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【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.1空间向量与立体几何课件 新人教A版选修2-1


第3章 空间向量与立体几何 章

课标领航 本章概述 1.向量是近代数学中重要和基本的数学概念.它 向量是近代数学中重要和基本的数学概念. 向量是近代数学中重要和基本的数学概念 是沟通代数、几何与三角函数的一种工具, 是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着 极其丰富的实际背景. 极其丰富的实际背景.

2.空间向量的引入,为解决三维

空间中图形的位 空间向量的引入, 空间向量的引入 置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具, 置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具, 为处理立体几何问题提供了新的视角. 为处理立体几何问题提供了新的视角.特别是空 间的平行、垂直、距离、角度等问题,用空间向 间的平行、垂直、距离、角度等问题, 量处理十分简捷. 量处理十分简捷. 3.在高考中,空间向量作为基本工具多用于解决 在高考中, 在高考中 空间的平行、垂直和角度问题 空间的平行、垂直和角度问题.

学法指导 1.学习中可以类比平面向量的方法和结论. 学习中可以类比平面向量的方法和结论. 学习中可以类比平面向量的方法和结论 2.通过建立适当的空间直角坐标系,把立体几何 通过建立适当的空间直角坐标系, 通过建立适当的空间直角坐标系 的平行、垂直、空间角、距离等问题转化为 点 的平行、垂直、空间角、距离等问题转化为“点” 及“线”的坐标运算问题,即把一个几何问题转化 的坐标运算问题, 线 的坐标运算问题 为向量问题,把证明问题转化为运算问题. 为向量问题,把证明问题转化为运算问题.在空 间几何体中选取基向量, 间几何体中选取基向量,利用向量的运算进行证 明,要善于利用向量方法解决立体几何问题,以 要善于利用向量方法解决立体几何问题, 减少推理和思维量,这是向量方法的基本思路. 减少推理和思维量,这是向量方法的基本思路.

3.运用空间向量的坐标运算解决几何问题的一般 运用空间向量的坐标运算解决几何问题的一般 步骤是: 步骤是: (1)建立适当的空间直角坐标系,计算出相关点 建立适当的空间直角坐标系, 建立适当的空间直角坐标系 坐标及有关向量坐标; 坐标及有关向量坐标; (2)结合公式进行计算 如共线条件、垂直条件、 结合公式进行计算(如共线条件 垂直条件、 结合公式进行计算 如共线条件、 数量积公式); 数量积公式 ; (3)转化为几何结论 如平行、垂直、角). 转化为几何结论(如平行 垂直、 转化为几何结论 如平行、

3.1 空间向量及其运算 . 3. 3.1.1 空间向量及其加减运算

学习目标 1.了解空间向量的概念 , 掌握空间向量的几何 了解空间向量的概念, 了解空间向量的概念 表示和字母表示. 表示和字母表示. 2.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解 .掌握空间向量的加减运算及其运算律, 向量减法的几何意义. 向量减法的几何意义.

课前自主学案 3.1.1 空间 向量 及其 加减 运算

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.平面上有_____和_____的量叫做向量,方向 .平面上有 大小 和 方向 的量叫做向量 的量叫做向量, 相同 且模_____的向量称为相等向量 _____且模 相等 的向量称为相等向量. 的向量称为相等向量. 且模 2.向量可以进行加减和数乘运算,向量加法满 .向量可以进行加减和数乘运算, 交换 律和 律和_____律 足_____律和 结合 律.

知新益能 1.空间向量 . (1)空间向量的定义 空间向量的定义 在空间,把具有_____和 方向 的量叫做空间向量 的量叫做空间向量, 在空间,把具有 大小 和_____的量叫做空间向量 向量的_____叫做向量的长度或模. 向量的 大小 叫做向量的长度或模. 叫做向量的长度或模 (2)空间向量及其模的表示方法 空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示, 空间向量用有向线段表示,有向线段的 长度 表示向量的模 如图, 的起点是 _____表示向量的模.如图,a的起点是 ,终点 表示向量的模. 的起点是A, → → 也可记作____,其模记为____或 |a| 是B,则a也可记作 AB ,其模记为 |AB| 或___. , 也可记作

(3)特殊向量 特殊向量
名称 零向 量 单位 向量 定义及表示

长度为0的向量叫零向量 规定________的向量叫零向量,记为 0 规定 长度为 的向量叫零向量,记为__ 模为1 模为1 的向量叫单位向量 ______的向量叫单位向量

与向量a长度 长度_____而方向 而方向_____的向量 的向量, 相反 与向量 长度 相等 而方向 相反 的向量, - 记为____ 向量 记为 a 方向_____且模 相等 的向量称为相等向量 的向量称为相等向量, 方向 相同 且模_____的向量称为相等向量 且模 相等 同向 等长 的有向线段表示同一向量或 _____ 且_____的有向线段表示同一向量或 向量 相等向量

2.空间向量的加法、减法 空间向量的加法、 空间向量的加法 类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如 类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算 如 图): : → → → a+b ; + OB=OA+OC=______; → → → a-b - CA=OA-OC=______. 3.空间向量加法的运算律 . + (1)交换律 a+b=_______; 交换律 + = b+a ; (2)结合律 结合律
+ + (a+b)+c=__________. + + = a+(b+c) .

问题探究 空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完 全一样吗? 全一样吗? 提示:一样. 提示:一样.因为空间中任意两个向量均可平移 到同一个平面内, 到同一个平面内,所以空间向量与平面向量加减 法均可以用三角形或平行四边形法则,是一样的 法均可以用三角形或平行四边形法则,是一样的.

课堂互动讲练

考点突破 空间向量的基本概念 只要两个向量的方向相同、模相等, 只要两个向量的方向相同、模相等,这两个向 量就相等,起点和终点未必对应相同, 量就相等,起点和终点未必对应相同,即起点 和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要 条件. 条件.

例1

给出下列命题: 给出下列命题:

①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点 两个空间向量相等,则它们的起点相同, 也相同; 也相同; ②若空间向量 a,b 满足 =|b|,则 a=b; , 满足|a|= , = ; → → 必有AC ③在正方体 ABCD·A1B1C1D1 中, 必有 =A1C1; ④若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p,则 m , , = , = , =p.

其中不正确的命题的个数是( 其中不正确的命题的个数是 A.1 . C.3 . B.2 . D.4 .

)

【思路点拨】 思路点拨】 两向量相 相等的 ——→ ——→ 分别判断上述几种说法 等的条件 定义 结合选项 ———→ 结果

终点也相同时, 【解析】 当两向量的起点相同, 解析】 当两向量的起点相同, 终点也相同时, 这两个向量必相等 但两个向量相等, 这两个向量必相等;但两个向量相等,却不一定 有起点相同,终点相同, 有起点相同,终点相同,故①错; 根据向量相等的定义——不仅模相等,而且方向 不仅模相等, 根据向量相等的定义 不仅模相等 相同,故②错; 相同, → → 向量AC 根据正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 向量 与A1C1的 → → 方向相同, 模也相等, 应有AC 故 正确; 方向相同, 模也相等, 应有 =A1C1, ③正确; 命题④显然正确. 命题④显然正确.
【答案】 答案】 B

空间向量的加减运算 (1)计算两个空间向量的和或差时,与平面向量 计算两个空间向量的和或差时, 计算两个空间向量的和或差时 完全相同. 完全相同.运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键. 边形法则是关键. (2)计算三个或多个空间向量的和或差时,要注 计算三个或多个空间向量的和或差时, 计算三个或多个空间向量的和或差时 意以下几点: 意以下几点: 三角形法则和平行四边形法则; ①三角形法则和平行四边形法则; 正确使用运算律; ②正确使用运算律; 有限个向量顺次首尾相连, ③有限个向量顺次首尾相连,则从第一个向量 的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示 这有限个向量的和向量. 这有限个向量的和向量.

例2

如图, 如图,已知长方体 ABCD-A′B′C′D′, ′ ′ ′ ′

化简下列向量表达式, 化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的 向量. 向量. → → (1)AA′-CB; - → → → (2)AA′+AB+B′C′. +

【思路点拨】 思路点拨】

(1) 分析题意 →

→ → → → 等价转化为DA → DA转化为-AD → 转化为- 将CB等价转化为 平行四边形法则 → 得出结论 → → (2) 应用平行四边形法则先求 应用平行四边形法则先求AA′+AB → → → 应用三角形法则求AB′+B′C′ → 得出结论 应用三角形法则求

→ → → → 【 解】 (1)AA′ -CB= AA′-DA → → → =AA′+ AD =AD′ . → → → (2)AA′+AB+ B′C′ → → → = (AA′+AB)+B′C′ + → → → =AB′+ B′C′=AC′. → → 向量AD′、AC′如图所示. 如图所示. 向量

【名师点评】 名师点评】

化简向量表达式主要是利用平行

四边形法则或三角形法则. 四边形法则或三角形法则.在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法,也可按减 法时可灵活应用相反向量转化成加法, 法法则进行运算, 法法则进行运算,加、减法之间可相互转化. 减法之间可相互转化.

互动探究

→ → → → 本例条件不变,化简(AB- CD )-(AC-BD ). 本例条件不变,化简 - .

法一: 统一成加法 统一成加法) 解 :法一: (统一成加法 → → → → → → → → 原式= 原式=AB-CD -AC+ BD =AB+DC+CA+ BD → → → → =AB+ BD +DC+CA= 0. → → → 法二:(利用 -OB= BA) 法二: 利用OA 利用 → → → → → → → → 原式= 原式=AB-CD -AC+ BD = (AB-AC)-CD +BD - → → → → → =CB- CD +BD =DB+BD = 0.

方法感悟 1.利用三角形法则进行加法运算时,注意“首 .利用三角形法则进行加法运算时,注意“ 尾相连” 尾相连”,和向量的方向是从第一个向量的起点 指向第二个向量的终点.进行减法运算时,注意 指向第二个向量的终点.进行减法运算时, “共起点”,差向量的方向是从减向量的终点指 共起点” 向被减向量的终点. 向被减向量的终点. 三角形法则也可推广为多边形法则:即在空间中, 三角形法则也可推广为多边形法则:即在空间中

把有限个向量顺次首尾相连, 把有限个向量顺次首尾相连,则从第一个向量的 起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限 个向量的和向量. 个向量的和向量. 2.平行四边形法则一般用来进行向量的加法运 . 算.注意:平行四边形的两条对角线所表示的向 注意: 量恰为两邻边表示向量的和与差. 量恰为两邻边表示向量的和与差.


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