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高中数学分章节训练试题:40立体几何与空间向量2


高三数学章节训练题 40《立体几何与空间向量 2》
时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个 平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面

经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 2.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是( ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 3.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 (
? ? ?

)
?

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ?



B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? )

C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? 5.下左图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表 面积是( A. 10π B. 12π C. 13π D. 14π

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
o6.如上右图,四个正方体图形中, A,B 为正方体的两个顶点, M,N,P 分别为其所在 棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( ). A.①④ B.②④ C.①③④ D.①③中学高.考.资.源 .网 二、解答题:(本大题共 5 小题,每小题 10 分,满分 50 分) 1. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E 、 F 分别是 A1 B 、 AC 的中点, 1 点 D 在 B1C1 上, A1 D ? B1C 。 求证:(1)EF∥平面 ABC;(2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .

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2.如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三 角形,棱 EF // 面 CDF .

1 BC .(1)证明 FO //平面 CDE ;(2)设 BC ? 3CD ,证明 EO ? 平 ?2

3.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (1)证明:AB=AC(2)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平 面 BCD 所成的角的大小

A1 B1
4.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的 PA ? 中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成角的正切值; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.

C1 E C

D A B
P

M

5. 已知:四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三视图如下 ⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积 ⑵ 若 E 为 AA1 上一点, EB // 平面 A1CD ,试确定 E 点位置, 并证明

A

D

EB ? 平面 AB1C1 D
A1

O B
D1 A1

C
B1

2 2

A A 2

D D

A

B

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B

1

C

高三数学章节训练题 40《立体几何与空间向量 2》答案 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 2.【解析】选 D. 3.【答案】:C 【解析】取 BC 的中点 E,则 AE ? 面 BB1C1C ,? AE ? DE ,因此 AD 与平面 BB1C1C 所 成 角 即 为 ?A D E 设 A B , ? , ? a 则 A E

3 2

, a DE ?

a , 即 有2 2

t a?n D E A ?

3 , ?A D 0 . 6 0 ? E ?

3

4.【答案】.C. 2 2 【解析】对于 A、B、D 均可能出现 l // ? ,而对于 C 是正确的. 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 5.【答案】B 【解析】:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? . 。
6.【答案】D 【解析】:①取前面棱的中点,证 AB 平行平面 MNP 即可;③可证 AB 与 MP 平行 二、填空题 1(2009 江苏卷) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E 、 F 分别是 A1 B 、 AC 的中点,点 D 在 B1C1 上, 1 。 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .

A1 D ? B1C

2.如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三

1 BC .证明 FO //平面 CDE ; ?2 (1) 设 BC ? 3CD ,证明 EO ? 平面 CDF .
角形,棱 EF //

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证明:Ⅰ) CD 中点 M, ( 取 连结 OM.在矩形 ABCD 中, OM // 中学学

1 1 又 则 O / BC , EF // BC , EF/M 2 2



连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. ? FO // EM 又? FO ? 平面 CDE, EM ? 平 面 CDE,∴ FO∥平面 CDE (Ⅱ)证明:连结 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE 中, CM ? DM , EM ? CD 且

EM ?

3 1 CD ? BC ? EF . 2 2

因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M, ∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO. 而 FM ? CD ? M ,所以 EO⊥平面 CDF. 高 3.(2009 全国卷Ⅱ文)(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面 角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法,第一问可取 BC 中点 F,通过证明 AF⊥平面 BCC1,再证 AF 为 BC 的垂直平分线,第二问先作出线面夹角,即证四边形 AFED 是正方形可证 平面 DEF⊥平面 BDC,从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量 法求解。 解法一:(Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF

1 B1 B ,从而 EF DA。 2

A1 B1 D A B E

C1

C

连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 D E⊥平面 BCC1 ,故 AF⊥ 平面 BCC1 , 从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的 垂直平分线,所以 AB=AC。 (Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C 0. 的平面角。由题设知,∠AGC=60 .

2 。又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 。 3 2 . AD 2 ? 22 ,解得 AD= 2 。 由 AB ? AD ? AG ? BD 得 2AD= 3
设 AC=2,则 AG= 故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形,AD= 2 ,故 EH=1,又 EC=
0

1 B1C =2, 2
0

所以∠ECH=30 ,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 . 解法二: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的
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直角坐标系 A—xyz。 设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 B1 (1,0,2c),E(
?

1 b , ,c). 2 2

于是 DE =(

? ? ? 1 b , ,0), BC =(-1,b,0).由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC, DE ? BC =0, 2 2

求得 b=1,所以

AB=AC。
?
? ? ? ?
?

(Ⅱ) 设平面 BCD 的法向量 AN ? ( x, y, z), 则 AN ? BC ? 0, AN ? BD ? 0. 又 BC = -1, 0) ( 1, ,
? ?? x ? y ? 0 BD =(-1,0,c),故 ? ?? x ? cz ? 0

令 x=1, 则 y=1, z=

1 ? 1 , AN =(1,1, ). c c 又 平 面 ABD 的 法 向 量 AC = ( 0 , 1 , 0 ) 由 二 面 角 A ? BD ? C 为 60 ° 知 ,

AN, =60°, AC


AN ? AC ? AN ? AC ? cos60 ° , 求 得 c ?

1 2

于是
P

? AN ? 1, 2), CB1 ? (1, 1,2) ( 1,

cos AN, 1 ? CB

AN ? CB1 AN ? CB1

?

1 , AN, 1 ? 60 ° CB 2
A

M

所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30° 4.(2009 江西卷文)(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, ? 平面 ABCD , PA PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面 B 交 PD 于点 M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离. 解:方法(一): (1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM, 所以平面ABM⊥平面PCD. (2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥ 平面PCD,则AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面ABM,则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影, 所以 ?PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角, B 且 ?PNM ? ?PCD

D

O C

z P M

A

N

D y

O
D1 A1

tan ?PNM ? tan ?PCD ?

PD ?2 2 DC

A1 x

C

B1

所求角为 arctan 2 2 (3)因为 O 是 BD 的中点,则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平 面 ABM 距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于 M,则|DM|就 是 D 点到平面 ABM 距离.
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2 2

A A 2

D D

A

B

B

1

C

因为在 Rt△PAD 中, PA ? AD ? 4 , PD ? AM ,所以 M 为 PD 中点, DM ? 2 2 ,则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2 。 5. 已知:四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三视图如下 ⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积 ⑵ 若为 AA1 上一点, EB // 平面 A1CD , 试确定 E 点位置,并证 明 EB ? 平面 AB1C1 D 解:⑴
B1

E

A1

D1

1 V ? S ABCD ? AA1 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 2 2 ? 6 2 2 ⑵ 作 EF // AD 交 A1 D 于 F ,连 CF ,则 BCFE 共面
? EB // 平面A1CD ? BE // CF 又EF // BC ? BCFE为平行四边形 1 ? EF ? BC ? AD 2 ? E为AA1中点 在矩形AA1 B1 B中,AB ? 2, AE ? 2 ? AE AB ? AB BB1
B

E

C1

A

D C

? ?AB1 B ? ?ABE ? BE ? AB1 ? ? 又AD ? AA1 AD ? AB ? AD ? 平面AA1 B1 B ? AD ? BE ? ? BE ? 平面AB1C1 D

A1 C1 E F

D1

B1

A

D C

B

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