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广东省东莞市2013届高三数学文小综合专题练习:立体几何 Word版含答案]


广东省东莞市 2013 届高三数学文小综合专题练习:立体几何 一、选择题
1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能 是 ...

2.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 48 ? 8 17 C. 48 3.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个

点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 4.下列命题中, m、n 表示两条不同的直线, ?、?、? 表示三个不同的平面. ①若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n ;②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ④若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? . 正确的命题是 A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ M D C F B. 32 ? 8 17 D. 80

5. 如图是正方体平面展开图,在这个正方体中: ①BF 与 ND 平行;②CM 与 BF 成 60?角; ③CM 与 BN 是异面直线;④DF 与 BM 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 A.①②③ C.②④ B.①③④ D.③④ N

A

B E

二、填空题

6. 如下图所示,直观图 O A B 是有一个角为 45 的三角形,则其原平面图形的面积为 ________.

/

/

/

0

第7题

7.某几何体的三视图如图所示,它的体积为________. 8.设 x, y, z 是空间中的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x ? z ,且 y ? z , 则 x // y ”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号). ① x 为直线, y, z 为平面;② x, y, z 为平面;③ x, y 为直线, z 为平面;④ x, y 为 平面, z 为直线;⑤ x, y, z 为直线. 9.如图, AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B ),直线 PA 垂直于圆 O 所在的 平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ① PA // 平面 MOB ; ② MO // 平面 PAC ; ③ OC ? 平面 PAC ; ④平面 PAC ⊥平面 PBC . 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 10. 如图, 在长方形 ABCD 中,AB ? 2 ,BC ? 1 ,E 为 DC 的中 点,F 为线段 EC(端

点除外) 上一动点. 现将 ?AFD 沿 AF 折起, 使平面 ABD ? 平面 ABC . 在平面 ABD 内过点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 .

第 10 题

三、解答题
11.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 , C1 , B 三点的平面截去长方体的一 个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1D1 ,这个几何体的体积为 (1)证明:直线 A1B ∥平面 CC1 D1 D ; (2)求棱 A1 A 的长;
A1 D1 C1

40 . 3

(3)求经过 A1 , C1 , B, D 四点的球的表面积.

D A B

C

12. 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的三视图如图所示, 其中主视图 AA 1 B1 B 和左视图 BB 1C1C 均为矩形,在俯视图△ A1 B1C1 中, A1C1 ? 6, A1 B1 ? 10, B1C1 ? 8 . (1)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,求证: BC ? AC1 ; (2)若三棱柱的高为 10 ,求三视图中左视图的面积; (3)若三棱柱的高为 10 ,动点 P ? 线段 CC1 ,求 BP ? A1 P 的最小值.

B1

A 1 C1

B1

C1 B1 A1 C A

B

主视图 C1

A

C

B 左视图 B

B1 俯视图

A1

13. 如图,弧AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为 线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

第 13 题

14. 如图, AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线, BC 是底面圆 O 的直径, D 、 E 分别是 AA1 、

CB1 的中点, DE ? 面CBB1 .
(1)证明: DE // 面ABC ; (2)证明: 面A1 B1C ? 面A1 AC ; (3)求四棱锥 C ? ABB 1A 1 与圆柱 OO 1 的体积比.

A1 O1
B1
D
E
A

C O
B

15. 如图所示 , AF 、 DE 分别是⊙ O 、⊙ O1 的直径, AD 与两圆所在的平面均垂直,

AD ? 8 . BC 是⊙ O 的直径, AB ? AC ? 6 , OE // AD . D (1)证明: EF // 面 BCD ;

O1

E

C

A

O

F

(2)证明:面 ACD ? 面 CEF ; (3)求三棱锥 O1 ? OBF 的体积.

16.如图,四棱锥 P ? ABCD , ?PAB ≌ ?CBA ,在它的俯视图 ABCD 中, BC ? CD ,

AD ? 1, ?BCD ? ?BAD ? 60? .
(1)求证: ?PBC 是直角三角形; (2)求证:面 PBD ⊥面 PAD ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

B

A( P )
D

B

A D
直观图

C

C
俯视图

17.已知等腰梯形 PDCB 中(如图) , PB ? 3 , DC ? 1 , PD ? BC ?

2 , A 为 PB 边上

一点,且 PA ? 1 ,将 ?PAD 沿 AD 折起,使面 PAD ? 面 ABCD (如图 2). (1)证明:平面 PAD ? 平面 PCD ; (2) 试 在 棱 PB 上 确 定 一 点 M , 使 截 面 AMC 把 几 何 体 分 成 的 两 部 分

VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ;
(3)在 M 满足(2)的情况下,判断直线 PD 是否平行面 AMC .

2013 届高三文科数学小综合专题练习—立体几何 参考答案 一、选择题 DACBC 二、填空题
6. 6 7. 30? 8.③④ 9.②④ 10. ( ,1)

1 2

三、解答题
11.解: (1)证法1:如图,连结 D1C , ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是长方体, ∴A 1D 1

BC 且 A1D1 ? BC .

∴四边形 A 1BCD 1 是平行四边形. ∴A 1B

D1C .

∵ A1B ? 平面 CDD1C1 , D1C ? 平面 CDD1C1 , ∴A 1B 平面 CDD1C1 .

证法2:∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是长方体, ∴平面 A 1 AB 平面 CDD1C1 .

∵ A1B ? 平面 A 1 AB , A 1 B ? 平面 CDD 1C1 ,

∴A 1B

平面 CDD1C1 .

(2)设 A 1 A ? h ,∵几何体 ABCD ? AC 1 1D 1 的体积为 ∴ VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ?

40 3

40 ,即 3

1 40 S ABCD ? h ? ? S ?A1B1C1 ? h ? , 3 3 1 1 40 即 2? 2? h ? ? ? 2? 2? h ? ,解得 h ? 4 . 3 2 3
∴A 1 A 的长为4. (3)如图,连结 D1B ,设 D1B 的中点为 O ,连 OA ,OC1,OD, 1 ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是长方体,∴ A 1 D1 ? 平面 A 1 AB . ∵ A1B ? 平面 A 1 AB ,∴ A 1 D1 ? A 1B . ∴ OA1 ?

1 1 D1 B .同理 OD ? OC1 ? D1 B . 2 2

∴ OA 1 ? OD ? OC1 ? OB .

B , D 四点的球的球心为点 O . ∴经过 A 1 , C1 ,
2 2 2 2 2 2 ∵ D1B2 ? A 1D 1 ?A 1 A ? AB ? 2 ? 4 ? 2 ? 24 .

∴ S球 ? 4? ? ? OB ?

2

? DB? ? 4? ? ? 1 ? ? ? ? D1B2 ? 24? . ? 2 ?

2

B , D 四点的球的表面积为 24? . 故经过 A 1 , C1 ,

12.解:(1)因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱, 在俯视图△ A1 B1C1 中, A1C1 ? 6, A1 B1 ? 10, B1C1 ? 8 .

? A1C12 ? B1C12 ? A1 B12

BC ? AC ∴ ?AC 1 1B 1 ? ?ACB ? 90? ,∴

又∵BC⊥CC1,CC1∩A1C1=C1,∴BC⊥平面 ACC1A1. ∵AC1 ? 平面 ACC1A1,∴BC⊥AC1. (2)左视图中 BC 的长等于底面△ABC 中顶点 C 到边 AB 的距离 d,

d?

6 ? 8 24 24 ? ? 10 ? 48 . ,∴左视图的面积 S ? 10 5 5

(3)由题意,动点 P ? 线段 CC1 ,由侧面展开图可知,当 A1、B、P 三点共线时,

BP ? A1 P 的值最小,即 BP ? A1 P 的最小值为 (6 ? 8) 2 ? 10 2 ? 2 74 .

13.(1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面

FBD
又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高, 且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a

在 Rt ?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ VF ? BDE ?

1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3

又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形, ∴ EF ? 6a, DE ? 5a , 在 Rt ?F C D 中 , FD ?

5a ,



S ?FED ?

21 2 a , 2
∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

14.(1)证明:连结 EO , OA .? E , O 分别为 B1C , BC 的中点,∴ EO // BB1 . 又 DA// BB1 ,且 DA ? EO ?

1 BB1 .∴四边形 AOED 是平行四边形, 2

即 DE // OA, DE ? 面ABC . ∴ DE // 面ABC .

(2)证明: 所以 AB // A1 B1 且 AA 即 AA1 ? AB , AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线, 1 ? 圆O , 又 BC 是 底 面 圆 O 的 直 径 , 所 以 AB ? AC , AC ? AA 1 ? A ,所以

AB ? 面A1 AC
由 AB // A1 B1 , 所 以 A1 B1 ? 面A1 AC , A1 B1 ? 面A1 B1C , 所 以

面A1 B1C ? 面A1 AC
(3)解:由题 DE ? 面CBB1 ,且由(1)知 DE // OA .∴ AO ? 面CBB1 , ∴ AO ? BC ,∴ AC ? AB . 因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA ? AB ,且 AA 1 ? CA , ∴ CA ? 面AA 1 B1 B ,即 CA 为四棱锥的高.设圆柱高为 h ,底半径为 r , 则 V柱 ? ?r 2 h , V锥 ?

2 1 2 h( 2r ) ? ( 2r ) ? hr 2 ∴ V锥 : V柱 ? . 3 3 3?

15. 证明: (1)连接 DO

? AD 与两圆所在的平面均垂直,? ⊙ O 面 // ⊙ O1 面,
又 OE // AD , OE ? AD 所以四边形 OADE 为平行四边形,所以 DE ∥

AO , DE = AO
所以 DE ∥ OF ,且 DE = OF ,即四边形 ODEF 为平行四边形,所以

DO // EF DO ? 面 BCD , EF ? 面 BCD ,所以 EF // 面 BCD
(2)? AF 是⊙ O 的直径,? CF ? AC , 又 AD 与两圆所在的平面均垂直, CF ? ⊙ O 面,? CF ? AD ,

C D ? 面 CEF AC ? AD ? A , 所以 CF ? 面 ACD ,CF ? 面 CEF , 面A
(3)由 BC 是⊙ O 的直径, AB ? AC ? 6 ,所以 BC ? 6 2 ,且 AF ? BC , 所以 ?OBF 为等腰直角三角形, OB ? OF ? 3 2 , 所以 S ?OBF ?

1 ?3 2 ?3 2 ? 9 2

由已知易知可知 O1 到⊙ O 面的距离即为 AD ? 8 ,所以三棱锥 O1 ? OBF

的高为 8 所以 VO1 ?OBF ?

1 1 ? S ?OBF ? h ? ? 9 ? 8 ? 24 3 3

16.解: (1)由已知,点 P 在底面 ABCD 上的投影是点 A ,所以 PA ? 面ABCD 因为 AB 、 BC ? 面ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? BC
0 因为 ?PAB ≌ ?CBA ,所以 ?ABC ? ?BAP ? 90 , AB ? BC

因为 PA ? AB ? A ,所以 BC ? 平面 PAB ,所以 BC ? PB , ?PBC 是直角三 角形.
0 (2) 连接 BD ,因为 BC ? CD , ?BCD ? 60 ,所以 ?BCD 是等边三角形 0 在 ?ABD 中,根据多边形内角和定理计算得 ?ADB ? 90 ,即 BD ? AD

由 PA ? 面ABCD ,所以 BD ? PA , PA ? AD ? A ,所以 BD ? 面PAD 又 BD ? 面PBD,所以 面PBD ? 面PAD
0 (3) 连接 BD ,因为 BC ? CD , ?BCD ? 60 ,所以 ?BCD 是等边三角形

在 ?ABD 中,根据多边形内角和定理计算得 ?ADB ? 90 又因为 ?BAD ? 60 ,所以 BD ? 3 AD ? 3
0

0





S ?ABD ? 5 3 4

3 2



S ?BCD ?

3 3 3 BD2 ? 4 4







S ABCD ? S ?ABD ? S ?BCD ?

又 PA ? BC ? BD ? 3 , 所以,四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ?

1 1 5 3 5 ? PA ? S ABCD ? ? 3 ? ? 3 3 4 4

17. 证明:(1) ? PDCB 为等腰梯形, PB ? 3 , DC ? 1 , PA ? 1 , 则 PA ? AD , CD ? AD 又? 面 PAD ? 面 ABCD ,面 PAD ? 面 ABCD ? AD

CD ? 面 ABCD ,故 CD ? 面 PAD
又? CD ? 面 PCD ? 平面 PAD ? 平面 PCD (2)所求的点 M 即为线段 PB 的中点. 证明如下: 设三棱锥 M ? ACB 的高为 h1 ,四棱锥 P ? ABCD 的高为 h2 当 M 为线段 PB 的中点时,

h1 MB 1 ? ? h2 PB 2

1 1 1 S ?ACB ? h1 ? ( ? 2 ? 1) ? h1 VM ? ACB 1 ? ? 3 ? 3 2 ? 1 1 VP ? ABCD 1 3 S 梯形 ABCD ? h2 ? ? (2 ? 1) ? 1 ? h2 3 3 2

? 截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ;
(3) 当 M 为线段 PB 的中点时,直线 PD 与面 AMC 不平行. 证明: (反证法)假设 PD // 面 AMC 连接 DB 交 AC 于点 O ,连接 MO

? PD ? 面 PBD ,且面 AMC ? 面 PBD ? MO
? PD // MO

? M 为线段 PB 的中点时,则 O 为线段 BD 的中点,即
而 AB // DC ,故

DO 1 ? OB 1

DO DC 1 ? ? ,故矛盾。 OB AB 2

所以假设错误,故当 M 为线段 PB 的中点时,直线 PD 与面 AMC 不平行


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