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江西省重点中学协作体2012届高三第三次联考


江西省重点中学协作体 2012 届高三第三次联考

数学试题(文科)
命题人:南昌二中 高 鹏 鹰潭一中 李小昌

参考公式: 样本数据( x1 , y1 )( x2 , y2 ) , ,..., xn , yn )的线性相关系数 (

r?

? ( x ? x)( y
i ?1

i n n 2 i ?1 i

n

i

? y)
,其中 x ?
i

? ( x ? x) ? ( y
i ?1

? y)2

x1 ? x2 ? ... ? xn y ? y2 ? ... ? yn ,y? 1 n n

锥体的体积公式: V ?

1 Sh ( 其中 S 为底面积, h 为高) 3

第Ⅰ卷
一.选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2 ,则 为( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限 z

A.第一象限

2.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , | b |? 1 ,则 | a ? 2b | ? (
o

?

?

?

?

?

?



A. 3

B. 2 3 )

C. 4

D. 12

3.下列有关命题的说法正确的是(
2

A.命题“若 x ? 1, 则x ? 1”的否命题为:“若 x ? 1, 则x ? 1 ”;
2

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件;
2

C.命题“ ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0 ”;
2 2

D.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题; 4.已知数列 {a n } 为等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项和, S 6 ? S 7 ? S 5 ,则下列结论中不 . 正确的是( .. A. d ? 0 ) B. S11 ? 0 C. S12 ? 0 D. S13 ? 0 ) D. a ? ? , b ? ?

5.对两条不相交的空间直线 a 与 b ,必存在平面 ? ,使得( A. a ? ? , b ? ? B. a ? ? , b ∥ ? C. a ? ? , b ? ?

-1-

6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? ? ? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额
为( ) B.65.5 万元
2

?

A.63.6 万元

C.67.7 万元

D.72.0 万元 )

7.已知函数 f ( x) ? x ? | x | ?2 ,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的实数 x 的取值范围是( A. ( , )

1 3

1 2 1 2 1 2 1 2 B. [ , ] C. ( , ) D. [ , ) 3 3 2 3 2 3 3 3 OB ? (5 cos ? ,5 sin ? ) , OA ? OB = 8. ?OAB ( O 为原点)中, ? (2 cos? ,2 sin ? ) , 在 若 OA
-5,则 ?OAB 的面积 S =( A. 3 3 B. 2 ) C.5 3 5 3 D. 2

9.已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右支上一点, F1 、 F2 为双曲线的左、右焦 a 2 b2 ??? ???? ???? ? ? ? 点,使 OP ? OF2 ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点),且 PF1 ? 3 PF2 ,则双曲线离心率为( )

?

?

A.

6 ?1 2

B. 6 ? 1

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1

10.设函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 的导函数 f ?(x) , f ?(x) 在区间 (a, b) 的导函数 f ??(x) ,若 在区间 (a, b) 上的 f ??( x) ? 0 恒成立,则称函数 f (x) 在区间 (a, b) 上为“凸函数” ,已知

1 4 1 3 3 2 函数 f (x) 在区间 (a, b) 上为 “凸 x ? mx ? x ,若当实数 m 满足 | m |? 2 时, 12 6 2 函数” ,则 b ? a 的最大值为( ) f ( x) ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置) 11.一个杜会调查机构就某地居民的月收人调查了 10000 人,并根据所得数据画出样本的频 率分布直方图(如下图).为了分析居民的收人与年龄、学历、职业等方面的关系,按下图横轴表 示的月收人情况 分成六层, 再从这 10000 人中用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查, 则在[2500,3000)(元) 月收人层中应抽出的人数为 ;

-2-

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
12,则

2 3 ; ? 的最小值为 a b 13.已知实数 x ? [0,10] ,执行如上图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 47 的概率为
14.已知实数 a ? 0 ,给出下列命题: ①函数 f ( x) ? a sin(2 x ?

?
3

) 的图象关于直线 x ?

?
3

对称;②函数 f ( x) ? a sin(2 x ?

?
3

) 的图

? ? 个单位而得到;③把函数 h( x) ? a sin(x ? ) 的图 6 3 1 象上的所有点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 倍,可以得到函数 2 ? ? f ( x) ? a sin(2 x ? )的图象;④若函数 f ( x) ? a sin(2 x ? ? ? )( x ? R)为偶函数,则 3 3 ? ; (把你认为正确的命题的序号都填 ? ? k? ? (k ? Z ) .其中正确命题的序号有 6
象可由 g ( x) ? a sin 2 x 的图象向左平移 上) 。 15 . 使 不 等 式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |?| 2m ? 1 | 对 于 一 切 实 数 x 恒 成 立 的 实 数 m 的 取 值 范 围 为 .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16 . 本 小 题 12 分 ) 设 △ ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b , c , 且 (
( 2b ? 3 ) cos? c A a c o. 3 C s

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若角 B ?

?
6

, BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

-3-

17. (本小题 12 分)某电视节目《幸运猜猜猜》有这样一个竞猜环节,一件价格为 9816 元的 商品,选手只知道 1,6,8,9 四个数,却不知其顺序,若在竞猜中猜出正确价格中的两个或以 上(但不含全对)正确位置,则正确位置会点亮红灯作为提示;若全对,则所有位置全亮白 灯并选手赢得该商品, (Ⅰ)求某选手在第一次竞猜时,亮红灯的概率; (Ⅱ)若该选手只有二次机会,则他赢得这件商品的概率为多少?

18 .( 本 小 题 12 分 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 ,

A1 C1

B1

AA1 ? AB ? 2, BC ? 1 , D 为 AC 中点,若规定主视方向 为垂直于平
面 ACC1 A1 的方向,则可求得三棱柱左视图的面积为 (Ⅰ)求证: B1C // 平面A1 BD ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? A1BD 的体积。

....

4 5 ; 5
A D B C

主视

19. (本 小题 12 分)已知 数列 a n 有 a1 ? a, a 2 ? p ( 常数 p ? 0 ) 对任意 的正 整数 ,

? ?

n, S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,并有 S n 满足 S n ?
(Ⅰ)求 a 的值并证明数列 a n 为等差数列; (Ⅱ)令 p n ?

n(a n ? a1 ) 。 2

? ?

S n ? 2 S n ?1 ? ,是否存在正整数 M,使不等式 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 2n ? M 恒成 S n ?1 S n ? 2

立,若存在,求出 M 的最小值,若不存在,说明理由。 20. (本小题 13 分)已知两定点 F1 ( ? 2, 0), F2 ( 2, 0), 满足条件 PF 2 ? PF 1 ? 2 的点 P 的 轨迹是曲线 E,直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A、B 两点。如果 AB ? 6 3, 且曲线 E 上存在点 C,使 OA ? OB ? mOC . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)求 AB 的直线方程; (Ⅲ)求 m 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

????

-4-

八校联考文科数学答案
一.选择题 CBDCB 二.填空题 11.25; BADDB 12

25 ; 6

13.

1 ; 2

14.(2)(3)(4);

15. [?3,4]

三.解答题 16.解: (Ⅰ)∵ (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , ∴ (2sin B ? 3 sin C ) cos A ? 3 sin A cos C . 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A . ∴ 2sin B cos A ? 3 sin( A ? C ) .…………………….3 分
3 ? ,因为 0 ? A ? ? 则 A ? .………….6 分 2 6 π 2? (Ⅱ)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? , 6 3 1 设 AC ? x ,则 MC ? x ,又 AM ? 7. 2 在 ?AMC 中由余弦定理得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 , ……….8 分 x x 1 2? 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 解得 x ? 2, 故 S?ABC ? x2 sin ? 3. …12 分 2 2 2 3 17.解: (Ⅰ)1,6,8,9 能排列出 24 种情况,其中 2 个位置正确的有 6 种,而却没有 3 个

则 2sin B cos A ? 3 sin B ,∴ cos A ?

6 1 ? ……………….6 分 24 4 1 (Ⅱ)赢得商品分三类,①第一次猜对,概率为 P1 ? ,②第一次亮红灯,则可分析的剩下 24 1 的 2 个位置必定是填反了数字,所以在第一次亮红灯的情况下,第二次必定正确,则 P2 ? , 4 17 1 17 ③第一次没有亮红灯,而第二次全部猜中, P3 ? ? ? 24 23 552 178 89 所以,二次能赢得商品的的概率为 P' ? P ? P2 ? P3 ? ……………….12 分 ? 1 552 276 18.解:(Ⅰ)如图,取 A1 B, AB1 交点 O,连接 OD,易知 OD // B1C 可证明到 B1C // 平面A1 BD ……….5 分 (2)主视图方向为垂直于平面 ACC1 A1 的方向,则可求得三棱柱左视图为一个
位置全部正确,所以第一次竞猜时亮红灯的概率 P ?

4 5 2 5 A1 ,求得左视图长为 ,即在三角形 ABC 中, 5 5 2 5 B 点到 AC 的距离为 ,……….8 分 5 ? 根据射影定理可得 ?ABC ? 90 , AC ? 5 ;则三棱锥 A ? A1 BD 以 AA1 ? 2 1 1 1 为高, S ?ABD ? 1 ,则 V ? ? 2 ? ? ……….12 分 A 3 2 3
矩形,其高为 2 面积为

B1 C1 O

B D C

1 ? (a ? a) 19.解: (Ⅰ)由已知,得 S1 ? ? a1 ? a,? a ? 0 ……….2 分 2
由 a1 ? 0 得 S n ?

nan (n ? 1)a n?1 ,则 S n ?1 ? ,? 2( S n?1 ? S n ) ? (n ? 1)a n?1 ? nan 2 2
-5-

即 2a n ?1 ? (n ? 1)a n ?1 ? nan ,于是有 (n ? 1)a n?1 ? nan ,并且 nan ? 2 ? (n ? 1)a n ?1 ,

? nan? 2 ? (n ? 1)a n?1 ? (n ? 1)a n?1 ? nan ,即 n(an? 2 ? an?1 ) ? n(an?1 ? an )
则有 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ,? {a n } 为等差数列;…….7 分

(n ? 2)( n ? 1) p (n ? 1)np 2 2 2 2 ? ? 2? ? (n ? 1)np (n ? 2)( n ? 1) p n n?2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? P1 ? P2 ? P3 ? ... ? Pn ? 2n ? (2 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? ... ? (2 ? ? ) ? 2n 1 3 2 4 n n?2 2 2 ;由 n 是整数可得? P ? P2 ? P3 ? ... ? Pn ? 2n ? 3 ,故存在最小的正 ? 2 ?1? ? 1 n ?1 n ? 2 整数 M ? 3 ,使不等式? P ? P2 ? P3 ? ... ? Pn ? 2n ? M 恒成立…. …. ….12 分 1 n(n ? 1) p (Ⅱ)? S n ? ,? Pn ? 2
20.解: (Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 支,且 c ?

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左

?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0 ? ……….4 分 (Ⅱ) 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

?

?

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ? ? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2 k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1 ……….6 分

又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?

? x1 ? x2 ?
2 2 2 2

2

? 4 x1 x2

?2 ? ?2 k ? ?2 ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ?1? k ?
2 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
整理后得 28k 4 ? 55k 2 ? 25 ? 0

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

∴ k2 ?

5 5 或 k2 ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

5 x ? y ? 1 ? 0 ……….9 分 2 ??? ??? ? ? ???? (Ⅲ)设 C ? xc , yc ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1 , y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mxc , myc ?
故直线 AB 的方程为

-6-

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m 2k 2k 2 2 又 x1 ? x2 ? 2 ? ?4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?8 k ?1 k ?1 k ?1 80 64 ? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? 将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 2 ? 2 ? 1 ? m m? m m ? ?
∴ ? mxc , myc ? ? ? 得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 ,…13 分 1 ? ln x 21.解(Ⅰ)因为 f ( x) ? , x ? 0,则 f ?( x) ? ? ln 2x , x x 当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值;……….2 分 因为函数 f ( x) 在区间 (k , k ? ) (其中 k ? 0 )上存在极值,
3 ? 1 所以 ? k ? 1 ? k ? 4 解得 ? k ? 1 ;……….4 分 ? 4 ?k ? 0 ?

3 4

a ( x ? 2)(1 ? ln x) ,又 x ? 2 ,则 ?a , x?2 x ( x ? 2)(1 ? ln x) x ? 2 ln x ,则 g ?( x) ? ;……….6 分 记g ( x) ? x x2 2 令 h( x) ? x ? 2ln x ,则 h?( x) ? 1 ? , x ? x ? 2 ,? h?( x) ? 0, ? h( x) 在 [2, ??) 上单调递增,? h( x)min ? h(2) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 , 故 g ( x) 在 [2, ??) 上也单调递增, 所以 g ( x) min ? g (2) ? 2(1 ? ln 2) , 所以. a ? 2(1 ? ln 2) ;……….8 分 3 3x 6 (Ⅲ)由(2)知:当 a ? 3 时, f ( x) ? 恒成立,即 1 ? ln x ? , ln x ? 2 ? , x?2 x?2 x?2 6 令 x ? n(n ? 1) ? 2 ,则 ln[n(n ? 1) ? 2] ? 2 ? ;……….10 分 n(n ? 1) 6 6 6 所以 ln(2? ? 2) ? 2 ? , ln(3? ? 2) ? 2 ? ,?? ln[n(n ? 1) ? 2] ? 2 ? 3 4 n(n ? 1) 2? 3 3?4 6 , ln[(n ? 1)(n ? 2) ? 2] ? 2 ? (n ? 1)(n ? 2)
(Ⅱ)不等式 f ( x) ? n 个不等式相加得

6 ? 2n ? 3 n?2 2 n ?3 3 4 即 (2? ? 2)(3? ? 2)... ? n(n ? 1) ? 2 ?? (n ? 1)(n ? 2) ? 2 ? ? e ……….14 分 ln(2? ? 2) ? ln(3?4 ? 2)... ? ln ? n(n ? 1) ? 2 ? ? ln ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2 ? ? 2n ? 3 ? 3

-7-

1 ? ln x x 3 (Ⅰ)若 k ? 0 且函数 f ( x) 在区间 (k , k ? ) 上存在极值,求实数 k 的取值范围; 4
21.(本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)如果当 x ? 2 时,不等式 f ( x) ?

a 恒成立,求实数 a 的取值范围; x?2
2 n ?3

(Ⅲ)求证: n ? 2 , (2 ? 3 ? 2)(3 ? 4 ? 2) ?? [n(n ? 1) ? 2][(n ? 1)(n ? 2) ? 2] ? e

.

-8-


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