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第3章 同步发电机的基本方程


第3章

同步发电机的基本方程

3.1 同步发电机的原始方程
一 理想同步电机
同步发电机简化等值图

气隙
转子

定子

定子上3个等效绕组

B相绕组

A相绕组

C相绕组

/>
转子上3个等效绕组 q轴等效的阻 尼绕组
励磁绕组 d轴等效的阻 尼绕组

同步发电机简化为:定子3个绕组、转子3个绕组、 气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统。

同步发电机的特点:

? 转子是旋转的。 ? 绕组是分散的。 ? 存在磁饱和现象

理想同步发电机的假定 电机铁芯部分的导磁系数为常数,即忽略磁性材料磁饱和、 磁滞和涡流的影响,铁芯工作于线性区。 对纵轴和横轴而言,电机转子的结构是完全对称的。 定子三相绕组结构完全相同,彼此互差120度电角度,在气 隙中产生正弦分布的磁动势。 电机空载,转子恒速旋转时,其磁动势在定子绕组中感应 的空载电势是时间的正弦函数。 假设定子与转子具用光滑的表面,其槽与通风沟等不影响 定子及转子的电感。

理想同步电机的原始方程:
? 电压方程 ? 磁链方程

? 电压电流方程

二 正方向的选取
磁链的正方向: 各绕组轴线的正方向作为磁 链的正方向; 励磁绕组和纵轴阻尼绕组磁 链的正方向与d轴正方向相同; 横轴阻尼绕组磁链的正方向与q 轴正方向相同。

? 绕组电流电压正方向: 绕组中产生正向磁链的电流为该绕组的正向电流。 定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧;转子 回路中,各绕组感应电势的正方向与本绕组电流的正 方向相同。

同步发电机各绕组电路图

三 同步电机的电压方程、磁链方程
六个回路的电压方程
?r ? ua ? ? ? ? ub ? ? r ? ? ? uc ? r ? ? ? ?? rf ? ?? u f ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?? ia ? ?? a ? ? ? ? i ? ?? ? ? b ? ? ?b ? ? ? ? ? ? ic ? ?? c ? ?? ? ? ? ? ? ? ? i f ? ?? f ? ? ? iD ? ?? D ? ? ?? ? ? ? rQ ? ? iQ ? ?? Q ? ?? ? ? ? ?

rD

磁链方程
同步发电机中各绕组的磁链是由本绕组的自感磁链 和其它绕组与本绕组间的互感磁链组合而成。它的 磁链方程为:
?? a ? ? Laa ? ? ? ?? b ? ? M ba ?? c ? ? M ca ? ??? ?? f ? ? M fa ?? ? ? M ? D ? ? Da ?? Q ? ? M Qa ? ? ? M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc M af M bf M cf L ff M Df M Qf M aD M aD M cD M fD LDD M QD M aQ ? ? ia ? ? M bQ ? ? ib ? ? ? M cQ ? ? ic ? ?? ? M fQ ? ?i f ? M DQ ? ?iD ? ?? ? LQQ ? ?iQ ? ?? ?

定子绕组的 对磁链方程的分析: 定子绕组间的互感 自感

?? a ? ? Laa ? ? ? ?? b ? ? M ba ?? c ? ? M ca ? ??? ?? f ? ? M fa ?? ? ? M ? D ? ? Da ?? Q ? ? M Qa ? ? ?

M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb

M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc

M af M bf M cf L ff M Df M Qf

M aD M aD M cD M fD LDD M QD

M aQ ? ?? ia ? ? M bQ ? ?? ib ? ? ? M cQ ? ? ? ic ? ?? ? M fQ ? ? i f ? M DQ ? ? iD ? ?? ? LQQ ? ? iQ ? ?? ?
转子绕组的 自感

定转子绕组间的互感

转子绕组间的互感

四 绕组的自感、互感系数
a相绕组磁路磁阻(磁导)的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹 角 ? 有关 ? —— a 相轴线与直轴 d 轴的夹角

1)定子绕组的自感系数 ? ? 900 或 ?=2700 时,自感为最小值; ?=00 或 ?=1800 时,自感为最大值; Laa ? l0 ? l2 cos2? Lbb ? l0 ? l2 cos2(? ?1200 )

Lc ? l0 ? l2 cos2(? ? 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转 以二倍频周期性变化; 隐极机时定子绕组自感系数不变。

2)定子绕组的互感系数

? ? ?300 或 ? ? 1500 时,互感为最大值;
?=600 或 ?=2400 时,互感为最小值;

Lab ? ?[m0 ? m2 cos2(? ? 30 )]
0

凸极机时定子绕组互感系数随转子旋转以 二倍频周期性变化, 隐极机时定子绕组互感系数不变。

3)转子绕组的自感系数
转子上各绕组是随着转子一起转动的,无论是凸极 机还是隠极机,转子绕组的磁路中总是不变的,即 转子各绕组的自感系数为常数,令他们表示为: ; LQQ ? LQ L ff ? L f ; LDD ? LD

4)转子各绕组间的互感系数
同上述原因,它们也都是常数,而且绕组Q与绕组D、 f相互垂直,它们的互感为零,即:

M M fD ? M Df ? mr ; M fQ ? M Qf ? 0 ; DQ ? M QD ? 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数

5)定子与转子的互感系数
? ? 900



?=2700
0

时,互感为最小值;

? ? 0 时, 互感为正最大
?= 0 时, 互感为负最大 180

Laf ? maf cos?
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转 子旋转以同步频率周期性变化

3.2 d, q, 0 坐标系的同步电机方程
? abc三相数学模型分析

变系数微分方程 分析困难

一 Park变换及d, q, 0 坐标系统

变换由美国工程师派克在1929年首次提出(其后不久,苏联 学者戈列夫也独立地完成了大致相同的工作),一般称为派克变换。

Park 变换就是将

的量经过下列变换,转换成另外三个量。 i 例如对于电流,将 ia 、 ib 、c 变换成另外三个电流, d、i q 、 0 i i q 分别成为定子电流的 d 轴分量、 轴分量、零轴分量。

a、b 、 c

? ?id ? ?cos? ?i ? ? 2 ? sin ? ? q? 3 ? ?i0 ? ? 1 ? ? ? 2 ?

? cos(? ? 120 ) cos(? ? 120 ) ? ?ia ? ? sin(? ? 1200 ) ? sin(? ? 1200 )? ?ib ? ?? ? 1 1 ? ?ic ? ? ? 2 2 ?
0 0

所以park矩阵P为
? ?cos? 2 P ? ? sin ? 3? 1 ? ? 2 ? cos(? ? 120 ) ? sin(? ? 1200 ) 1 2
0

? cos(? ? 120 ) ? ? sin(? ? 1200 )? ? 1 ? 2 ?
0

把定子绕组上的变量变换到转子上,有

?i d ? ?i a ? ? ? ? ? ? i q ? ? P ?i b ? ? i0 ? ?ic ? ? ? ? ?
说明:

?u d ? ? ? ?u q ? ? ?u 0 ? ? ?

?u a ? ? ? P ?u b ? ?u c ? ? ?

?? d ? ?? a ? ? ? ? ? ?? q ? ? P ?? b ? ?? 0 ? ?? c ? ? ? ? ?

(1)零轴电流
三相电流对称或平衡时为零。 (2)电流的转换

例3-1/P55

二 d, q, 0 系统的电势方程
? ? U abc ? ? r 0 ? ? ? iabc ? ?? abc ? ? ? ? ?0 r ? ?? i ? ? ?? ? ? fDQ ? ? ?U fDQ ? ? ? ? ? fDQ ? ? fDQ ? ?
上式同时左乘 得

?P 0 ? ? 0 U? ? ?

? ?U dq 0 ? ? P 0 ? ? r 0 ? ? P ?1 0 ? ? P 0 ? ? ? iabc ? ? P 0 ? ?? abc ? ? ??? ?? ? ?0 r ? ? ? ?? i ? ? ? 0 U ? ?? ? U ? ? 0 U ? ? fDQ ? ? fDQ ? ? 0 ?U fDQ ? ? 0 U ? ? ? ? ? fDQ ? ? ? ? ? ?



? ?U dq 0 ? ? r 0 ? ? ? idq 0 ? ? P 0 ? ?? abc ? ? ? ? ?0 r ? ? ? i ? ? ? ? ?? ? ? U fDQ ? ? fDQ ? ? ? ? ? ? fDQ ? ? 0 U ? ? fDQ ? ?



? dq 0 ? P? abc

两端关于时间求导

? ? ? ? dq0 ? P? abc ? P? abc


? ? ? ? ? P? abc ?? dq0 ? P? abc ?? dq0 ? PP?1? dq0
? PP ?1? dq 0 ? ?? q ? ? ? ?? ?? d ? ? ? 0 ? ? ?



? ? ?U dq 0 ? ? r 0 ? ?? idq 0 ? ?? dq 0 ? ? PP ?1? dq 0 ? 于是: ? ? ? ?0 r ? ? i ? ? ?? ??? ? ? fDQ ? ? U fDQ ? ? 0 fDQ ? ? fDQ ? ? ? ? ? ? ? ? ?

派克变换后电压方程:
?u d ? ? r ? ? ? r ? uq ? ? ? u0 ? ? r ? ??? rf ?u f ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? id ? ?? d ? ? ?? q ? ? ? ? i ? ?? ? ? ?q ? ?? d ? ?? q ? ? ? ? ? ? ? ? ? i0 ? ?? 0 ? ? 0 ? ?? ??? ??? ? ? ? i f ? ?? f ? ? 0 ? ?? ? ?? iD ? ?? D ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? ? rQ ? ? ? iQ ? ?? Q ? ? 0 ? ? ?? ? ?? ? ?

rD

变压器电势

发电机电势

三 d, q, 0 系统的磁链方程和电感系数
磁链方程的坐标变换

?? abc ? ? LSS ? ??? ?? fDQ ? ? LRS ?

LSR ? ? iabc ? ? ?i ? LRR ? ? fDQ ? ?
LSR ? ?? iabc ? ? ?? i LRR ? ? fDQ ? ?
PLSR ? ? idqo ? ? ?i ? LRR ? ? fDQ ? ?

?? dq 0 ? ? P 0 ? ?? abc ? ? P 0 ? ? LSS ? ??? ? ?? ? ? ? 0 U ? ? L ?? fQD ? ? 0 U ? ? fQD ? ? ? ? RS ? ? ?
? P 0 ? ? LSS ?? ? ?L ? 0 U ? ? RS ?

LSR ? ? P ?1 0 ? ? P 0 ? ?? iabc ? ? PLSS P ?1 ?? ?? ?? i ? ? ? LRR ? ? 0 U ? ? 0 U ? ? fDQ ? ? LRS P ?1 ? ? ?

Park变换后的磁链方程
? Ld ?? d ? ? 0 ? ? ? ?? q ? ? 0 ?? 0 ? ? 3 ? ? ? ? maf ?? f ? ? 2 ?? ? ? 3 maD ? D ? ?2 ?? Q ? ? ? ? ? 0 ?
式中
2

0 Lq 0 0 0 3 maQ 2

0 0 L0 0 0 0

maf 0 0 Lf LDf 0

maD 0 0 L fD LD 0

0 ? maQ ? ? id ? ?? ? 0 ? ? iq ? ??i ? 0 ?? 0 ? ? ?i f ? 0 ? ?iD ? ?? ? ? ?iQ ? LQ ? ? ? ?

Ld ? ? (?s? ? ?m?

Lq ? ? 2 (?s? ? ?m?

3 ? ?ad ) 2 3 ? ?aq ) 2

纵轴同步电感
横轴同步电感

以上矩阵为非对称矩阵,为此我们对每项进行标 幺化处理得:
?? d ? ? ? Ld ? ? ? ? q? ? ? 0 ? ? ?? 0? ? ? 0 ? ??? ?? f ? ? ? maf ? ?? ? ?m ? D? ? ? aD? ?? Q? ? ? 0 ? ? ? 0 Lq? 0 0 0 maQ? 0 0 L0? 0 0 0 maf ? 0 0 Lf ? LDf ? 0 maD? 0 0 L fD? LD? 0 0 ? ? id ? ? ? maQ? ? ? iq? ? ? ? 0 ? ? i0? ? ?? ? 0 ? ?i f ? ? 0 ? ?iD? ? ?? ? LQ? ? ?iQ? ? ?? ?

为书写方便,今后将标么值下标“ * ”一律略去 电抗与电感系数的关系为 x ? ?L 。以标么值表示时,由 于同步转速下? ? 1,可得 ? ? L 。以相应电抗替换上式 中各电感系数,得:

3.3 基本方程的拉氏运算形式
一 有阻尼绕组同步电机的运算方程 二 运算电抗的等值电路 有阻尼绕组的情况
xd ( p) ? x?a ? 1 1 1 1 ? ? xad x?f ? rf / p x?D ? rD / p
1 1 1 ? xaq x?Q ? rQ / p

xq ( p) ? x?a ?

直轴和交轴次暂态电抗:
1 ? x d? ? x?a ? 1 1 1 ? ? x ad x?f x?D 1 ? x q? ? x?a ? 1 1 ? x aq x?Q

三 无阻尼绕组的同步电机的运算方程
2 pxad xd ( p) ? xd ? pxf ? rf

xq ( p) ? xq

直轴暂态电抗

xd ? ? x? a ?

1 1 1 ? xad x? f

3.4 同步电机的对称稳态运行
一 基本方程的实用化
1.假设条件 (1)转子转速恒等于额定转速 (2)电机纵轴向三个绕组间不存在漏磁通 (3)稳态运行时磁链的导数为零 (4)定子回路电阻只在计算定子电流非周期分量衰减时予 以考虑,在其它计算中忽略。 q轴 2.实用正方向 Eq, uq, iq, iQ,ψq, ψQ

d轴

if, id,ψd, ψf, ψD

Ed, ud, id

二 稳态运行的电势方程、相量图和等值电路
稳定运行时,定子三相电量均为正弦量。 令 q轴为虚轴、d轴为实轴,并忽略定子绕组电阻,

? ? U d ? ? jI q x q ? ? ? E ? jI x ? ? ? Uq q d d ?
发电机端电压为

? ? ? ? ? ? U ? U d ? U q ? Eq ? jI d xd ? jI q xq

?

对于隐极机,由于

xd ? xq

:

? ? ? U ? Eq ? jIxd

?对于凸极机:

? ? q? ? U ? U jd?xd ? IIq x ? EQ EEq ?? ???jI I d xd? jj??qxqq ? EQ ? j( xdd ? xqq))IIdd ? x ??
? 虚构的电势 EQ
? ? ? EQ ? U ? jIxq

? ? ? I ? Id ? Iq

例:已知一台同步发电机运行在额定电压和电流下, 功率因数为0.85,若 发电机为一隐极机,xd=1.00; 发电机为一凸极机,xd=1.00, xq=0.65。 试计算其空载电动势。

本章完!


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