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高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.3 反证法与放缩法


第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法 栏 目 链 接 1.了解用反证法证明不等式. 2.了解用放缩法证明不等式. 3.提高综合应用知识解决问题的能力. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 1.反证法. 假设要证的命题不成立 ,以此为出发点,结合已知 先_____________________ 条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理, 得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事 实等)________ 矛盾 的结论,以说明________ 假设 不正确,从而证明 栏 目 链 接 原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法. 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步,分清欲证不等式所涉及的条件和结论. 第二步,做出与所证不等式________ 相反 的假定. 条件和假定 出发,应用正确的推理方法, 第三步,从____________ 矛盾 推出________ 结果. 栏 目 链 接 第四步,断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假 不正确 ,于是原证不等式________ 成立 . 定________ 已知 a>b>0,求证: a> b(n∈N 且 n n n 假设 a≤ b >1).用反证法证明此题时第一步是: ________. 思考 1 n n 2.放缩法. 所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地 ________( 或________) 放大 缩小 ,使之得出明显的不等量关系后, 栏 目 链 接 再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方 法. 思考 2 3 对于任何实数 x,求证:x -x+1≥ 4 2 证明 ? 1? 2 3 3 3 2 ? ? 因为 x -x+1= x-2 + ≥ ,所以 x -x+1≥ . 4 4 4 ? ? 2 栏 目 链 接 题型一 例1 反证法证明不等式 已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1- 1 c)a 不能同时大于 . 4 分析: “不能同时”包含情况较多, 而其否定“同时大于”仅有 一种情况,因此用反证法. 1 证明:证法一 假设三式同时大于 , 4 1 1 1 即有(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> . 4 4 4 1 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c> . 64 ?1-a+a?2 1 ?= , 又(1-a)a≤? 2 ? ? 4 栏 目 链 接 1 1 同理,(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ , 4 4 1 ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ ,与假设矛盾. 64 1 ∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4 1 证法二 假设三式同时大于 . 4 ∵0<a<1,∴1-a>0, -a +b 1 1 ≥ -a b> = . 2 4 2 -b +c -c +a 1 同理 , 都大于 . 2 2 2 3 3 三式相加,得 > ,此式矛盾, 2 2 ∴原命题成立. 栏 目 链 接 变 式 训 练 1.若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析:a+b≤2 的反面是 a+b>2,用反证法证. 证法一 假设 a+b>2, ? 1 ?2 3 2 2 2 而 a -ab+b =?a-2b? + b ≥0. 4 ? ? 但取等号的条件为 a=b=0,显然不成立. ∴a2-ab+b2>0,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2), 而 a3+b3=2. ∴a2-ab


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