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13级:第一讲(一)(2)(3):平均不等式,三个正数的算术几何不等式(2)


第一讲(一)(2)(3)

平均不等式,三个 正数的算术几何不等式(1)

一、复习提问 1、不等式的基本性质有哪些?

1)、性质一 数轴上右边的点比左边的点大
A a a< b 2)、性质二 B b x B b a>b A a

x

实数大小与运算性质的关系
2

a ? b ?a?b? 0 a ? b ?a?b ? 0 a ? b ?a?b? 0
3)、性质三

(1) a ? b ? b ? a

(对称性) (传递性) (加法法则)

( 2 ) a ? b, b ? c ? a ? c
(3) a ? b ? a ? c ? b ? c
3

( i ) a ? b ? c ? a ? c ? b.
(同向加)

(ii ) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
(异向减)

a ? b, 且c ? d, ? a ? c ? b ? d.

(iii )a1 ? b1 , a 2 ? b 2 ...an ? b n ? a1 ? a 2 ? ... ? an ? b1 ? b 2 ? ... ? b n

(4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc
4

(同正同向乘)

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
a b a ? b ? 0, 且0 ? c ? d, ? ? . c d
(乘方法则)

(5) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , n ? 2)
n n

(开方法则)

( 6) a ? b ? 0 ? a ? b ( n ? N , n ? 2)
n n
5

2、平均不等式

a, b ? R ,那么 2 2 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”号).
定理1:如果

当a ? 0, b ? 0, 在a ? b ? 2ab中
2 2

(几何解释及证明见书P5)

以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
6

a ? b ? 2 ab

定理2(均值定理)

如果 a, b 是正数,那么
a?b ? 2 ab
(几何解释及 证明见书P6)

(当且仅当 a ? b 时取“ = ”号).
a?b 对于两个正数a , b, 称为a , b的算术平均数, 2 ab 称为a, b的几何平均数.
7

结论

1.基本不等式及其常用变式 (1)a ? b ? 2ab
2 2

( a, b ? R )

8

a?b ? (2) ? ab (a, b ? R ) 2 a b 1 (3) ? ? 2(ab ? 0) ? x ? ? (x ? 0) 2 b a x 2 2 a?b 2 a ?b (4)ab ? ( ) ? ( a, b ? R ) 2 2 2 2 2 (5)a + b + c ? ab + bc + ca (a,b,c ? R)

结论

2、已知x,y是正数: 1)若xy是定值P,那么当x=y时,则x+y 有最小值 2 P 2)若x+y是定值S,那么当x=y时,xy 有最大值 1 S 2
4

(1)简称:积定和最小,和定积最大. (2) 应用定理时需 “一正二定三相等” 缺一不可
9

3、三个正数的算术-几何不等式 a?b?c 3 ? 定理3 若a, b.c ? R , 那么 ? abc , 3 当且仅当a ? b ? c时,等号成立。
表述:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.

推论: (1)abc为定值时

a ? b ? c ? 3 abc
3

a?b?c 3 ) ( 2)a ? b ? c为定值时 abc ? ( 3 当且仅当a ? b ? c时,等号成立.
10

当且仅当a ? b ? c时,等号成立.

推广 如果 a1 , a2 ,? , an ? R , n ? 1且n ? N 则: a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
*
n

?

a1 a 2 ? a n叫做这n个正数的几何平均数。

对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,? an, 它们的算术 平均值不小于它们的几何平均值,

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ≥ n a1a2 a3 ? an 即 n
(当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 时取等号.)
12

作业:《全优设计》P6

3



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