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2013高考数学(理)一轮复习教案:第二篇-函数与基本初等函数Ⅰ第9讲-函数的应用


第 9 讲 函数的应用 【2013 年高考会这样考】 1.考查二次函数模型的建立及最值问题. 2.考查分段函数模型的建立及最值问题. 3.考查指数、对数、幂函数、 “对勾”型函数模型的建立及最值问题. 【复习指导】 函数模型的实际应用问题, 主要抓好常见函数模型的训练, 解答应用问题的重点在信息整理 与建模上,建模后利用函数知识分析解决问题. 基础梳理 1.常见的函数模型及性质

(1)几类函数模型 ①一次函数模型:y=kx+b(k≠0). ②二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0). ③指数函数型模型:y=abx+c(b>0,b≠1). ④对数函数型模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1). ⑤幂函数型模型:y=axn+b. (2)三种函数模型的性质 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 四个步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题; (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)从 1999 年 11 月 1 日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的 税率为 20%,由各银行储蓄点代扣代收,某人 2011 年 6 月 1 日存入若干万元人民币,年利 率为 2%,到 2012 年 6 月 1 日取款时被银行扣除利息税 138.64 元,则该存款人的本金介于 ( ). A.3~4 万元 B.4~5 万元 C.5~6 万元 D.2~3 万元 解析 设存入的本金为 x,则 x·2%·20%=138.64,∴x==34 660. 答案 A 2.(2012·新乡月考)某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x -0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不 小于总成本)的最低产量是( ). A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 解析 设利润为 f(x)(万元),则 f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,∴x ≥150. 答案 C 3.有一批材料可以围成 200 米长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图), 且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形, 则围成的矩形场地的最大面积为( ). A.1 000 米 2 B.2 000 米 2 C.2 500 米 2 D.3 000 米 2 解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为 x 米、y 米,如图,则 4x+3y=200,又矩形 场地的面积 S=3xy=3x·=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500,∴当 x=25 时,Smax=2 500. 答案 C 4.(2011·湖北)里氏震级 M 的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲 线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅 是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为__________级;9 级地震的最 大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍. 解析 由 lg 1 000-lg 0.001=6,得此次地震的震级为 6 级.因为标准地震的振幅为 0.001, 设 9 级地震最大振幅为 A9,则 lg A9-lg 0.001=9 解得 A9=106,同理 5 级地震最大振幅 A5 =102,所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍. 答案 6 10 000 5.(2012·东三校联考)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、 解密原理如下:

明文密文密文明文 已知加密为 y=ax-2(x 为明文,y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6” ,再 发送, 接受方通过解密得到明文 “3” , 若接受方接到密文为 “14” , 则原发的明文是________. 解析 依题意 y=ax-2 中,当 x=3 时,y=6,故 6=a3-2,解得 a=2.所以加密为 y=2x -2,因此,当 y=14 时,由 14=2x-2,解得 x=4. 答案 4 考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用 【例 1】?(2011·武汉调研)在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1) -f(x). 某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元, 成本为 C(x)元, 且 R(x)=3 000x-20x2, C(x)=500x+4 000(x∈N*).现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台. (1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x); (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差. [审题视点] 列出函数解析式,根据函数性质求最值. 解 (1)由题意,得 x∈[1,100],且 x∈N*. P(x)=R(x)-C(x) =(3 000x-20x2)-(500x+4 000) =-20x2+2 500x-4 000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x- 4 000)=2 480-40x. (2)P(x)=-202+74 125, 当 x=62 或 x=63 时,P(x)取得最大值 74 120 元; 因为 MP(x)=2 480-40x 是减函数, 所以当 x=1 时,MP(x)取得最大值 2 440 元. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元. 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际 中的最优化问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对称轴与定义 域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解. 【训练 1】 经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数, 且销售量近似地满足 f(t)=-2t+200(1≤t≤50, t∈N). 前 30 天价格为 g(t)=t+30(1≤t≤30, t∈N),后 20 天价格为 g(t)=45(31≤t≤50,t∈N). (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系; (2)求日销售额 S 的最大值. 解 (1)根据题意,得 S= = (2)①当 1≤t≤30,t∈N 时, S=-(t-20)2+6 400, ∴当 t=20 时,S 的最大值为 6 400; ②当 31≤t≤50,t∈N 时, S=-90t+9 000 为减函数, ∴当 t=31 时,S 的最大值为 6 210. ∵6 210<6 400, ∴当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6 400.

考向二 指数函数模型的应用 【例 2】?某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后 每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗有效.求服药一次后治疗 有效的时间是多长? [审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式,再分段求出时间长. 解 (1)设 y= 当 t=1 时,由 y=4 得 k=4, 由 1-a=4 得.a=3.则 y= (2)由 y≥0.25 得或 解得≤t≤5, 因此服药一次后治疗有效的时间是 5-=小时. 可根据图象利用待定系数法确定函数解析式,然后把实际问题转化为解不等式问题进行 求解. 【训练 2】 某城市现有人口总数为 100 万人, 如果年自然增长率为 1.2%, 试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年); (4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增长率应该控制在多少? (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127,lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.3010,lg 1.012≈0.005, lg 1.009≈0.003 9) 解 (1)1 年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2. 3 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)3. x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x. (2)10 年后,人口总数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万人). (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人, 即 100×(1+1.2%)x=120, x=log1.012=log1.0121.20≈16(年). (4)由 100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2,两边取对数得 20lg(1+x%)≤lg 1.2=0.079, 所以 lg(1+x%)≤=0.003 95, 所以 1+x%≤1.009,得 x≤0.9, 即年自然增长率应该控制在 0.9%. 考向三 函数 y=x+模型的应用 【例 3】?(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)

=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. [审题视点] 用基本不等式求最值,注意等号成立的条件. 解 (1)由已知条件 C(0)=8 则 k=40, 因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+ (0≤x≤10). (2)f(x)=6x+10+-10 ≥2 -10=70(万元), 当且仅当 6x+10=即 x=5 时等号成立. 所以当隔热层为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小值,最小值为 70 万元. 求函数解析式同时要注意确定函数的定义域,对于 y=x+(a>0)类型的函数最值问题,特别 要注意定义域问题,可考虑用均值不等式求最值,否则要考虑使用函数的单调性. 【训练 3】 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两 侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,当矩形温室的边长各 为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少? 解 设温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为 m. ∴蔬菜种植面积 y=(x-4)=808-2(4<x<400). ∵x+≥2 =80, ∴y≤808-2×80=648(m)2. 当且仅当 x=,即 x=40, 此时=20 m,y 最大=648(m2). ∴当矩形温室的左侧边长为 40 m,后侧边长为 20 m 时,蔬菜的种植面积最大,为 648 m2. 规范解答 5——应用题中的函数建模问题 (【问题研究】 解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型,因此,首先要熟悉和掌握几类 常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误:,?1?列函数关系式时, 会出现由于理 不清楚各个量之间的关系,而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错 误;,?2?列出解析式,在求最优解的过程中,由于方法使用不当而出现求解上的错误., 【解决方案】 ?1?阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解 叙述部分所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知是什么,求什么,从中提炼出相应的 数学问题.,?2?根据所给模型, 列出函数关系式.根据已知条件和数量关系, 建立函数关系式, 在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.,?3?利用数学的方法将得到的常规函数问题?即 数学模型?予以解答,并求得结果.,?4?将所得结果代入原问题中,对具体问题进行解答.) 【示例】?(本题满分 12 分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千 米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流 密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流 速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位: 辆/小时)f(x) =x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 首先求函数 v(x)为分段函数,然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解. [解答示范] (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,

再由已知,得解得 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=(4 分) (2)依题意并由(1)可得 f(x)=(6 分) 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200;(7 分) 当 20<x≤200 时,f(x)=x(200-x)≤2=,当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值.(10 分) 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333,即当车流密度为 100 辆/千米 时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.(12 分) 对于分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值,然后再比较大小.另外在利 用均值不等式求解最值时,一定要检验等号成立的条件,也可通过函数的单调性求解最值.


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