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江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校2015-2016学年高二数学下学期期末联考试题 理


2015—2016 学年度第二学期高二理科数学期末联考试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.全卷满分 150 分,时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知 M ? y y ? x 2 ? 4, x ? R? , P ? A. M =P B. M ? P

?

?x 2 ? x ? 4?.则 M 与P 的关系是(
D. M

)

C.M∩P= ? )

?P

2.下列函数表示同一函数的是( A、 f ( x ) ? x 3 g ( x ) ? 3 x 9 C、 f ( x ) ? 1 g( x ) ? x
n

B、 f ( x) ? x 2 g( x) ? ( x ) 4

0

x2 D、 f ( x ) ? x g( x ) ? x
)

2 ? ? * 3. 二项式 ? 3x 2 ? ? (n ? N ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是( 3 x ? ? A 5 B 6 C 7 D 8
4.“ x ? 0 ”是“ x2 ? 0 ”成立的(
3

)

A、充分不必要条件. B、必要不充分条件. C、充要条件. D、既不充分也不必要条件. 5.已知命题 p:“? x∈R,x +2ax+a≤0”为假命题,则实数 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,4) 2n -1 6. (1-x) 展开式中,二项式系数最大的项是( ) A.第 n-1 项 B.第 n 项 C.第 n-1 项与第 n+1 项 D.第 n 项与第 n+1 项
2

)

2, 3, ?, 18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬 7.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1, 手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( )
A.

1 51

B.

1 68

C.

1 306

D.

1 408

8.某班举行联欢会,原定的五个节目已排出节目单,演出前又增加了两个节目,若将这两个节目插入原 节目单中,则不同的插法总数为( ) A.42 B.36 C.30 D.12 9.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为( ) 分数 人数

1

A. 3

B.

2 10 5

C.3

D.

8 5
) B. (??,2]

10. 已知函数 y ? A. (??,1]

1? x 的定义域为( 2 x 2 ? 3x ? 2

C . (?? ,? ) ? (?
5

1 2

1 ,1] 2

D. (?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2
)

3 a ? ? 2 11. 已知 ? x ? ? 的展开式中含 x 的项的系数为 30,则 a ? ( x ? ?

A.

3

B. ? 3

C.6

D-6

12.在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布 (100,36) ,那么考试成绩在区间 ?88,112? 内 的概率是( ) A.0.6826 B.0.3174

C.0.9544

D.0.9974

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在横线上. 13.体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1、2、3 的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不少 于其编号,则不同的放法有_____________种;

14.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取 三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示) ;

15.在 ( x 2 ? 1)(x ? 2) 7 的展开式中 x 的系数是
3

; 。

16.已知数列{ an }的通项公式为 an ? 2

n ?1

0 1 3 + a 2C n + a3C n ? 1,则 a1C n ? ?+ an ?1C nn =

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,请写出各题的解答过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) .设 p: 实数 x 满足 x -4ax+3a <0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足? (1)若 a=1,且“p 且 q”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
2 2

?x -x-6≤0, ? ? ?x +2x-8>0.
2

2

?BAD ? 18. (本题满分 12 分) .在五面体 ABCDEF 中,AB ∥ DC ,
为平行四边形, FA ? 平面 ABCD , FC ? 3, ED ? 7 .求: (1)直线 AB 到平面 EFCD 的距离; (2)二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值.

?
2

CD ? AD ? 2 , , 四边形 ABFE

2

19.(本题满分 12 分)如图,四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD, PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

20.(本题满分 12 分)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 (1) 可组成多少个无重复数字的五位数? (2) 可组成多少个无重复数字的能被 5 整除的五位数?

21.(本题满分 12 分)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。 某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与 否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳 的株数,数学期望 E? ? 3 ,标准差 ?? 为 (1)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
3

6 。 2

22.(本题满分 12 分)某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可 继续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得 证书。现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 格的概率均为

2 ,科目 B 每次考试成绩合 3

1 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 2

(1)求他不需要补考就可获得证书的概率; (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的 分布列和数学期望 E ? .

4

高二理科数学期末联考试卷参考答案 2016.6.15 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 A 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D 11 D 12 C

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡横线上) 13. 15. 10 1008 . 14. 16. 3/4 . .

2 n ? 3n

三、解答题(本大题共 6 小题,17 小题 10 分,最后 5 小题每题 12 分,共 70 分.解答应写出 必要的文字 说明、证明过程或演算步骤.) 17. (1)由 x -4ax+3a <0 得(x-3a)(x-a)<0,又 a>0,所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3,
? ?x -x-6≤0, 又? 2 得 2<x≤3. ?x +2x-8>0. ?
2 2 2

由 p∧q 为真
? ?2<x≤3, ∴x 满足? 即 2<x<3 ?1<x<3. ?

.所以实数 x 的取值范围是 2<x<3.-------------5 分 (2)由?p 是?q 的充分不必要条件,知

q 是 p 的充分不必要条件,
由 A={x|a<x<3a,a>0},B={x|2<x≤3}, ∴B A. 因此 a≤2 且 3<3a. 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2.-----------------------10 分
F z

E

??? ? ???? ??? ? 18. 解: ( 1 )如图以 A 点为坐标原点 , AB, AD, AF 的方向为
x, y, z 的正方向建立空间直角坐标系数,则
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0, 2,0)
设 F (0,0, z0 )
x B A

G

( z0 ? 0) 可

C

D y

??? ? ??? ? 2 2 2 得 FC ? (2, 2, ? z0 ) , 由 | FC |? 3 . 即 2 ? 2 ? z0 ? 3 , 解 得
F ( 0, 0, 1) ? AB ∥ DC ,

DC ? 面 EFCD ,所以直线 AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面 EFCD 的距离。 设 A 点在平面 EFCD
5

上的射影点为 G( x1 , y1 , z1 ) ,则 AG ? ( x1 , y1 , z1 ) 因 AG ? DF ? 0 且 AG ? CD ? 0 ,而 DF ? (0, ?2,1)

????

???? ????

???? ??? ?

????

??? ? ? ?2 y1 ? z1 ? 0 解得 x1 ? 0 ① ,知 G 点在 yoz 面上,故 G 点在 FD 上. CD ? (?2,0,0) ,此即 ? ? ?2 x1 ? 0 ? ??? ? ???? ??? ???? y 2 4 GF ? DF , GF ? (?x1 , ? y1, ?z1 ?1) 故有 1 ? ? z 1 ?1 ② 联立①,②解得 , G (0, , ) ? | AG | 2 5 5
为直线 AB 到面 EFCD 的距离. 而 AG ? (0, , )

????

2 4 5 5

所以 | AG |?

????

2 5 -------------------------6 分 5

(2)因四边形 ABFE 为平行四边形,则可设 E( x0 ,0,1)

??? ? ( x0 ? 0) , ED ? (?x0 2, ?1) .由

??? ? | ED |? 7 得

??? ? 2 x0 ? 22 ? 1 ? 7 , 解 得 x 0 ? ? 2 . 即 E(? 2,0,1) . 故 AE ? (? 2,0,1) 由

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AD ? (0, 2,0) , AF ? (0,0,1) 因 AD ? AE ? 0 , AD ? AF ? 0 ,故 ?FAE 为二面角 F ? AD ? E 的平面角,


?

??? ? EF ? ( 2,0,0)

,

??? ? | EF |? 2

,

??? ? | AF |? 1

,





??? ? | EF | ? ? 2 -------------------------12 分 tan ?FAE ? ??? | FA |
19.证明(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余 弦定理得 BD ? 3 AD .从而 BD +AD =AB ,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. (2)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.则
2 2 2

A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C(-1, 3 ,0),P(0,0,1).

??? ? ??? ? ??? ? AB =(-1, 3 ,0), PB =(0, 3 ,-1), BC =(-1,0,0). ??? ? ? ?n ? AB ? 0 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则 ? ??? ? ? ?n ? PB ? 0
即?

? ?? x ? 3 y ? 0 ? ? 3y ? z ? 0

因此可取 n=( 3 ,1, 3 ).

??? ? ? ?m ? PB ? 0 设平面 PBC 的法向量为 m,则 ? ??? ? ? ?m ? BC ? 0
可取 m=(0,-1,- 3 ), cos m, n ?

?4 2 7 . ?? 7 2 7

6

故二面角 A?PB?C 的余弦值为 ? 20.(1)600 -----6 分

2 7 .--------12 分 7

(2)216------------12 分
2 21. 解: (1) 由 E? ? np ? 3, (?? ) ? np(1 ? p ) ?

1 1 3 , 得 1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? ,----2 分 2 2 2

? 的分布列为-------6 分

?
P

0

1

2

3

4

5

6

1 64

6 64

15 64

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,

则 P( A) ? P(? ? 3),

P( A) ?

1 ? 6 ? 15 ? 20 21 ? , 64 32 15 ? 6 ? 1 21 ? ------------------12 分 64 32

或 P ( A) ? 1 ? P (? ? 3) ? 1 ?

22.解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1 ,“科目 A 补考合格”为事件 A2 ;“科目 B 第一次考试合 格”为 事件 B1 ,“科目 B 补考合格”为事件 B2 (1)不需要补考就获得证书的事件为 A1 ?B1 ,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A1 ?B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ?

2 1 1 ? ? . 3 2 3
1 .--------5 分 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(2)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?A2 )
2 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9

P(? ? 3) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B2 )
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3

P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 8 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? , 答:该考生参加考试次数的数学期望为 .------12 分 3 9 9 9 3

7


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