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第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛


第一届泛珠三角物奥

第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛
题 1(5 分) ( 光滑平面上有两条长度均为 2l、 而质量为 m 的均匀蠕虫 A 和 B。 y 它们的起始未知如图所示, 蠕虫 A 的质心位于 x-y 坐标 (0, 。 0) 蠕虫 B 开始慢慢从 A 身上爬过,爬时两虫的身体轴线始终保持 夹角θ表示: 当蠕虫 B 爬过 A 后, 两蠕虫各个质

心位置的坐标。 x 题 2(13 分) ( 不 一体积为 0.001m3 的空气泡和一质量和体积与空气泡相同的钢瓶从水下 2.0km 深处放出。 考虑摩擦。气泡温度不变。空气在水面的密度为 1.21kg/m3,大气压为 1.0×105N/m2。
b

〔提示:

∫α+βx = βlnα+βa 〕
a

dx

1 α+βb

(a) 求气泡到水面时的体积(3 分) (b) 求深度 h(h<2.0km)时气泡和钢瓶净得的能量的表达式(7 分) (c) 用该表达式求气泡和钢瓶到达水面时的速度(3 分)

题 3(12 分) ( 一质量为 0.5M 的人站在一以角速度ω旋转的厚度质量均匀,质量 ω 为 0.5M、半径为 R 的圆台上。圆台中心与转轴间无摩擦。该人离圆 θ 台中心的距离为 r(<R) ,并带有 10 颗质量为 0.01M 的石子。 (a) 求整个系统的总角动量。(4 分) 为减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对他的速度为 v,方向 与径向成夹角θ。 (b) 求当他扔了一石子后圆台的角速度,并找出使角速度减少最多的夹角θmax。 分) (4 (c) 求当他以θmax 扔光石子后圆台的角速度。 (答案可用多项表达式) 分) (4

题 4(8 分) ( 一均匀长竿长度为 L,质量为 M,在一半径为 R(>0.5L)的光滑半球面 内处于静止状态。 (a) 求竿在其平衡文职附近作小幅度振荡的频率。 分 (4 (b) 已知小幅度振荡时长竿偏离水平线最大偏角为θmax。长竿在最大偏角和水平时球面 对竿端的力强度的差可写成△N=αMgθmax2。求α。 分) (4

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题 5(12 分) ( 一电磁波的电场为 E = E 0 x0 e
i ( kZ ?ωt )

,其中 E0 和ω为实常数,ω =

c
~

~

k ,c 为真空光速, n

n
为介质的介电常数(可以是复数) 。
~

(a) 简单讨论电磁波在介质中里传播过程中,当 n 是实数、虚数或复数时电磁波强度的 变化。 分) (4 (b) 求磁场 B ,以及 Poynting 向量在一个周期里的平均量〈 S =

1 (E × B) 。 分) 〉(4 μ0

(c)

q=

~ d〈 S 〉 是描述电磁波在介质里能量损失的物理量。计算 q,并简单讨论当 n 是 dz

实数、虚数或复数时所得的结果的物理意义。 分) (3 (d) 根据上述结果,电磁波在介质里传播时如果其强度衰减,是否其能量一定有损失? (1 分)

题 6(12 分) ( 下图中阴影部分为均匀磁场区。磁场方向垂直纸面向外。
磁场区 磁场区 磁场区

w (a) (b)

y (c)

(a) 一平面线圈带电流 I,整个线圈在磁场区内,其平面与磁场垂直。求磁场对线圈的 力。 分) (3 (b) 当线圈有部分在磁场区外时,磁场对线圈的力可表达成 F=αwBI,其中 w 是线圈 与磁场区边缘两交界点间的距离,其方向则向上或向下(由电流方向决定) 。求α。 (3 分) (c) 一半圆形线圈半径为 r,电阻为 R,质量为 m,从磁场区下落。线圈平面始终与纸面 平行,其直边始终与磁场区底部边缘平行,距离为 y。不计线圈自感。导出决定 y (<r)的微分方程式。如果你求不到(b)部分的α,你可当它是已知的。 分) (6

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题 7(15 分) ( 当半导体被加上相互垂直的电场和磁场时, 就会产生一 与电流方向 j 垂直的电压 VH。这一现象称为霍尔效应。 (a) 一半导体为 W×W 的方型薄膜,里面的电流由 带正电的载流子运动引起,每个载瘤子带正电 荷 e,载瘤子面密度为 n,半导体导电率为σ。 另有一负电荷本底使半导体除了边缘以外处处 中性。半导体内电场处处均匀。外加磁场 B 与 y VH

B

j

V x

薄膜垂直。当电压 V 加上后,除了产生 X-方向的电流 j 外,还产生一与电流方向 垂直的电压 VH,求到达稳态时的霍尔系数 RH≡VH/V。 (注意电流 j 不是已知量) (6 分) 最近发现,在某些半导体里存在自旋霍尔效应。该效应与载流子固有的磁矩 m 有关。 。其中 v 为载流子在二 在二维系统中载流子或受到一附加的力 F =ηR m × v (Rashba 力) 维系统(X-Y)平面的速度,ηR 为常数。磁矩 m 保持与平面垂直,因此 m =±m z 。注 意这时无外加磁场。不计载流子磁矩间的相互作用。 (b) 设电场处处均匀,其沿 X-方向的力远大于 FR , 求 Y-方向的电流。电流与 m 是何关系?(6 分) x z y

(

)

j

V

〔沿用(a)问条件〕 (c) 由于与边界的碰撞,载流子的磁矩方向过了时间τ之后就变成无序。也就是说每单 位长度边界每秒钟有 n/τ的载流子的磁矩方向成为无序, 其中 nm 是还保持磁矩方向 ( ± z )的载流子密度。求边缘区的磁化强度 M 。 分) (3

)

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题 8(23 分) ( 电流变液由绝缘液体(比如硅油)和许多悬浮其中的介电小球组成,是一种因外加电场而 从液体形态变成固体形态的物质。如图所示一测试装置,包括两间距为 D、面积为 A 的平 行导电板,板间充满电流变液,两板将无电压时电流变液处于液体形态,因此两板可无摩 擦地在水平方向相对运动。两板间加上电压 V 后,小球被电 导电板 场极化并沿电场排成直行。 一板相对另一板要平移一小距离δ x 就需要一力δf。切变量η的定义为η=

D δf 。小球的半径 A δx

电流变液

为 R(<<D) ,介电常数为ε,总体小球占整个电流变液的 体积比为 m。无小球时液体的介电常数为 1。不考虑重力。以 下题目要求你将η用上述物理量表达出来。 (a) 第一步要通过求解(a1)-(a3)来计算单一小球在

导电板

一均匀外电场 E 0 里的极化 P 。已知球体内的极化是均匀的,方向与 E 0 相同。 (a1)求在球心位置由极化 P 常数的电场。 分) (3 (a2)求球体内的总电场。 分) (3

E0

(a3)单个小球极化常数的总电偶极子可表达成 P0 =α 0 。求α。 分) E (3 (b) 把小球近似当作位于球心的理想电偶极子,并只和 E 0 有关。如果你没有求出(a3) 里的α,你可以当是已知常数来计算下面的问题。 (提示:展开时保留到 d2,d 是偶 极子的长度。 ) (b1)求当两球接触,左右并排和上下排列时(如下图所示)的静电能量。 分) (4 (b2)求当一球与板接触时板对球的静电力。 分) (3 (b3)如下图所示,求当两球上下排列时,上面的球沿水平方向平移一小距离δa 时的水平 回复力。 分) (3

E0
(b1) (b2) (b3)

(c) 设加上电压后所有小球都排成连续的单行的细柱,连接上下导电板。根据你(b1) 的答案,细柱容易粘在一起吗?只考虑同一柱内最邻近 球之间安的力,当上板平移了一小距离δx 时每根柱最 顶端的球仍然粘在板上移动了同样距离。如右图所示, 上面每个球都相对于下一个球移动了相同距离。最底部 的球仍然粘在下板上不动。求切变模量。η。 分) (4
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