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东莞市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测文科数学


东莞市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高二文科数学(B 卷)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、抛物线 y 2 ? 4x 的焦点坐标是( A.? 2, 0 ? B.? 0, 2 ? ) C.?1,0 ? D.? 0,1?

2 、若函

数 y ? f ? ? x? 在区间 ? x1 , x2 ? 内是单调递减函数,则函数 y ? f ? x ? 在区间

? x1 , x2 ? 内的图象可以是(



A.

B.

C.

D.

3、 数列 ?an ? 的通项为 an ? 2n ? 1,n ? ?? , 其前 n 项和为 Sn , 则使 Sn ? 48 成立的 n 的 最小值为( A. 7 4、若方程 A.k ? 1 ) B.8 C. 9 ) D.k ? 1 或 k ? 3 D.10

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( 3 ? k k ?1
1? k ? 3 B.

C.k ? 3 )
10 ?4 n

5、已知命题 p : ?n ? ? , n ? A. ?n ? ? , n ? C. ? n ? ? , n ?
10 ?4 n

10 ? 4 ,则 ? p 为( n

B. ?n ? ? , n ? D. ?n ? ? , n ?

10 ?4 n

10 ?4 n

b, 6、 在 ??? C 中, 角 ? ,? ,C 所对的边分别是 a , 且a ? 2, b ? 3 ,? ? 45 , c,

则 ? ?( A.60

) B.30 C.60 或 120
第 1 页 共 8 页

D.30 或 150

7、数列 ?an ? 的通项公式 an ? A.4

5 1 ,已知它的前 n 项和 S n ? ,则项数 n ?( 6 n ? n ? 1?



B.5

C.6 )

D.7

8、若实数 a , b 满足 a ? 2b ? 2 ,则 3a ? 9b 的最小值是( A.6 B.12 C.2 3

D.4 3

9、已知 a ? sin 60 , b ? cos 60 , ? 是 a 、 b 的等差中项,正数 G 是 a 、 b 的等比中 项,那么 a 、 b 、 ? 、 G 的从小到大的顺序关系是(
b???G?a A. b?a?G?? B.


b?G???a D.

b?a???G C.

10、已知 f ? x ? ? x2 ? xf ? ? 0? ?1 ,则 f ? 2014? 的值为(

) D.2014 ? 2016

A.2012 ? 2014 B.2013 ? 2014 C.2013 ? 2015 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11、函数 y ? lg ?12 ? x ? x 2 ? 的定义域是 .(用集合表示)

12、 已知 f ? x ? ? x3 ? 3x ? 8 , 则曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2?? 处的切线斜率为 13、已知数列 ?an ? , a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? an?1 ? an ,则 a4 ? .



14、已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆于 ? , ? 两 点,且 ???F2 是等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 15、 (本小题满分 12 分) 如果不等式 x2 ? mx ? n ? 0 的解集为 ? ? ?1, 4? ,? ? ? a ?1, a? .

?1? 求实数 m , n 的值; ? 2 ? 设 p : x ? ? , q : x ? ? ,若 q 是 p 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

第 2 页 共 8 页

x ? ? C 满足 f ? ?? ? 1 ,?C ? 7 , 16、 (本小题满分 12 分) 对于函数 f ? x ? ? 2 cos , 若? 2 5 3 ,求 ? C 及 ?? 的长. sin ? ? 14

17、 (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a4 ? 4 ,各项为正数的等 比数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 , b1 ? b2 ? b3 ? 7 .

?1? 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
? 2 ? 若 cn ?
an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . bn

18、 (本小题满分 14 分)北京市周边某工厂生产甲、乙两种产品.一天中,生产一 吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、水以及产值如表所示: 用煤(吨) 用水(吨) 产值(万元) 5 3 10 生产一吨甲种产品 3 5 生产一吨乙种产品 12 在 ???C 会议期间,为了减少空气污染和废水排放.北京市对该厂每天用煤和用水 有所限制,每天用煤最多 45 吨,用水最多 50 吨.问该厂如何安排生产,才能是日 产值最大?最大的产值是多少?

第 3 页 共 8 页

19、 (本小题满分 14 分) 平面内一动点 ? ? x, y ? 到定点 F ? 0,1? 和到定直线 y ? ?1 的距 离相等,设 ? 的轨迹是曲线 C . ?1? 求曲线 C 的方程;

? 2 ? 在曲线 C 上找一点 ? ,使得点 ? 到直线 y ? x ? 2 的距离最短,求出 ? 点的坐标; ? 3? 设直线 l : y ? x ? m ,问当实数 m 为何值时,直线 l 与曲线 C 有交点?

20 、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?
e ? 2.71828 ? ? ?) .当 x ? e 时,函数 f ? x ? 有极大值

x2 ? a (其中 a ? R ,无理数 2e2

?1? 求实数 a 的值; ? 2 ? 求函数 f ? x ? 的单调区间; 2 ? 3? 任取 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,证明: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 3 .

1 . 2

第 4 页 共 8 页

东莞市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高二文科数学(B 卷)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 9 D 10 C

? x ?3 ? x ? 4?

12. 9

13. ?3

14. 2 ? 1

三、解答题

15.解: (1)? 不等式 x 2 ? mx ? n ? 0 的解集为 A ? [1, 4]
?1, 4 是方程 x 2 ? mx ? n ? 0 的两个根,……………2 分

由韦达定理得 1 ? 4 ? ?m , 1? 4 ? n
? 实数 m, n 的值分别为 ?5, 4

……………4 分

……………………6 分

(2)? q 是 p 的充分条件,
? q ? p ,即 B 是 A 的子集,

……………………8 分



?

a ?1?1 a?4 ,

…………………11 分

解得 2 ? a ? 4 . 所以实数 a 的取值范围为 {a | 2 ? a ? 4 .…………12 分 16.解:由 f ( A) ? 1 得 2 cos
A A 1 ? 1 , 即 cos ? 2 2 2 A ? 2? ∵ A 是 ?ABC 的内角, ∴ ? ∴A? ……………3 分 2 3 3 BC AC 由正弦定理: ……………………6 分 ? sin A sin B

又∵BC= 7 , sin B ?

5 3 , 14

第 5 页 共 8 页

得 AC ?

BC ? sin B ? sin A

7?

5 3 14 ? 5 3 2

……………8 分

又∵ BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A , 即 7 2 ? AB 2 ? 52 ? 2 ? AB ? 2 ?
1 2

,解得 AB ? 3 ……………12 分

17.解: (1)由已知 ?an ? 为等差数列,设其公差为 d ,首项为 a1 ,则………1 分

?a1 ? d ? 2 . ……………3 分 ? ?a1 ? 3d ? 4 ?a1 ? 1 解之得 ? ? an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ……………5 分 ?d ? 1
各项为正数的等比数列 ?bn ? 中,公比设为 q ( q ? 0 ) . 由 b1 ? 1 , b1 ? b2 ? b3 ? 7 得

1 ? q ? q 2 ? 7 解之得 q ? 2 或 q ? ?3 (舍去)……………7 分
(2)由(1)知 an ? n , bn ? 2n ?1 ? cn ?
? Sn ?

an n ? n ?1 ……………8 分 bn 2

1 2 3 n ……………9 分 ? 1 ? 2 ? ... ? n ?1 ……………① 0 2 2 2 2 1 1 2 3 n ……………10 分 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ……………② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得: S n ? 0 ? 1 ? 2 ? ... ? n ?1 ? n ……………11 分 2 2 2 2 2 2 1 1? [1 ? ( ) n ] 2 ? n ? 2 ? 2 ? n ……………………………………13 分 ? 1 2n 2n 1? 2 2?n ? S n ? 4 ? n ?1 即为所求. ………………………………………14 分 2

18.解:设每天生产甲种产品 x 吨,乙种产品 y 吨. 依题意可得线性约束条件

……………1 分

第 6 页 共 8 页

y

?5 x ? 3 y ? 46 ?3 x ? 5 y ? 50 ? ……………4 分 ? x?0 ? ? y?0 ?
目标函数为 z ? 10 x ? 12 y , ……………5 分 作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示 ……………8 分 5 z 将 z ? 10 x ? 12 y 变形为 y ? ? x ? 6 12
M (5,7) x O 3x+5y=50 5x+3y=46

5 z z 当直线 y ? ? x ? 在纵轴上的截距 达到最大值时,……………9 分 6 12 12 5 z 即直线 y ? ? x ? 经过点 M 时, z 也达到最大值. ……………10 分 6 12

?5 x ? 3 y ? 46 由? 得 M 点的坐标为 (5, 7) ……………12 分 ?3 x ? 5 y ? 50
所以当 x ? 5, y ? 7 时, zmax ? 5 ?10 ? 7 ?12 ? 134 ……………13 分 因此,该厂每天生产甲种产品 5 吨,乙种产品 7 吨,才能使该厂日产值最大,最大 的产值是 134 万元. ……………14 分 p 19.解: (1)依题意知曲线 C 是抛物线,设其为 x 2 ? 2 py ( p ? 0) ,由定义可得 ? 1 , 2 解得 p ? 2 ,………2 分
? 抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y .……………3 分
2 (2)设点 P( x0 , y0 ) ,点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离为 d ,则有 x0 ? 4 y0 ,由点到直线距离

公式得 d ?

x0 ? y0 ? 2 2

1 2 1 x0 ? x0 ?2 ( x0 ? 2) 2 ? 1 4 4 ? ? ………………7 分 2 2

? 当 x0 ? 2 , y0 ? 1 即 P(2,1) 时,点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离最短,最短距离为

2 .……………………8 分 2
第 7 页 共 8 页

(3)由题意,联立 y ? x ? m 和 x 2 ? 4 y 消去 y 并整理得
x 2 ? 4 x ? 4m ? 0 ,………………10 分

直线与曲线 C 有交点? ? ? (?4) 2 ? 16m ? 0 …………12 分 解之得 m ? ?1 即为所求. …………14 分 e2 1 20.解: (1)由题知 f (e) ? ln e ? 2 ? a ? ,解得 a ? 0 ……………2 分 2e 2 (2)由题可知函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,……………3 分

1 x e 2 ? x 2 (e ? x)(e ? x) …………5 分 ? ? 2 ? x e2 e x e2 x (e ? x)(e ? x) (e ? x)(e ? x) 由 ? 0得0 ? x ? e ; ? 0 得 x ? e ;…………7 分 2 e x e2 x 故函数 f ( x) 单调增区间为 (0, e) ,单调减区间为 (e, ??) ……………8 分
又 f ' ( x) ? (3)因为 f ( x) ? ln x ?

x2 ,由(1)知函数 f ( x) 的单调减区间为 (e, ??) ,故 f ( x) 在 2e 2 [e, e 2 ] 上单调递减,………………9 分

e2 1 1 ? 1? ? ; 2 2e 2 2 4 e e2 f ( x) min ? f (e 2 ) ? ln e 2 ? 2 ? 2 ? ;………………10 分 2e 2 2 1 e e2 ? 3 ? f ( x) max ? f ( x) min ? ? (2 ? ) ? 2 2 2 2 e ?3 ? f ( x) max ? f ( x) min ? …………11 分 ? 3 ………① 2 依题意任取 x1 , x2 ? [e, e 2 ] ,欲证明 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ,只需要证明
? f ( x) max ? f (e) ? ln e ?

f ( x) max ? f ( x) min ? 3 ,…………13 分
由①可知此式成立,所以原命题得证. …………14 分

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