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二次函数


二次函数练习题
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2014· 江苏苏州中考)已知二次函数 y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代 数式 1-a-b 的值为( A.-3 ) B.-1 C.2 D.5

2.(2015·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是( A.y=3x-1 C.s=2 错误!未找

到引用源。-2t+1

)

B.y=a 错误!未找到引用源。+bx+c D.y=错误! 未找到引用源。

3.(2013· 吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函 数解析式为错误!未找到引用源。,则下列结论正确的是( A.错误!未找到引用源。 到引用源。<0,错误!未找到引用源。>0 C.错误!未找到引用源。<0,错误!未找到引用源。<0 D.错误!未找到引用源。>0,错误!未找到引用源。<0
第 3 题图



B.错误!未找

4. (2015·杭州中考)设二次函数 y1 ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0,x1 ? x2 ) 的图象与一次函数

y2 ? dx ? e ? d ? 0? 的图象交于点 ( x1,0) ,若函数 y ? y2 ? y1 的图象与 x 轴仅有一个交
点,则( ) B. a( x2 ? x1 ) ? d C. a( x1 ? x2 )2 ? d D. a ? x1 ? x2 ? ? d
2

A. a( x1 ? x2 ) ? d

2 2 5. (2014· 成都中考) 将二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 化为 y ? ( x ? h ) ? k 的形式, 结果为 ( 2 A. y ? ( x ? 1) ? 4 2 C. y ? ( x ? 1) ? 4 2 B. y ? ( x ? 1) ? 2 2 D. y ? ( x ? 1) ? 2
) D.-1



6. 抛物线错误!未找到引用源。轴交点的纵坐标为( A.-3 B.-4 C.-5

7.已知二次函数错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。取 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。≠错误!未找到引用源。)时,函数值相 等,则当错误!未找到引用源。取错误!未找到引用源。时,函数值为( A.错误!未找到引用源。 找到引用源。 D.c B.错误!未找到引用源。 ) C.错误!未

8.已知二次函数错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。取任意实数时,都有错误! 未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的取值范围是( ) A.错误!未找到引用源。 找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 C.错误!未

9. (2015·兰州中考)二次函数 y=错误!未找到引用源。+x+c 的图象与 x 轴有两个交

点 A(错误!未找到引用源。,0),A(错误!未找到引用源。,0),且错误!未 找到引用源。,点 P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是( A.当 n 错误!未找到引用源。0 时,m 错误!未找到引用源。0 B.当 n 错误!未找到引用源。时,m>错误!未找到引用源。 C.当 n 错误!未找到引用源。0 时,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。时,m>错误!未找到引用源。
10. (2015· 贵州安顺中考) 如图为二次函数错误! 未找到引用源。 +bx+c



D.当 n

(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④当 -1<x<3 时,y>0.其中正确的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4
第 10 题图

二、填空题(每小题 3 分,共 30 分)
11.抛物线 y=2(x-3) 的顶点在________象限
2

12,抛物线 y ? 2 x2 ? 4 x ? 5 的对称轴是直线

.

13,把二次函数 y ? x2 ? 4x ? 7 化成 y ? a( x ? h)2 ? k 的形式是
14,.把抛物线错误!未找到引用源。的图象先向右平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位 长度,所得图象的解析式是错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。 .

15.已知抛物线错误!未找到引用源。的顶点为错误!未找到引用源。 则错误!未找到引用 源。 ,错误!未找到引用源。 . .

16..如果函数错误!未找到引用源。是二次函数,那么 k 的值一定是

17.某一型号飞机着陆后滑行的距离 y(单位:m)与滑行时间 x(单位:s)之间的函数

表达式是 y=60x 错误!未找到引用源。1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行 停下来.

m 才能

第 17 题图

18.二次函数错误!未找到引用源。的图象是由函数错误!未找到引用源。的图象先向 (左、右)平移 个单位长度,再向 (上、下)平移 个单位长度得到的.

19.如图,已知抛物线错误!未找到引用源。经过点(0,-3),请你确定一个错误!未找 到引用源。的值,使该抛物线与错误!未找到引用源。 轴的一个交点在(1,0)和(3,0) 之间,你所确定的错误!未找到引用源。的值是 .

20.如图所示,已知二次函数错误!未找到引用源。的图象经过(-1,0)和(0,-1)两点, 则化简代数式错误!未找到引用源。= .

三、解答题(共 40 分)
21.(8 分)已知抛物线的顶点为错误!未找到引用源。,与 y 轴的交点为错误!未找到引用 源。求抛物线的解析式.

3 22.(10 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过一次函数 y ? ? x ? 3 的 2

图象与 x 轴、y 轴的交点,并也经过(1,1)点.求这个二次函数解析式,并求 x 为何值时,有最大(最小)值,这个值是什么?

23.(12 分)(2013· 哈尔滨中考)某商人如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售,

每天可销售 100 件,现采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品 每涨价 0.5 元其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所 赚的利润最大?并求出最大利润

24.(12 分).有一座抛物线型拱桥(如图所示),正常水位时桥下河面宽 20 m,河面距拱

顶 4 m.

试求:

(1)在如图 26-10 所示的平面直角坐标系中,求出抛物线解析式; (2)为了保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于 18m,求水面在正常水 位基础上涨多少米时,就会影响过往船只?

1.B 2 .C

解析:把点(1,1)的坐标代入

,得

解析:选项 A 是一次函数;选项 B 当 a=0,b≠0 时是一次函数,当 a≠0 时是二次

函数,所以选项 B 不一定是二次函数;选项 C 一定是二次函数;选项 D 不是二次函 数.
3.A 解析:∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为, ∴ 这条抛物线的顶点坐标为. 观察函数的图象发现它的顶点在第一象限, ∴ . 4. B

解析:∵ 一次函数=dx+e(d≠0)的图象经过点(),

∴ dx1+e=0, ∴ e=-dx1,∴ =d(x-). ∵ y=y2+ y 1, ∴ y =a(x- x1)(x-x2)+d(x-x1)=(x-x1). 又∵ 二次函数的图象与一次函数=dx+e(d≠0)的图象只有一个交点(), 函数 y=y2+y1 的图象与 x 轴仅有一个交点, ∴ 函数 y=y2+y1 是二次函数,且它的顶点是(),∴ 设 y=a, ∴ (x-x1)= a. ∵ x1≠x2,∴ = a(x- x 1). 令 x=x1, 则= a(x1-x1), ∴ =0,



.故选 B.

5. D 解析: 6.C 解析:令,得 7.D 解析:由题意可知所以 所以当

.

8.B 解析:因为当取任意实数时,都有,又二次函数的图象开口向上, 所以图象与轴没有交点,所以

9. C

解析:如图,抛物线 y=+x+c 的对称轴是直线 x=,当 n 0 时,

点 P 位于 x 轴下方,m 可能小于 0,也可能大于 0,但是,故选项 A 错误,选项 C 正 确;当 n 时,点 P 位于 x 轴上方,此时 m<或 m>,故选项 B,D 错误.
10. C

解析:根据函数图象开口向下可得 a<0,所以①错误;当-1<x<3 时,y>0,

所以④正确;因为抛物线与 x 轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),所以对称轴为直 线 x=1,所以-=1,因此 2a +b=0,所以②正确;当 x=1 时,y=a+b+c>0,所以③正确. 所以②③④正确.
11.③④ 解析:本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用. 设点 A 的坐标为(),点 B 的坐标为(). 不妨设,解方程组 得 ∴ (,-),B(3,1). 此时,∴ . 而=16,∴ ≠,∴ 结论①错误. 当=时,求出 A(-1,-),B(6,10), 此时()(2)=16. 由①时, ()()=16.

比较两个结果发现的值相等.∴ 结论②错误. 当-时,解方程组得出 A(-2,2),B(,-1), 求出 12,2,6, ∴ ,即结论③正确. 把方程组消去 y 得方程, ∴ .

∵ =·||OP·||=×4×|| =2=2,

∴ 当时,有最小值 4,即结论④正确. 12.11 解析: 把它向左平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度得 即 ∴ ∴ ∴ 13.-1 解析: 故

14. 0 解析:根据二次函数的定义,得,解得. 又∵ ,∴ . ∴ 当时,这个函数是二次函数.

15. 600

解析:y=60x 1.5x2= 1.5(x 20)2+600,当 x=20 时,y 最大值=600,则该型号

飞机着陆时需滑行 600 m 才能停下来.
16.左 3 下 2 解析:抛物线是由先向左平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度 得到的. 17.(答案不唯一) 解析:由题意可知要想抛物线与轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之 间,只需异号即可,所以 18. 解析:把(-1,0)和(0,-1)两点坐标分别代入中,得 ,, ∴ . 由图象可知,抛物线对称轴,且, ∴,∴ . ∴ =,故本题答案为. 19.解:∵ 抛物线的顶点为 ∴ 设其解析式为① 将点的坐标代入①得∴ 故所求抛物线的解析式为即 20.(1)证明:∵ ∴

∴ 方程有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线与轴必有两个不同的交点. (2)解:令则解得 21.分析:(1)求出点 A 或点 B 的坐标,将其代入,即可求出 a 的值; (2)把点代入(1)中所求的抛物线的解析式中,求出点 C 的坐标,再根据点 C 和点 D 关 于原点 O 对称,求出点 D 的坐标,然后利用求△BCD 的面积. 解:(1)∵ ,由抛物线的对称性可知, ∴ (4,0).∴ 0=16a-4.∴ a. (2)如图所示,过点 C 作于点 E,过点 D 作于点 F.

第 21 题图

∵ a=,∴ -4.当-1 时,m=×-4=-,∴ C(-1,-). ∵ 点 C 关于原点 O 的对称点为 D, ∴ D(1,).∴ . ∴ ×4×+×4×=15. ∴ △BCD 的面积为 15 平方米. 点拨:在直角坐标系中求图形的面积,常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的 图形面积的和或差求解. 22.(1)解:∵ 二次函数的对称轴是直线, ∴,解得

经检验是原方程的解. 故时,二次函数的对称轴是直线. (2)证明:①当时,原方程变为,方程的解为; ②当时,原方程为一元二次方程,, 当?方程总有实数根,∴ 整理,得 即 ∵ 时,总成立. ∴ 取任何实数时,方程总有实数根.

23.(1)解:将点 C(0,-3)的坐标代入二次函数 y=a(x2-2mx -3m2), 则-3=a(0-0-3m2) ,

解得 a= (2)证明:如图,

.

过点 D,E 分别作 x 轴的垂线,垂足为 M,N. 由 a(x2-2mx-3m2)=0, 解得 x1=-m,x2=3m, ∴ A(-m,0) ,B(3m,0) . ∵ CD∥AB, ∴ 点 D 的坐标为(2m,-3) . ∵ AB 平分∠DAE, ∴∠DAM=∠EAN. ∵ ∠DMA=∠ENA=90°, ∴ △ADM∽△AEN.

∴ .

设点 E 的坐标为



∴ ∴ x=4m,∴ E(4m,5).

=



∵ AM=AO+OM=m+2m=3m,AN=AO+ON=m+4m=5m,

∴ (3)解:如图所示,

,即为定值.

记二次函数图象的顶点为点 F,则点 F 的坐标为(m,-4) , 过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H. 连接 FC 并延长,与 x 轴负半轴交于一点,此点即为所求的点 G.

∵ tan∠CGO= ∴ OG=3m. 此时,GF=

,tan∠FGH=

,∴

=



=

=4



AD=

=

=3

,∴

= .

由(2)得

= ,∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5,

∴ 以线段 GF,AD,AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形, 此时点 G 的横坐标为 3m.

24. 解:以点 A 为原点,以桌面中线为 x 轴,乒乓球水平运动方向为正方向,建立平面

直角坐标系. (1)由表格中的数据,可得当 t 为 0.4 时,乒乓球达到最大高度. (2)由表格中的数据,可画出 y 关于 x 的图象,根据图象的形状,可判断 y 是 x 的二次 函数. 可设 y=a+0.45.

将(0,0.25)代入,可得 a=-,∴ y=-+0.45. 当 y=0 时,=,=-(舍去),即乒乓球与端点 A 的水平距离是米. (3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时,对应的点为(). 代入 y=a 得 a+k=0,化简整理,得 k=②由题意可知,扣杀路线在直线 y=上.由①,得 y= aa. 令 a,整理,得 20a-(120a+2)x+175a=0. 当 Δ=-4×20a×175a=0 时,符合题意. 解方程,得=,=. 当=时,求得 x=-,不符合题意,舍去. 当=时,求得 x=,符合题意. 答:当 a=时,能恰好将球扣杀到点 A.


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