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离散二进制粒子群算法分析


DOI:10.13232/j.cnki.jnju.2011.05.002

第4 7卷   第5期 V o l . 4 7,N o . 5    J OUR NA L O F NAN J I NG  UN I V E R S I T Y         2 0 1 1年9月 S e t .2 0 1 1 p ? ( ) NATUR A L S C I E N

C E S  

南京大学学报 ( 自然科学 )

离散二进制粒子群算法分析
* , 刘建华* 杨荣华 , 孙水华



( ) 福建工程学院计算机与信息科学系 , 福州 , 3 5 0 1 0 8 , 摘   要: 主要用优化计算实值的连续性问题 , 而离散 P a r t i c l e S w a r m  O t i m i z a t i o n P S O)   粒子群算法 (   p , 它扩展了 二进制 粒 子 群 算 法 ( B i n a r P a r t i c l e S w a r m  O t i m i z a t i o n B P S O)则 用 来 优 化 离 散 空 间 问 题 ,   y p   现已广泛应用到各种离散优化问题计算中 , 但目前对 B P S O 算法的应用 , P S O 算法的理论分析 研 究 还 很 少, 难以指导算法性能 . 本文从位改变概率和遗传算法的模式定理两方面对 B 分析得出, P S O 进行分析. 但不能收敛于粒 子 的 全 局 最 优 位 置 , 而且随 着 算 法 迭 代 运 行, B P S O 算法具有很强全局搜索能力 , B P S O 的随机性越来越强 , 缺乏后期的局部搜索能力 . 本文利用基准的函数 , 通过仿真实验计 算 , 验证本文的分 析结果 . 基于分析的结果 , 本文提出 B 新方法采用新的概率映射函数和混合遗传算法 P S O 的改进方 法 , 通过对基准函数的仿真试验 , 验证了改进方法的有效性 . 的方法 . 关键词 : 收敛性 , 位改变概率 , 模式定理   二进制粒子群算法 , 中图分类号 : P 1 8  T  

T h e a n a l s i s o f b i n a r a r t i c l e s w a r m o t i m i z a t i o n           y y p p  
L i u J i a n- H u a, Y a n R o n H u a, S u n S h u i- H u a     g  g-
( , , , ) D e a r t m e n t o f C o m u t e r a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e F u i a n U n i v e r s i t o f T e c h n o l o F u z h o u 3 5 0 1 0 8, C h i n a               p p j y g y   : A b s t r a c t a r t i c l e S w a r m  O t i m i z a t i o n( P S O) i s a n e v o l u t i o n a r c o m u t a t i o n i n s i r e d b s w a r m i n t e l l i e n c e .  P             p y p p y g     , C o m a r e d t o o t h e r e v o l u t i o n a r c o m u t a t i o n a l o r i t h m s P S O c a n n o t o n l s o l v e a v a r i e t o f d i f f i c u l t o t i m i z a t i o n                       p y p g y y p       , r o b l e m, b u t a l s o i s e a s e t o b e u s e d . S o P S O h a v e b e e n u s e d a c r o s s a w i d e r a n e o f a l i c a t i o n s . B u t P S O i s m a i n l                                     p g p p y , a l i e d i n t h e a r e a o f c o n t i n u o u s s a c e a n d r a r e l i n t h a t o f d i s c r e t e s a c e . I n o r d e r t o b e u s e d i n d i s c r e t e s a c e                                       p p p y p p   b i n a r P a r t i c l e S w a r m  O t i m i z a t i o n( B P S O) w a s d e v e l o e d t o m a k e P S O c a a b l e t o o t i m i z e t h e c o m b i n a t i o n                     y p p p p   r o b l e m,w a r t i c l e r o b l e m. h i c h e x t e n d e d s w a r m o t i m i z a t i o n a n d i s u s e d t o o t i m i z e t h e d i s c r e t e b i n a r s a c e                           p p p p p y p   A l t h o u h B P S O h a s b e e n r o o s e d f o r o v e r t e n e a r s a n d h a s b e e n u s e d i n m a n c o m b i n a t i o n o t i m i z i n r o b l e m s                               g p p y y p g p     , , a e r a n d a l i e d i n m a n a r e a s i t w a s r a r e l a n a l z e d . I n t h i s t h e b i n a r P a r t i c l e S w a r m  O t i m i z a t i o n( B P S O) i s                   p p p p y y y y p       , r o b a b i l i t a n a l z e d w i t h b i t c h a n e a n d s c h e m a t h e o r e m o f G e n e t i c A l o r i t h m( GA) . O n t h e o n e h a n d t h e c h a n e                           p y g g g y   r o b a b i l i t o f e v e r b i t o f B P S O i s c o m u t e d .A n d I t w a s f o u n d t h a t c h a n e r o b a b i l i t o f e v e r b i t o f B P S O i s                               p y p y y p g y         , b i e r a n d b i e r w i t h i t e r a t i o n o i n o n . O n t h e o t h e r h a n d B P S O u s t u s e s t h e m u t a t i o n o f GA i n t e r m o f t h e o r                                     g g g g g g j y   , o f G e n e t i c A l o r i t h m, a n d i s l a c k o f t h e o e r a t i o n a n d c r o s s o v e r o f s e l e c t i o n s o i t c a n n o t k e e t h e o t i m a l s c h e m a                                 g p p p  

) 福建省科技厅 K 类项目 ( J K 2 0 1 1 0 3 5 * 基金项目 : 收稿日期 : 2 0 1 1-0 5-2 0 : E-m a i l h l i u f n u. e d u. c n * * 通讯联系人 , @ j j

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, i n c r e a s e i n B P S O w i t h i t e r a t i o n o i n o n i n t e r m o f s c h e m a t h e o r e m o f GA. F r o m t h e t w o w a s i t w a s f o u n d t h a t                                     g g y   ,w , o w e r f u l l o b a l P S O i s m o r e a n d m o r e s t o c h a s t i c h i c h h a s t h e a b i l i t o f s e a r c h b u t c a n n o t c o n v e r e s t o b i n a r                             p g y g y     , , a r t i c l e o i n o w e r f u l t h e o t i m a l o f s w a r m.W i t h t h e i t e r a t i o n o n t h e r a n d o m n e s s o f B P S O i s m o r e a n d m o r e s o                               p g g p p   ,e t h e B i n a r P S O i s l a c k o f l o c a l e x l o r a t i o n w h i c h i n s t r u c t s t h e i m r o v e m e n t o f B P S O.A n d t h e n x e r i m e n t s                           y p p p   , c o n d u c t e d w i t h B e n c h m a r k f u n c t i o n h a v e t e s t e d t h e r e s u l t s i n t h i s a e r . B a s e d o n t h e a n a l s i s a n i m r o v e d B i n a r                               p p y p y P S O i s r o o s e d w h i c h c h a n e s t h e f o r m u l a o f i t s r o b a b i l i t m a i n a n d t h e f o r m u l a o f b i t o b t a i n i n v a l u e .T h e                             p p g p y p p g g       ’ a r t i c l e a r t i c l e n e w f o r m u l a s a r e f a v o r a b l e o f s c o n v e r e n c e t o t h e o t i m a l a n d i n t e n s i f t h e l o c a l e x l o r a t i o n o f                               p p g p y p   , a e r b i n a r P S O.W i t h B e n c h m a r k f u n c t i o n t h e e x e r i m e n t c o n d u c t e d i n t h i s i l l u s t r a t e s t h a t t h e i m r o v e d b i n a r                         p p y p p y   i s o u t e r f o r m e d t o o r i i n a l b i n a r P S O. P S O           p g y   : ,c ,s , a r t i c l e r o b a b i l i t K e w o r d s i n a r w a r m t i m i z a t i o n o n v e r e n c e c h e m a h e o r e m, b i t h a n e  b  s  o  t  c  p y y p g g y  p   e x e c t e d v a l u e   p

, P a r t i c l e S w a r m  O t i m i z a t i o n    粒 子 群 算 法 (   p 是由J P S O) . K e n n e d C. E b e r h a r t于1 9 9 5年 y和 R. 开发的智能优化算法
[ ] 1, 2

对离散二进制粒子群算法 的模式 定 理 两 方 向 , ( 进行分析 , 本文分析发现 B B P S O) P S O 具有过 强的随机的全局探索性 , 缺少后期局部探测性 , 进而改进了 B P S O 算法 .

, 它是受鸟群 、 鱼群等群

体社会智能而产生的灵感 . 后来 Y. S h i和 R. C. E b e r h a r t增加一个动态变化的 权 重 来 控 制 P S O [ ] 3 , 算法的探索性和探测性 形成现在的标准粒子 群算法 . 相比其它进化算法 , 粒子群算法有着参 数少 , 不需要编码 , 易于使用等优势 , 它已广泛应 例如 , 图像处理 , 模 用于各个领域的优化计算中 ,
] 4~8 电力规划 , 生 产 调 度 等 等[ 然 而, 标 式识别 , .

1  离散二进制粒子群算法
K e n n e d b e r h a r t开发出来离散二进制 y和 E P S O 算法的速度 更 新 公 式 与 原 始 P S O 算法一 首先粒子是由二进制编码组成 , 每个二制位 样, )式产生 速 度 , 利用 ( 而其速度值被转换成变 1 换的概率 , 也就是位变量取 1 值的机会 . ·v ( ) ·( v r a n d + p i d=ω i d+c 1· i d-x i d) · ( ) ·( ) ( ) c r a n d -x 1 p 2 i d d g 但没有原始 P 为 S O 的粒子位置更新公式 . 速度 了表 示 速 度 的 值 是 二 进 制 位 取 1 的 概 率 , ] , 的值被映射到区间 [ 映射的方法一般采用 0, 1 ( )式s 2 i m o i d 函数 : g 1 ( ( ) s v = 2 i d) 1+ e x -v p( i d) ( 这里 s 表示位置 x 粒子 v i d) i d取 1 的 概 率 , )式改变它的位值 : 通过 ( 3 ( ) ( a n d v 1 ≤s i d)  i fr 烄 ( ) x 3 i d= 烅 0 o t h e r w i s e 烆 ) 这里 r 是 一 个 随 机 数, 从区间[ a n d( 0, 1] ( 的统一分布 中 随 机 产 生 . 为了避免s 太靠 v i d) 近 1 或 0, 一个参数 Vm 用于 a x 作为最大速度值 , 限制 v 即v 速度的 -Vm Vm . i d的范围 , i d∈ [ a x, a x]

准P 对 S O 算法适应在连续 搜 索 空 间 进 行 计 算 , 于离散的搜索空间 , 其不能直接加以应用 , 必须 需要对标准 P 使其适合求解 S O 算法进 行 改 进 , 离散空间的问题 . 为了使 P S O 算法能解决离散组合优化问 题, J . K e n n e d C. E b e r h a r t在1 9 9 7年设计 y和 R. 一个 P S O 算法的离散二进制版本( B i n a r y [ 9] , ) , 用来 P a r t i c l e S w a r m  O t i m i z a t i o n B P S O   p 优化离散二进制空间的问题 , 扩展了 P S O 算法 大量文献 的应用 . B P S O 算法提出来有 十 多 年 , 将其应用于组合优化问题 , 获得广泛的应用 , 例 如, 生物信 息 , 背 包 问 题, 经济规划和图形图像
1 0~1 8] 标 准 粒 子 群 算 法 从 提 出 来 以 后, 有 等等 [ .

很多文 献 对 它 进 行 了 理 论 分 析 , 已获得一些成 果. 但很少有文献对离散二进制粒子群算法 ( B P S O)进 行 理 论 分 析 ,难 以 从 理 论 上 说 明 本文从位改变概率和遗传算法 B P S O 的性能 .

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限制最终是限制了位 x i d取 1 或 0 的概率 . ) ] 在( 式中 , 其函数值被映射成区间 [ 2 0, 1 . ) 根据 ( 式, 函 数 值 代 表 了 某 位 为 1 的 概 率. 需 3 要注意的是 : S i m o n d 函数值并不代表某位变 g 化概率 , 只 是 代 表 某 位 取 1 的 概 率. 所 以, 在分 析中 需 要 考 虑 某 位 变 化 的 概 率 是 多 少 , 本文将 对此进行分析 .

时, 位的改变绝对概率 最 大 , 最大值为0 这 . 2 5. 是 J. K e n n e d C. E b e r h a r t在文献[ 9] y 和 R. 的分析结果 , 其 分 析 方 式 不 严 格, 比 较 简 单, 下 节对此进一步分析 . ) 表示 2 . 2  位改变 率 的 进 一 步 分 析   设 v t i d( 第i粒子的第 t代在 d 维的速 度 . 第 t代 位 为 1 ( ) ) , 的概率为 S 而 位 为 0 概 率 是 1-S( v t v i d( i d ( ) ) 此外 , 如果第t 则第t t . -1 代位值已经是 0, ) ) ; 代将发生改 变 的 概 率 为 S( 同 样, 如果 v t i d( 第t 则 第 t代 发 生 改 变 的 -1 代 位 值 已 经 是 1, ( ) ) 概率为 1-S 而 第t v t . -1 代 位 值 是 0 的 i d( ( ) ) , 概率为 1-S 第t v t -1 -1 代位值是 1 的 i d( ( ) 因 此, 第 t代 位 发 生 改 变 概率为 S v t -1) . i d( ( ) 应该为 : 的概率 p t ( ) ( ) ) ) ( ) ) t =( 1-S v t -1 S v t + p i d( i d( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ) S v t -1 1-S v t 7 i d( i d( ) ) 结合 ( 式与 ( 式, 得到下式 : 2 7 1 ( ) t = 1- p ) )× e x -v t -1 1+ p( i d(

2  二进制粒子群算法的分析
2 . 1  位变化概 率 的 分 析   文 献 [ 9]提 出 一 个 位变化概率的概念 , 这里据此对它进行分析 . 根 ) 式, 粒子 轨 迹 是 一 种 概 率 改 变 , 而单维的 据( 3 速度转 化 为 位 取 1 的 概 率 . 位为1的概率为 S ( ) , 而位为 概 率 是 如果位已经 v 0 1-S( v . i d i d) ; 是 0, 则位发生改 变 的 概 率 为 S( 如果位已 v i d) ( 经是 1, 则其发生改变的概率为 1-S 位发 v . i d) 生改变的绝对率为 : ( ( ( ( ) =S v 1-S v Δ) p i d) i d) 即 ( ( ( ( ) =S v -S v 5 Δ) p i d) i d) 公式表示为位给定一个速度 v 其发生改变 i d值 ,


( ) 4

的绝 对 概 率 . 所 以, v i d值 改 变 就 是 位 改 变 概 率 ) ) 的变化 . 结合 ( 式和 ( 式, 得到下式 : 2 5
2 1 1 ( = - Δ) p ( ) ( ) 1+ e x 1+ e x p -v p -v i d i d ( ) 6





( ) 1 ) ) e x -v ( t 1+ ( )+ p( 1 ) ) 1+ e x -v ( t -1 ( )× p( 1 1- ) ) e x -v ( t 1+ ( ) p(
i d i d i d

( ) 8

( ) 式是位 的 速 度 与 位 改 变 绝 对 概 率 之 间 6 关系 , 其关系图见图 1. 根 据 图 1, 当位速度为0

( ) 式就是第 t代位改变的概率 , 其与速度 8 , 关系如图 2. 根 据 图 2 第 t代 位 改 变 的 概 率 与 两代 的 速 度 有 关 , 但其最大改变的概率应该在

图 2  位两代速度与位的改变概率之间关系 图 1  位速度与位的改变概率之间关系 r o b a b i l i t F i . 1 R e l a t i o n o f b i t c h a n e t o b i t v e l o c i t             g g p y y   F i . 2 R e l a t i o n o f b i t c h a n e r o b a b i l i t t o t w o e n e r a t i o n             g g p y g   v e l o c i t o f b i t   y  

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两代速 度 都 为 0 时 , 而最大值为0 也就是 . 5. 说, 最大位改变概率不 超 过 0 作一个特殊假 . 5. ) ) , )式改为 : 即v 则( 设, t =v t -1 7 i d( i d( ( ) ( ( ) ) ) ( ) ) t =2 1-S v t S v t p i d( i d( ) 而( 式改变得到下式 : 8 1 ( ) t =2 1-   p ) )× e x -v t 1+ p( i d( ( ) 9

根据上面的分析 , 这里得到以两点结论 : ( 1)位 改 变 概 率 与 速 度 的 变 化 式 应 该 为 ( ) 式或( 式, 而不是( 式. 当速度v 8) 1 0) 5) t i d( 为0 时, 按文献[ 位改变概率是 9]分 析 , 而这里得到结果应该0 这个结论与 0 . 2 5, . 5. 分 J. K e n n e d C.E b e r h a r t在 文 献 [ 9] y 和 R. 这将在后面的实验中可以得 析结果有差别,

( ) 1 ) ) 1+ e x -v ( t ( ) p(
i d

( ) 1 0

到检验. ( ) 2 B P S O 算法粒子不太可 能 收 敛 于 全 局 最优粒子 , 因为如果其收敛到全局最优粒子 , 则 其速度为 0, 这反而位发 生 改 变 的 概 率 最 大 , 即 此 时, 搜 索 具 有 更 强 的 随 机 性, 缺乏方 为0 . 5. 向性 . 所 以, B P S O 算法是全局随机搜索性算 法, 算法本身 随 着 迭 代 运 行 , 其 随 机 性 更 强, 没 有收敛 . B P S O 算法是缺少局部探测性的随机 搜索算法 . 这 2 . 3  实验验证   为了验证上节分析的结论 , 里用实验判断 B 实验利用 B P S O 算法 . P S O算 法来求解基 准 函 数 J. 其函 D. S c h a e r 函 数, f f 数形式如下 :


) ( 式关系为图3 其图形类似一个抛物 1 0 . ) 线, 其最高点在速度v 为0 时 , 最大值为0 t . 5 . i d(

图 3  位改变的概率与速度关系 F i . 3 R e l a t i o n o f b i t c h a n e t o b i t v e l o c i t r o b a b i l i t             g g y p y  

2 s i n

) f x = 2(



i =1

2 . 5 ∑x i -0 n

+0 . 5

2 2 1+0 . 0 0 1× ( ∑x i ) ( ) i =1

-5 0<x 5 0 i< 这个 结 论 与 J. K e n n e d C.E b e r - y 和 R. ] 分析结 果 不 同 . 因 为, 当速度v h a r t 在文献 [ 9 i d ( ) 为 0 时, 按文献[ 分 析, 位改变概率是 t 9] 而这里得到结果应 该 是 0 这个结论将 0 . 2 5, . 5. 在后面的实验中可以得到检验 . ) 根据 ( 式, 1 x p i d、 i d及 p d分 别 是 二 进 制 位 , g ( 它们的取值为 0 或 1. 因 此, 和( p p i d -x i d) d- g ) ·( 可 能 为 -1, 所以c x 0, 1. r a n d( p i d) 1· i d- ) ·( 的值为区间[ x +c r a n d( - p i d) 2· i d) d -x g ( , ( ] 随 机 值. 假设( 式只有一 c c 1) 1 +c 2) 1 +c 2) ( ) ·( 项, 即v 如果 p r a n d . p i d=c 2· d -x i d) d= g g ; 则v 这意味位取1或0 x S( v =0 . 5. i d, i d=0 i d) ) 的概率分别是 一 样 . 由( 式, 意味 8) t =0. 5, p( 着粒子的位发生改变 的 概 率 为 0 因 此, 当粒 . 5. 子的位置都收敛到全局最优粒子位置 p 粒子 d, g 达到最高 . 的位改变概率为 5 0 %, 在二维上 , 利用离散二进制 P S O 算法优化 函数最小值 , 首先对搜索空间每一维编码 , 每一
1 0 维共 2 位 二 进 制 数 字 表 示, 迭代运行步数为

, , 粒子数为 2 最大限制速度 V 每个 1 0 0 0 0 .   m a x =9 1 0 , ] 粒子有二维 , 每一维区间 [ 被编码成2 - 5 0 5 0 位. 对某个 粒 子 的 位 平 均 速 度 随 迭 代 计 算 如 图 , 其粒子各位取 1 的平均概率迭代变化如图 5 4 . 图 6 是某粒子的位改变概率迭代变化 . 某粒子的
1 0 也可能不改变 , 一个粒子共 2×2 位可能改变 ,

二进制位 , 每次迭代计算其位改变数 , 再除以其
1 0 二进制位 , 得到粒子的位平均改变率 . 2 × 2 图 4 和图 5 表 明 粒 子 速 度 在 减 少 , 并慢慢

地趋 向 一 个 固 定 值 上 下 波 动 , 当然其取1的平 ) 均概率也是具有相同特征 . 图 6 更好地反映 ( 8 式及图 3 的特征 , 从图 6 可以看出 , 位的改变是 在慢慢增加 , 位改变概率在 0 图 4 显示 . 5 左右 ;

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速度随迭代而靠近 0. 再 结 合 图 6 可 得, 当速度 趋靠近 0 时 , 速度改变率基本靠近 0 这 . 5 左右 . ) 式的分析结论 . 些图的结果验证了对图 3 及 ( 8 图 7 显示某粒子到最优粒子平均距离的迭代变

化, 从图中可以到 , 粒子与最优粒子距离是慢慢 增加 , 而不趋向 0, 这图形 式 反 映 了 粒 子 不 收 敛 粒子随着迭代越来越具有随 于全 局 最 优 粒 子 , 机性 , 缺少局部探测性 .

3  二进制 P S O 的模式分析
从前面的分析可以知道 , 二进制 P S O 算法 每一 次 迭 代 主 要 是 对 二 进 制 串 位 进 行 改 变 , 因 此从遗传算法角度来理解 , 二进制 P S O 是一个 每一次迭代是对每一位求出其 特殊 变 异 操 作 , 变异概率 , 从而对某一位进行变异 . 其变异概率 就是 前 面 改 变 率 . 特殊性就在于其求解变异概

是根据当前速度和上代为 0 或 1 概率 . 速 率时 , ) ) 度为 ( 式, 而根据位的速度 , 利用 ( 式再转变 1 2 为位取 1 的概率 . P S O 算法就在于速度是根据粒子靠近最 优点和自身历史位置的距离来求解 . 因此 , 二进 制粒子变异与最优点和历史自身最优点有关. 但从上面分析可以知 , 粒子越靠近最优点时 , 其 速度越 靠 近 0, 位 变 异 率 也 就 越 高. 当速度为0

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时, 位变异概率高达到 0. 5. 根据遗传算法变异算子性质 , 模式 H 保持 概率为 :

为 0, 而粒子的位很可能为 1. 因此 , 位需要最大 可能转变为 0; 而速度为 正 , 最优粒子和历史最 粒 子 的 位 很 可 能 为 0, 位需 优位置 很 可 能 为 1, 要最大可能转变为 1. 4 . 1  公 式 的 变 换   为 了 让 速 度 和 位 改 变 的 关 系与上面分析相 符 , 对( 式 进 行 改 进. 当速度 2) 为 0, 希 望 新 的 概 率 映 射 函 数 值 为 0; 当速度小 于 0 与大于 0 时 , 概率映射函数关于 y 轴对称 , 即为偶函数 ; 当速度趋向正负无穷时 , 概率映射 直接对 s 函数值为 1. i m o n d 函数改为如下 : g 2 烄 当v 0 1- i d≤ ( 1+e x - v p i d) ( s v =烅 i d) 2 0 -1 当 v i d> ( 1+e x - v p i d) 烆 ( ) 1 1 ( ) 式的 演 示 图 为 图 8. 根 据 图 8, 当速度 1 1 ( ) 式概率映射函数为递减 ; 当速度为 为负时 , 1 1 ( ) 正时 , 式概率映射函数 为 递 增 ; 当速度为0 1 1 时, 函数为 0.

P 1-Pm ) ≈1- o( H) Pm s= ( 为模式的阶 . 从上 Pm 为位变异概率 , o( H) 式中分析可 , 位 变 异 概 率 Pm 越 小 , 模式 H 保
持不 变 概 率 越 大 . 从二进制编进化算法理论来 说, 变异有利于种群的多样性 , 增强算法全局探 测能力 . 而算法早期应该种群具有多样性 , 也就 但晚期算法的种 是增 强 算 法 的 全 局 探 测 能 力 . 群多样性减 性 , 有 利 于 算 法 局 部 探 索. 因 此, 进 化算 法 变 异 概 率 早 期 应 该 大 于 晚 期 , 才有利于 算法性能提高 . 从上一节分析可以知道 , 二进制 P S O 算法 其 位 变 异 的 概 率 越 高. 当速 度 越 为 0 时 , P S O 算法 思 想 是 粒 子 在 飞 行 中 , 粒子越来越靠近最 优粒子 , 也就 是 速 度 慢 慢 收 敛 于 0. 因 此, 其变 异概率越来 越 大 . 进 而, 种 群 多 样 性 越 来 越 强, 全局探测能力越来越增强 , 缺乏局部探索性 . 这 所以不少利用二进制 应该二进制 P S O 的缺点 , P S O 算法求 解 离 散 的 论 文 混 合 一 些 局 部 搜 索 这种改进策略在不少文献中可以 算法原 因 , 看到 . 此外 , 从遗传算理论原理分析来看 , 二进制 其缺少选择操 P S O 算法只是利用 了 变 异 算 子 . 作和 交 叉 操 作 , 并不能保持最优模式能呈指数 级增长 .

( o H)

4  二进制 P S O 算法的改进
)式 , 分析速度公式 ( 公式为三部分 , 第一 1 部分 w· 而 第 二 部 分c v i d 是速度惯 性 部 分 , 1· ) ·( ) · 和第三部分c r a n d( x r a n d( p i d- i d) 2· ( 分别为 自 身 认 知 部 分 和 社 会 认 知 部 x p d- i d) g 分. 而( 和( 取 值 分 别 -1, x x 0, p p i d- i d) i d) d- g 1. 0 意味 着 p -1 意 i d 或p d 与x i d 位 的 值 相 等; g , ; 味着 p 而x 1 意味着 p i d 或p d 为0 i d 的值为 1 i d g , 或p 而x 因 此, 速 度v . d为1 i d 的值为0 i d 的值 g 意味着最优粒子 可以理 解 为 ,当 速 度 为 0 时 , 和历史最优位值相等 , 位应该不需要变化 . 而当 速度 为 负 时 , 最优粒子和历史最优位置很可能
图 8  新概率映射函数 F i . 8 N e w m a i n f u n c t i o n o f r o b a b i l i t       g p p g p y  

) 对粒子的位值改变式 ( 改为如下形式 : 3 当v 0时 i d< ) ( r a n d( s v f 0 i ≤   i d) 烄 ( ) x 1 2 i d= 烅 x o t h e r w i s e i d 烆 当v 0时 i d> ) ( r a n d( s v f 1 i ≤   i d) 烄 ( ) x 1 3 i d= 烅 x o t h e r w i s e i d 烆 ) 同样 , 这里 r 是 一 个 随 机 数, 从区间 a n d(

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第4 7卷

[ ] ( 的统一分布中随机产生 . 为 了 避 免s 0, 1 v i d) 太靠近 1, 一个参数 Vma 用于 x作 为 最 大 速 度 值 , 即v 限制 v - Vma Vma . i d 的范围 , i d ∈[ x, x] 新方法与原方法区别在于两个层次 . 首先 , 是概 率 映 射 函 数 与 s 目的是 i m o n d函 数 差 别. g 让速度趋 为 0 时 , 其 概 率 函 数 值 为 0. 第二层 次, 根据概率函数 值 让 位 取 0 和 1 形 式 为 ( 1 2) ) , 和( 这种形式能保证速度为 0 时 , 位的值不 1 3 变; 当速度为 负 时 , 位 只 能 改 变 为 0; 当速度为 位只能 改 变 为 1. 这 样 做 目 的, 可以让粒 正时 , 子群 最 终 很 容 易 靠 近 全 局 最 优 粒 子 , 当速度为 粒子的位改变率更 靠 近 0 的 概 率 增 大 . 这 0时, 种思想符合粒子群算法本质理念 . 为了检验上 述 改 进 思 想 , 利用新的二进制 粒子群算 法 来 求 解 基 准 函 数 J . D. S c h a f f e r函 数, 在二维 上 , 求基准函数J . D. S c h a f f e r的 最 小值 . 算法流程与原始二进制粒子群算法类似 , ) 只不过映射函数与位改变为新改进的形式 ( 1 1 ) 和( 式. 1 2 首 先, 对 搜 索 空 间 每 一 维 编 码, 每一维共 迭代运行步数为 3 粒 2 位二进制数字表示 , 0 0, 最大限制速度 Vma 每个粒子有 子数为 2 0, . x =9
1 0

代变化 . 对一个粒子每位其可能改变 , 也可能不
1 0 改变 , 一个粒子共 2×2 二进制位 , 每次迭代计

再 除 以 其 2×1 算其位 改 变 数 , 0 2 4 二 进 制 位,   得到粒子的位改变率 . 图 9 表明粒子速度在减少 , 并慢慢地趋向个 , 因此 , 粒 子 的 位 置 在 很 快 收 敛. 根据图1 粒 0 . 1 , 子到最优粒子的距离也慢慢地靠近 0 所以粒子 的位置趋向于最优粒子 . 图1 0 粒子取 1 的概率 , 慢慢靠近 0 这意味粒子的位为 1 或 0 的概率 . 5 , 图1 这 各为 5 0 %. 1 粒子的位改变率慢慢趋向 0 也意味着粒子在慢慢稳定 , 并且到了晚期 , 粒子 的位置并没有多少变异发生 . 因此 , 本节的改进 让粒子能够慢慢收 方法与思想符合粒子群思想 , , 敛于最优粒子的位置 . 根据图 1 位的改变在减 1 位改变概率非常低 , 最终不会高于 0 少, . 0 5 . ) 用 ( 式和( 式来代替原始 B 1 2 1 3) P S O算 ) 法( 式和 ( 式, 粒子会很快收敛于全局点而 2 3) 不动 , 算 法 效 果 会 很 不 理 想. 从上面分析可以 知, 原始 B 其更具有随 P S O 算法运行到最后时 , 这说明其是一种全局搜索能力 , 不具有局 机性 , 部搜索性 . 而新公式 ( 和( 式刚好与其相 1 2) 1 3) 收敛很快 , 因 此 是 局 部 搜 索 能 力 很 强, 而全 反, 局搜 索 能 力 很 弱 . 根据一般的启发式随机搜索 算法开始应该是需要全局搜索能力 , 算法原理 , 而晚期是需要局部搜索能力 . 根据这个道理 , 对 算法作如下改进 :

二维 , 每一维 区 间 [ 被 编 码 成 2 位, -5 0, 5 0]
1 0

与前 面 试 验 类 似 , 某个粒子的位平均速度随迭 代计算如图 9, 其粒子各位取1的平均概率迭 代变化如图 1 图1 0. 1是某粒子的位改变率迭

  第5期

刘建华等 : 离散二进制粒子群算法分析

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i f i t e r a x I t e r      < γ* M ) ) 算法利用 ( 式和 ( 式 2 3 e l s e ) ) 算法采用新变公式 ( 式和 ( 式 1 1 1 2 e n d ] 这里γ 是一个参数 , 其取值为 [ 之间实 0, 1 数, 而I i t e r为当前运行的迭代步数 , t M a x 为算 法迭代运行最大步数 . 当其为 1 时 , 算法就是原 当为 0 时 , 其完全是新的变换公 始B P S O 算法 ; 式. 这里把这种算法叫做新 B 简称为 P S O 算法 , N B P S O. 4 . 2  与遗传算法混合的二进 制 P S O 算法 上 述改变思想能 保 证 二 进 制 P S O 算法能更好收 敛到全局最优点 , 速度为 0 时 , 位发生改变的概 率为 0. 二进制 P S O 算法实际可以看作一种特 殊变异操作 , 而且只有变异 . 新的二进制算法变 异率最终变成只有 0 这与遗传算法的变异 . 0 5, 概率取值基本相同 . 但只有变异操作 , 不能保证 要 算法 能 保 证 适 用 度 好 的 模 式 呈 指 数 级 增 加 , 保证 好 模 式 呈 指 数 级 增 加 , 应该存在遗传算法 的选 择 操 作 . 因 此, 把遗传算法与新二进制 , 也就是遗传算法的 P S O 算法混合 ( GA B P S O) 变异操作改为这里新的二进制 P S O 算法 . 4 . 2 . 1  混合算法   二进制 P S O 算法与遗传算 法的混合主要是把遗传算法中的变异操作更换

事实上就是对遗 为新改进的二进制 P S O 算法 , 其算法流程 传算法 引 进 一 种 新 的 变 异 操 作 . 如下 : 算法 S t e 1  随机产 生 一 个 由 确 定 长 度 的 二 进 p   制串组成的初始种群 . S t e 2  对 该 种 群 迭 代 地 执 行 下 面 的 步 p   骤, 直到满足某种停止条件 : )计算种群中每个个体的适用值 ; ( a )按由个体适应度值所决定的某个规则 ( b 选择将进入下一代的个体 ; ( )按概率 P c c 进行交叉操作 ; )执行二进制 P ( 执行改进 d S O 算 法 操 作: 的二进制 P S O 算法公式 . S t e 3  把在后 代 中 出 现 的 最 好 的 个 体 指 p   定为 遗 传 算 法 的 执 行 结 果 , 这个结果可以表示 问题的一个解 . 4 . 3  算 法 实 验 分 析   为 了 验 证 本 文 算 法 的 有 效性 , 分别采用原始 B P S O 算 法、 N B P S O算 法、 遗传算法 GA 算法和 GA B P S O 算法对下列 基准函数的最优问题进行实例计算并进行对 为了检验改进效果 , 先选两个多模态测试函 比. 数f f 2、 3 进行第一类实验 : ( )测试函数 2: 1 n 维的 R a s t r i i n 函数 g

2 ( ] x) =∑[ x 0 c o s 2 x +1 0 π f 2( i -1 i)

i=1

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第4 7卷

-5 . 1 2<x 5 . 1 2 i< ( ) : 测试函数 维的 2 3n G r i e w a n k 函数

交叉比例为7 变异率为0 分别 9 0% , 0% ; . 5%. 用B 遗 传 算 法) 和 GA P S O、 N B P S O、 GA( P S O 进行优化 . 为了使计算较为准确 , 每个函数迭代 运行为 1 每种算法各自运算 5 表1 0 0 0代, 0次.   中分 别 列 出 两 函 数 用 不 同 算 法 算 出 5 0次平均 最优值 . 第一类实验数据如表 1. 从 表 中 可 以 看 出, 对于每 个 函 数 所 求 得 值 , N B P S O 算法优于原 始的 B P S O 算 法. GA P S O 与 遗 传 算 法 GA 基 但其结果也优于原始的 B 本一致 , P S O 算法 .

x i 1 n 2 n x) = c o s +1 ∑x f 3( i -∏ 1 4 0 0 01 i 槡

()

-6 0 0<x 6 0 0 i< …, , 上两函数 的 最 优 点 x* 为 ( 最优 0, 0) 值为 f( x* ) =0. 对于这两个基准函数的自变量维数及粒子 个数设置如表中所示 . 算法的参数设置 为 : c 1=

c . 4, wma . 2, wm . 4; N B P S O算 1 . 4, 2 =1 x=1 i n =0 ; 法的 参 数 γ =0 . 9 5 遗传算法的选择比例为

表 1  最小平均适应值和标准方差 T a b l e 1 T h e s m a l l e s t f i t n e s s a n d s t a n d a r d v a r i a n c e             维数 粒子规模 函数 G r i e w a n k 1 0   2 0 R a s t r i r i n g G r i e w a n k 2 0   4 0 R a s t r i r i n g G r i e w a n k 3 0   8 0 R a s t r i r i n g B P S O   7 0 . 0 9 5   1 9 . 2 5 2 5   0 . 0 3 6 2   9 0 . 4 4 1 8   7 0 . 0 1 5   1 6 0 . 7 4 5 0   GA  1 0 . 0 6 7   1 3 1 4 3   8 2 0 . 0 2 1   8 3 1 0 5   7 0 . 0 1 1   1 3 0 . 4 8 2 8   N B P S O   7 0 . 0 7 5   1 4 . 5 4 3 2   3 0 . 0 2 2   7 8 . 1 2 7 0   9 0 . 0 1 0   1 2 0 . 4 8 2 8   GA P S O 4 0 . 0 4 8   1 5 . 4 3 5 6   2 0 . 0 1 6   8 4 . 4 7 8 7 0 . 0 0 9   1 4 2 . 4 2 6

利用    为 了 进 一 步 验 证 本 文 算 法 的 有 效 性 , 基本 B P S O 算 法、 N B P S O 算 法、 GA 算 法 和 GA P S O 算法对 J . D. S c h a f f e r函 数 的 最 小 化 问 题进行实例计算并进行对比 . ( )测试函数 1: 3 2 维的 J . D. S c h a f f e r函数

2 s i n

-5 0<x 5 0 i< 实验数 据 如 表 2. 实验方法是在第一类实 验的条件 下 , 比较4个算法收敛最优的百分比 ( 在计 算 1 0 0次中有多少次在误差范围内收 , 以 及 收 敛 时 平 均 收 敛 代 数. 参数的设置与 敛) 上面相同 . 对上述问题进行了 1 0 0 次仿真计算 , 其计算结果如表 2 所示 .

x) = f 1(



i=1

2 . 5 ∑x i -0


2   i 2

+0 . 5

1+0 . 0 0 1× ( ∑x ) ( ) i=1
表 2  测试函数 f 在计算 1 1 的平均寻优结果比较 ( 0 0 次情况下 ) ) T a b l e 2 C o m a r i s o n o f m e a n o t i m a l r e s u l t s o f t e s t f u n c t i o n f 1( A b o u t c o m u t a t i o n o f 1 0 0t i m e s                         p p p 模群 体规 2 0   4 0   进化 代数 收敛 误差 平均收敛率 B P S O B P S O N B P S O P S O   GA  GA   B   2 0   7 0   2 1   7 4   2 4   7 3   2 8   8 2   平均收敛代数 GA  GA B P S O N B P S O

1 0 0 0 . 0 0 1     0   2 0 0 0 . 0 0 1     0  

5 6 . 7 1 1 2 . 5 4 7 1 . 6 4 3 9 . 3 6 4   5   5   4 6 8 . 8 6 9 3 . 5 7 8 3 . 9 4 4 0 . 4 6 7   5   5   5

  第5期

刘建华等 : 离散二进制粒子群算法分析

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不论从平均收敛概率    从表 2 中可以看出 , 还是从平均收敛代数来看 , N B P S O 算法比基本 B P S O 算法 、 GA 算及 GA B P S O 算法有所提高 . 但性能 改 善 程 度 来 看 , 平均收敛率比平均收敛 代数改善程度更 好 .因 为 N B P S O 其主要改善 收敛问题 , 在尽量对探索能力不影响情况下 , 希 望能够 改 善 其 收 敛 性 能 , 更好性能是在粒子第 一次找到最优点时 , 不会飞出此邻域 , 而产生抖 动, 振荡现 象 . 从平均收敛代数性能提 高 中, 可 以发 现 N B P S O比B P S O 性 能 有 提 高 .说 明 不会轻易飞出 N B P S O 算法能更早收敛最优点 , 最优点 .

: E v o l u t i o n a r C o m u t a t i o n .N e w J e r s I E E E   y p y   , 1 9 9 8, 6 9~7 3. P r e s s [ ] , , a r t i c l e 4  W e i J X S u n Y  H S u X  N.A n o v e l             p s w a r m o t i m i z a t i o n b a s e d o n i m m u n e s e l e c t i o n .           p ( ) , J o u r n a l o f N a n i n U n i v e r s i t N a t u r a l S c i e n c e s       j g y   , ( ) : ( 魏建香 ,孙越泓 , 苏新宁 . 一 2 0 1 0 4 6 1 1~ 9 . 种基于免疫选择的粒子群优化算法 .南京大学学 , , ( ) : ) 报( 自然科学) 2 0 1 0 4 6 1 1~ 9 . [ a r t i c l e 5 ] L i u J H,L i u J W.A n e w s w a r m               p o t i m i z a t i o n a l o r i t h m a n d r e a l t i m e c o n t r o l o f       -     p g s i n a l i n u r b a n i n t e r s e c t i o n .S s t e m s t r a f f i c         g y , ( ) : ( 刘建华 , E n i n e e r i n 2 0 0 7, 2 5 7 8 3~ 8 7. g g 刘建伟 . 基于粒子群算法 的 城 市 单 交 叉 口 信 号 ( ) : ) 控制 .系统工程 , 2 0 0 7, 2 5 7 8 3~8 7 . [ ,A 6 ] A l e r B,V i n c e n t J n a k o h a C.A r e v i e w o f           y a r t i c l e w a r m t i m i z a t i o n .   s   o p p , ( ) : C o m u t i n 2 0 0 8, 7 3 1 0 9~1 2 4. p g [ a r t i c l e 7 ] L i u J H,F a n X P,Q u Z H.A n e w                 p t i m i z a t i o n l o r i t h m a s e d n s w a r m  o  a  b  o p g , 2 s i m i l a r i t . C o n t r o l n d e c e i o s n 0 0 7,  a  D y ( ) : ( 刘 建 华, 樊 晓 平, 瞿志 2 2 1 0 1 1 5 5~ 1 1 5 9. 华 .一种基于相似度的新型粒子群 算 法 .控 制 ( ) : ) 与决策 , 2 0 0 7, 2 2 1 0 1 1 5 5~1 1 5 9 . [ ] , , 8  L i u J H F a n X P Q u Z H.A n i m r o v e d               p w a r m t i m i z a t i o n i t h u t a t i o n a r t i c l e  s  o  w  m p p
r d b a s e d n i m i l a r i t .T h e n t e r n a t i o n a l  o  s  3   I y

5  总   结
本文对二 进 制 P S O 算法从位改变率和遗 两种分析结 传算法 的 模 式 概 念 两 方 面 作 分 析 . 论基本一致 , 那就是原始二进制 P S O 算法随机 能很好具有全局探索能力 , 但其不会收 性很强 , 敛到全局最优粒子 , 随着迭代运行 , 其随机反而 因 此, 离散二进制 P 会增强 . S O 算法是一个缺 乏局部 探 测 性 的 算 法 . 这个结论为二进制算法 的应用 提 供 改 进 的 指 导 意 义 . 本文基于上述分 析结论 , 提出两种改进方法 , 一种是改进原始离 散二进制 P S O 算法的概率变换公及其位的取 新的公式有助于粒子收敛于群体最优粒 值式 , 子, 增强局部探测性 . 另一种方法是让离散二进 制P 利用二进制 P S O 算法与遗传算法结合 , S O 算法代 替 遗 传 算 法 的 变 异 操 作 . 通过实验仿真 检测 , 新的改进方法有效实用 .
R e f e r e n c e s [ 1 ]  E b e r h a r t R,K e n n e d J .A n e w o t i m i z e r u s i n         y p g   a r t i c l e s w a r m t h e o r .P r o c e e d i n s f h e      o  t  6 p y g , , , S c i e n c e . N a o a J a a n 1 9 9 5 3 9~ 4 3 . H u m a n   g y p [ , E 2 ] K e n n e d b e r h a r t a r t i c l e w a r m  R. P  s y  J o t i m i z a t i o n .I E E E I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e     p ,N : N e u r a l N e t w o r k s . P i s c a t a w a e w J e r s o n       y y , I E E E S e r v i c e C e n t e r 1 9 9 5, 1 9 4 2~1 9 4 8.     [ , a r t i c l e 3 ] S h i Y E b e r h a r t R.A m o d i f i e d s a r m          w p o t i m i z e r .I E E E I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n       p
t h

N a t u r a l

, o n N a t u r a l C o m u t a t i o n .H a i k o u C o n f e r e n c e       p , C h i n a 2 0 0 7, 9: 8 2 4~8 2 8. [ , 9 ] K e n n e d J E b e r h a r t R. A d i s c r e t e b i n a r       y y   v e r s i o n f h e a r t i c l e w a r m l o r i t h m.  o  t  p  s  a g P r o c e e d i n o f t h e W o r l d M u l t i c o n f e r e n c e o n         g   ,C S s t e m i c s b e r n e t i c s a n d I n f o r m a t i c s .N e w     y y : , J e r s P i s c a t a w a 1 9 9 7, 4 1 0 4~4 1 0 9. y y [ ] ,A 1 0 a l m a n A, A h m a d I l a d a n i S.P a r t i c l e  S     -m   s w a r m t i m i z a t i o n o r a s k s s i n m e n t  o  f  t  a p g , r o b l e m.M i c r o r o c e s s o r s a n d M i c r o s s t e m s     p p y ( ) : 2 0 0 2, 2 6 8 3 6 3~3 7 1. [ ] , , a r t i c l e 1 1  L i a n Z G u X J i a o B .A n o v e l s w a r m             p e r m u t a t i o n o t i m i z a t i o n a l o r i t h m f o r f l o w s h o         - p p g p t o m i n i m i z e m a k e s a n .C h a o s S o l i t o n s s c h e d u l i n       g p   , , ( ) : a n d F r a c t a l s 2 0 0 8 3 5 5 8 5 1~ 8 6 1 .   [ ] , 1 2 i a o C J T s e n C T, L u a r n P .A d i s c r e t e v e r s i o n  L             g   a r t i c l e w a r m t i m i z a t i o n o r l o w s h o o f  p  s  o  f  f p p r o b l e m.C o m u t e r s s c h e d u l i n a n d O e r a t i o n s     p p g p  

I n t e r n a t i o n a l S m o s i u m o n M i c r o M a c h i n e a n d           y p

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南京大学学报 ( 自然科学 )      

第4 7卷

, , ( ) : R e s e a r c h 2 0 0 7 3 4 1 0 3 0 9 9~ 3 1 1 1 . [ ] ,F 1 3 o r r e a E S r e i t a s A  A, J o h n s o n C G.P a r t i c l e  C           s w a r m o r t t r i b u t e e l e c t i o n n a e s i a n  f  a  s  i  B y :A r o t e i n c l a s s i f i c a t i o n n a l i c a t i o n t o f u n c t i o n         p p p o f r t i f i c i a l E v o l u t i o n a n d r e d i c t i o n .J o u r n a l    A     p , , ( ) : A l i c a t i o n s 2 0 0 8 8 2 1~ 1 2 . p p [ ] , , , 1 4  S h e n Q S h i W  M K o n W e t a l.A c o m b i n a t i o n         g  a r t i c l e o f m o d i f i e d s w a r m o t i m i z a t i o n a l o r i t h m           p p g s u o r t v e c t o r m a c h i n e f o r s e l e c t i o n a n d a n d e n e               p p g , , ( ) : t u m o r c l a s s i f i c a t i o n .T a l a n t a 2 0 0 7 7 1 4 1 6 7 9   6 8 3 . ~1 [ ] 1 5  Y i n P Y.A d i s c r e t e a r t i c l e s w a r m a l o r i t h m f o r               p g o t i m a l o l o n a l a r o x i m a t i o n o f d i i t a l c u r v e s .           p p y g p p g f i s u a l o m m u n i c a t i o n n d m a e J o u r n a l  o  V  C  a  I g , , ( ) : 2 0 0 4 1 5 2 2 4 1~ 2 6 0 . R e r e s e n t a t i o n p

[ ] ,H 1 6 h a n X  M,S u n L B a n J Q,e t a l. A n  Z           g   a r t i c l e o f s w a r m i n t e l l i e n c e b i n a r a l i c a t i o n         p g y p p   s w a r m t i m i z a t i o n  o p ( ) : X L 4 9 4 9~ 9 6 3 . [ ] 1 7 u h G C,L i n C Y,L i n Y S .A b i n a r a r t i c l e  L               y p   s w a r m t i m i z a t i o n o r o n t i n u u m t r u c t u r a l  o  f  c  s p , t o o l o o t i m i z a t i o n .A l i e d S o f t C o m u t i n     p g y p p p p g   , ( ) : 2 0 1 0 1 1 2 2 8 3 3~ 2 8 4 4 . [ ] , , 1 8 M o h d S M S i e r u O S a f a a i D, e t a l.P a r t i c l e          g   t i m i z a t i o n i t h o d i f i e d i m o i d s w a r m  o  w  a  m  s p g f u n c t i o n f o r e n e s e l e c t i o n f r o m e n e e x r e s s i o n             g g p , , ( ) : d a t a . A r t i f i c i a l L i f e a n d R o b o t i c s 2 0 1 0 1 5 1 2 1       4 . ~2 ( B P S O) a l o r i t h m o  t g , , m u l t i f o c u s i m a e f u s i o n . O t i c a A l i c a t a 2 0 1 0 -       g p p p


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