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挖掘课标教材资源寻找高考试题原形引发课堂教学思考


海南省教育学会 2012 年度论文评选

论文题目:挖掘课标教材资源
寻找高考试题原形 22 号 引发课堂教学思考

内容摘要

新课标教材的蕴含着丰富的资源,其价值性非常高,需要潜

心地挖掘、开发、整合与利用,在教学中,怎样引导学生有效地利用教材资源, 学会如何去建构知识网络,善于寻找高

考试题原形,怎样培养数学思维品质, 怎样运用数学知识解决问题,如何规范表述自己的解题过程等诸多因素引发课 堂教学思考。

关键词

教材资源

试题原形

教学思考

挖掘课标教材资源 寻找高考试题原形
一、充分认识新课标教材的特点

引发课堂教学思考

新课标教材主要体现了以学生为主体的探究式教学,它在教师的指导下,以类似于科学 研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题,并在探究过程中形成概念、建构知识、 渗透思想,它主要特点体现在:

——新课标教材更加注重强调数学知识的实际背景和应用, 使教材具有很强的 “亲和力” 和应用性。教材选取了大量与内容密切相关的、典型的、丰富的和学生熟悉的素材,用生动 活泼的语言,创设能够体现数学的概念和结论、数学的思想和方法,以及数学应用的学习情 境。 ——新课示教材中的例题、习题具有典型性、示范性和关联性,它们或是渗透着某些数 学方法,或是体现了某种数学思想,或提供某种重要结论,或是能从中建构某些定义,也是 高考试题命题者寻找试题原形的“藏宝”之地。 ——新课标教材以恰时恰点的问题引导数学活动,培养问题意识,孕育创新精神,体现 “问题性”“探究性”“主体性” 、 、 。教材中随处可以见到“观察”“思考”“探究” 、 、 ,以及用 “问号性”图标呈现的“边空”栏目,某些章节后面还有“阅读与思考”“探究与发现” 、 。这 些栏目恰当的提出了对学生数学思维有适当启发性的问题,以引导学生的数学探究活动,使 他们认真观察具体实例中反映的数学关系或几何特征,积极主动地开展实验与猜想、归纳与 推理的活动,思考问题的本质,探究解决问题的方法,使学生通过自己的小组合作交流的思 维过程来建构数学概念,获得数学结论,理解数学本质,以切实改进学生的学习方式和教师 的教学方式,同时也弥补了目前学生很少看课外书和老师知识领域较窄的不足。也与高考试 题考查学生的数学思想方法和应用性、探究性能力零落差衔接。 ——新课标倡导积极探索数学课程与信息技术的整合,努力体现信息技术的应用,体现新 课程的新理念。多功能计算器、图形计算器、几何画板、计算机等多媒体技术应用随处可见。 二、有效挖掘新课标教材资源 挖掘新课标教材资源,能有效地开展探究式教学,尝试探究的过程,体验创造的激情, 建立严谨的科学态度和不惧畏难的科学精神,有助于培养学生勇于质疑和发现的思维能力; 有助于发展学生的创新意识和实践能力。课堂教学中主要做如下的挖掘: ——挖掘教材中的例题资源。教材中的例题是编写教材的专家组经过慎密思考、精心挑 选推陈出新而写进教材的,一般都具有典型性、示范性和关联性,教学中要引导学生充分认 识到例题本身所蕴含的教育教学价值,学会怎样进行数学思维,怎样运用数学知识解决问题, 如何规范表述自己的解题过程等等。以《普通高中新课程标准实验教科书(人教版) 》选修 2 —1_§2.2.1“椭圆及其标准方程”一节 P4 1 例 3 为例,关注如何挖掘教材中的例题资源,下 面是根据波利亚变更题目的方法对教材上例题拓展的尝试。 (1)例题中已知条件 A (?5,0) 、 B (5,0) 及直线 AM 、 BM 的斜率之积是 ?

4 中的数字“ 5 9

b2 4 和? ” (基本题目) 分别改写为 a ( a ? 0 )和 ? 2 (其中 0 ? b ? a ) (更一般的题目) ; a 9

(2)点 A 、 B 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,且点 M 是椭圆 C 上的 a2 b2

任意一点(异于点 A 、 B ) ,则直线 AM 、 BM 的斜率之积是否为定值(命题的充要性)? (3)将教材 P4 1 例 3“直线 AM 、 BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积是 ? 为

4 4 ”中的 ? 改 9 9

4 ,其它条件不变,点 M 的轨迹方程又会如何呢?这正是教材 P55 的“探究” (映射到别领 9 域,椭圆与双曲线的对偶问题) 由此思考下面的问题,并形成结论: .
①设点 A 、 B 的坐标分别为 (? a,0) 、 (a,0) ( a ? 0 ) ,直线 AM 、 BM 相交于点 M ,且它 们的斜率之积是
b2 (其中 b ? 0 ) ,则点 M 的轨迹方程如何(圆锥曲线的通性)? a2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右顶点,且点 M 是双曲线 C a2 b2

②设点 A 、 B 分别是双曲线 C :

上的任意一点(异于点 A 、 B ) ,则直线 AM 、 BM 的斜率之积是否为定值(对偶问题的命题 的充要性)? (4) “设点 A 、 B 分别是椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,且点 M 是椭圆 C a2 b2

上的任意一点(异于点 A 、 B ) ,则直线 AM 、 BM 的斜率之积为定值 ?

b2 ”中的点 M 作一 a2

些变换, 有如下问题: M 关于 x 轴的对称点为 N , 点 则直线 AM 与 BN 的交点 P 的轨迹如何?
x2 y2 反之,点 A 、 B 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,且点 M 是双曲线 C 上 a b

的任意一点(异于点 A 、 B ) ,点 M 关于 x 轴的对称点为 N ,则直线 AM 与 BN 的交点 P 的轨 迹又如何? 最后把 2009 年新课标高考试题中求动点的轨迹方程与例题做比较,让学生认识到,高考 试题的原形其实就是新课标教材中的例题。 类似上述的思考在学生中也许还在继续,正所谓“一石激起千层浪” 。学生不仅获取了丰 富的知识、武装了自己思维、享受到成功的喜悦,而且能培养学生自主探究的能力,学生成 为学习的主人,从题海中获得解放。 ——挖掘教材中习题资源。教材中的习题也是编写教材的专家组经过精心挑选,推陈出 新而写进教材的,一般都具有典型性、示范性和关联性。习题除了巩固所学知识、反馈知识 的应用程度,还应引导学生进行变通推广、探索引申、提练升华、类比归纳等等。 (1)人教版选修 2-1 P69 B 组第 2 题:过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的一条直线与抛物

线相交,交点为 A, B 。由线段 AB 的中点 M 作 x 轴的平行线交抛物线的准线 l 于点 C 。求证:

AC ? BC。可作如下探索引申:设问 1,给出命题“过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的一条
直线与抛物线相交,交点为 A, B ,以线段 AB 为直径的圆 M 与准线 l 相切” ,请问:此命题是 否正确?试证明你的判断;设问 2,请选择椭圆或双曲线之一写出相应的命题,并证明其真 假。 (2)人教版必修 5《数列》一章中值得挖掘的习题资源较为丰富:① P47 B 组第 2 题,已 知等差数列 {an } 的公差为 d ,求证

am ? an ? d 。可作如下变通推广:已知等差数列 {an } 的公 m?n

差为 d ,则 an ? am ? (n ? m)d 。类比到公比为 q 的等比数列 {an } 又如何?② P61 B 组第 3 题, 就任一等差数列 {an } ,计算 a7 ? a10 和 a8 ? a9 , a10 ? a40 和 a20 ? a30 ,你发现了什么规律?能 推广吗?等比数列 {an } 有类似结论吗?③ P53 B 组第 2 题, S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,求 证 S6 , S12 ? S6 , S18 ? S12 成等差数列。类比到等比数列 {an } 又如何?能得到什么一般性结论? 类似上述在教材的习题中挖掘潜在的资源,不仅让学生在“近区”内感知习题的外在价 值,而且能有效地从“题海”中解放出来,主动地获取知识、应用知识、解决问题,并在这 一过程中形成概念、建构知识、渗透思想。 ——教材中随处可以见到“观察”“思考”“探究” 、 、 ,以及用“问号性”图标呈现的“边 空”栏目,某些章节后面还有“阅读与思考”“探究与发现” 、 。如:必修 3 P45 的阅读与思考 “割圆术” ;必修 5 P25 的阅读与思考“海伦与秦九韵” 必修 5 P71 的探究与发现“购房中的 ; 数学”等等。这些栏目恰当的提出了对学生数学思维有适当启发性的问题,以引导学生的数 学探究活动,了解数学史,使他们认真观察具体实例中反映的数学关系或几何特征,积极主 动地开展实验与猜想、归纳与推理的活动,思考问题的本质,探究解决问题的方法。 ——挖掘教材中的概念、原理(公式)进行变式拓展、探索引申、提练升华。如:余弦 的二倍角公式: cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 可变式为 cos2 ? ?

sin2 ? ?

1 ? cos2? ,这就是常用的降次公式; 2

1 ? cos2? 、 2

——定义形式推广,代数变形的几何意义。如:选修 2?1 P39 椭圆标准的推导过程可作如 下形式的推广:

① a ? cx ? a ( x ? c) ? y ?
2 2 2

cx a2 cx ? d ?| PF1 |? a ? ? e( ? x) 。此乃椭 ( x ? c) ? y ? a ? a c a
2 2

圆的焦半径公式; ② a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2 ?

( x ? c) 2 ? y 2 ? a ?

| PF | cx ? 2 1 ? e 。此乃椭圆的第二定义。 a a ?x c

相应选修 2?1 P53 双曲线标准的推导过程可作上术形式的推广,这样就可与后面抛物线的定义 统一了。 ——教材中多功能计算器、图形计算器、几何画板、计算机等多媒体技术应用随处可见。 如: 必修 1 P93 信息技术应用 “借助信息技术求方程的近似解” 选修 2?1 P50 信息技术应用 ; “用 《几何画板》探究点的轨迹:椭圆” ——椭圆的第二定义。 三、新课标在教学实践中引发的一些思考 ——初中与高中数学内容的衔接脱轨:如二次方程的根与系数的关系——韦达定理; 《三 角》下放到初中不仅对数学教学有利,对物理教学更有利。 2、高中内容太多,不能完成教学任务,很难调动数学后进生的学习能力。 (1)“对《数学 1》而言,调查中发现教师反映最为强烈的问题是,内容多与课时少之间 的矛盾如何解决?按规定每周上 4 个课时,实际上大部分学校都开了 5 个课时,有的甚至开 6 个课时,但都感觉到不易完成教材的内容.调查表明,80%以上的教师认为不能在规定的 时间内完成教学要求,他们表示,即使能在规定时间内完成,学生掌握得也不好.不少老师 有这样的感觉:“初中和大学的内容都往高中压,高中吃得消吗?”.跟以往相比,现在一 个学期学两本必修,高一年级就要学 4 本必修,普遍认为课程内容一下子太多了,学生负担 太重,对知识的理解却如“蜻蜓点水”,学得不深入,掌握不牢固.(“高中数学新课标实 验教材使用情况的调查分析 ·彭上观 ·华南师范大学教务处) (2)老师在教新课程,但最终评价指标是以高考成绩论英雄。老师思想上、教学方法上还 是老一套。 (3)新课程现在的结构不能真正达到“螺旋上升”效果。 ①新课程中淡化了数学的逻辑体系,许多地方给人以科普感觉,所以许多知识是以识记 为主了,过去的一个整体现在分散,思维能力有所下降。 ②一个整体现在分散(直线与圆、圆锥曲线) ,当第二次学到时前面已经忘得差不多了, 不如放在一起学。

(4) “淡化形式、注重实际”有失偏颇。数学的代数形式不能淡化(如椭圆第二定义) 。 ——重新整合、模块教学(解几、立几) ,更有利于基础学科(自然学科)知识的系统性。 传统的好的要继承,不能认为与以前的不一样就是好的。 ——理与证明(选修 1?2)的必要性 新课标中这些数学方法集中在《推理与证明》这一章中介绍,虽然系统性比较强,但也 暴露出一些问题: (1)切入时间过后 在此以前这些数学方法也有应用的需求,如在必修课本的函数或不等式中会用到反证法, 类比推理、归纳推理在必修 2 的立体几何和很多问题的引入都会用到。我们总不能当时回避 所有这些问题,到选修时才介绍。 (2)增加学生的负担 新课标以概念的形式出现,要准确记忆这些概念,区分这些概念,会花费学生不少精力, 虽然说重点是方法的应用,但谁能明确说不考概念呢,这无疑增加教学、学习的负担。学生 学习时总问:学习这章有什么用?以后证明都要用三段论的形式吗?或者用分析法的步骤表 示吗?书上的题目很难??等等?这也反映学生感到困惑的一些方面。 (3)有些题目与方法搭配不当、题目难度不恰当 1 介绍分析法时,它选的例子是“设 a,b,c 为一个三角形的三边,s = 2 (a + b + c),且 s2 = 2ab,试证 s < 2a” ,比较难,用分析法的好处不够明显。以前的课本是用无理数的大小比 较,证明“ 3 + 7 <2 5 ”.用分析法表述比较清楚,学生也比较好理解分析法步骤。 书上反证法的例子,演绎推理的例子,即三角、几何、数列等例子都存在不恰当或不切 合学生实际的情况。 旧版数学课本没有专门的章节介绍推理和证明方法。也没有十分详细地介绍各种推理方 法。推理和证明方法的介绍是分散在各章节中,如在综合法和分析法就在《不等式》中介绍; 反证法是在《立体几何》证异面直线时介绍。这种处理的好处就象电脑设备的“即插即用” , 需要时就出现,让学生与这些数学思想方法能达到最亲密的接触 ——明显与经典数学矛盾的定义老师该如何处理 例如:极值与最值问题(人教选修 2?2) (1) 选修 2?2 中极值与最值的定义与高等数学不一致 在人教版选修 2?2 中极值的描述性定义为: 函数 y=f (x)在点 x=a 的函数值 f (a)比它在 x=a 附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0。我

们把点 a 叫做函数 y=f (x)的极小值点,f (a)叫做函数 y=f (x)的极小值。 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值。 微积分教程中对极值的定义:函数 f (x)在 x0 的邻域处有极小值,若这个点可以有一个邻 域(x0?d,x0+d),完全包含于函数 f (x)的定义域之内,并且对这个邻域中的一切 x,成立 f (x)≥f (x0)。 (2)求极值、求最值的过程跟着出现问题 书上求极值的方法:① 解方程 f'(x)=0,求出根 x0;② x0 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f' (x)>0。那么 f (x0)是极小值。 书上求最值的方法:f (x)在[a,b]上,① 求 y=f (x)在(a,b)内的极值;②将函数 y=f (x)的各极 值与端点处的函数值 f (a),f (b)比较。 此定义下说不清的例子俯拾皆是,如:y=|x|,x ? [?1,2], 有无极值?有无最值? (3)极值部分建议及教学策略 ① 极值定义为: 函数 y=f (x)在点 x=a 的函数值 f (a)比它在 x=a 附近其他点的函数值都小。 ② 解题时加一句话:因为函数 y=f (x)的导函数为 f'(x)=…,所以 f'(x)=0 得到可能的极 值点。 (4)缺失极限是一大遗憾 ① 体会无穷大、无穷小、连续(前不见古人,后不见来者;上穷碧落下黄泉,两处茫茫 皆不见。 ) ② 了解极限、左右极限、极限存在(黄河远上白云间;孤帆远影碧空尽。 )


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