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教案2-1自己


2. 2. 2

双曲线的简单几何性质

◆ 知识与技能目标 了解平面解析几何研究的主要问题: (1)根据条件, 求出表示曲线的方程; ( 2) 通过方程, 研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线 的概念;掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探究了解双 曲线的第二定义,准线

及焦半径的概念,利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义. ◆ 过程与方法目标情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、 合作、 互动实现共同探究, 教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观, 激励学生创新.必须让学生认同和掌握:双曲线的简单几何性质,能由双曲线的标准方程能 直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率;必须让学生认同与理解:已知几 何图形建立直角坐标系的两个原则, ①充分利用图形对称性, ②注意图形的特殊性和一般性; 必须让学生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似计 算,②要求近似计算的一定要按要求进行计算,并按精确度要求进行,没有作说明的按给定 的有关量的有效数字处理; 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题, 培养学生学 习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ? 能力目标 (1) 分析与解决问题的能力: 通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题 和解决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生 的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径.

(1)复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法, 在本节课中不仅要注意通过对双曲线的 标准方程的讨论, 研究双曲线的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究方法的进一 步地培养. ①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围; ②由方程的性质 得到双曲线的对称性; ③由圆锥曲线顶点的统一定义, 容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、 虚轴的概念;④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题; 〖板书〗§2.2.2 双曲线的简单几何性质.

(2)新课讲授过程
(i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.

提问:研究双曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位 置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.

(ii)双曲线的简单几何性质
①范围:由双曲线的标准方程得,

y 2 x2 ? ? 1 ? 0 ,进一步得: x ? ? a ,或 x ? a .这说 b2 a 2

明双曲线在不等式 x ? ? a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双曲线的 标准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点: 圆锥曲线的顶点的统一定义, 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴 叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴; ④渐近线:直线 y ? ?

b x2 y 2 x 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线; a a b
c 叫做双曲线的离心率( e ? 1 ) . a

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? (iii)例题讲解与引申、扩展

例 3 求双曲线 9 y 2 ? 16 x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、 渐近线方程. 分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生用双曲线的实半轴长、 虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在 y 轴上的渐 近线是 y ? ?

a x. b

扩展:求与双曲线 心率.

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及离 16 9

?

?

解法剖析:双曲线

3 x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x .①焦点在 x 轴上时,设所求 4 16 9

的双曲线为

1 x2 y2 3 点在双曲线上,∴ k 2 ? ? ,无解;②焦点在 ? ? 1 ,∵ A 2 3, ? 2 2 4 16k 9k

?

?

1 x2 y2 2 y 轴上时, , 3? 点在双曲线上, ? 2 ? 1, 设所求的双曲线为 ? ∵A 2 3 ∴k ? , 2 4 16k 9k

?

?

y2 x2 5 ? ? 1 ,离心率 e ? .这个要进行分类讨论,但只 因此,所求双曲线的标准方程为 9 3 4 4
有一种情形有解,事实上,可直接设所求的双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? m ? m ? R, m ? 0 ? . 16 9

例 4 求与椭圆 半焦距。 ) 讲解 P50 例 2 作业:P55 3 2

x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,并且 c/a=2 的双曲线方程。 (a 为实半轴长,c 为 4 9

课题:双曲线的几何性质(2)

教学目标:
11111.知识目标:双曲线方程与渐进线方程的关系 11112.能力目标:培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。

教学重点:怎样有渐进线方程求双曲线的方程 教学难点:怎样有渐进线方程求双曲线的方程 教学过程:111111111111111111111111111111 一、复习引入:
1、 (1)、双曲线的定义:平面上到两定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于常数(小于

| F1 F2 | )的点的
轨迹叫做双曲线.定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (2)、双曲线的标准方程: 焦点在 x 轴:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2

焦点在 y 轴:

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 其中 a 2 b2

a 2 ? b2 ? c2
2、 对于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质:

(1)、焦点:F1(-c,0),F2(c,0);(2)、渐近线: y ? ?

b c x ;(3)、离心率: e ? >1 a a

二、新课教学: 例 5 以下方程的图象是不是双曲线?如果是求它的焦点坐标, 顶点坐标和渐进线 方程 (1) 4x 2 ? 5 y 2 ? ?20 (2) 4 x 2 ? 5 y 2 ? 1 (3) 4 x 2 ? 5 y 2 ? 0

此题重在给学生讲解双曲线的方程与渐进线方程之间的关系。 如果给出渐进线的 方程,会求双曲线的方程。 例6 教科书中的例 4,让学生了解顶点在原点,对称轴不在坐标轴上的双曲线

的原点坐标,实半轴长,虚半轴长,半焦距的求法。 1 例 7,已知双曲线的渐进线方程是 y ? ? x ,焦距位 20,求双曲线的方程。 2 解法 1:(分类讨论的思想)
x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)由渐进线方程得 当焦点在 x 轴上时,设标准方程为 a2 b2

a/b=1/2, 2c=20,

a 2 ? b 2 ? c 2 得 b 2 ? 80, a 2 ? 20 所以标准方程为

x2 y2 ? ?1 80 20

当焦点在 y 轴上时,设标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)由渐进线方程得 b2 a2 y2 x2 ? ?1 20 80

b/a=1/2, 2c=20,

a 2 ? b 2 ? c 2 得 a 2 ? 80, b 2 ? 20 所以标准方程为

解法 2:由题意设双曲线的方程为

1 x2 y2 ? 2 ? ? (? ? 0) ,由渐进线方程 y ? ? x ,不 2 2 a b

妨令 a=2,b=1 则双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ,由 a 2 ? b 2 ? c 2 得 4? ? ? ? 100,所以 4? ?

? ? ?20 ,所以双曲线的标准方程为

y2 x2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 20 80 80 20

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐进线,且经过点 M( 2 6 ,?6) 的双曲线方 练习:求与双曲线 4 9

程.

作业:P55 1

3 课题:直线与双曲线的位置关系
教学目标:掌握直线与双曲线的位置关系,战俘物数形结合思想及方程的思想,运 用”点差法”解决双曲线中点弦问题 能力目标:培养学生分析问题,解决问题能力 重点及难点:直线与双曲线的位置关系,点差法 一. 复习回顾 1 直线与椭圆的位置关系

2 判断的方法:判别式法
二. 新课讲解 例8 讨论双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 与直线 y=x+b 的位置关系 讨论直线 x=m 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的位置关系

例9

例10 讨论直线 y=-2x+b 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的位置关系
总结:一般地,直线与双曲线有 5 种位置关系.

2.3 抛物线及其标准方程
知识与技能目标 使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等 方面的能力.

过程与方法目标 情感,态度与价值观目标 (1)培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。 (2)培养学生观察,实验,探究与交流的数学活动能力。 能力目标:(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养; (2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问 题;

(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

(1)设置实验: 1,取一把直尺和一个三角板,直尺沿直线 l 固定 2 取一跟细绳,一端固定在三角尺的一条直角边 A 点,另一端固定在定点 F 3 用铅笔将细绳线绷紧,三角板沿直线 L 上下滑动 (2) 抛物线的标准方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0). 下面, 我们来求抛物线的方程. 怎 样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢? 让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案 1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.)以 l 为 y 轴,过点 F 与直线 l 垂直的 直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30).设定点 F(p,0),动点 M 的坐标为(x,y),过 M 作

MD⊥y 轴于 D,抛物线的集合为:p={M||MF|=|MD|}.

化简后得:y2=2px-p2(p>0). 方案 2:(由第二组同学完成,请一优等生演板)

以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为 (x,y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D,抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}.

化简得:y2=2px+p2(p>0). 方案 3:(由第三、四组同学完成,请一优等生演板.) 取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线 为 y 轴,建立直角坐标系(图 2-32).

抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}.

化简后得:y2=2px(p>0).

(3)

例题讲解与引申

例 1 是教材里的例 2 让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。 例 2 是求焦点为 A(-3,2)的抛物线方程 作业 P66 1 ,2 ,3

2。 3 2 抛物线的几何性质 (1) 抛物线的几何性质 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研 究它的几何性质.

(二)几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y2=2px(p>0)为例, 用课件给出下表, 请学生对比、研究和填写.

2.4.2 抛物线的几何性质(2 课时)
知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质. 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能 力 过程与方法目标 复习与引入过程 1.抛物线的定义是什么?

请一同学回答.应为:“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.“ 2.抛物线的标准方程是什么? 再请一同学回答. 应为: 抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0), y2=-2px(p>0), x2=2py(p >0)和 x2=-2py(p>0). 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研 究它的几何性质.《板书》抛物线的几何性质 (2)新课讲授过程 (i)抛物线的几何性质 通过和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重 合,抛物线没有中心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结 果是应规定抛物线的离心率为 1.注意:这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥 曲线作为点的轨迹统一起来了 例题的讲解与引申

例 1.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点 (?5,2 5) 到焦点的距离是 6,求抛 物线方程

解: 由已知设抛物线方程为 y ? ?2 Px (p>0)焦点为(-p/2),准线方程为 x=p/2,所以
2

5+p/2=6,所以 p=2,所以抛物线的标准方程为 y ? ?4 x

点评:抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离

例2

P63 例 3

课堂练习:求适合下列条件的抛物线方程 1 2 3 作业: 第二课时 教材例 3 顶点在原点,对称轴为 x 轴,并且经过点(-5,4) 顶点在原点 ,焦点为(0,5) 顶点在原点,准线 x=4

例4

过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且

A(x1,y1)、B(x2,y2)(图 2-34).

证明: (1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为:

此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y1y2=-p2.

或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p2. 综合上述有 y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,

P66 2, 3 作业:4,7,8

2.4 圆锥曲线的应用
教学目标:了解圆锥曲线在三方面的应用(1)斜抛物体的轨迹
性质及应用,了解数学建模的基本方法. 重点:掌握建模的过程,了解数学建模思想 难点:光学性质及其应用 (2)天体运动的轨道(3)光学

教学过程:
例 1 在讲解的时候介绍一下参数方程消参的方法 例 2 强调数形结合的思想,及近地点和远地点 例3 在讲解例 3 时先介绍一下圆锥曲线的光学性质 作业:P75 4,5.


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