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20110-年--中学同步教学测试试卷


201*年**中学同步教学测试试卷

**测试试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 姓名:__________班级:__________考号:__________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

一、填空题

1. 经过原点 ?0,0? 做函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 的切线,则切线方程为 2. 已知 k ?
??
1
2 ?2

。 .

4 ? x2 dx ,直线 y ? kx ? 1 交圆 P : x 2 ? y 2 ? 1 于 A , B 两点,则 AB ?

3. 设 P 为曲线 C : y ? x 2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,则 ? 4? 点 P 横坐标的取值范围为 4. 函数 y ? x 2 与 y ? kx(k ? 0) 的图像所围成的图形的面积为

? ??

9 ,则 k ? 2

.

5. 已知函数 f ( x) ? Asin ?? x ? ? ?
0 ?? ??)

( A ? 0, ? ? 0,

,其导函数 f ?( x ) 的部分图像如图所示,则函数 f ( x) 的解析式为_______________.

6. 已知函数 f(x)=

cosx+sinx,则

的值为________.

7. 设函数 f ( x) ? ax2 ? c (a ? 0) ,若

?

1

0

f ( x)dx ? f ( x0 ),0 ? x0 ? 1 ,则 x0 的值为__________.
1

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8. 曲线 y ? x( x ? 1)( x ? 2) ? 3ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为 9. 若函数 y ? e x ? ax 没有极值点,则 a 的取值范围是_________.

10. 右图中阴影部分区域的面积 S ? _________.
y y=sinx y=cosx O x

二、解答题

11. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex, g ( x) ? 3e 2 ln x ? b, (e ? 2.72) ,且这两函数的图象有公共点,并在该 2

公共点处的切线相同. (1)求实数 b 的值; (2)若 x ? ? 0,1? 时,证明: 2 ? f ( x) ? 2ex ? ?

1 ? 2 g ( x) ? e 2 ? 2 ? ? ? 4 x ? 3 恒成立. 3e

12. 已知函数 f ( x) ? x ln x ? 1。 (1)求函数 f ( x) 的极值点; (2)若直线 l 过点 (0, ?1) ,并且与曲线 y ? f ( x) 相切,求直线 l 的斜率.

13. f ? x ? ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 1, ? a ? R ? . (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 f ? x ? 的图像不存在与 l : y ? ? x 平行或重合的切线,求实数 a 的取值范围. 14. 已知函数 f ( x) ? 5ln x ? ax 2 ? 6 x ( a 为常数) ,且 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间. 15. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x (a ? R) . 2
2

(1)若 f ( x) 在 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 在 (0, e) 内有极小值

1 ,求 a 的值. 2
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ; x 2 ? x1

1 16. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x ? ax ? a 2

(1)当 a ? 2 时,求证:对任意的 x1 , x 2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 ,有 (2)若 x ? (1,3) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

17. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 10.

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 2, f ? 2? 处的切线方程;

(Ⅱ)在区间 ?1, 2? 内至少存在一个实数 x ,使得 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

?

?

18. 已知函数 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) . (1)求函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (2)证明不等式: ln 2 (1 ? x) ?

x2 ; 1 ? x2

(3)对一个实数集合 M ,若存在实数 s ,使得 M 中任何数都不超过 s ,则称 s 是 M 的一个上界.已知 e 是无

1 n 19. 已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln x(a ? 1)
(1)求函数 f ( x ) 单调递增区间;

穷数列 an ? (1 ? ) n ? a 所有项组成的集合的上界(其中 e 是自然对数的底数),求实数 a 的最大值.

(2)若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围.

20. 已知函数 f ( x) ?

1 ( x ? a ) 2 ? 1nx( a 为常数) . 2 1 2 1 a ? a ? 恒成立,求 a 的取值范围. 2 2

(1)若函数在 x=1 处的切线斜率为 2,求该切线的方程; (2)当 x∈(1,3)时, f ( x) ? x ?

21. 已知二次函数 f ( x) 满足条件:①在x=1处导数为0;②图象过点P(0,-3) ;③在点P处的切线与 直线2x+y=0平行. (1)求函数 f ( x) 的解析式.(2)求在点Q(2,f(2))处的切线方程.

1 22. 已知函数 f(x)=mx -x+ 3 ,以点 N(2,n)为切点的该图像的切线的斜率为 3
3

3

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(I)求 m,n 的值

g ( x) ? ?
(II)已知. 的取值范围。

a ?1 2 x ? (a ? 1) x(a ? 0) 2 ,若 F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值 1,试求实数 a
1 x ? x 的图象分别交直线 x ? 1 于点 A, B , 且曲线 y ? f ( x) 在点 a

23. 设函数 f ( x) ? x2 ? a ln x 与 g ( x) ?

A 处的切线与曲线 y ? g ( x) 在点 B 处的切线平行(斜率相等).
(1)求函数 f ( x) , g ( x) 的表达式; (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值;
?1 1? (3)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ≥ m ? g ( x) 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

24. 已知 f(x)=x3+bx2+cx+2. (1)若 f(x)在 x=1 时有极值-1,求 b、c 的值; (2)在(1)的条件下,若函数 y=f(x)的图象与函数 y=k 的图象恰有三个不同的交点,求实数 k 的取值范 围. 25. 已知函数 f ( x) ? e x ? ax, g ( x) ? e x ln x (1)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? (e ? 1) y ? 1垂直,求 a 的值。 (2)若对任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立,确定实数 a 的取值范围。 (3)当 a ? ?1 时,是否存在实数 x0 ? [1, e] ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂 直?若存在,求出 x0 的值,若不存在,说明理由。 26. 已知函数 f ( x) ? 1 ? ln

x (0 ? x ? 2) . 2? x

(1)是否存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数

y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)定义 Sn ?
2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N* ,求 S2013 ; n

(3)在(2)的条件下,令 Sn ? 1 ? 2an ,若不等式 2an ? (an )m ? 1 对 ?n ? N* 且 n ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 27. 已知 a ? 2 , f ( x) ? x ? a ln x ?

a ?1 1 , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x . (注:e 是自然对数的底) x 2
4

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极值; (2)求 f ( x) 的单调区间;
2 (3)若存在 x1 ? ? ?e, e ? ? ,使得对任意的 x2 ? ? ?2, 0? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

28. $selection$ 29. 已知 a 为正的常数,函数 f ( x) ?| ax ? x2 | ? ln x 。 (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)设 g ( x ) ?

f ( x) ,求函数 g ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值。 x
x

30. 已知函数 f ( x) ? 3e ? a ( e ? 2.71828 …是自然对数的底数)的最小值为 3 . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)已知 b ? R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 lnf ( x) ? ln3 ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b2 ; (Ⅲ)已知 m ? Z 且 m ? 1 .若存在实数 t ?[?1, ??) ,使得对任意的 x ? [1, m] ,都有 f ( x ? t ) ? 3ex ,试 求 m 的最大值. 31. $selection$

? 32. 已 知 函 数 f ( x)? x l n x 与 函 数 g ( x)? x
h( x) ? f ( x) ? g ( x) , e 为自然对数的底数.
(1)求实数 a 的值; (2)证明:

1 (x ? 0均 ) 在 x ? x0 时 取 得 最 小 值 , 设 函 数 ax

1 是函数 h( x) 的一个极大值点; e

(3)证明:函数 h( x) 的所有 极值点之和的范围是 ( , ..

3 e ?1 ). e e

33. 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(Ⅰ)函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (Ⅱ)当 x ? 0 时, ( x ? 1) f ( x ) ? k 恒成立,求整数 ..k 的最大值; (Ⅲ)试证明: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1)) ? e
2 n?3

(n ? N*) 。

5

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34. 已知函数 f ( x) ? ex ( x2 ? ax ? 1) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行 ,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值.

35. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? a ln x 和 g ( x ) ? (1)求 函数 f ( x) , g ( x) 的表达式;

1 x ? x ,且 f ?(1) ? g ?(1) . a

(2)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? m ? g ( x) 在 x ? [ , ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 1 4 2

6

皖南八校 2014 届高三第一次联

36. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx在点x0 处取得极小值-4,若 f ?( x) ? 0的x 的取值范围为(1,3) . (1)求 f ( x) 的解析式及 f ( x) 的极大值; (2) 当 x ?[2,3]时,函数y ? f ?( x) 的图像恒在 y ? g ( x) 的图象的下方,求 m 的取值 设g ( x) ? 6(2 ? m) x, 范围. 37. 已知函数 f ( x) ?
1 ? ln x . x

1 (1)若函数在区间 (a , a ? ) 上存在极值,其中 a ? 0 ,求实数 a 的取值范围; 2 k (2)如果当 x≥1 时,不等式 f ( x)≥ 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

(3)求证: [(n ? 1)!]2 ? (n ? 1) ? en?2 (n ? N * ) 38. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax, g ( x) ? ln x . (1)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, ) ,证明: h( x1 ) ? h( x2 ) ? (3)设 r ( x) ? f ( x) ? g ( 求实数 k 的取值范围.

1 2

3 ? ln 2 ; 4

1 ? ax 1 ) 对于任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 r ( x) ? k (1 ? a2 ) 成立, 2 2

x ?1 , (a ? 0 ,且 a ? 1) x ?1 x ?1 (1)求函数的定义域,并证明 f ( x) ? log a 在定义域上是奇函数; x ?1
39. 已知函数 f ( x) ? log a (2)对于 x ? [2, 4] f ( x) ? log a

x ?1 m ? log a 恒成立,求 m 的取值范围; x ?1 ( x ? 1)2 (7 ? x)
f (2) ? f (3) ????? f ( n )

(3)当 n ? 2 ,且 n ? N * 时,试比较 a

与 2n ? 2 的大小.

40. 已知三次函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .(Ⅰ) 求函数 y ? f ( x) 的表达式;(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值;(Ⅲ)若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在 区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、 n 应满足的条件.

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x2 ,其中 e 为自然对数的底数. 4 x ? x2 1 ); (1) 已知 x1 , x2 ? R ,求证: ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( 1 2 2
41. 设函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ? (2)是否存在与函数 f ( x) , g ( x) 的图象均相切的直线 l ?若存在,则求出所有这样的直线 l 的方程;若不 存在,则说明理由.

42. 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? a ln x , a ? R . (Ⅰ) 当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的极值;; (Ⅱ) 若 f ? x ? 在区间 (0,1) 上无极值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 t ? 1 ,有 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 ,求 a 的取值范围;

43.

1 x ? c(a ? 0) .若函数 f ? x ? 满足下列条件: 2 1 1 ① f ? ?1? ? 0 ;②对一切实数 x ,不等式 f ? x ? ? x 2 ? 恒成立. 2 2
已知函数 f ? x ? ? ax 2 ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的表达式; (Ⅱ)若 ( f x) ? t 2 ? 2at ? 1 对 ?x ???1,1? , ?a ???1,1? 恒成立,求实数 t 的取 值范围; (Ⅲ)求证:

1 1 1 2n ? ? ??? ? ? (n ? N * ) . f ?1? f ? 2 ? f ? n? n ? 2

44. 设函数 f ( x) ? ln

kx ? 1 . x ?1

(I)当 k ? ?1 时,判断 f ( x) 的奇偶性并给予证明; (II)若 f ( x) 在 [e, ??) 上单调递增,求 k 的取值范围.

1 45. 函数 f ( x) ? x3 ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. 46. 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ax(a ? R) .

8

(I)当 a ? 0 时,过点 P(?1, 0) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求切线的方程;

? ? ? 的单 调性; (II)讨论函数 f ( x) 在 ?0,
(III)当 0 ? y ? x ? 1 时,证明: ln x ? ln y ? ln(x ? y ) ? 1.
2 47. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 。

1 [ , 2] y ? f ( x ) (1)当 a ? 2 时,求函数 在 2 上的最大值;
(2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,若 y ? g ( x) 在区让 (0,3) 上不单调,求 a 的取值范围;

A( x1,0), B( x2 ,0) ,且 0 ? x1 ? x2 ,又 (3)当 a ? 2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? mx 的图象与 x 轴交于两点
y ? h?( x) 是 y ? h( x) 的导函数。若正常数 ? , ? 满足条件 ? ? ? ? 1, ? ? ? 。证明 h?(? x1 ? ? x2 ) ? 0 。
48. 已知函数 f ( x) ? x2 ? a ln x (a ? R) (1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,求 a 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间 (1,??) 上为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x 的单调性.

3 2 2 49. 设函数 f (x)= ? x ? 2mx ? m x ? 1 ? m (其中 m > - 2)的图像在 x=2 处的切线与直线 y= -5x+12

平行; (Ⅰ)求 m 的值与该切线方程; (Ⅱ)若对任意的 x1 , x2 ? ?0,1?, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? M 恒成立,则求 M 的最小值; (Ⅲ)若 a ? 0, b ? 0, c ? 0 且 a+b+c=1,试证明:

a b c 9 ? ? ? 2 2 2 10 1? a 1? b 1? c

2 50. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? a ( x ? x)(a ? 0, a ? R ) , h( x) ? f ( x) ? g ( x) (1)若 a ? 1 ,求

函数 h( x) 的极值; (2)若函数 y ? h( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围;

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,使线段 AB 的中点的横坐标 (3)在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在不同的两点
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x0 与直线 AB 的斜率 k 之间满足 k ? f ?( x0 ) ?若存在,求出 x0 ;若不存在,请说明理由.

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参考答案
一、填空题

1.【答案】 y ? 0或9 x ? 4 y ? 0

2.【答案】

4 5 . 5

3.【答案】 ?? 1,? ? 2

? ?

1? ?

4.【答案】3 5.【答案】f(x)=4sin( 6.【答案】 7.【答案】 x+ )

3 3

8.【答案】 4 x ? y ? 4 ? 0 9.【答案】 ?0, ???

10.【答案】 2 ? 1

二、解答题

11.【答案】 (1)解:求导数可得:f'(x)=x+2e,g′(x)= 设 f(x)=



与 g(x)=3e2lnx+b 的公共点为(x0,y0) ,则有

解得

.…(5 分) .

(2)证明:由(1)知

所以 2[f(x)﹣2ex]+

[2g(x)+e2]=x2+2lnx.

∴要证 x∈(0,1]时,x2+2lnx≤4x﹣3 恒成立, 即证 x∈(0,1]时,x2﹣4x+3+2lnx≤0 恒成立. 设 h(x)=x2﹣4x+3+2lnx(0<x≤1) ,则 ∵x∈(0,1],∴h′(x)≥0(仅当 x=1 时取等号) . 2 ∴h(x)=x ﹣4x+3+2lnx 在 x∈(0,1]上为增函数. ∴h(x)max=h(1)=0. ∴x∈(0,1]时,2[f(x)﹣2ex]+ [2g(x)+e2]≤4x﹣3 恒成立. .

12.【答案】解: (1) f ??x? ? ln x ? 1, x >0. 而 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < , 所以 f ?x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增. 所以 x ?

1 e

1 e

? 1? ? e?

?1 ?e

? ?

1 是函数 f ?x ? 的极小值点,极大值点不存在. e

(2)设切点坐标为 ?x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 ? 1 ,切线的斜率为 ln x0 ? 1, 又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以 所以 y0 ? 1 ? x0 (

y0 ? 1 ? ) ln x0 ? 1, x0



ln x0 ? 1, )解得 x0 ? 2

所以直线 l 的斜率为 1 + ln 2
(x ? a)(3x ? a) 13.【答案】解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? a2 ?

当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得: x ? (??, ? ) ? (a, ??) 由 f ? ? x ? ? 0 ,得: x ? (? , a) ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ? ) 和 (a, ??) ,单调减区间为 (? , a) 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x2 ? 0 ,∴ f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得: x ? (??, a) ? (? , ??) 由 f ? ? x ? ? 0 ,得: x ? (a, ? ) ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 (??, a) 和 (? , ??) ,单调减区间为 (a, ? )
12

a 3

a 3

a 3

a 3

a 3

a 3

a 3

a 3

(Ⅱ)由题知, f ? ? x ? ? ?1 ∴方程 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? ?1无实数根. ∴ △ ? 4a2 ?12(1 ? a2 ) ? 0 ? a ? (?
3 3 , ) 2 2
5 x

14.【答案】解: (1)∵ f ( x) ? 5ln x ? ax 2 ? 6 x ,∴ f ?( x) ? ? 2ax ? 6( x ? 0) ;又∵ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切 线平行于 x 轴,∴ f ?(1) ? 5 ? 2a ? 6 ? 0 ,得 a ? . (2)由(1)知 f ( x) ? 5ln x ? x2 ? 6 x ,∴ f ?( x) ?
1 2 1 2

x2 ? 6x ? 5 ( x ? 1)( x ? 5) ? ( x ? 0) ; x x

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,或 x ? 5 ;由 f ?( x) ? 0 , 1 ? x ? 5 . ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (5,+ ∞ ),单调递减区间为 (1 , 5 ). 15.【答案】解: (1)∵ f ( x) 在 (2, ??) 上单调递增,∴ f ?( x) ? 立 即 x2 ? (a ? 1) x ? a ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立,即 (1 ? x)a ? x2 ? x ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立 即 (1 ? x)a ≥ x ? x2 在 (2, ??) 恒成立,即 a ≤ x 在 (2, ??) 恒成立 ∴实数 a 的取值范围是 (??, 2] (2) f ( x) 定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? a ≥ 0 在 (2, ??) 恒成 x

x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? x x

①当 a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,结合 f ( x) 定义域解得 0 ? x ? 1 或 x ? a ∴ f ( x) 在 (0,1) 和 (a, ??) 上单调递增,在 (1, a ) 上单调递减 此时 f ( x) 极小值 ? f (a ) ? ? a 2 ? a ? a ln a 若 f ( x) 在 (0, e) 内有极小值

1 2

1 1 1 ,则 1 ? a ? e ,但此时 ? a 2 ? a ? a ln a ? 0 ? 矛盾 2 2 2

②当 a ? 1 时,此时 f ?( x ) 恒大于等于 0 ,不可能有极小值 ③当 a ? 1 时,不论 a 是否大于 0 , f ( x) 的极小值只能是 f (1) ? ?

1 ?a 2

1 1 ? a ? ,即 a ? ?1 ,满足 a ? 1 2 2 综上所述, a ? ?1
令? 16.【答案】 17.【答案】 18.【答案】
13

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19.【答案】⑴ f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a .

f '' ( x) ? 2 ? a x ? ln 2 a ? 0 ,所以 f ' ( x) 在 R 上是增函数,
又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) . ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可. 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:
x
f ?( x)

(??,0)

0
0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

极小值

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值
f ? x ?min ? f ? 0? ? 1, f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 1 因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? ? 2ln a , a a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ;
所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥e ?1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是增函数,解 得a≥e

20.【答案】 21.【答案】 22.【答案】

14

23.【答案】 24.【答案】见解析 25.【答案】解: (1) f ?( x) ? e x ? a ,因此 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线的斜率为 e ? a , 又直线 x ? (e ? 1) y ? 1的斜率为 ∴ a =-1. (2)∵当 x ≥0 时, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立,∴ 先考虑 x =0,此时, f ( x) ? e x ,a 可为任意实数; 又当 x >0 时, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,则 a ? ?
x

1 1 ,∴( e ? a ) ? =-1, 1? e 1? e

ex ex (1 ? x)e x ? 恒成立, 设 h( x) = ? ,则 h ( x) = , x x x2

当 x ∈(0,1)时, h?( x) >0, h( x) 在(0,1)上单调递增,当 x ∈(1,+∞)时, h?( x) <0, h( x) 在(1,+ ∞)上单调递减,故当 x =1 时, h( x) 取得极大值, h( x)max ? h(1) ? ?e , ∴ 实数 a 的取值范围为 ? ?e, ?? ? . ( 3 ) 依 题 意 , 曲 线 C 的 方 程 为 y ? ex ln x ? ex ? x , 令 u ( x) = e x ln x ? e x ? x , 则
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u?( x) ?

ex 1 1 1 x ?1 ? e x ln x ? e x ? 1 ,设 v( x) ? ? ln x ? 1 ,则 v?( x) ? ? 2 ? ? 2 , x x x x x

当 x ??1, e? , v?( x) ? 0 ,故 v( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 v(1) ? 0 , 所以 v( x) ≥0,又 e x ? 0 ,∴ u?( x) ? ?

?1 ? ? ln x ? 1? e x ? 1 >0, ?x ?

而若曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直, 则 u?( x0 ) =0,矛盾。所以,不存在实数 x0 ??1, e? ,使曲线 C: y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直. 26.【答案】 (1)假设存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y ? f ( x) 的图像上,则函数 y ? f ( x) 图像的对称中心为 M (a, b) . 由 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,得 1 ? ln 即 2 ? 2b ? ln

x 2a ? x ? 1 ? ln ? 2b , 2? x 2 ? 2a ? x

?2 ? 2b ? 0, ?a ? 1, ? x 2 ? 2ax 对 恒成立,所以 解得 ? x ? (0, 2) ? 0 ? ? ? x 2 ? 2ax ? 4 ? 4a ?4 ? 4a ? 0, ?b ? 1.

所以存在点 M (1,1) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y ? f ( x) 的图像上. (2)由(1)得 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2(0 ? x ? 2) .

i i i ,则 f ( ) ? f (2 ? ) ? 2 (i ? 1, 2, ???, 2n ? 1) . n n n 1 2 2 1 因为 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ①, n n n n 1 2 2 1 所以 Sn ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ? ??? ? f ( ) ? f ( ) ②, n n n n
令x? 由①+②得 2Sn ? 2(2n ?1) ,所以 Sn ? 2n ?1(n ? N* ) . 所以 S2013 ? 2 ? 2013 ?1 ? 4025 .

Sn ? 1 ? n( n ? N* ) . 2 n m a ?? 因为当 n ? N* 且 n ? 2 时, 2 n ? ( an ) m ? 1 ? 2n ? n m ? 1 ? . ln n ln 2
(3)由(2)得 Sn ? 2n ?1(n ? N* ) ,所以 an ? 所以当 n ? N* 且 n ? 2 时,不等式

m n m ? n ? ?? ?? 恒成立 ? ? . ? ln n ln 2 ln 2 ? ln n ?min
16

设 g ( x) ?

ln x ? 1 x ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? . ln x (ln x)2

当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (e, ??) 上单调递增. 因为 g (2) ? g (3) ?
2 3 ln 9 ? ln 8 ? ? ? 0 ,所以 g (2) ? g (3) , ln 2 ln 3 ln 2 ? ln 3

3 . ln 3 m 3 m 3ln 2 ?? 由 ? g (n) ?min ? ? ,得 ,解得 m ? ? . ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 3ln 2 , ??) . 所以实数 m 的取值范围是 (? ln 3
所以当 n ? N* 且 n ? 2 时, ? g (n) ?min ? g (3) ? 27.【答案】 (1)由 a ? 1 得, f ( x) ? x ? ln x( x ? 0) ,? f '( x) ? 1 ? 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1

1 x

x f '( x) f ( x)

(0,1) ? ?

1

(1, ??) ? ?

所以 f ( x)的极小值 ? f (1) ? 1, 无极大值 (2)由题意可得 f(x)的定义域为(0,+∞) , f '( x) ?

( x ? 1) ? x ? ( a ?1) ? x2

∵a<2,∴a﹣1<1 当 a﹣1≤0,即 a≤1,∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数, x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数; ②当 0<a﹣1<1,即 1<a<2,∴x∈(0,a﹣1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数, x∈(a﹣1,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数; 综上所述,当 a≤1 时,f(x)的单调减区间是(0,1) ,单调增区间是(1,+∞) ; 当 1<a<2 时,f(x)的单调减区间是(a﹣1,1) ,单调增区间是(0,a﹣1) , (1,+∞) ; 2 (3)由题意,存在 x1∈[e,e ],使得对任意的 x2∈[﹣2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,等价于对任 意 x1∈[e,e2]及 x2∈[﹣2,0],f(x)min<g(x)min, 由(1) ,当 a<2,x1∈[e,e ]时,f(x)是增函数,f(x)min=f(e)= ∵g′(x)=x(1﹣ex) ,对任意的 x2∈[﹣2,0],g′(x)≤0 ∴g(x)是奇函数,∴g(x)min=g(0)=1 ∴e?a ?
2

a ?1 ?1 e
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?a ?

e2 ? e ? 1 e ?1

∵a<2

e2 ? e ? 1 ?2 ? a ? e ?1
28.【答案】 29.【答案】解: (1)由 a ? 2 ,得 f ( x) ?| 2 x ? x2 | ? ln x( x ? 0) , 当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x2 ? ln x , f ?( x) ? 2 ? 2 x ?

1 ?2 x 2 ? 2 x ? 1 ? , x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 ?2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

1? 3 1? 3 ,或 x ? (舍去) 2 2

当0 ? x ?

1? 3 1? 3 时, f ?( x) ? 0 ; ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ; 2 2 1? 3 ); 2

∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (0,

当 x ? 2 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? ln x , f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

1 2x2 ? 2 x ? 1 ? , x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,此方程无解,∴函数 f ( x) 在 [2, ??) 上为增函数; ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, (2) g ( x) ?

1? 3 ) , [2, ??) 。 2

f ( x) ln x ?| x ? a | ? , x ? [1, e] , x x

①若 a ? 1 时, g ( x) ? x ? a ?

1 ? ln x x 2 ? 1 ? ln x ln x ? ,则 g ?( x) ? 1 ? , x x2 x2

∵ x ? [1, e] ,∴ 0 ? ln x ? 1 ,∴ 1 ? ln x ? 0 , x 2 ? 1 ? ln x ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 ∴ g ( x) 在 [1, e] 上为增函数,∴ g ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 ? a ; ②若 a ? e 时,则 g ( x) ? a ? x ?

1 ? ln x ? x 2 ? 1 ? ln x ln x ? ,则 g ?( x) ? ?1 ? , x x2 x2
1 ? 0, x
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令 h( x) ? ? x2 ? 1 ? ln x ,则 h?( x) ? ?2 x ?

所以 h( x) 在 [1, e] 上为减函数,则 h( x) ? h(1) ? 0 ; 所以 g ( x) 在 [1, e] 上为减函数, g ( x) 的最小值为 g (e) ? a ? e ?

1 ; e

ln x ? x?a? , x ? ( a , e] ? ? x ③当 1 ? a ? e , g ( x) ? ? , ?a ? x ? ln x , x ? [1, a ] ? x ?
由①②知 g ( x) 在 [1, a] 上为减函数,在 [a, e] 上为增函数, ∴ g ( x) 的最小值为 g (a ) ?

ln a , a

? ?1 ? a, a ? 1 ? ? ln a 综上得 g ( x) 的最小值为 g (a ) ? ? ,1 ? a ? e a ? 1 ? a ?e ? ,a ? e ? e ?
30.【答案】 (Ⅰ)因为 x ? R ,所以 x ? 0 ,故 f ( x) ? 3e ? a ? 3e0 ? a ? 3 ? a ,
x

因为函数 f ( x) 的最小值为 3 ,所以 a ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( x) ? 3e .
x

当 x ? 0 时, ln f ( x) ? ln(3e ) ? ln 3 ? ln e ? ln 3 ? x ? ? x ? ln 3 ,
x x

故不等式 ln f ( x) ? ln 3 ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b2 可化为: ?x ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b , 即 x 2 ? 2bx ? 3b2 ? 0 , 得 ( x ? 3b)( x ? b) ? 0 , 所以,当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? ?3b ; 当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? b . (Ⅲ)∵当 t ?[?1, ??) 且 x ? [1, m] 时, x ? t ? 0 , ∴ f ( x ? t ) ? 3ex ? ex?t ? ex ? t ? 1 ? ln x ? x . ∴原命题等价转化为:存在实数 t ?[?1, ??) ,使得不等式 t ? 1 ? ln x ? x 对任意 x ? [1, m] 恒成立. 令 h( x) ? 1 ? ln x ? x( x ? 0) .

2

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∵ h ' ( x) ?

1 ? 1 ? 0 ,∴函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数. x

又∵ x ? [1, m] ,∴ h( x) min ? h(m) ? 1 ? ln m ? m . ∴要使得对 x ? [1, m] , t 值恒存在,只须 1 ? ln m ? m ? ?1 . ∵ h(3) ? ln 3 ? 2 ? ln( ? ) ? ln

1 3 e e

1 1 4 1 ? ?1 , h(4) ? ln 4 ? 3 ? ln( ? 2 ) ? ln ? ?1 e e e e

且函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数, ∴满足条件的最大整数 m 的值为 3. 31.【答案】$selection$ 32.【答案】解: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 ,列表: e

x
f ?( x )
f ( x)
∴当 x ?

1 (0, ) e

?
?

1 e 0
极小值 ?

1 ( , ??) e ?

1 e

?

1 1 时,函数 f ( x) ? x ln x 取得最小值,∴ x0 ? , e e

当 a ? 0 时,函数 g ( x) 是增函数,在 (0, ??) 没有最小值, 当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? x ?

1 1 ?2 , ax a 1 , a

是最小值,取等号时, x0 ?



1 1 ? ,得 a ? e2 ; a e
1 1 , h?( x) ? ln x ? 2 2 , 2 e x e x

(2) h( x) ? x ln x ? x ? ∵ h??( x) ?

e2 x 2 ? 2 2 2 ,∴ h?( x) 在 (0, ) 递减,在 ( , ??) 递增, 2 3 e x e e

∵ h?( ) ? 0 ,∴ x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增,

1 1 e e 1 1 x ? ( , ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减,∴ 是函数 h( x) 的一个极大值点 e e

20

(3)∵ h?(

1 2 2 1 1 ) ? ln ? ? (ln 2 ? 1) ? 0 , h?(1) ? 2 ? 0 , e e e 2 2

h?( x) 在 (

2 2 , ??) 递增,∴在 ( ,1) 存在唯一实数 m ,使得 h?(m) ? 0 , e e 2 2 , ??) 递增,∴ x ? ( , m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减, e e

h?( x) 在 (

x ? (m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增,
∴函数 h( x) 在 (

2 , ??) 有唯一极小值点 m , e

∵ h?( ) ? ln 2 ?

2 e

3 16 2 ? ln 4 3 ? 0 ,∴ m ? ( ,1) , e 4 e
1 2 ) 有唯一极值点 , e e

由(II)知, h( x) 在 (0,

∴函数 h( x) 的所有 极值点之和 ? m ? ( , ..

1 e

3 e ?1 ). e e

1 ? ln( x ? 1)] 33.【答案】解: (Ⅰ)由题 x ? 0, f ?( x) ? ? x ? 1 2 ? 0, x [
故 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是减函数 (Ⅱ)当 x ? 0 时, k ?

x ?1 x ?1 [1? l nx ( ? 1) ] (0, ??) 上 恒 成 立 , 取 h( x) ? [1? l nx ( ? 1) ]则 在 , x x

h ?( x ) ?

x ? 1 ? l n (x ? 1) , x2 1 x ? ? 0, x ?1 x ?1

再取 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1), 则 g ?( x) ? 1 ? 故 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,

而 g (1) ? ? ln 2 ? 0, g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 , 故 x ? (0, a) 时, g ( x) ? 0; x ? (a, ??) 时, g ( x) ? 0,

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a ?1 ?1 ? ln(a ? 1)? ? a ? 1? (3, 4), k ? 3, 故 kmax ? 3 a 1 ? ln( x ? 1) 3 3x 3 3 ? ( x ? 0) ? ln( x ? 1) ? ?1 ? 2 ? ? 2? (Ⅲ)由(Ⅱ)知: x x ?1 x ?1 x ?1 x
故 h( x) min ? 令 x ? n(n ? 1), ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ?

3 1 1 ? 2 ? 3( ? ), n(n ? 1) n n ?1

又 ln[(1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1))]

? ln(1 ? 1? 2) ? ln(1 ? 2 ? 3) ? ? ? ln(1 ? n ? (n ? 1))

1 1 1 1 1 ? 2n ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 3 ? 2n ? 3(1 ? ) ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 3 n ?1 n ?1
即: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1)) ? e2n?3 34.【答案】(1) f ?( x) ? ex ( x2 ? ax ? 1 ? 2x ? a) ? e x [ x2 ? (a ? 2) x ? a ? 1] . 因为曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行, 所以 f ?(2) ? 0 ,即 f ?(2) ? e2 [4 ? 2(a ? 2) ? a ? 1] ? 0 所以 a ? ?3 (2) f ?( x) ? e x ( x ? a ? 1)( x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ? a ? 1 或 x ? ?1 ①当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, f ?( x) ? e x ( x ? 1)2 ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在 (??, ? ?) 上为增函数,函数无极值点; ②当 ?(a ? 1) ? ?1,即 a ? 0 时. x

(??, ? a ? 1)
+ ↗

?a ? 1
0 极大值

(?a ? 1, ? 1)


?1
0 极小值

(?1, ? ?)
+ ↗

f ?( x )
f ( x)

所以 当 x ? ?a ? 1 时,函数有极大值是 e?a?1 (a ? 2) ,当 x ? ?1 时,函数有极小值是 ③当 ?(a ? 1) ? ?1,即 a ? 0 时.

2?a ; e

x

(??, ? 1)

?1

(?1, ? a ? 1)

?a ? 1

(?a ? 1, ? ?)

22

f ?( x )

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

f ( x)

所以 当 x ? ?1 时,函数有极大值是 综上所述,当 a ? 0 时函数无极值;

2?a ,当 x ? ?a ? 1 时,函数有极小值是 e?a?1 (a ? 2) e 2?a ;当 a ? 0 e

当 a ? 0 时,当 x ? ?a ? 1 时,函数有极大值是 e?a?1 (a ? 2) ,当 x ? ?1 时,函数有极小值是 时,当 x ? ?1 时,函数有极大值是

2?a ,当 x ? ?a ? 1 时,函数有 极小值是 e?a?1 (a ? 2) e

35.【答案】解:

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36.【答案】解: (1)由题意知 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ? 1)(x ? 3)(a ? 0) ,

?在(??,1)上, f ?( x) ? 0, 在(1,3), f ?( x) ? 0, 在(3, ??)上, f ?( x) ? 0.
因此 f ( x)在x0 ? 1 处取得极小值-4,在 x=3 处取得极大值。

? a ? b ? c ? ?4, f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0, f ?(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0, 解之得a ? ?1, b ? 6, c ? ?9,

? f ( x) ? ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x.

f (3) ? 0. 则 f ( x)在x ? 3处取得极大值
(2)由题意得,当 x ?[2,3]时, f ?( x) ? g ( x) ,即 ?3x2 ? 12 x ? 9 ? 6(2 ? m) x

3 3 7 3 6(2 ? m) ? ?3( x ? ) ? 12 , y ? x ? 在[2,3]上是增函数,? x ? ? , x x 2 x 3 3 3 7 ?3( x ? ) ? 12 ? ,? 6(2 ? m) ? ,解得, m ? 4 x 2 2 7 ? m 的取值范围为 (??, ) 4
37.【答案】 (1)因为 f ( x) ?
1 ? ln x ln x 当 0 ? x ? 1时, f '( x) ? 0 ; , x ? 0, 则f '( x) ? ? 2 , x x

(1,+ ? ) 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0,所以 f ( x)在(0,1) 上单调递增;在 上单调递减,所以

函数 f ( x)在x ? 1 处取得极大值.因为函数 f ( x)在区间
24

?a ? 1 1 1 ? ,解得 ? a ? 1 . (a, a ? )(其中a ? 0)上存在极值。所以? 1 2 2 a ? ?1 ? ? 2

(2)不等式 f ( x)≥ 所以 g '( x) ?

k ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) ,即为 ≥k , 记 g ( x) ? x ?1 x x

[( x ? 1)(1 ? ln x)]' x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x ,令 h( x) ? x ? ln x, ? x2 x2

1 ? [h( x)]min = h(1) ? 1>0 则h '( x) ? 1 ? ,? x≥ 1, ? h '( x)≥0,? h( x)在[1, ??)上单调递增, x

从而 g '( x) ? 0, 故g ( x)在[1, ??) 上也单调递增,所以 [ g ( x)]min ? g (1) ? 2, 所以k≤2 . (3)由(2)知:当 x≥1时 , 令 x ? n(n ? 1) , 则
ln(2 ? 3) ? 1 ?
f ( x)≥ 2 x ?1 2 2 恒成立,即ln x≥ ?1? ?1? x ?1 x ?1 x ?1 x,

ln[n(n ? 1)] ? 1 ?

2 2 , ln(1? 2) ? 1 ? , n(n ? 1) 所以 1? 2

2 2 2 ln[n(n ? 1)] ? 1 ? , ,ln(3 ? 4) ? 1 ? n ( n ? 1) 叠加得: 2?3 3 ? 4 ,…,

1 1 1 ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? ?? n 2 (n ? 1)] ? n ? 2[ ? ? ??? ? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

=

n ? 2(1 ?

1 2 ) ? n?2? ?n?2 n ?1 n ?1 .

2 2 2 n?2 则 1? 2 ? 3 ????? n (n ? 1) ? e 2 n?2 * 所以 [(n ? 1)!] ? (n ? 1) ? e (n ? N )

2 38.【答案】(Ⅰ)由题意: f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? ln x , ( x ? 0)

分离参数 a 可得:

a? x?

ln x x

( x ? 0)



? ( x) ? x ?

x 2 ? ln x ? 1 ln x ? / ( x) ? x ,则 x2

2 由于函数 y ? x , y ? ln x 在区间 (0,??) 上都是增函数,所以
2 函数 y ? x ? ln x ? 1 在区间 (0,??) 上也是增函数,显然 x ? 1 时,该函数值为 0

/ / 所以当 x ? (0,1) 时, ? ( x) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, ? ( x) ? 0

所以函数 ? ( x) 在 x ? (0,1) 上是减函数,在 x ? (1,??) 上是增函数 所以 ? ( x) min ? ? (1) ? 1 ,所以 a ? ? ( x) min ? 1 即 a ? (??,1]
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2 x 2 ? ax ? 1 h ( x) ? , ( x ? 0) 2 x (Ⅱ)由题意知道: h( x) ? x ? ax ? ln x ,且
|

1 x1 ? (0, ) 2 , 所以方程 2 x ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,且
2

又因为

x1 x 2 ?

1 1 x2 ? ? (1,??) 2 , ax ? 2 xi ? 1, (i ? 1,2) 2 x1 2 所以 ,且 i
2 2

而 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ( x1 ? ax 1 ? ln x1 ) ? ( x 2 ? ax 2 ? ln x 2 )

? [ x1 ? (2 x1 ? 1) ? ln x1 ] ? [ x 2 ? (2 x 2 ? 1) ? ln x 2 ]

2

2

2

2

? x 2 ? x1 ? ln

2

2

x1 2 ? x2 x2

1 1 2x 1 2 2 2 ? ln 2 x 2 ?( ) ? ln 2 ? x 2 ? 2 2x 2 x2 4 x2 , ( x 2 ? 1)



u ( x) ? x 2 ?

(2 x 2 ? 1) 2 1 / 2 u ( x ) ? ?0 ? ln 2 x , ( x ? 1 ) 4x 2 2x3 ,则
3 3 ? ln 2 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ? ln 2 4 4 ,即

所以

u ( x) ? u (1) ?

1 ? ax ax ? 1 r ( x) ? f ( x) ? g ( ) ? x 2 ? ax ? ln 2 2 (Ⅲ)

所以

r | ( x) ? 2 x ? a ?

2ax 2 ? a 2 x ? 2 x a ? ? ax ? 1 ax ? 1

2ax( x ?

a2 ? 2 ) 2a ax ? 1

a2 ? 2 a 1 2 1 1 ? ? ? ? ? 2 a 2 2 2 因为 a ? (1, 2) ,所以 2a
1 1 x ? ( ,??) x0 ? [ ,1] 2 2 时, 所以当 时, r ( x) 是增函数,所以当

r ( x0 ) max ? r (1) ? 1 ? a ? ln

a ?1 2 , a ? (1, 2)

所以,要满足题意就需要满足下面的条件:

1 ? a ? ln

a ?1 a ?1 ? k (1 ? a 2 ) ? (a) ? 1 ? a ? ln ? k (1 ? a 2 ) 2 2 ,令 , a ? (1, 2)

26

即对任意 a ? (1, 2) ,

? (a) ? 1 ? a ? ln

a ?1 ? k (1 ? a 2 ) ? 0 恒成立 2

因为

? / (a) ? ?1 ?

1 2ka 2 ? 2ka ? a a ? 2ka ? ? (2ka ? 2k ? 1) a ?1 a ?1 a ?1
?a a ? 1 ,所以 ? (a) 在 a ? (1,2) 递减,

分类讨论如下: (1)若 k ? 0 ,则

? / (a) ?

此时 ? (a ) ? ? (1) ? 0 不符合题意

(2)若 k ? 0 ,则

? / (a) ?

2ka 1 (a ? ? 1) a ?1 2k ,所以 ? (a ) 在 a ? (1,2) 递减,

此时 ? (a ) ? ? (1) ? 0 不符合题意.

(3)若 k ? 0 ,则

? / (a) ?

2ka 1 1 1 (a ? ? 1) ?1 ? 1 ?1 a ?1 2k ,那么当 2k 时,假设 t 为 2 与 2k 中较小的一个数,



t ? min{2,

1 1 ? 1} (1, min{2, ? 1}) 2k 2k ,则 ? (a ) 在区间 上递减,此时 ? (a ) ? ? (1) ? 0 不符合题意.

?k ? 0 ? ?1 1 1 ?1 ? 1 k? [ ,??) ? 2 k 4 ,即实数 k 的取值范围为 4 综上可得 ? 解得
x ?1 ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 1 ,∴ 函数的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) x ?1

39.【答案】解: (1)由

当 x ? (??, ?1) ? (1, ??) 时,

?x ?1 x ?1 x ? 1 ?1 x ?1 ? log a ? log a ( ) ? ? log a ? ? f ( x) ?x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ∴ f ( x) ? log a 在定义域上是奇函数。 x ?1 x ?1 m ? log a (2)由 x ? [2, 4] 时, f ( x) ? log a 恒成立, x ?1 ( x ? 1)2 (7 ? x) ①当 a ? 1 时 x ?1 m ? ? 0 对 x ? [2, 4] 恒成立 ∴ x ? 1 ( x ? 1)2 (7 ? x) ∴ 0 ? m ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 4] 恒成立 f (? x) ? log a
设 g ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x), x ?[2, 4] 则 g ( x) ? ? x3 ? 7 x2 ? x ? 7

7 52 g ?( x) ? ?3x 2 ? 14 x ? 1 ? ?3( x ? ) 2 ? 3 3
27

《金太阳作业网》编制

∴当 x ? [2, 4] 时, g ?( x) ? 0 ∴ 0 ? m ? 15 ②当 0 ? a ? 1 时 由 x ? [2, 4] 时, f ( x) ? log a ∴

∴ y ? g ( x) 在区间 [2, 4] 上是增函数, g ( x)min ? g (2) ? 15

x ?1 m 恒成立, ? log a x ?1 ( x ? 1)2 (7 ? x)

x ?1 m 对 x ? [2, 4] 恒成立 ? x ? 1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) ∴ m ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 4] 恒成立…9 分 设 g ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1)(7 ? x), x ?[2, 4] 由①可知 y ? g ( x) 在区间 [2, 4] 上是增函数, g ( x)max ? g (4) ? 45 ∴ m ? 45 4 5 n n ?1 ? log a (3)∵ f (2) ? f (3) ? ??? ? f (n) ? log a 3 ? log a ? log a ? ??? ? log a 2 3 n?2 n ?1 4 5 n n ?1 n(n ? 1) ? log a (3 ? ? ????? ? ) ? log a 2 3 n ? 2 n ?1 2 n(n ? 1) ∴ a f (2) ? f (3) ?......? f ( n ) ? 2 n(n ? 1) ? 3 , 2n ? 2 =2,∴ a f (2)? f (3) ?......? f ( n) ? 2n ? 2 当 n ? 2 时, 2 n( n ? 1) ? 6 , 2n ? 2 =6,∴ a f (2)? f (3) ?......? f ( n) ? 2n ? 2 当 n ? 3 时, 2 n(n ? 1) ? 2n ? 2 当 n ? 4 时, a f (2) ? f (3) ?......? f ( n ) ? 2

40.【答案】(Ⅰ) 解: f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b , 由题意得: 1, ? 1 是 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根,解得, a ? 0, b ? ?3 . 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 ∴ f ( x) ? x3 ? 3x ? 2 (Ⅱ)
2 ? 解: f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,

当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在区间 (??, ?1] 上是增函数; 在区间 [?1,1 ] 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数. 函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 . (Ⅲ)解 : 函数 g ( x) 的图象是由 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位 , 向上平移 4 m 个单位得到 , 所以 , 函数
28

f ( x) 在区间 [?3, n ? m] 上的值域 [?4 ? 4m, 16 ? 4m] ( m ? 0 )

而 f (?3) ? ?20 ,∴ ?4 ? 4m ? ?20 , 即 m ? 4 . 则函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? 4] 上的值域为 [?20, 0] 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 2 .由 f ( x) 的单调性知, ?1 ? n ? 4 ? 2 ,即 3 ? n ? 6 . 综上所述, m 、应满足的条件是: m ? 4 ,且 3 ? n ? 6 41.【答案】(1)证明: ?

1 x ?x 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ( 1 2 ) ? (e x1 ? e x2 ) ? e 2 2 2

x1 ? x2 2

x1 ? x2 x2 1 1 x1 ? (e x1 ? e x2 ? 2e 2 ) ? (e 2 ? e 2 ) 2 ? 0. 2 2

?

x ?x 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ( 1 2 ). 2 2

(2) 设直线 l 与函数 f ( x) 的图象相切,切点为 (t , et ) , 则直线 l 的方程为 y ? et ? et ( x ? t ), 即 y ? et x ? et (1 ? t ). 直线 l 与函数 g ( x) 的图象相切的充要条件是关于 x 的方程

et x ? et (1 ? t ) ? ?

x2 x2 , 即 +et x ? et (1 ? t ) ? 0 有两个相等的实数根, 4 4

即 ? ? e2t ? et (1 ? t ) ? 0, et ? t ? 1 ? 0. 设 ? (t ) ? et ? t ?1 ,则 ? (0) ? 0 ,且 ? ?(t ) ? et ? 1 ? 0 ,

? (t ) 在 R 上递增, ? (t ) 只有一个零点 t ? 0.
所以存在唯一一条直线 l 与函函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象均相切,其方程为

y ? x ? 1.

42.【答案】

(Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

a a ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立或 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立 x x
29

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即 a ? ?2 x( x ? 1) x ? (0,1) 或 a ? ?2 x( x ? 1) x ? (0,1) 所以 a ? 0 或 a ? 4 (Ⅲ)∵ f ? x ? ? x2 ? 2x ? a ln x

43.【答案】解:(Ⅰ)又 f ? ?1? ? 0 ,所以 a ? b ? c ? 0 ,即 a ? c ? 又因为 f ? x ? ?

1 2

1 2 1 x ? 对一切实数 x 恒成立, 2 2

即对一切实数 x ,不等式 (a ? ) x 2 ? 显然,当 c ? 0 时,不符合题意.

1 2

1 1 1 1 x ? c ? ? 0 也即 ? cx 2 ? x ? c ? ? 0 恒成立. 2 2 2 2 ,

??c ? 0 ? ?c ? 0 ? 即 当 c ? 0 时,应满足 ? , 1 ? ? 1? 2 ? 4c ? 1? ? 0 ? ?? ? 4 ? 4c ? c ? 2 ? ? 0 ? ? ? ?
可得 c ?

1 1 1 1 1 ,故 a ? c ? . 所以 f ? x ? ? x 2 ? x ? 4 4 4 2 4

(Ⅱ)由于 f ( x)在?-11 ,? f ( x)的最大值为f (1)=1 , ,上是增函数 ?

? f ( x) ? t 2 ? 2at ?1对a ???1,1?, x ???1,1? 恒成立 .即: 1 ? t 2 ? 2at ?1对任意a ???1,1? 恒成立 . ?0 ? t 2 ? 2at对任意a ???1,1? 恒成立
由 a ???1,1?知其图像是一段线段。 可把y ? t 2 ? 2at看作关于a的一次函数,
2 2 ? ?t ? 2 ? (?1)t ? 0 ? ?t ? 2t ? 0 ?? 2 即? 2 ? ? ?t ? 2 ?1? t ? 0 ?t ? 2t ? 0

?t ? 0或t ? ?2 ?? ?t ? 2或t ? 0
30

所以 t 的取值范围为 t t ? ?2, 或t ? 0,或t ? 2 (Ⅲ)证明:因为 f ? n ? ?

?

?

1 4 n2 ? 2n ? 1 (n ? 1)2 ? ? ,所以 4 4 f ? n ? (n ? 1) 2

要证不等式

1 1 1 2n ? ? ??? ? ? (n ? N * ) 成立, f ?1? f ? 2 ? f ? n? n ? 2

即证

1 1 1 n . ? 2 ?? ? ? 2 2 2 3 (n ? 1) 2n ? 4 1 1 1 1 ? ? ? , 2 (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? 2 ??? ? ? ? ? ? ?? ? . 2 2 2 3 (n ? 1) 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4

因为

所以

所以

1 1 1 2n ? ? ??? ? ? (n ? N * ) 成立 f ?1? f ? 2 ? f ? n? n ? 2

44.【答案】解:(Ⅰ)当 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ln 定义域为 ? ?1,1? ,关于原点对称 且 f ? ? x ? ? ln

?x ?1 , x ?1

x ?1 . ?x ?1

所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ? ln 即 f ??x? ? ? f ? x? .

?x ?1 x ?1 ? ?x ?1 x ?1 ? ? ln ? ln ? ? ? ? ln1 ? 0 , x ?1 ?x ?1 ? x ?1 ?x ?1 ?

所以当 k ? ?1 时,函数 f ? x ? 的奇函数 (Ⅱ)因为 y ? ln u 是增函数, 所以由题意, u ? g ( x) ? 即 g ' ( x) ?

kx ? 1 在 [e, ??) 上是增函数,且 g ( x) ? 0 在 [e, ??) 上恒成立 x ?1

1? k ? 0 对于 x ? [e, ??) 恒成立且 g (e) ? 0 ( x ? 1) 2

31

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所以 ? ek ? 1

? 1? k ? 0 ? ?0 ? ? e ?1

,解得

1 ? k ? 1. e

所以 k 的取值范围是 ( ,1)

1 e

2 45.【答案】解:(I)因为 f '( x) ? x ? k 2 2 x ? 2, x2 ? ?2 当 k ? 4 时, f '( x) ? x ? 4 ,令 f '( x) ? x ? 4 ? 0 ,所以 1

f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

( ??, ?2)

?2
0 极大值

( ?2, 2)

2
0 极小值

(2, ??)

?
?

?
?

?
?

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?2) , (2, ??) 单调递减区间是 ( ?2, 2) (II)令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点
2 因为 g '( x) ? f '( x) ? x ? k

当 k ? 0 时, g ( x) ? x ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0
3 2 当 k ? 0 时, g '( x) ? x ? k ? 0 对 x ? R 成立,

所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点
2 x ? k 或 x2 ? ? k 当 k ? 0 时,令 g '( x) ? f '( x) ? x ? k ? 0 ,解得 1

所以 g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
g '( x)

(??, ? k )

? k
0

(? k , k )

k
0

( k , ??)

?

?

?

32

g ( x)

?

极大值

?

极小值

?

g ( x ) 有且仅有一个零点等价于 g (? k ) ? 0

g (? k ) ?


2 9 k k ?k ?0 0?k ? 3 4 ,解得

综上所述, k 的取值范围是

k?

9 4

46.【答案】解:(1)当 a ? 0 时,过点 P(?1,0) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求切线的方程; 当 a ? 0 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ,设切点 P( x0 , ln( 1 ? x0 )) , ∵ f ?( x ) ?

1 ln(x0 ? 1) 1 ,∴ ,即 x0 ? e ? 1 , ? 1? x 1 ? x0 x0 ? 1

1 ,切线的方程为 x ? ey ? 1 ? 0 ; e 1 1 ? a ,且当 x ? ?0, ? ?0,1? ? ? ? 时有 (2)∵ f ?( x ) ? 1? x 1? x 1 ? a ? 0 在 ?0, ? ? ? 上恒成立,即 f ( x) 在 ?0, ? ? ? 上单调递增 ∴当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 1? x 1 ? a ? 0 在 ?0, ? ? ? 上恒成立,即 f ( x) 在 ?0, ? ? ? 单调递减 当 a ? 1 时, f ?( x ) ? 1? x
∴切线的斜率 k ? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ?0,

1? a ? 1? a ? ,?? ) 上单调递减; ? 上单调递増,在 ( a a ? ?

(3)当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的最大值为 M (a) ? ? ln a ? a ? 1 ∵ M ?(a ) ?

a ?1 ? 0 在 (0,1) 上恒成立, a

∴ M (a) ? ? ln a ? a ? 1 在 (0,1) 上单调递减,即 M (a) ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 ∴ ? ln y ? y ? 1 ? ? ln x ? x ? 1 ,即 ln x ? ln y ? x ? y 同时 0 ? x ? y ? 1 ,有 M ( x ? y) ? ? ln(x ? y) ? ( x ? y) ? 1 ? 0 ,即 x ? y ? ln(x ? y) ? 1 ∴当 0 ? y ? x ? 1 时,有 ln x ? ln y ? ln(x ? y ) ? 1.
? f ' ( x) ? 2 2 ? 2x 2 ? 2x ? , x x

47.【答案】 (1)

1 y ? f ( x ) 函数 在[ 2 ,1]是增函数,在[1,2]是减函数,
2 所以 f ( x) max ? f (1) ? 2 ln1 ? 1 ? ?1 .

33

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2 (2)因为 g ( x) ? a ln x ? x ? ax ,所以

g ?( x) ?

a ? 2x ? a x ,

? 因为 g ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,所以 g ( x) ? 0 在(0,3)上有实数解,且无重根,

? 由 g ( x) ? 0 ,有

a?

1 9 2x 2 2( x ? 1 ? ) ? 4 ? (0, ) x ?1 = x ?1 2 , ( x ? (0,3) )

? 又当 a ? ?8 时, g ( x) ? 0 有重根 x ? ?2 ,

综上 a ?

9 (0, ) 2 h ' ( x) ? 2 ? 2x ? m x ,又 f ( x) ? mx ? 0 有两个实根 x1 , x 2 ,

(3)∵

2 ? 2 ln x1 ? x1 ? mx1 ? 0 ? 2 2 2 2 ln x2 ? x2 ? mx2 ? 0 ∴? ,两式相减,得 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ) ,

m?



2(ln x1 ? ln x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

,

h ' (?x1 ? ?x2 ) ?

于是
?

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2(?x1 ? ?x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? (2? ? 1)( x2 ? x1 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2



? ? ? ? ,? 2? ? 1,?(2? ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0 .

要证: h (?x1 ? ?x2 ) ? 0 ,只需证:
'

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0 ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

只需证:

x1 ? x 2 x ? ln 1 ? 0 ?x1 ? ?x 2 x2

.(*)



x1 ? t ? (0,1) x2

1? t 1? t ? ln t ? 0 u (t ) ? ln t ? ?0 ?t ? ? ,∴(*)化为 ?t ? ? ,只证 即可.

1 ? (?t ? ? ) ? (1 ? t )? 1 1 (?t ? ? ) 2 ? t u ' (t ) ? ? ? ? ? ? t t (?t ? ? ) 2 (?t ? ? ) 2 t (?t ? ? ) 2

? 2 (t ? 1)(t ?

t (?t ? ? ) 2

?2 ) ?2


34

?

?2 ? 1,0 ? t ? 1,? t ? 1 ? 0,? u ' (t ) ? 0,? u (t ) 2 ? 在(0,1)上单调递增,
x1 ? x 2 x 1? t ? ln 1 ? 0 ?0 ' ?t ? ? x2 ?t ? ? ,即 .∴ h (?x1 ? ?x2 ) ? 0 .

u (t ) ? u (1) ? 0,? ln t ?

48.【答案】解:(1)因为 f ( x) ? x2 ? a ln x ,故 f ?( x) ? 2 x ?

a , x

函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,所以 f ?(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 (2)函数 f ( x) 在 (1,??) 为增函数,所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 2 x ? 得: a ? ?2 x 2 ,从而有: a ? ?2 (3) g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x

a ? 0 恒成立,分离参数 x

g ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a ( x ? 1)(2 x ? a) ? ? x x x
a ,因为函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,所以 2

令 g ?( x) ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? (1)当

a ? 0 ,即 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增; 2 a a (2)当 0 ? ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上递增, 2 2 a 在 ( ,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增 2 a (3)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上递增; 2 a a a (4)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ) 上递减,在 ( , ??) 上递增 2 2 2

49.【答案】解:(Ⅰ)m= ? 1 , (Ⅱ)M min =

y= ? 5 x+10 (过程略);

4 (过程略); 27

(Ⅲ)? f ?x? ? ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 2 ? 1 ? x 2 ?2 ? x?

?

?

35

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由上知,当x ? ?0,1?时, 1 ? x 2 ?2 ? x ? ? ?

?

?

27 , 50

1 27 ?2 ? x ? ? 2 50 1? x x 27 1 ? ? 2 x ? x 2 (当x ? 时取等号) 2 50 3 1? x

? ?

? ?

?

?

当a ? 0, b ? 0, c ? 0; a ? b ? c ? 1时,0 ? a ? 1,0 ? b ? 1,0 ? c ? 1 a b c 27 27 ? ? ? 2?a ? b ? c ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? a2 ? b2 ? c2 , 2 2 2 50 50 1? a 1? b 1? c 1 又 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? (可证明) , 3 a b c 27 ? 1? 9 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? (当且仅当a ? b ? c ? 时取等号) 3 ? 10 3 1 ? a 2 1 ? b 2 1 ? c 2 50 ? ?

?

?

??

? ?

??

?

?

50.【答案】解: (1) y ? h( x ) 的定义域为 (0, ?? )
h ?( x ) ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 1 ? ? x x ,

? 故 x ? (0,1) h ( x ) ? 0, h( x ) 单调递增;

x ? (1, ?? ) h ?( x ) ? 0, h( x ) 单调递减,

x ? 1 时, h( x ) 取得极大值 h(1) ? 0 ,无极小值。
(2) h( x ) ? ln x ? a( x ? x ) ,
2

h ?( x ) ?

1 ? a(2 x ? 1) x ,若函数 y ? h( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增,



h ?( x ) ?

1 ? a(2 x ? 1) ? 0 x 对 x ? 1 恒成立 ?( 1 )max 2x ? x
2

1 1 1 a a? x ? ? 2 x ? 1 x(2 x ? 1) 2 x 2 ? x ,只需

x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ,则
2

0?

? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ?1 2x ? x , ? 2 x ? x ?max ,
2

故 a ? 1 , a 的取值范围为

?1, ?? ?

(3)假设存在,不妨设

0 ? x1 ? x2 ,
ln

x1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 x2 k? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
f ?( x0 ) ? 1 2 ? x0 x1 ? x2



k ? f ?( x0 )

x1 x2 2 ? 得 x1 ? x2 x1 ? x2 ln

x 2( x1 ? x2 ) ln 1 ? ? x2 x1 ? x2

2(

,整理得
36

x1 ? 1) x2 x1 ?1 x2

t?


x1 (t ? 1)2 2(t ? 1) ? x2 , u(t ) ? ln t ? t ? 1 (0 ? t ? 1) ,…12 分, u (t ) ? t (t ? 1)2

?0

? u (t ) 在 (0,1) 上单调递增, ? u (t ) ? u (1) ? 0 ,故 k ? f ?( x0 )
? 不存在符合题意的两点。

37

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