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第一部分 第二章 2.1 第二课时 数列的性质及递推关系式


2.1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法

第二 课时 把握热点考向 数列 的性 质及 递推 考点一 考点二 考点三

第 二 章

数 列

应用创新演练

关系


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第二课时

数列的性质及递推关系式

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[例1]

已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}

单调递增,求实数k的取值范围. [思路点拨] 由{an}单调递增可得an+1-an>0,从而

转化为不等式恒成立问题求解.

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[精解详析]

∵an=n2-kn,

∴an+1=(n+1)2-k(n+1). ∴an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k. ∵数列{an}单调递增,

∴an+1-an>0,即2n+1-k>0对n∈N*恒成立.
∴k<2n+1对任意n∈N*恒成立. 而2n+1的最小值为3, 故只需k<3即可. ∴k的取值范围为(-∞,3). 返回

[一点通]

函数的单调性与数列的单调性既有联系又有

区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之
若数列单调,其所对应的函数不一定单调,关键原因在于 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…, n})的特殊函数.故对于数列的单调性的判断一般要通过比 较an+1与an的大小来断定,注意作差法的应用. an+1-an>0?an+1>an?数列{an}单调递增. an+1-an<0?an+1<an?数列{an}单调递减.

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1 1.已知数列{an}满足 an+1=an+2,则数列{an}是 A.递增数列 C.摆动数列 B.递减数列 D.常数列

(

)

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1 1 解析:由 an+1=an+2?an+1-an=2>0?an+1>an,所以数列 {an}是递增数列.

答案:A

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2.已知数列{an}的通项为an=n2-5n+4,n为何值时, an有最小值?并求此最小值.
52 9 解:∵an=n -5n+4=(n-2) -4,
2

又∵n∈N*,∴n=2 或 3 时,an 有最小值-2.

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[例 2]

已知数列{an}的第一项 a1=1,以后的各项由公式

2an an+1= 给出,试写出这个数列的前 5 项. an+2

[思路点拨]

分别令递推公式中的n为1,2,3,4,即可得解.

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[精解详析]

2an ∵a1=1,an+1= , an+2

2a1 2 ∴a2= = , a1+2 3 2 2×3 2a2 1 a3= =2 =2, a2+2 3+2

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1 2×2 2a3 2 a4= = =5, a3+2 1 2+2 2 2×5 2a4 1 a5= = =3. a4+2 2 5+2 2 1 2 1 故该数列的前 5 项为 1,3,2,5,3.

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[一点通]

根据递推公式写出数列的前几项,要

弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另

外,解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通
常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式; 若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项 表示前面的项的形式.

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3.已知数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5, 则a5= A.-3 C.-5 B.-11 D.19 ( )

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解析:an+1=an+2-an得an+2=an+1+an. ∴a3=a2+a1=2+5=7. a4=a3+a2=7+5=12. a5=a4+a3=12+7=19. 答案:D

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4.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由 an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前 5 项; an (2)通过公式 bn= 构造一个新的数列{bn},写出数列 an+1 {bn}的前 4 项.

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解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3), 且a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.

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an (2)∵bn= ,且 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, an+1 a1 1 a2 2 a3 3 ∴b1=a =2,b2=a =3,b3=a =5, 2 3 4 a4 5 b4=a =8. 5 1 2 3 5 故 b1=2,b2=3,b3=5,b4=8.

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[例 3]

(12 分)在数列{an}中,

1 1 已知 a1=2,an+1-an= . ?2n?2-1 (1)试写出该数列的前 4 项; (2)归纳出它的通项公式.

[思路点拨]

由递推公式,分别令n=1,2,3得第2至第4项,

由前4项观察规律,可归纳出它的通项公式.

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[精解详析]

1 (1)由 a1=2,

1 an+1-an= ,得 ?2n?2-1 1 1 1 5 a2=a1+ 2 = + = ,? 2 -1 2 3 6 a3=a2+ 1 5 1 27 9 =6+15=30=10, ?2×2?2-1 (2 分)

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1 9 1 65 13 a4=a3+ = + = = , ?2×3?2-1 10 35 70 14 1 4×1-3 (2)∵a1=2= , 4×1-2 5 4×2-3 a2=6= , 4×2-2

(6 分)

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9 4×3-3 a3=10= , 4×3-2 13 4×4-3 a4=14= .? 4×4-2 4n-3 ∴其通项公式可猜想为 an= .? 4n-2 (10 分)

(12 分)

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[一点通]

根据初始值及递推公式写出数列的前几

项,然后归纳、猜想其通项公式,其中归纳、猜想通项
公式是难点,可用根据数列的前几项写出一个通项公式 的方法来处理.不同的是,在写出前几项时,一般不对 前几项化简(但有时化简后有利于观察其通项公式,关键 是尝试,没有定法).

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an+1 1 5.已知{an}中,a1=1, a =2,则数列{an}的通项公式是( n A.an=2n C.an= 1 2n-1 1 B.an=2n 1 D.an=n2

)

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1 1 1 解析:a1=1,a2=2,a3=4,a4=8, 观察得 an= 1 2n
-1

.

答案:C

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6.(2012· 西安高二检测)设数列{an}是首项为 1 的正项数 n 列,且 an+1= an(n∈N*),求数列的通项公式. n+1

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n 解:因 an+1= a. n+1 n 法一:(归纳猜想法): 1 1 2 1 1 3 1 1 a1=1,a2=2×1=2,a3=3×2=3,a4=4×3=4… 1 猜想 an=n.

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n 法二:(迭代法):因为 an+1= a, n+1 n n-1 n-1 n-2 所以 an= n an-1= n · a - =… n-1 n 2 n-1 n-2 1 1 = n · · 2a1,从而 an=n. …· n-1

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n 法三:(累乘法):因为 an+1= a, n+1 n an+1 n 所以 a = , n+1 n an an-1 a2 n-1 n-2 1 则 · · a= n · …· · 2, …· an-1 an-2 n-1 1 1 所以 an=n.

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an+1 n 法四:(转化法):因为 a = , n+1 n ?n+1?an+1 所以 na =1, n 1 故数列{nan}是常数列,nan=a1=1,∴an=n.

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1.单调性是数列的一个重要性质.判断数列的
单调性,通常是运用作差或作商的方法判断an+1与 an(n∈N*)的大小,若an+1>an恒成立,则{an}为递增 数列;若an+1<an恒成立,则{an}为递减数列.用作 差法判断数列增减性的步骤为:①作差;②变形;③ 定号;④结论.

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2.通项公式与递推公式的异同
不同点 相同点

通项 可根据某项的序号,直接用代入
公式 法求出该项 都可确定一个数 列,都可求出数

递推
公式

可根据第1项或前几项的值,通

过一次或多次赋值逐项求出数列 列的任何一项 的项,直至求出所需的项

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3.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项);

(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项
统一形式; (3)写出一个通项公式.

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