生理解掌握公式特 征.

坐标互为相反数 P( x,y),P? (-x,-y), 关系怎样?它们的坐标之间有
y

什么关系?推出诱导公式(三) .

P(x,y) ?+?
O P? (-x,-y) 图 5-18 新 所以得到公式(三) sin (? ± ? ) =-sin ?; 课 cos (? ± ? ) =-cos ?; tan (? ± ? ) = tan ?. 4.角? 与 π -? 的三角函数间的关系.
y

? ?-?
x

P?

??? ?
O


x

图 5-19 如图 5-19,角? 与 π-? 和单位圆 分别交于点 P 与点 P? ,由 P? 与点 P 关于 y 轴对称,可以得到? 与 π-? 之间的三 角函数关系: sin(?-?)=sin ?; cos(?-?)=-cos ?. 即 互为补角的两个角正弦值相等, 余弦 值互为相反数. 5π π 1 例如:sin = sin = ; 6 6 2 3π π 2 cos =-cos =- . 4 4 2 例 3 求下列各三角函数的值: 利用例 3,熟练 运用公式(三)求三 角函数值.

130

基本模块 上册

(1) sin

4π ; 3

8π (2) cos(- ); 3

学生独立完成,并交流解题 心得. 教师在例 3 结束后小结诱导 公式(三)的作用:把任意负角的 三角函数转化为正角的三角函 数. 利用例 4,学会 综合运用诱导公式 求任意角的三角函 数值.

10π (3) tan(- ); (4) sin 930?. 3 解 略. 例 4 求下列各三角函数的值: 新 (1) sin(- 55π ); 6 11π (2) cos ; 4 (4) sin870?.

14π (3) tan(- ); 3 课

教师总结解题步骤:先用诱 导公式(二)把负角的三角函数化 为正角的三角函数,然后再用诱 导公式(三)把它们化为锐角的三 角函数来求.进一步强化学生运 用公式的灵活性. 解题关键是找出题中各角 与锐角的关系,转化为求锐角的 三角函数值.

55π π 解 (1)sin(- )=-sin( + 9π ) 6 6 π 1 =-(-sin )= ; 6 2 (2)cos 11π π = cos( - + 3π ) = cos(π 4 4

π π 2 - )=-cos =- ; 4 4 2 (3)tan(- = tan 14π π )= tan( -5π ) 3 3

π = 3 ; 3

(4)sin870?=sin(-30?+5?180?) =sin(180?-30?)=sin30?= 例 5 化简: sin(2π-α)tan(α +π)tan(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) 解 sin(2π-α) tan(α +π) tan(-α-π) cos(π-α) tan(3π-α) 教师对例 5 小结:化简时, 综合应用诱导公式(一)、(二)、 (三),适当地改变角的结构,使 之符合诱导公式中角的形式,是 解决问题的关键. 利用例 5,学会 综合运用各组诱导 公式化简较复杂的 三角代数式. 1 . 2

sin(-α) tanα tan(-α) = -cosα tan(-α) = -sinα tanα -cosα

=tan2?.

131

第五章

三角函数

求任意角的三角函数值的步骤: 小
任意负角的 三角函数
公式(二)

任意正角的 三角函数 锐 角 三角函数

公 式 ( 一 )

师生共同总结、交流.

让学生养成自 己归纳、总结的习 惯,重视数学思想


0 到 2π 内的 三角函数
公式(三)

方法的应用.

作 业

必做题:教材 P 146,练习 B 组.

5.3.1 正弦函数的图象和性质
【教学目标】 1. 理解并掌握正弦函数的图象和性质,会用“五点法”画出正弦函数的简图; 2. 通过教学,使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法. 【教学重点】 正弦函数的图象和性质. 【教学难点】 用正弦线画正弦曲线,正弦函数的周期性. 【教学方法】 本节课主要采用观察分析与讲练结合的教学方法.教师借助较先进的教学手段,启发引导学生利用单 位圆中的正弦线,较精确地画出正弦曲线,然后通过观察图象,得到简单的五点作图法;通过练习,使学 生熟练五点作图法.通过设置问题引导学生观察、分析正弦线的变化情况,从诱导公式与函数图象两方面 来总结归纳正弦函数的性质;通过例题,进一步渗透数形结合研究函数的方法. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 教师要求学生在直角坐标系 复 习 复习单位圆与正弦线. 中作出单位圆,并分组分别作出 复习正弦线, 顺利引出 下面的几何法作图. π π π , , 的正弦线,小组交流. 6 3 2 这节课,将利用正弦线来做出正 弦函数 y=sin x,x?R 的图象. 1. 正弦函数的图象. 设计意图

132

基本模块 上册

第一步:平分单位圆.在直角坐 新 标系的 x 轴上任取一点 O,以 O 为 圆心作单位圆, 从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 12 等份. 课 第二步:作出各角的正弦线.过 圆上的各分点作 x 轴的垂线, 可以得 π π π 到对应于角 0, , , ,…,2π 6 3 2 的正弦线. 第三步:平分坐标轴.我们把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份, 标 π π π 上横坐标 0, , , ,…,2π. 6 3 2 第四步:平移正弦线.把角 x 的 正弦线向右平行移动, 使得正弦线的起 点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则正弦 线的终点就是正弦函数图象上的点. 第五步:连线.用光滑曲线把这 些正弦线的终点连结起来,就得到正 弦函数 y=sin x,x?[0,2 π]的图象. 第六步:平移.我们把 y=sin x, x? [0,2 π]的图象沿 x 轴平移 ±2 π, ±4 π,?就可以得到 y=sin x,x?R 的图象. π 从图象可以看出,(0,0),( , 2 3π 1),(π,0),( ,-1),(2 π,0)这 2 新 五个点在确定图象形状时起着关键的 作用. 例 1 作函数 课 y=1+sin x,x?[0,2 π] 上的简图. 解 略. 师:将圆等分的份数越多,图 象越精确. 用正弦线画图的 方法比较复杂,所以 将它分为五个小步 骤,使学生明确画图 的方法.

因为 sin(?+k ? 2 π)=sin? (k?Z), 所以正弦函数 y=sin x 在 x?(-2π, 0), (2π, 4π), (4π, 6π), … 时的图象与 x? (0, 2 π)的形状完全 一样,只是位置不同. 师:观察 y=sin x,x? [0,2π] 的图象,最高点是哪个?最低点是 哪个?图象与 x 轴有几个交点? 分别是什么? 师问: 在 x? [0, 2 π]这一区间 上,哪几个点对图象的形状起着关 键作用?有几个? 师:在精确度要求不高的情况 下, “五点法”是最常用的画正弦 函数图象的方法. 巩固“五点法”作图, 师生对例 1 小结:函数 y=1+sin x,x? [0,2 π] 的图 象是由 y=sin x,x? [0,2 π]的图 象向上平移一个单位得到的. 并在教师引导下发现 函数 y=1+sin x 与 y =sin x 图象间的关 系,为例 2 求函数的 最大值、最小值作准 备. 师: 复习 y=sin x, x?R 图象. (1)观察图象可知,各角的正 弦线的长度都小于或等于单位圆 在教师的引导 下,让学生自己观察 出图象的最高点,最 低点,与 x 轴交点, 便于记忆五个点坐 标,同时为下节课利 用图象研究性质打基 础.

练习:教材 P154,练习 A 组第 4、5 题;练习 B 组第 3 题. 2. 正弦函数的性质. 由单位圆中的正弦线得正弦函数 的性质:

133

第五章

三角函数

(1)值域: [-1,1] π 当 y= +2 kπ,k ? Z 时,y= 2 sin x 取得最大值 1;即 y max =1;当 π y=- +2 kπ,k ? Z 时,y=sin x 2 取得最小值-1,即 ymin=-1; (2)周期性 定义:对于函数 f (x),如果存在 一个非零常数 T, 使得定义域内的每

半径长度 1,这表明:正弦函数的 范围是[-1,1] . 师:你能通过观察正弦函数图 象得到这个性质吗? 生:因为正弦曲线分布在两条 平行直线 y=1 和 y=-1 之间.所 以正弦函数的值域是[-1,1] . (2)由公式 sin(x+k ? 2 π)=sin x (k?Z)可 知:当自变量 x 的值每增加或减 培养学生 “看图 说话”的能力,即图 形语言、文字语言与 符号语言的转换,从 而达到从直观到抽象 的飞跃.

一个 x 的值,都满足 f (x+T)=f (x), 少 2 π 的整数倍时,正弦函数的值 那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零 重复出现. 常数T叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数 f (x),如果在 它的所有周期中存在一个最小的正 数,那么这个最小正数就叫做它的最 小正周期. 结论: 正弦函数是一个周期函数, 2 k π (k ? Z,且 k≠0)都是它的周期, 2 π 是其最小正周期. (3)奇偶性 由公式 sin(-x)=-sin x 得知, 正弦函数是奇函数,图象关于坐标原 点对称. (3) 师: 如何判断函数的奇偶性? 生: 偶函数 ? f (-x)=f (x), 偶函数图象关于 y 轴对称. 奇函数 ? f (-x)=-f (x), 奇函数图象关于坐标原点对称. 新 (4)单调性 正弦函数在闭区间 课 π π [- +2 k π, +2 k π](k?Z)上是 2 2 增函数;在闭区间 π 3π [ +2 k π, +2 k π](k?Z)上是 2 2 减函数. (4)随着单位圆中正弦线的变 化,体会正弦函数的单调性.学生 总结正弦函数的单调性. 师:在正弦函数图象上,函数 单调性是如何体现出来的? π 生:正弦函数在[- +2kπ, 2 π +2kπ] (k?Z)上, 图象是上升的, 2 π 3π 在[ +2kπ, +2kπ](k?Z)上, 2 2 图象是下降的. 教师引导学生 从诱导公式(数)和 正弦曲线(形)两个 角度探究正弦函数的 值域、周期性和奇偶 性等性质. 由正弦曲线图象可知,当自变 量 x 的值每增加或减少 2 π 的整数 倍时,正弦函数的图象重复出现.

134

基本模块 上册

教师将例 2 结合函数图象讲 例 2 求使函数 y=2+sin x 取最大 值和最小值的 x 的集合,并求这个 函数的最大值、最小值和周期. 解,在练习后小结:函数 y=2+sin x, y=2-sin x 的图象与 y=sin x 的关系,求它们最大值、最小值的 规律. 练习:教材 P 154,练习 A 组第 1、2 题. 例 3 不求值,比较下列各对正弦值 教师将例 3 结合正弦函数图 象讲解如何比较函数值的大小,然 后再引导学生一起写出解题步骤.

利用两个例题, 使学生更好地理解函 数性质的应用,进一 步渗透数形结合的思 想.

的大小: π π (1)sin(- )与 sin(- ); 18 10 (2)sin 2π 3π 与 sin . 3 4

小 结

1.“五点法”作图; 2.正弦函数的图象和性质.

教师小结典型例题及解题规 律.

利用典型题目, 再次强调数形结合解 题的思想. 本节内容颇多, 教师可根据学生情况 分节与布置作业.

作 业

教材 P154,练习 A 组第 3、4、5 题, 练习 B 组.

5.3.2 余弦函数的图象和性质
【教学目标】 1. 理解并掌握余弦函数的图象和性质,会用“五点法”画出余弦函数的简图. 2. 通过教学,使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法. 【教学重点】 余弦函数的图象和性质. 【教学难点】 余弦曲线的得出. 【教学方法】 本节课主要采用观察图象与代数分析相结合的教学方法.教师先用简单的五点法画出余弦曲线,设置 问题引导学生观察余弦曲线,结合诱导公式,得出余弦函数的性质.通过例题,进一步渗透数形结合研究函 数的方法. 【教学过程】
135

第五章

三角函数

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复 习

复习诱导公式以及特殊角的余弦 函数值.

教师提问,学生作答。

为用描点法得出 余弦函数图象做准备.

余弦函数 y=cos x,x?R 1. 余弦函数的图象. 根据角 x+ k· 2π 与角 x 的余弦值相

教师利用函数观点讲解 y 与 x 间的对应关系. 师: 观察 y=cos x, x? [0, 2π]



π 的图象,最高点是哪个?最低点 等, 我们可以利用 (0, 1), ( , 0), (π, 2 是哪个?图象与 x 轴有几个交 3π -1),( ,0),(2 π,1)这五个点作 点?分别是什么? 2 师:在精确度要求不高的情 出余弦函数的简图.然后再沿 x 轴向 左、右分别平移 2π,4π,? 就可得 到 y=cos x,x?R 的图象. 余弦函数的图象叫做余弦曲线. 2. 余弦函数的性质. 由单位圆中的余弦线或余弦函数 图象,可得余弦函数的性质: (1)值域: [-1,1] 当 x=2 k π,k ? Z 时, y max =1; 师:在[0,2 π]上,图象的 最高点、最低点坐标分别是什 况下, “五点法”是最常用的画余 弦函数图象的方法.

教师用问题引导 学生观察图象,初步掌 握余弦函数图象的形 状.



每个性质先用观 察余弦函数图象的方 法得出,所以教师注 意用问题引导学生从

当 x=(2k+1)π, k?Z 时, y min =-1. 么?在定义域 R 上呢?

(2)周期性 余弦函数是一个周期函数,2?, 4 ?, ? , -2?, -4?, ?, 2 kπ (k?Z 且 k≠0),都是它的周期,2 π 是其最 小正周期. 因为 cos(x+k?2 π)=cos x (k?Z),所以余弦函数 y=cos x 在 x ? [-2 π,0],[2 π,4 π], [4 π,6π],? 时的图象与 x? [0, 2 π] 的形状完全一样,只是位置 不同. 所以余弦函数的图象每隔 2 π 重复出现. (3)奇偶性 由公式 cos(-x)=cos x 得知,余 新 弦函数是偶函数, 图象关于 y 轴对称. (4)单调性 余弦函数在闭区间[(2 k-1)π, 由图 5-17 亦可以看出,角?和 角-?的余弦值是相等的.

哪些方面来考察余弦 函数图象,使学生考 察时有的放矢.

教师引导学生从 诱导公式(数)和余弦 函数图象(形)两个角 度探究余弦函数的各 个性质,培养学生数形 结合的思想.

136

基本模块 上册



2 k π](k?Z)上,是增函数;在闭区间

师:余弦函数图象的升降情

[2kπ,(2k+1)π](k?Z)上是减函数. 况是怎样的? 生:余弦函数在[(2k-1)π, 2 k π](k?Z)上,图象是上升的, 在[2 k π,(2k+1)π](k?Z)上, 例 1 求下列函数的最大值、最小值 图象是下降的. 教师将例 1 结合函数图象讲 解,在练习后小结:各种函数图 象与 y=cos x 图象的关系,求函 利用两个例题, 使学生深入理解余弦 函数性质,进一步渗 透数形结合的思想.

和周期. (1) y=5cos x; (2) y=-8cos(-x).

练习 1 教材 P157, 练习 A 组第 1 题. 数最大值、最小值的规律.

例 2

不求值,比较下列各对余弦值 教师将例 2 结合诱导公式和 5π 7π 与 cos ; 4 5 余弦函数图象,讲解如何比较函

的大小: (1) cos

数值的大小,然后再引导学生一 23 π 17 π (2) cos(- )与 cos(- ). 起写出解题步骤. 5 4

练习 2 教材 P157, 练习 B 组第 1 题. 1.“五点法”作图. 2. 余弦函数的图象. 3. 余弦函数的性质. 教材 P 157,练习 A 组第 2、3 题, 练习 B 组第 2 题. 利用典型题目, 再次强调数形结合解 题的思想.

小 结

教师小结典型例题及解题规 律.

作 业

5.3.3 已知三角函数值求角
【教学目标】 1. 理解并掌握已知三角函数值求角的方法. 2. 通过教学,培养学生观察问题,分析问题,类比解决问题的能力. 3. 通过教学,渗透数形结合的思想. 【教学重点】 已知一个角的三角函数值,求指定范围内的角.

137

第五章

三角函数

【教学难点】 已知一个角的三角函数值,求指定范围内的角. 【教学方法】 本节课主要采用观察、启发探究、类比的教学方法.运用现代化多媒体教学手段,教师设置问题 引导学生观察分析三角函数的图象,学会已知正弦值求角,并总结出这类题的解题步骤;对于由已知 余弦值或正切值求角,可在教师的问题引导下让学生自己类比求解. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 π 1 师:我们知道 sin = ,反 6 2 导 入 复习:特殊角的三角函数值; 诱导公式,三角函数的简图. 1 过来, 若 sin x= , 则 x 等于多 2 π 少 ?x 的值只有 吗?我们这 6 节课就来研究这个问题:已知三 角函数值求角. 1.已知正弦值,求角. 1 例 1 已知 sin x= ,且 x??0,2 π), 2 求 x 的取值集合. 新 解 1 因为 sin x= , 2 5π 教师提示 的得出,既可以 6 用诱导公式,也可以根据正弦函 数图象. 复习旧知, 导入新课. 设计意图

所以 x 是第一或第二象限的角. 课 由 π 1 sin = 6 2

π 可知符号条件的第一象限的角是 . 6 π π 1 又由 sin(π- )=sin = , 6 6 2 5π 可知符合条件的第二象限的角是 . 6 于是所求的角 x 的取值集合为 π 5π { , }. 6 6 π π 例 2 已知角 x??- , ?,求满足 2 2 下列各式的 x 的值: (1) sin x= 3 2 ;(2) sin x= ; 2 2

师小结解题步骤: 1.定象限. 2.求锐角. 3.写形式.

小结解题步骤, 给学生做题以明确的 思路.

例 2 教师可作一个,其他让 学生自己练习. 教师对比例1与例 2,提问: 为什么例1有两个解,而例 2 的

对比例1与例 2, 使学生明确已知三角 函数值求角时,所给 区间的重要性.

1 (3) sin x=- ; (4) sin x=0.2672. 题目只有一个解? 2

138

基本模块 上册

π π 解 (1) 因为在?- , ?上, 2 2 sin π 3 = , 3 2 π ; 3

所以 x= 新

π π (2) 因为在?- , ?上, 2 2 sin π 2 = , 4 2 π ; 4



所以 x=

π π (3) 因为在?- , ?上, 2 2 sin(- π 1 )=- , 6 2

π 所以 x=- ; 6 (4)使用函数计算器解题. (略)

例3

已知 sin x=-0.2156, 且-180?≤x≤180?,求 x . 解 因为 sin x=-0.2156, 通过例 3,教师再次强调已知 三角函数值求角的三个步骤: 1.定象限. 2.求锐角. 3.写形式. 巩固做题步骤.

所以 x 是第三或第四象限的角. 先求符合 sin x=0.2156 的锐角 x, 使用函数计算器解得 x≈12?27. 因为 sin(-12?27? )=-sin 12?27? =-0.215 6, 且 sin(12?27?-180?)=-sin12?27? =-0.215 6. 所以当-180?≤x≤180?时,所求 的角分别是 -12?27? 和 -167?33?. 2.已知余弦值、正切值,求角. 2 例 4 已知 cos x =- , 2 且 x??0,2π),求 x 的取值集合. 解 因为 cos x =- 2 , 2

教师可引导学生复习已知三 角函数值求角的三个步骤: 1.定象限. 2.求锐角. 3.写形式. 在此基础上,让学生自己解决 例 4. 在此,可让学生 结合余弦函数图象, 验证结论是否正确, 培养数形结合的思想.

所以 x 是第二或第三象限的角. π 2 又因为 cos = , 4 2

139

第五章

三角函数

所以符合条件的锐角是

π , 4

π π 2 因为 cos(π- )=-cos =- , 4 4 2 π π 2 且 cos(π+ )=-cos =- . 4 4 2 所以符号条件的第二象限角是 3π 5π ,符号条件的第三象限角是 . 4 4 3π 5π 于是所求角的集合为{ , }. 4 4 新 例 5 已知 tan x=- 3 ,且 3

π π x? (- , ),求 x 的值. 2 2 课 解 因为 tan x=- 3 , 3

所以 x 是第四象限的角. 又因为 tan π 3 = , 6 3 π . 6

所以符号条件的锐角是

π π 又因为 tan(- )=-tan = 6 6 - 3 , 3 π 所以所求角的 x =- . 6 错误!未指定书签。

本节内容: 小 结 1.已知正弦值,求角. 2.已知余弦值,正切值,求角. 两类题目的解题步骤: (1) 定象限; (2) 求锐角; (3) 写形式. 师生一起总结本节内容与解 题步骤. 通过总结,统一 各例题的解题思路.

140

基本模块 上册

作 业

教材 P 162,练习 A 组第 1、2、3 题;练习 B 组第 1、2 题.

本节内容颇多, 可 分为两节讲授,教师 酌情布置课后作业.

141


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