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高中数学选修2-1-空间向量与立体几何


空间向量与立体几何
一、知识网络: 空间向量的加减运算 空 间 向 量 及 其 运 算 空间向量的数乘运算 共线向量定理

共面向量定理

空 间 向 量 与 立 体 几 何

空间向量的数量积运算

空间向量基本定理

平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算
<

br />立 体 几 何 中 的 向 量 方 法

向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题

求空间角 求空间距离

二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表 示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ; ④ 能用向量方法解决线线、 线面、 面面的夹角的计算问题, 体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本 章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用 空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和 距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本 定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积

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的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资 P128 页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二) 、知识梳理,方法定位。 (学生完成复资 P128 页填空题,教师准对问题讲评) 。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且 等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b ? OP ? ?a (? ? R) ? ? ? ? 加法交换率: a ? b ? b ? a. ? ? ? ? ? ? 加法结合率: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ). ? ? ? ? 数乘分配率: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b .

B

C

? b
O

? a

A

说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平 行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫 ? ? ? ? 做共线向量或平行向量。 a 平行于 b 记作 a ∥ b 。 ? ? 注意:当我们说 a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们 ? ? 说 a 、 b 平行时,也具有同样的意义。 ? ? ? ? ? ? ? 共线向量定理:对空间任意两个向量 a ( a ≠ 0 ) 、 b , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? 使 b = ? a ? ? ? ? ? ? (1)对于确定的 ? 和 a , b = ? a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | ? a |,当 ? >0 时与 a 同向,当 ? ? <0 时与 a 反向的所有向量。 ? (3)若直线 l∥ a , A ? l ,P 为 l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导 OP 的表达 式。 ? 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点 O,点 P 在直线 l 上的 充要条件是存在实数 t,满足等式 OP ? OA ? ta ? 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

?



OP ? (1 ? t )OA ? t OB. ② 在 l 上取 AB ? a ,则①式可化为 1 1 当 t ? 时,点 P 是线段 AB 的中点,则 ③ OP ? (OA ? OB ). 2 2 ①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段 AB 的中点公式。 注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推

?

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论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。 ? ? 4.向量与平面平行:如果表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 ? 平行或 a 在 ? 平面内,我们就说 ? ? ? 向量 a 平行于平面 ? ,记作 a ∥ ? 。注意:向量 a ∥ ? 与直线 a∥ ? 的联系与区别。 共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 ? ? ? ? ? 共面向量定理 如果两个向量 a 、b 不共线, 则向量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在实数对 x、

y,使 p ? xa ? yb . ①
注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y,使

?

?

?

MP ? x MA ? y MB, ④
或对空间任一定点 O,有 OP ? OM ? x MA ? y MB. ⑤ 在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面 MAB 的向量表示式。 又∵ MA ? OA ? OM ,. MB ? OB ? OM ,. 代入⑤,整理得
OP ? (1 ? x ? y )OM ? xOA ? yOB.



由于对于空间任意一点 P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式),点 P 就 在平面 MAB 内;对于平面 MAB 内的任意一点 P,都满足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共 线的两个向量 MA 、 MB (或不共线三点 M、A、B)确定的空间平面的向量参数方程,也是 M、A、B、P 四 点共面的充要条件。 ? ? ? 5.空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序 ? ? ? ? 实数组 x, y, z, 使 p ? xa ? yb ? zc . ? ? ? 说明:⑴由上述定理知,如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p | p ? xa ? yb ? zc , x、y、z ? R ,这个集合可看作由向量 a 、 b 、 c 生成的,所以我们把{ a , b , c } ? ? ? 叫做空间的一个基底, a , b , c 都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个 基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念; ? ⑷由于 0 可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都 ? 不是 0 。 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 x、y、z ,使

?

?

OP ? xOA ? yOB ? zOC.
6.数量积 ? ? ? ? (1)夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取一点 O,作 OA ? a , OB ? b ,则角∠AOB 叫做 ? ? ? ? 向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a ,b ? 说明:⑴规定 0≤ ? a ,b ? ≤ ? ,因而 ? a ,b ? = ?b ,a ? ; ? ? ? ? ? ? ? ⑵如果 ? a ,b ? = ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a ⊥ b ;

?

?

?

?

?

?

A
? a

2

⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点 重合,注意图(1) 、 (2)中的两个向量的夹角不同, 图(1)中∠AOB= ?OA, OB? , 图(2)中∠AOB= ? ? ? AO, OB? , 从而有 ??OA, OB ? = ?OA,?OB ? = ? ? ?OA, OB? . O
? a

A
? a

O
? a

(1)

B
? a

(2)

B
? a

(2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积: a b cos? a , b ? 叫做向量 a 、 b 的数量积,记作 a ? b 。 即 a ? b = a b cos? a , b ? ,

? ?

? ?

? ?

B

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A

? e
A?

B?
l

向量 AB 在e 方向上的正射影:

?

? ? ? ? a ? e ?| AB | cos? a , e ? ? A?B ?
? ? ? ?

(4)性质与运算率

⑴ a ? e ? cos? a , e ? 。⑴ (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵ a ⊥ b ? a ? b =0⑵ a ? b = b ? a ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶ | a | ? a ? a. ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (三) .典例解析 题型 1:空间向量的概念及性质 例 1、 有以下命题: ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底, 那么 a, b 的关系是不共线; ② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点 O, A, B, C 一定共面;③已 知向量 a, b, c 是空间的一个基底, 则向量 a ? b, a ? b, c , 也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 () 。( A) ①② ( B) ①③ (C ) ②③ ( D) ①②③ 解析:对于①“如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系一定共线” ;所以 ①错误。②③正确。 题型 2:空间向量的基本运算 例 2、如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的

? ?

? ?

? ?

? ?

??? ? ??? ? ????

? ? ?

? ? ? ? ?

? ?

? ?

??? ? ? ???? ? ???? ? 交点。若 AB ? a , AD ? b , AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的
向量是( )

D1 A1

M B1

C1

1? 1? ? 1? 1? ? 1? 1? ? ? a ? b ? c a ? b ? c ? a? b ?c ( A) ( B) (C ) 2 2 2 2 2 2
( D)
1 1 a? b?c 2 2

D A B

C

解析:显然 BM

? BB1 ? B1 M ?

1? 1? ? 1 ( AD ? AB) ? AA1 ? ? a ? b ? c ;答案为 A。 2 2 2

点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间 关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解:? a ∥ b ,,且 a ? 0,? b ? ?a, 即 ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ? 3?m ? 2?n ? 4?p. x ?1 8 2y ? ? ? 又? m, n, p 不共面,? ? ? ,? x ? ?13, y ? 8. 3 ?2 ?4
? ? ? ? ? ? ?
点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。

例 3、已知: a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n, p 不共面.若 a ∥ b ,求 x, y 的值.

?

?

例 4、底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 AC 的中点,求证:AB1∥平面 C1BD. 证明:记 AB ? a, AC ? b, AA1 ? c, 则 AB1 ? a ? c, DB ? AB ? AD ? a ? 2 b,
AB1 , DB, DC1

1

DC1 ? DC ? CC 1 ?

1 b?c 2

∴ DB ? DC1 ? a ? c ? AB1 ,∴

共面.

∵B1 ? 平面 C1BD, AB1//平面 C1BD. (四)强化巩固导练 1、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 F 是侧面 CDD1C1 的中心,若 AF ? AD ? x AB ? y AA1 ,求 x-y 的值. 解:易求得 x ? y ? , ? x ? y ? 0
1 2

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在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 ? a, A1 D1 ? b, A1 A ? c,则下列向量中 A C 与 B1 M 相等的向量是 (A )。 B 1 2、 A.? a+ b+c B. a+ b+c C. a? b+c
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1

D.? a? b+c

1 2

1 2

A

D B

1

C

3、 (2009 四川卷理)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧 棱 CC1 的中点,则 异 面 直 线 AB1和BM 所 成 的 角 的 大 是 。 解 析 : 不 妨 设 棱 长 为 2 , 选 择 基 向 量 { BA, BB1 , BC } , 则

AB1 ? BB1 ? BA, BM ? BC ?

1 BB1 2
1 BB1 ) 0?2? 2?0 o 2 ? ? 0 ,故填写 90 。 2 2? 5

cos ? AB1 , BM ??

( BB1 ? BA) ? ( BC ? 2 2? 5

(五) 、小结:1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直,一般是利 用 a⊥b ? a?b=0 进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明. 2.运用向量求 解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的模.而计算过程 中只要运用好加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出 来,从而求得结果. 3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是 将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式 cosθ =
a ?b a b

. 4.异面直

线间的距离的向量求法:已知异面直线 l1、l2,AB 为其公垂线段,C、D 分别为 l1、l2 上的任意一点, n 为 与 AB 共线的向量, 则| AB |= 则点 P 到平面 α 的距离是 d=
| CD ? n | |n|

.5. 设平面 α 的一个法向量为 n , 点 P 是平面 α 外一点, 且 Po∈α , .
B 组中 3

| Po P ? n | |n|

(六) 、作业布置:课本 P32 页 A 组中 2、3、4

课外练习:课本 P39 页 A 组中 8 ;B 组中 3; 复资 P130 页变式训练中 1、2、3、5、6 五、教学反思:

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第二课时空间向量的坐标运算 一、复习目标:1、理解空间向量坐标的概念;2、掌握空间向量的坐标运算; 3.掌握用直角坐标计算空 间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式. 二、重难点:掌握空间向量的坐标运算;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的 距离公式. 三:教学方法:探析类比归纳,讲练结合 (一) 、基础知识过关(学生完成下列填空题) 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单位正交基底, 用{i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} ,以

?? ?

?? ?

?? ? 点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴, 它们都叫坐标轴. 我们称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz , 点O ?? ? 叫原点, 向量 i, j , k 都叫坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,
分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面; 2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任 一点 A ,存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? y j ? z k ,有
x

z

A(x,y,z) k i O j y

序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫 纵坐标, z 叫竖坐标. 3、设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1) a±b= 。 (2) ? a=.(3) a?b=. ? (4) a∥b ;a ? b ? . (5)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |?

?

?

? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? (6)夹角公式: cos a ? b ? ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 ??? ? ??? ?2 2 2 2 (7)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
(8) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x2 , y 2 , z 2 ) 则 AB =, AB ? . AB 的中点 M 的坐标为. 4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量? 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量? (二)典型题型探析 题型 1:空间向量的坐标 例 1、 (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) , b =(b1,b2,b3) ,它们平行的充要条件是( A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 B.a1?b1=a2?b2=a3?b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b ) )

? ? 2 2 2 a ? a ? a1 ? a2 ? a3 .

(2)已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1 (3)下列各组向量共面的是( )

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A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知;
2 ? ?4 ? 16 ? x ? 36 ? ? ?4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ?

(2)A 点拨:由题知 (3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。 例 2、已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b ? 的夹角 ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos ? =
?1 ? 0 ? 0 10 10 2 ? 5 ? - 10 ,∴ a 和 b 的夹角为- 10 。

? x ? 4, ? x ? ?4, ? ? ? y ? ?3 或 ? y ? 1. ;

a ?b | a ||b |

=

(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) , 2 2 ∴(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k -8=2k +k-10=0。 5 则 k=- 2 或 k=2。 点拨: 第 (2) 问在解答时也可以按运算律做。 (a +b ) (k a -2 b )=k a -k a ?b -2 b =2k +k-10=0, 5 解得 k=- 2 ,或 k=2。
2 2 2 2

题型 2:数量积
例 3、 (1) (2008 上海文,理 2)已知向量 a 和 b 的夹角为 120°,且| a |=2,| b |=5,则(2 a - b ) ? a =_____.

? (2)设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,1)的夹角都等于 4 。
(1)求 x1+y1 和 x1y1 的值;(2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b ><π ) 。 解析: (1)答案:13;解析:∵(2 a - b ) ? a =2 a - b ? a =2| a | -| a |?| b |?cos120°=2?4
2 2

-2?5(-

2 2 2 2 1 )=13。 (2)解:(1)∵| a |=| b |=1,∴x 1 +y 1 =1,∴x 2 =y 2 =1. 2

2 ? ? 又∵ a 与 c 的夹角为 4 ,∴ a ? c =| a || c |cos 4 = 2 6 又∵ a ? c =x1+y1,∴x1+y1= 2 。

6 1 ?1 ?1 = 2 .
2 2 2

另外

2 x1

2 +y 1

6 1 1 2 2 =(x1+y1) -2x1y1=1,∴2x1y1=( ) -1= 2 .∴x1y1= 4 。
2

7 / 72

(2)cos< a , b >=

a ?b | a ||b |
2

6 1 =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= 2 ,x1y1= 4 .

6 1 2 ∴x1,y1 是方程 x - x+ 4 =0 的解. ? ? ? 6? 2 6? 2 , ? x1 ? , ? x1 ? ?x2 ? ? ? ? 4 4 ? ? ? 6? 2 6? 2 ? ? ? y1 ? , ? y1 ? . ? ?y2 ? 4 4 ∴? 或? 同理可得 ? ? ? 6? 2 6? , ? x1 ? y 2 ? ? x1 ? y 2 ? ? ? 4 4 ? ? 6 ? 2 6 ? ? ? x 2 ? y1 ? , ? x 2 ? y1 ? ? 4 4 ? ∵ a ≠ b ,∴ 或?

6? 2 , 4

? 6? 2 , ?x2 ? ? 4 ? 6? 2 6? 2 ? , y2 ? . ? 4 4 或? 2 2 , .

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 1 1 1 4 4 4 4 ∴cos< a , b >= ? + ? =4+4=2. ? ∵0≤< a , b >≤π,∴< a , b >= 3 。评述:本题考查向量数量积的运算法则。

题型 3:空间向量的应用 例 4、 (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤4 3 。 (2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2,F3 共同作用于同一物体上,使物体从点 M1 (1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设 m =( 13a ? 1 , 13b ? 1 , 13c ? 1 ), n =(1,1,1), 则| m |=4,| n |= 3 . ∵ m ? n ≤| m |?| n |, ∴ m ? n = 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤| m |?| n |=4 3 .
1 13 a ? 1 13 b ? 1 13 c ? 1 当 = = 时,即 a=b=c= 3 时,取“=”号。

1

1

1

(2)解:W=F?s=(F1+F2+F3)?

M 1M 2

=14。
2 2 2 2 2 2 2

点评: 若 m =(x, y, z),n =(a, b, c), 则由 m ?n ≤| m |?| n |, 得(ax+by+cz) ≤(a +b +c )(x +y +z ). 此式又称为柯西不等式(n=3)。 本题考查| a |? | b |≥ a ?b 的应用, 解题时要先根据题设条件构造向量 a ,

b ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
(三) 、强化巩固训练 1、(07 天津理,4)设 a 、 b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①( a ? b ) c -( c ? a ) b = 0 直
2

②| a |-| b |<| a - b |
2

③( b ? c ) a -( c ? a ) b 不与 c 垂 )

④(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a | -4| b | 中,是真命题的有(
B.②③ C.③④ D.②④

A.①②

解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;答案:D ②由向量的减法运算可知| a |、| b |、| a - b |恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边” , 故②真; ③因为[ ( b ? c ) a -( c ? a ) b ] ? c =( b ? c ) a ? c -( c ? a ) b ? c =0,所以垂直.故③假;

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④(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9? a ? a -4 b ? b =9| a | -4| b | 成立.故④真.
点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。

2

2

2、已知 O 为原点,向量 OA ? ? 3, 0,1? , OB ? ? ?1,1, 2 ? , OC ? OA, BC ∥ OA ,求 AC . 解:设 OC ? ? x, y, z ? , BC ? ? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? ,

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

??? ?

????

????

??? ?

∵ OC ? OA, BC ∥ OA ,∴ OC ? OA ? 0 , BC ? ? OA ? ? ? R ? ,

????

??? ? ??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ?

??? ?

?3 x ? z ? 0, ? x ? 1 ? 3? , ? ?3 x ? z ? 0, ? ∴? ,即 ? ? ?? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? ? ? ? 3, 0,1? ? y ? 1 ? 0, ? ? z ? 2 ? ?. 7 21 1 ,? ? 。 解此方程组,得 x ? ? , y ? 1, z ? 10 10 10
(四) 、小结: (1) 共线与共面问题;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离问题;运用向量来解 决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示,本节 主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行向量与向 量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决.在寻求 向量间的数量关系时,一个基本的思路是列方程,解方程. (五) 、作业布置:课本 P56 页 A 组中 6、11、12、19 课外练习:限时训练 53 中 2、4、7、9、10、12、14

第三课时

空间向量及其运算强化训练

一、复习目标:1、了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示;2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;4、通过本课强化训练,使学生进一步熟练理解和掌握上述概念 和运算方法,提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点:空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳。
四、教学过程

(一) 、基础自测(分组训练、共同交流) 1.有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面;②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; ③若 MP =x MA +y MB ,则 P、M、A、B 共面;④若 P、M、A、B 共面,则 MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是( B ) 。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量 AB , CD 满足| AB |>| CD |,且 AB 与 CD 同向,则 AB > CD D.若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB + CD =0,则 AB ∥ CD 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则( C ) 。

9 / 72

A.x=1,y=1 C.x= ,y=1 6

B.x= ,y=3 2

1 2

1 2

D.x=- ,y=

1 6

3 2

4.已知 A(1,2,3) ,B(2,1,2) ,P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA ? QB 取最小值时,点 Q
? 的坐标是.答案 ? ? , , ? 4 4 8 ? 3 3 3?

5.在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 OE =(用 a,b,c 表示).答案
1 2

a+ b+ c (二) 、典例探析

1 4

1 4

例 1、如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AA1 =a,
AB =b, AD =c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,

试用 a,b,c 表示以下各向量: (1) AP ; (2) A1 N ; (3) MP + NC1 . 解 (1)∵P 是 C1D1 的中点,∴ AP = AA1 + A1 D1 + D1 P =a+ AD +
1 1 1 D C =a+c+ AB =a+c+ 2 1 1 2 2

b.

(2)∵N 是 BC 的中点,∴ A1 N = A1 A + AB + BN =-a+b+ (3)∵M 是 AA1 的中点,∴ MP = MA + AP = 又 NC1 = NC + CC1 =
1 BC + AA1 2

1 1 1 BC =-a+b+ AD =-a+b+ 2 2 2 1 2 1 2 1 2

c.

1 1 A A + AP =2 1 2 1 2

a+(a+c+ b)= a+ b+c,
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2

=

1 AD + AA1 2

= c+a,∴ MP + NC1 =( a+ b+c)+(a+ c)= a+ b+ c.

例 2、如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a,点 M、N 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长; (3)求异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值. (1)证明 设 AB =p, AC =q, AD =r. 由题意可知:|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°.
MN = AN - AM =
1 2 1 2

( AC + AD )1 2

1 1 AB = 2 2

(q+r-p) ,
2

∴ MN ? AB = (q+r-p) ?p= (q?p+r?p-p )= (a ?cos60°+a ?cos60°-a )=0. ∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD. (2)解由(1)可知 MN = (q+r-p)∴| MN | = MN = (q+r-p) = [q +r +p +2(q?r-p?q-r?p) ]= [a +a +a +2( = ?2a =
1 4
2

1 2

2

2

2

1 2

2

2

1 4

2

1 4

2

2

2

1 4

2

2

2

a2 a2 a2 - )] 2 2 2

a2 2 2 .∴| MN |= a,∴MN 的长为 a. 2 2 2

10 / 72

(3)解设向量 AN 与 MC 的夹角为 ? . ∵ AN = ( AC + AD )= (q+r), MC = AC - AM =q- p, ∴ AN ? MC = (q+r) ? (q- p)= (q - q?p+r?q- r?p) = (a - a ?cos60°+a ?cos60°- a ?cos60°)= (a 又∵| AN |=| MC |=
3 a, 2
2 3 3 a2 .∴cos ? = , a? a ?cos ? = 3 2 2 2 2 3 1 2
2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

2

2

1 2

2

1 2

2

a2 a2 a2 a2 + )= . 4 2 4 2

∴ AN ? MC =| AN |?| MC |?cos ? =
2 3

∴向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为 ,从而异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值为 . 例 3、 (1)求与向量 a=(2,-1,2)共线且满足方程 a?x=-18 的向量 x 的坐标;
1 2

(2)已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2) , (4,5,-1) , (-2,2,3) ,求点 P 的坐标使得 AP = ( AB - AC ) ; (3)已知 a=(3,5,-4) ,b=(2,1,8) ,求:①a?b;②a 与 b 夹角的余弦值; ③确定 ? , ? 的值使得 ? a+ ? b 与 z 轴垂直,且( ? a+ ? b) ? (a+b)=53. 解 (1)∵x 与 a 共线,故可设 x=ka, 由 a?x=-18 得 a?ka=k|a| =k( 4 ? 1 ? 4 ) =9k,∴9k=-18,故 k=-2. ∴x=-2a=(-4,2,-4). (2)设 P(x,y,z) ,则 AP =(x-2,y+1,z-2) , , AC =(-4,3,1) ,∵ AP = AB =(2,6,-3)
1 2 1 2
2 2

( AB - AC ).
1 2 3 2

∴(x-2,y+1,z-2)= [ (2,6,-3)-(-4,3,1) ]= (6,3,-4)=(3, ,-2)
?x ? 2 ? 3 ?x ? 5 ? ? 1 1 3 ? ? ∴ ? y ? 1 ? ,解得 ? y ? ∴P 点坐标为(5, ,0). 2 2 2 ? ? ? z ? 0 ? z ? 2 ? ? 2 ? ?

(3)①a?b=(3,5,-4) ? (2,1,8)=3?2+5?1-4?8=-21. ②∵|a|= 3 2 ? 5 2 ? (?4) 2 =5 2 ,|b|= 2 2 ? 12 ? 8 2 = 69 ,
a ?b
?21 5 2 ? 69

∴cos〈a,b〉= a b

=

=-

7 138 7 138 .∴a 与 b 夹角的余弦值为. 230 230

③取 z 轴上的单位向量 n=(0,0,1) ,a+b=(5,6,4).

? ??a ? ?b ? ? a ? 0 依题意 ? ???a ? ?b ? ? ?a ? b ? ? 53
故?
?? ? 1 ??4? ? 8? ? 0 ? 解得 ? 1. ?29? ? 18? ? 53 ?? ? 2 ?

即?

??3? ? 2? ,5? ? ? ,?4? ? 8? ?? ?0,0,1? ? 0 ??3? ? 2? ,5? ? ? ,?4? ? 8? ?? ?5,6,4? ? 53

(三) 、强化训练:如图所示,正四面体 V—ABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为 M.

11 / 72

(1)求证:AO、BO、CO 两两垂直; (2)求〈 DM , AO 〉. (1)证明 设 VA =a, VB =b, VC =c,正四面体的棱长为 1, 则 VD = (a+b+c), AO = (b+c-5a),
BO =
1 6 1 3 1 6

(a+c-5b), CO = (a+b-5c)
2 1 1 (b+c-5a) ? (a+c-5b) = (18a? b-9|a| ) 36 36

1 6

∴ AO ?BO = =

1 (18?1?1?cos60°-9)=0.∴ AO ⊥ BO ,∴AO⊥BO,同理 AO⊥CO,BO⊥CO, 36

∴AO、BO、CO 两两垂直. (2)解 DM = DV + VM =- (a+b+c)+ c= (-2a-2b+c).∴| DM |= ? ?? 2a ? 2b ? c ?? = , 2 3 6 2 ?6 ? | AO |= ? ?b ? c ? 5a ?? = , DM ? AO = (-2a-2b+c) ? (b+c-5a)= , 6 6 4 2 ?6 ?
1 4 1 2 ? 2 2
1

1

1

?1

?

2

1

?1

?

2

2

1

1

1

∴cos〈 DM , AO 〉=

=

2 ,∵〈 DM , AO 〉∈(0, ? ),∴〈 DM , AO 〉=45°. 2

(四) 、小结:本节主要有空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量,垂直向量坐标之间的 关系以及中点公式,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面向量类 似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样,实质没有改变.因而运算的方法和运算 规律结论没变。 不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达 式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 ? ,对于中点公式要熟记。 (五) 、作业布置:复资 P129 页中 4、5、8、9 补充: 1、 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点, 则 AE ?AF 的值为( C )A.a
2

B. a 2

1 2

C. a 2

1 4

D.

3 2 a 4

2、已知 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C 为线段 AB 上一点,且 A. ( ,? , )
7 2 1 5 2 2

AC 1 = ,则 C 点的坐标为( AB 3

C

)

B. ( ,? 3, 2)

8 3

C. ( ,? 1, )

10 3

7 3

D. ( ,? , )

5 2

7 3 2 2

3、如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1,且两 两夹角为 60°.(1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. 解 记 AB =a, AD =b, AA1 =c,

则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a?b=b?c=c?a= . (1)| AC1 | =(a+b+c) =a +b +c +2(a?b+b?c+c?a)=1+1+1+2?( + + )=6, ∴| AC1 |= 6 ,即 AC1 的长为 6 .
2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

12 / 72

(2) BD1 =b+c-a, AC =a+b,∴| BD1 |= 2 ,| AC |= 3 , ? (a+b)=b -a +a?c+b?c=1.∴cos〈 BD1 , AC 〉= BD1 ? AC =(b+c-a)
6 . 6
2 2

BD1 ? AC BD1 AC

=

6 . 6

∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为

立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离
一.考纲要求: 1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离; 2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二.命题走向: 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容, 高考对本节的考查主要有以下情况: (1) 空间的夹角; (2)空间的距离; (3)空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测 2010 年高考对本节内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关 系找角、求距离这方面内容的讲解,而是加大了向量在这方面内容应用的讲解,因此作为立体几何的解答 题,用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查。 第一课时 空间夹角和距离 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离;2.能用向量方法解决线线、线 面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一) 、谈最新考纲要求及新课程高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资 132 页,教师讲解,增强目标与参与意识。 (二) 、知识梳理,方法定位(学生完成复资 P132 页填空题,教师准对问题讲评) 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 (1)异面直线所成的角的范围是 (0,

?

2

] 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动

直线,把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下: ①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊 的位置上; ②证明作出的角即为所求的角; ③利用三角形来求角。 (2)直线与平面所成的角的范围是 [0,

?
2

] 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下: ①找过斜线上一点与平面垂直的直线; ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出 ③把该角置于三角形中计算。 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直

D 所求的角; 线所成的一切角 A B C

13 / 72

?

中的最小角,即若 θ 为线面角,α 为斜线与平面内任何一条直线所成的角,则有 ? ? ? ; (3)确定点的射影位置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分 线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等, 那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上; ③两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上; ④利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等, 那么顶点落在底面上的射影是底面三角 形的内心(或旁心); c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心; (4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指 (0, ? ] ,解题时要注意图形的位置和题目的要求。作 二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法: 在棱上任取一点, 过这点在两个平面内分别引棱的垂线, 这两条射线所成的角, 就是二面角的平面角; ②面上一点三垂线法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 (即垂足) ,斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角; ③空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是 二面角的平面角。 斜面面积和射影面积的关系公式: S ? ? S ? cos? ( S 为原斜面面积, S ? 为射影面积, ? 为斜面与射影所成 二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面 角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。 2.空间的距离 (1)点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长,常先找或作直线 a 所在平 面的垂线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线定理可得线段PB即为点P到直 线 a 的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。 点到平面的距离:点P到平面 ? 的距离为点P到平面 ? 的垂线段的长.常用求法①作出点P到平面的 垂线后求出垂线段的长; ②转移法, 如果平面 ? 的斜线上两点A, B到斜足C的距离AB, AC的比为 m : n , 则点A,B到平面 ? 的距离之比也为 m : n .特别地,AB=AC时,点A,B到平面 ? 的距离相等;③ 体积法 (2)异面直线间的距离:异面直线 a, b 间的距离为 a, b 间的公垂线段的长.常有求法①先证线段AB 为异面直线 a, b 的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出过 b 且与 a 平行的平面,则直线 a 到平 面的距离就是异面直线 a, b 间的距离.③找或作出分别过 a, b 且与 b , a 分别平行的平面,则这两平面间 的距离就是异面直线 a, b 间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另一个平面的距 离。 以上所说的所有距离: 点线距, 点面距, 线线距, 线面距, 面面距都是对应图形上两点间的最短距离。

14 / 72

所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 3.空间向量的应用 (1)用法向量求异面直线间的距离 如右图所示,a、b 是两异面直线, n 是 a 和 b 的法 F∈b, 则异面直线 a 与 b 之间的距离是 d (2)用法向量求点到平面的距离 如右图所示,已知 AB 是平面α 的 一条斜线, n 为平 则 A 到平面α 的距离为 d ? a

E 向量,点 E∈a,

?

EF ? n n


A b F

面 α 的法向量,

AB ? n


n
C B

n

(3)用法向量求直线到平面间的距离 α 首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的 距离问题转化 成直线上一点到平面的距离问题。 (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距离问题转化成点 到平面的距离问题。 (5)用法向量求二面角 如图,有两个平面 α 与 β ,分别作这两个平面的法向 面 α 与 β 所成的角跟法向量 n1 与 n 2 所成的角相等或互补, 断二面角是锐角还是钝角。 (6)法向量求直线与平面所成的角 要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ ,先求这个平面 α 的 a 的夹角的余弦 cos n, a ,易知 θ = n, a 或者 (三) 、基础巩固导练 1、在平行六面体 ABCD— A' B' C' D' 中,设 AC' ? x AB ? 2 yBC ? 3zCC' ,则 x+y+z=(A ) α 量 n1 与 n 2 , 则平 所以首先必须判
n2

n1
β

?

法向量 n 与直线

2

? n, a 。

11 5 2 7 B. C. D. 6 6 3 6 2、在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点, 则异面直线 OP 与 AM 所成角的大小为( C ) ? ? ? A. B. C. D. 与 P 点位置无关 4 3 2 3、如图,正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角的余 弦值为( B )
A.

1 1 3 2 B. C. D. 3 3 3 6 4、 如图所示,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF ⊥平面 ACE。
A.

15 / 72

(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B-AC-E 的大小; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离。10、 (1)略(2) arcsin

6 3

(3)

2 3 3

(四) 、小结:本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中:1、线面角的求法: 2、二面角 的求法: ①AB, CD 分别是二面角 ? — l — ? 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线, 则二面角的大小为 AB, CD 。

n1 ? n 2 , n1 , n 2 就是 | n1 | ? | n 2 | 二面角的平面角或其补角。4、异面直线间距离的求法: 5、点面距离的求法: 6、线面距、面面距均可 转化为点面距离再用(5)中方法求解。 (五) 、作业布置:课本 P57 页 A 组中 16、17、18 B 组中 3 课外练习:复资 P133 页变式训练题 1、2、4、5、6、7、8
3、设 n1 , n 2 分别是二面角 ? — l — ? 的两个平面 ?, ? 的法向量,则 cos n1 , n 2 ?

第二课时 用向量法求空间夹角 ——热点考点题型探析 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角;2.能用向量方法解决线线、线面、面 面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型,掌握解法。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型,掌握解法。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一)热点考点题型探析 题型 1:异面直线所成的角 例 1、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦值 z 解析:建立坐标系如图, D1 则 A ? 2,0,0 ? 、 B ? 2, 2,0 ? , C ? 0, 2,0 ? ,

表示) C1 B1

A1 ? 2,0, 2 ? , B1 ? 2, 2, 2 ? , D1 ? 0,0, 2 ? , E ? 2,1,0 ? , ???? ? A1C ? ? ?2, 2, ?2 ? , ???? ? ??? ? ???? ? D1 E ? ? 2,1, ?2 ? ,AB ? ? 0, 2,0 ? ,BB1 ? ? 0,0, 2 ? 。 ???? ? 不难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量, ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A1C ?D1 E 3 ∵ cos A1C , D1 E ? ???? 。 ? ???? ? ? 9 A1C D1 E
x 3 ∴ D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为 。 9

A1

D A

y C E B

反思归纳:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型 2:直线与平面所成的角 例 2、 (09 年高考试题)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?,侧棱 AA1

16 / 72

=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G。求 A1B 与平面 ABD 所成 角的大小(结果用余弦值表示) ; 解析:如图所示,建立坐标系,坐标 原点为 C,设 CA z =2a, 则 A(2a, 0, 0), B(0, 2a, 0), D(0, 0, 1), A1(2a, 0, C1 2 a 2 a 1 2),E(a,a,1), G( , , ) ,

3 3 3 ??? ? A1 ∵ GE ? ? a , ? a , ? 2 , 3 3 3 D ??? ? BD ? ? 0, ?2a,1? , D ??? ? ??? ? 2 2 2 E GE ?BD ? a ? ? 0 , 3 3 C K G ??? ? ∴ a=1, GE ? ? 1 , ? 1 , ? 2 , 3 3 3 A ???? ? x A1 B ? ? ?2, 2, ?2 ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? A1 B ? GE 2 ∵ GE 为平面 ABD 的法向量,且 cos A1 B, GE ? ???? 。 ? ??? ? ? 3 A1 B GE

?

?

B1

?

?

B y

∴A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是

2 。 3

反思归纳:先处理平面的法向量,再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。 题型 3:二面角 例 3、(08 年高考)在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点。 O (1) 求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小 (用 (2)求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 解析:(1)延长 AB、DE 交于点 F,则 PF 为平面 成二面角的棱,∵PA⊥平面 ABCD,∴AD⊥PA、AB, 平面 BPA 于 A, F E PDE 与平面 PAD 所 PA∩AB=A∴DA⊥ 正切值表示); 方形,PA⊥平面

过 A 作 AO⊥PF 于 O,连结 OD,则∠AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。易得

tan ?AOD ?

5 5 ,故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 ; 2 2

(2)解法 1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A, ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 同时,BC⊥平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是△PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 θ , 0 cosθ =S△PAB/S△PCD= /2 θ =45 。 即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45°。

17 / 72

解法 2(补形化为定义法) 如图:将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN,则 PQ⊥PA、PD,于是∠APD 是两面所成二面角的 平面角。 在 Rt△PAD 中,PA=AD,则∠APD=45°。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45°。 (二) 、强化巩固训练 1、 (2007 年,北京卷高考题)如图 6,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 3,侧棱

AA1 ?

3 3 2 ,D 是

CB 延长线上一点,且 BD ? BC 。求二面角 B1 ? AD ? B 的大小。 (略去了该题的①,③问) 2、 (06 四川卷)已知球 O 的半径是 1, A 、 B 、 C 三点都在球面上, A 、 B 两点和 A 、 C 两点的球面距

? ? 离都是 4 , B 、 C 两点的球面距离是 3 ,则二面角 B ? OA ? C 的大小是(



? (A) 4

? (B) 3

? (C) 2

2? (D) 3

1、解析: (1)取 BC 的中点 O,连 AO。 由题意:平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 , AO ? BC ,∴ AO ? 平面 BCC1 B1 , 以 O 为原点,建立如图 6 所示空间直角坐标系,

3 3 9 A(0,0, 3) B( ,0,0) D( ,0,0) 2 2 2 则 , , , 3 3 B ( , 3 ,0) 1 2 2 , B1 D ? (3,? 9 3 AD ? ( ,0,? 3) 2 2 ∴ ,

z
A C O B B1 D A1 C1

y

3 3 3,0) BB1 ? (0, 3,0) 2 2 , , BB1 ? (0,

x

由题意

BB1 ? 平面 ABD, ∴

3 3,0) 2 为平面 ABD 的法向量。

设 平面 AB1 D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,

3 ?9 x ? 3z ? 0 ?2 2 ? ? ? ? n 2 ? AD ? n2 ? AD ? 0 3 ? ? ? 3x ? 3y ? 0 ? ? n ? B D n ? B D ? 0 2 ? 2 1 2 1 ? ? 则 , ∴ , ∴ ,即

3 ? 3y ?x ? 2 ? ? ? z ? 3x 。

18 / 72

∴ 不妨设

n2 ? (

3 3 ,1, ) 2 2 ,由
?

cos ? BB1 , n2 ??

BB1 ? n2 | BB1 | ? | n2 |

?

3 3?2 2

3 3 2

?

1 2


? 得 ? BB1 , n2 ?? 60 。 故所求二面角 B1 ? AD ? B 的大小为 60 。

评析: (1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲:“找——证——求” 直接简化成了一步曲:“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的 空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神;

(2) 此法在处理二面角问题时, 可能会遇到二面角的具体大小问题, 如本题中若取

n2 ? ( ?

3 3 ,?1,? ) 2 2 时,

会算得

cos ? BB1 , n2 ?? ?

1 2 ,从而所求二面角为 120 ? ,但依题意只为 60 ? 。因为二面角的大小有时为锐

角、 直角, 有时也为钝角。 所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小, 然后根据计算取“相 等角”或取“补角”。

? 2、解析:球 O 的半径是 R= 1 , A, B, C 三点都在球面上, A, B 两点和 A, C 两点的球面距离都是 4 ,则∠

? ? ? AOB,∠AOC 都等于 4 ,AB=AC, B, C 两点的球面距离是 3 ,∠BOC= 3 ,BC=1,过 B 做 BD⊥AO,垂足为 D,
2 ? 连接 CD, 则 CD⊥AD, 则∠BDC 是二面角 B ? OA ? C 的平面角, BD=CD= 2 , ∴∠BDC= 2 , 二面角 B ? OA ? C

? 的大小是 2 ,选 C。
(三) 、小结:本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中:1、线面角的求法: 2、二面角的求 法: ①AB, CD 分别是二面角 ? — l — ? 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线, 则二面角的大小为 AB, CD 。 3、设 n1 , n 2 分别是二面角 ? — l — ? 的两个平面 ?, ? 的法向量,则 cos n1 , n 2 ? 二面角的平面角或其补角。教师引导学生反思归纳回顾,进一步深化理解。 (四) 、作业布置:复资 P133 页中 2、3、4 课外练习:限时训练 54 中 3、5、7、8、10、11 第三课时 用向量法求空间的距离 ——热点考点题型探析 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离;2.能用向量方法解决线线、线面、面 面的距离的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型,掌握解法。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的距离应用。探究题型,掌握解法。

n1 ? n 2 , n1 , n 2 就是 | n1 | ? | n 2 |

19 / 72

三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一)热点考点题型探析 题型 1:异面直线间的距离 例 1、如图 2,正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 , 底边长 AB ? 2 。求异面直线 BD 和 SC 之间的距离? 分析:建立如图所示的直角坐标系,则
A ( 2 2 2 2 ,? , 0) B ( , ,0) 2 2 2 2 , ,

z

S

D A
x

O 图2 B

C
y

C (?

??? ? 2 2 2 2 2 2 ??? ? , , 0) D (? ,? ,0) CS ? ( ,? , 2) ? DB ? ( 2, 2,0) S (0,0, 2) 2 2 2 2 2 2 , , 。 , 。

令向量

? n ? ( x, y,1)

,且 n ? DB, n ? CS ,

?

??? ? ?

??? ?

? ( x, y,1) ? ( 2, 2, 0) ? 0 ? ??? ? ? ? ? ? ?n ? DB ? 0 ? ? ?x ? ? 2 ? x? y ?0 2 2 ? ? ? ? ? ??? ? ? ( x, y,1) ? ( ,? , 2) ? 0 ? ? n ? CS ? 0 , ? ? y ? 2 ,? n ? (? 2, 2,1) 。 ?x ? y ? 2 2 ? 0 , ? 2 2 则? ,?

? 异面直线 BD 和 SC 之间的距离为:
2 2 ???? ? (? , , 0) ? (? 2, 2,1) OC ? n 2 2 ? d? ? ? (? 2, 2,1) n
1?1? 0 (? 2) ? ( 2) ? 1
2 2 2

?

2 5 5



题型 2:点面距离 例 2、如图,已知ABCD为边长是4的正方形, E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于A BCD所在的平面,且GC=2,求点B到 平面EFG的距离。 解 法 一 : 连 结 B F , B G ,



D F E A

O?
H E O E E B



S ?BEF ?

1 1 BE ? FA ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 ,

? EF ?

又E,F分别是AB,AD的中点,

1 BD ? 2 2 , CH 2

?3 ? ? GH ? GC ? CH ? 2 ? ? 4 2 ? ?4 ? ? 22 。
2 2 2

2

S ?GEF ?

1 1 2 1 ? 2 2 ? 22 ? 2 11 VB? EFG ? ? 2 11 ? h ? 11h VG ? BEF ? ? 2 ? 2 2 3 3 3 , , ,

20 / 72

?h ?

2 11 11 .

解法二.?E,F分别是AB,AD的中点,?EF//BD,?B到平面GEF的距离为BD上任一点 到平面GEF的距离,BD ? AC于O,EF//BD,

? EF ? AC, 又GC ? 平面ABCD,EF ? 平面ABCD,?EF ? GC,EF ? 平面GEF,? 平
面GEF ? 平面GCH,过O点作 OO? ? HG,则 OO? ? 平面GEF, OO ? 为O到平面GCH的距离, 即B到平面GEF的距离。

OH ?

OH OO ? 2 11 1 ? , OO ? ? AC ? 2 GC 11 。 4 由解法一知: GH ? 22 ,由 ?HOO? ∽ ?HCG 得 GH

思维点拔:注意点距,线面距,面面距的转化,利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。 题型 6:线面距离 例 3、已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8, 对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。 (1)求点 B1 到 直线 AC 的距离。 (2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离。 解析: (1)连结 BD, B1 D ,由三垂线定理可得: A D B C

A1

B1

C1

B1 D ? AC ,所以 B1 D 就是 B1 点到直线 AC 的距离。
在 Rt?B1 BD 中

BB1 ?

B1C 2 ? BC 2 ? 10 2 ? 8 2 ? 6, BD ? 4 3 .


? B1 D ? BD 2 ? B1 B 2 ? 2 21
(2)因为 AC 与平面 BD 所以 AB1 到平面 BD

C1

交于AC的中点D,设 B1C ? BC1 ? E ,则 AB1 //DE,所以 AB1 //平面 C1 BD ,

C1

的距离等于A点到平面 BD

C1

的距离,等于C点到平面 BD

C1

的距离,也就等于三

棱锥 C ? BDC1 的高。

? VC ? BDC1 ? VC1 ? BDC

12 13 1 1 ? hS?BDC1 ? S ?BDCCC1 ? h ? 13 所以,直线 AB1 到平面 BD C1 的距离 3 , 3 ,

12 13 是 13 。
思维点拔:求空间距离多用转化的思想。 例 4、 如图, 已知边长为 4 2 的正三角形 ABC 中,E 、F 分别为 BC 和 AC 的 P F E B

21 / 72

A

C

中点, PA ? 面 ABC ,且 PA ? 2 ,设平面 ? 过 PF 且与 AE 平行。 求 AE 与平面 ? 间的距离? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ??? 分析:设 AP 、 AE 、 EC 的单位向量分别为 e1 、 e2 e3 ,选取{ e1 , e2 , e3 }作为空间向量的一组基底。 ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ??? ? ?? ? ??? ? ? ? ? e1 ? e2 ? e1 ? e3 ? e2 ? e3 ? 0 AP ? 2e1 , AE ? 2 6 e2 , EC ? 2 2 e3 , 易知 , ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? AC PA ? ( AE ? EC ) PF ? PA ? AF = 2 2 = = ?2e1 ? 6 e2 ? 2 e3 , 设
? ?? ?? ? ?? ? n ? xe1 ? ye2 ? e3

是平面 ? 的一个法向量,则 n ? AE, n ? PF ,

?

??? ? ?

??? ?

?? ?2 ? ? y?0 2 6 y e ?0 ? ??? ? 2 ? ? ? n ? AE ? 0 ? ?? ? ?? 2 ?? ?2 ?? ?2 2 ? ? ? ??? ? ??2 x e1 ? 6 y e2 ? 2 e3 ? 0 ?x ? n ? PF ? 0 ? ? ? 2 , ,即 ?
?? ? 2 ?? ?? 2e1 ? ( e1 ? e3 ) 2 ?? ?2 2 ?? e1 ? e3 2
2

? ? 2 ?? ?? ?n ? e1 ? e3 . 2 ? 直线 AE 与平面 ? 间的距离 d ?

??? ? ? Ap ? n ? n

?

2 3 . 3

=

(二) 、强化巩固训练 长方体 ABCD— A1B1C1D1 中,AB=4,AD=6, AA1 ? 4 ,M 是 A1C1 的中点,P 在线段 BC 上,且|CP|=2, Q 是 DD1 的中点,求: (1)异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值; (2)M 到直线 PQ 的距离; (3)M 到平面 AB1P 的距离。 解析: (1)方法一: 如图,建立空间直角坐标系 B—xyz,则 A(4,0,0) ,M(2,3,4) ,P(0,4,0) ,Q(4,6,2) , ∴ AM ? (?2,3,4) , PQ ? (4,2,2) ?| AM |? (?2) 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 29

| PQ |? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 24 AM ? PQ ? (?2) ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 故异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值为 ? cos AM, PQ ? AM ? PQ | AM || PQ | ? 174 58
174 58

方法二:

? AM ? AA1 ? A1 M ? AA1 ?
∴ AM ? PQ

1 1 A1 B1 ? A1 D1 , PQ ? PC ? CD ? DQ 2 2

22 / 72

1 1 A 1 B1 ? A 1 D1 )(PC ? CD ? DQ) 2 2 1 1 ? A 1 D1 ? PC ? A 1 B1 ? CD ? AA1 ? DQ 2 2 AM ? PQ 174 1 1 ? cos AM, PQ ? ? ? ? 6 ? 2 ? ? 4 ? (?4) ? 4 ? 2 ? 6 58 2 2 | AM | ? | PQ | 2 2 2 ?| AM |? 4 ? 2 ? 3 ? 29 ? (AA1 ? | PQ |? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 24
174 58 (2)∵ QM ? (?2,?3,2), QP ? (?4,?2,?2) , ( ?2) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? 2 ? ( ?2) ? QM ? QP (?4) 2 ? (?2) 2 ? ( ?2) 2 ∴ QM在QP 上的射影的模 ? | QP | 10 5 6 ? ? 6 24
故异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值为

?5 6 ? ? ? 17 ? 25 ? 462 故 M 到 PQ 的距离为 | QM | ?? ? 6 ? 6 6 ? ?
2

2

(3)设 n ? ( x, y, z) 是平面 AB1 P 的某一法向量,则 n ? AB1 , n ? AP ,

?? 4 x ? 4 z ? 0 ∵ AB1 ? (?4,0,4), AP ? (?4,4,0) ∴ ? ?? 4 x ? 4 y ? 0
因此可取 n ? (1,1,1) ,由于 M A ? (2,?3,?4) ,那么点 M 到平面 AB1 P 的距离为

d?

| M A ? n | | 2 ? 1 ? (?3) ? 1 ? (?4) ? 1 | 5 3 5 3 ? ? ,故 M 到平面 AB1 P 的距离为 。 |n| 3 3 3

(三) 、小结: 1.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分,学习时 要深刻理解它们的含义,并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识(特别是余弦定理)熟练解题。 特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来,这里要特别注意平面角的探求;2.把空间问题转 化为平面问题, 从解决平面问题而使空间问题得以解决。 求角的三个基本步骤: “作”、 “证”、 “算”。 3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点:①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离,一般情 况下,力求明确所求角或距离的位置;②作线面角的方法除平移外,补形也是常用的方法之一;求线面角 的关键是寻找两“足” (斜足与垂足) ,而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理;③求二面角高考中每 年必考,复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种: 根据定义或图形特征作;根据三垂线定理(或其逆定理)作,难点在于找到面的垂线。解决办法,先找面 面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线;作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先找后作的

S? 原则。此外在解答题中一般不用公式“cosθ = S ”求二面角否则要适当扣分。④求点到平面的距离常用
方法是直接法与间接法,利用直接法求距离需找到点在面内的射影,此时常考虑面面垂直的性质定理与几 何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法;⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活 转化为平面上的角与距离, 然后将所求量置于一个三角形中, 通过解三角形最终求得所需的角与距离。 4. 注 意数学中的转化思想的运用: (1)常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置; (2)常 用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置; (3)常用割补法或等积(等 面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。

23 / 72

(四) 、作业布置:课本 P47 页 3、5 P50 页 2、3 课外练习:限时训练 54 中 2、4、6、9、12、13、14

立体几何空间向量知识点总结 知识网络:

知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关 的运算律仍然成立. 空间向量的数量积运算、 共线向量定理、 共面向量定理都是平面向量在空间中的推广, 空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广.

? ? ? ? ? ? a b a ? b ? 0 ? a ? b 是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、 2、当 、 为非零向量时.
? ? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? a?b

线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题.

3、公式

是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所

24 / 72

成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别),再结合平面的法向量,可以 求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方 向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计 算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即 a ? b ? 0 ? a ? b . (3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量. (4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角

? ?

?

?

利用公式

? ? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? a?b



? ?? ? 0, ? 2? , 但务必注意两异面直线所成角θ 的范围是 ? ? ? cos ? ? cos ? a, b ?

故实质上应有: . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成 角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ ,即可求出直线与平面 所成的角θ ,其关系是 sinθ =| cosφ |. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线 对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二 面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补. 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离

25 / 72

点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议: 1、空间向量的引入,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的 问题,应体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想像能力和几何直观能力. 2、灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题. 3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线的方向向量与平面的法向量有着举 足轻重的地位和作用, 它的特点是用代数方法解决立体几何问题, 无需进行繁、 难的几何作图和推理论证, 起着从抽象到具体、化难为易的作用.因此,应熟练掌握平面法向量的求法和用法. 4、加强运算能力的培养,提高运算的速度和准确性. 第一讲空间向量及运算 一、空间向量的有关概念 1、空间向量的定义 在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量.注意空间向量和数量的区别.数量是只有大小而没有方 向的量. 2、空间向量的表示方法 空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的大小,用有向线段的

? ? ??? ? a a 方向表示向量的方向.若向量 对应的有向线段的起点是 A,终点是 B,则向量 可以记为 AB ,其模长 ? ??? ? a AB
为 或 . 3、零向量 长度为零的向量称为零向量,记为 0 .零向量的方向不确定,是任意的.由于零向量的这一特殊性,在解 题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”. 4、单位向量 模长为 1 的向量叫做单位向量. 单位向量是一种常用的、 重要的空间向量, 在以后的学习中还要经常用到. 5、相等向量

?

? ? ? ? a b a 长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量. 若向量 与向量 相等, 记为 = b .零向量与零向量相等,
任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 6、相反向量 长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量. a 的相反向量记为- a 二、共面向量 1、定义 平行于同一平面的向量叫做共面向量. 2、共面向量定理

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p p xa ? yb a b a b 若两个向量 、 不共线,则向量 与向量 、 共面的充要条件是存在实数对 x、y,使得 = 。

???? ???? ???? MP ? xMA ? yMB 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、 y使 或对空间任一 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? OP ? xOA ? yOB ? zOM 定 点 O, 有 或 ( 其 中 26 / 72

3、空间平面的表达式

x ? y ? z ? 1 )这几个式子是 M,A,B,P 四点共面的充要条件.
三、空间向量基本定理 1、定理

? ? ? ? ? ? ? ? ? p p xa ? yb a b c 如果三个向量 、 、 不共面, 那么对空间任一向量 ,存在唯一的有序实数组 x、y、z, 使 = ? ? zc

? 0 (2)由于 可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面, ? 0 就隐含着它们都不是 。 ? ? ? a b c 由空间 向量的基本定理知,若 三个向量 、 、 不共面。 那么所有空间向量所组 成的集合就 是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p | p ? xa ? yb ? zc, x, y , z ? R? a , b, c ,这个集合可看做是由向量 a 、 b 、 c 生成的,所以我们把 称为 ? ? ? 空间的一个基底。 a 、 b 、 c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.

2、注意以下问题 (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.

?

?

?

3、向量的坐标表示 (1)单位正交基底

?i, j, k ? 表 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直, 且长都为 1, 则这个基底叫做单位正交基底,常用
示.

?? ?

? ? ? i, j , k ? ? j 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 以点 O 为原点,分别以 i 、 、 k 的方向为正方向建
立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴.则建立了一个空间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫原点,向量

(2)空间直角坐标系

?? ?

? ? ? i 、 j 、 k 都叫坐标向量.

(3)空间向量的坐标

? ? ? ? j a 给定一个空间直角坐标系和向量 , 且设 i 、 、 k 为坐标向量,存在唯一有序数组(x, y, z)使 ? ? ? ? ? ? ? x, y , z ? 。 a ? xi ? y j ? zk ,有序数组(x,y,z)叫做 a 在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标,记为 a = ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? xi ? y j ? zk j OA OA 对坐标系中任一点 A,对应一个向量 ,则 = 。在单位正交基底 i 、 、 k 中 ??? ? 与向量 OA 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标,记为 A(x,y,z).
四、空间向量的运算 1、空间向量的加法 三角形法则(注意首尾相连)、平行四边形法则,

结合律 2、空间向量的减法及几何作法

? ? ? ? a 加法的运算律:交换律 ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? a?b ?c ? a? b?c

?

?

?

?

几何作法:在平面内任取一点 O,作 的向量,这就是向量减法的几何意义. 3、空间向量的数乘运算

??? ? ? ??? ? ? OA ? a, OB ? b

,则 BA ? a ? b ,即从 b 的终点指向 a 的终点

??? ?

? ?

?

?

27 / 72

(1)定义

实数 ? 与 a 的积是一个向量,记为 ? a ,它的模与方向规定如下: ①

?

?

?a ? ? ? a
?

?

?

②当 ? ? 0 时, ? a 与 a 同向;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 异向;当 ? ? 0 时. ? a ? 0

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? a a ①关于实数与空间向量的积 的理解:我们可以把 的模扩大(当 >1 时),也可以缩小( < 1 ? ? 时),同时,我们可以不改变向量 a 的方向(当 ? ? 0 时),也可以改变向量 a 的方向(当 ? ? 0 时)。 . ? ? ? ? ? ? ? a ? 0 a ? 0 ? a ?0。 ? ? 0 ? ? 0 ②注意实数与向量的积的特殊情况,当 时, ;当 ,若 时,有 ? ? ③注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.比如 ? ? a , ? ? a 无法运算。
(2)实数与空间向量的积满足的运算律 设λ 、μ 是实数,则有

注意:

? ? a ? ? ?? ? a (结合律) ? ? ? ?? ? ? ? a ? ?a ? ? a
? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b

? ?

?

?

? ? ? ? a b a 若 与 是共线向量,则记为 // b 。

(第二分配律) 实数与向量的积也叫数乘向量. 4、共线向量 (1)共线向量定义 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量, 也叫做平行向量。 注意:零向量和空间任一向量是共线向量. (2)共线向量定理 (3)空间直线的向量表示式

?

?

(第一分配律)

? ? ? ? ? ? ? ? a b b 0 a b a b 对空间任意两个向量 、 ( ≠ ), // 的充要条件是存在实数λ 使 =λ
如果直线 l 是经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点 O,点 P 在直线 l 上的 充要条件是存在实数 t,满足等式 OP ? OA ? ta ,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 注意:

?

??? ?

??? ?

?

?

??? ? ??? ? ? (1 ? t )OA ? tOB

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OP ? OA ? t AB , ? OP ? OA ? t OB ? OA ? (1 ? t ) OA ? tOB ①若在 l 上取 AB ? a ,则有

?

?

②上式可解决三点 P、A、B 共线问题的表示或判定.

??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 OP ? OA ? OB 2 时, 2 2 ③当 ,点 P 为 AB 的中点,这是中点公式的向量表达式. ??? ? ? ? 1 ??? ? ??? ??? ? OP ? OA ? OB 1? ? 1? ? ④若 P 分 AB 所成比为 ? ,则
t?
5、空间直角坐标系 在空间直角坐标系中,三条坐标轴两两互相垂直,轴的方向通常这样选择:从 z 轴的正方向看,x 轴 正半轴沿逆时针方向转 900 能与 y 轴的正半轴重合。让右手拇指指向 x 轴正方向.食指指向 y 轴的正 方向,如果中指指向 z 轴的正方向,那么称这个坐标系为右手直角坐标系。一般情况下,建立的坐标系

28 / 72

都是右手直角坐标系. 在平面上画空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°。 空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广,如果知道儿何 体上任意两点的坐标.我们就可直接套用. 设

P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y2 , z2 )

,则

P ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 1P 2 ?
| OP |? x 2 ? y 2 ? z 2

特别地,P1(x,y,z)到原点的距离 6、空间向量的数量积运算
? ?

a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? a , b ?
? ? ? ?

?

?

? ?

其中 ? a , b ? 为 a 与 b 的夹角,范围是[0,π ],注意数量积的性质和运算律。 1. 性质

b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则 若a、
? ?

?

?

?

?

?

?

(1)

e ? a ? a ? e ?| a | cos ?
? ? ?

? ?

?

(2) a ? b ? a ? b ? 0

?

a ? b ?| a | ? | b | (3)若 a 与 b 同向,则 ;
a? b ? ? | a |?| b | 若 a 与 b 反向,则 ;
? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

a ? a ?| a | 2 或 | a |? a ? a 特别地:
? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

a、 b 的夹角,则cos ? ?
? ?

a? b

(4)若θ 为 (5) 2. 运算律

| a |?| b |

?

?

| a ? b |?| a || b |
? ? ? ?

? ?

(1)结合律

(? a ) ? b ? ? ( a ? b )
? ? ? ?

(2)交换律 a ? b ? b ? a
? ? ?

(3)分配律 不满足消去律和结合律即:
? ? ? ? ? ?

a? (b? c ) ? a? b? a? c
? ? ?

? ?

? ?

a ? b ? b? c ? ( a ? b ) c 不一定等于 a ( b ? c ) ? a ? c,

? ? ?

【典型例题】
例 1. 已知 P 是平面四边形 ABCD 所在平面外一点, 连结 PA、 PB、 PC、 PD, 点 E、 F、 G、 H 分别为△PAB、 △PBC、△PCD、△PDA 的重心。求证:E、F、G、H 四点共面。 证明:分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、Q、R ∵E、F、G、H 分别是所在三角形的重心 ∴M、N、Q、R 为所在边的中点,顺次连结 MNQR 所得四边形为平行四边形,且有 ? 2 ? ? 2? ? 2? ? 2? PE ? PM, PF ? PN, PG ? PQ, PH ? PR 3 3 3 3 ∵MNQR 为平行四边形,则

29 / 72

? ? ? 2? 2 ? 2 ? EG ? PG? PE ? PQ? PM ? M Q 3 3 3 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (M N? M R) ? (PN? PM) ? (PR ? PM) 3 3 3 ? ? ? ? 2 3 3 2 3 3 ? ( PF? PE) ? ( PH? PE) 3 2 2 3 2 2 ? ? ? EF? EH ∴由共面向量定理得 E、F、G、H 四点共面。

? ? ? ? ? ? 例 2. 如图所示,在平行六面体 ABCD ? A' B' C' D' 中, AB ? a , AD ? b , AA ? c ,P 是 CA'的中点, ? ? ? { b, c } 表示以下 M 是 CD'的中点,N 是 C'D'的中点,点 Q 是 CA'上的点,且 CQ:QA'=4:1,用基底 a ,
向量:

? ? ? ? AQ AN (1) AP ;(2) AM ;(3) ;(4) 。
解:连结 AC、AD'

? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? AP ? (AC? AA') ? (AB? AD? AA') ? ( a ? b ? c ) 2 2 2 (1) ; ? 1 ? ? ? ? 1 ? 1? ? 1? AM ? (AC? AD) ? (AB? 2 AD? AA') ? a ? b ? c 2 2 2 2 ; (2) ? 1 ? ? AN ? (AC? AD') 2 (3)

? ? 1 ? ? ? ? [(AB? AD? AA') ? (AD? AA')] 2 ? ? 1 ? ? ( AB? 2 AD? 2 AA') 2 1? ? ? ? a? b? c 2 ? ? ? ? 4 ? ? AQ ? AC? CQ ? AC? (AA'? AC) 5 (4) 1 ? 1 ? 4 ? ? AB? AD? AA' 5 5 5 1? 1? 4? ? a? b? c 5 5 5

30 / 72

点评:本例是空间向量基本定理的推论的应用.此推论意在用分解定理确定点的位置,它对于以后用 向量方法解几何问题很有用,选定空间不共面的三个向量作基向量.并用它们表示出指定的向量,是用向 量解决几何问题的一项基本功. 例 3. 已知空间四边形 OABC 中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且 OA=OB=OC。M、N 分别是 OA、BC 的中 点,G 是 MN 的中点。求证:OG⊥BC。 证明:连结 ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ

? ? ? ? ? ? ? ? ? | 又设 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,则 a |?| b |?| c | 。
? 1 ? ? OG ? (OM? ON) 2 又 1 1 ? 1 ? ? ? [ OA? (OB? OC)] 2 2 2 ? ? ? 1 ? (a? b? c) 4 ? ? ? BC ? c ? b ? ? 1 ? ? ? ? ? OG? BC ? ( a ? b ? c ) ? ( c ? b ) 4 ∴ ? ? ?? 1 ?? ?? ?? ? ( a ? c ? a ? b ? b ? c ? b2 ? c2 ? b ? c ) 4 ? ? ? 1 ? ? (| a | 2 cos ? ? | a | 2 cos ? ? | a | 2 ? | a | 2 ) ? 0 4 ∴OG⊥BC 例 4. 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。 ? ? AB 和 AC (1)求以 为邻边的平行四边形面积; ? ? ? ? ? | a | ? 3 a 分别与 AB 、 AC 垂直,求向量 a 的坐标。 (2)若 ,且 解:(1)由题中条件可知 ? ? AB ? ( ? 2, ?1 , 3), AC ? ( 1 , ? 3, 2) ? ? ? ? AB? AC ?2?3?6 1 ? cos ? AB, AC ?? ? ? ? ? 14 ? 14 2 | AB | ? | AC |

31 / 72

? ? 3 sin ? AB, AC ?? 2 ∴

? ? AB 、 AC 为邻边的平行四边形面积: ∴以
? ? ? ? 3 S ?| AB | ? | AC | ? sin ? AB, AC ?? 14 ? ?7 3 2 ? (x,y,z) (2)设 a ? 由题意得 2 2 2 ?x ? y ? z ? 3 ? ?? 2 x ? y ? 3z ? 0 ? x ? 3y ? 2z ? 0 ?
?x ? 1 ?x ? ?1 ? ? ? y ? 1或? y ? ?1 ?z ? 1 ?z ? ?1 ? ?

解得 ? ? ( 1 , 1 , 1 )或 a =(? 1 , ?1 , ?1 ) ∴ a ? 第二讲直线的方向向量、平面的法向量及其应用 一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无 数个. 2、直线方向向量的应用 利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面.

? ??? ? ? a AB ? a ,则对于直线 (1)若有直线 l, 点 A 是直线 l 上一点,向量 是 l 的方向向量,在直线 l 上取 ??? ? ??? ? ? l 上任意一点 P,一定存在实数 t,使得 AP ? t AB ,这样,点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置,还可具

体表示出 l 上的任意点. (2)空间中平面α 的位置可以由α 上两条相交直线确定,若设这两条直线交于点 O,它们的方向向量

? ? ??? ? a b OP ? 分别是 和 ,P 为平面α 上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得 ? ? ? ? xa ? yb ,这样,点 O 与方向向量 a 、 b 不仅可以确定平面α 的位置,还可以具体表示出α 上的任意点.
二、平面的法向量 1、所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量也有无数个,它 们是共线向量.

? ? a a 2、在空间中,给定一个点 A 和一个向量 ,那么以向量 为法向量且经过点 A 的平面是唯一确定的.
?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? u1 u 2 u u u u 1 2 1 1、若两直线 l1、l2 的方向向量分别是 、 ,则有 l1// l2 ? // ,l1⊥l2 ? ⊥ 2 . ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? v1 v2 v v v v 1 1 2 2、若两平面α 、β 的法向量分别是 、 ,则有α //β ? // ,α ⊥β ? ⊥ 2 . ? ? ? ? ? ? u v u v u ? ? 若直线 l 的方向向量是 ,平面的法向量是 ,则有 l//α ⊥ ,l⊥α // v

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用

32 / 72

四、平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标, 一般要建立空间直角坐标系, 然后用待定系数法求解, 一般步骤如下:

? n ? ( x, y , z ) . 1、设出平面的法向量为

? ? a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) 2、找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ? ? ?n ? a ? 0 ? ?? ? ?n ? b ? 0 3、根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 ?
4、解方程组,取其中一个解,即得法向量 五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系 (一)用向量方法证明空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行. 1、线线平行

? ? ? ? ? ? a ? kb (k ? R) a b a b 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 、 ,则要证明 l1// l2,只需证明 // ,即
2、线面平行 (1)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 n ,则要证明 l // ? ,只需证明 a ? n ,即 a ? n ? 0 . (2)根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. (3)根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这 两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向 量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 3、面面平行 (1)由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? u v u (2)若能求出平面α 、β 的法向量 、 ,则要证明α //β ,只需证明 // v

(二)用向量方法证明空间中的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指:线线垂直、线面垂直、面面垂直. 1、线线垂直 2、线面垂直

? ? ? ? ? ? a b a b a 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 、 ,则要证明 l1⊥ l2,只需证明 ⊥ ,即 ? b ? 0 ? ? ? ? a u a (1)设直线 l 的方向向量是 ,平面α 的法向量是 ,则要证 l⊥α ,只需证明 // u

(2)根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直. 3、面面垂直 (1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直. (2)证明两个平面的法向量互相垂直. 六、用向量方法求空间的角 (一)两条异面直线所成的角
/ / 1、定义:设 a、b 是两条异面直线,过空间任一点 O 作直线 a // a, b // b ,则 a 与 b 所夹的锐角或直 角叫做 a 与 b 所成的角.

/

/

0 ?? ?
2、范围:两异面直线所成角θ 的取值范围是

?

2

33 / 72

3、向量求法:设直线 a、b 的方向向量为 a 、 b ,其夹角为 ,则有 4、注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但两者不完全相等,当 两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. (二)直线与平面所成的角 1、定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.

?

?

?

? ? a ?b cos ? ?| cos ? |? ? ? a?b

2 ? ? ? ? a u a 3、向量求法:设直线 l 的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线与平面所成的角为θ , 与 u 的夹角 ? ? a ?u sin ? ?| cos ? |? ? ? 或 cos ? ? sin ? a?u ? 为 ,则有
2、范围:直线和平面所成角θ 的取值范围是 (三)二面角 1、二面角的取值范围: 2、二面角的向量求法

0 ?? ?

?

[0, ? ]

? ? l ? ? 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向 ??? ? ??? ? 量 AB 与 CD 的夹角(如图(a)所示). ?? ?? ? ?? ?? ? n1 n2 n1 n2 ? ? l ? ? (2)设 、 是二面角 的两个角α 、β 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就
(1)若 AB、CD 分别是二面角 是二面角的平面角的大小(如图(b)所示).

七、用向量的方法求空间的距离 (一)点面距离的求法 如图(a)所示,BO⊥平面α ,垂足为 O,则点 B 到平面α 的距离就是线段 BO 的长度.若 AB 是平 面α 的任一条斜线段,则在 Rt△BOA 中,

??? ? ??? ? BO ? BA

??? ? ??? ? BA ? BO ? cos ?ABO cos ?ABO ? ??? ? ? BO n 。如果令平面α 的法向量为 ,考虑到法向量的方向,可以得到 B 点到平面α 的距 ??? ? ? AB ? n ??? ? BO ? ? n
离为 。

cos∠ABO=

34 / 72

因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成: 1、求出该平面的一个法向量. 2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量. 3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.

由于

? ? n ?? ? ? n0 n

可以视为平面的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发

的斜线段向量的数量积的绝对值,即 . 另外,等积法也是点到面距离的常用求法. (二)线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。 (三)两异面直线距离的求法

??? ? ?? ? d ? AB ? n0

l1、l2 上的任意两点,则 l1 与 l2 的距离是

? n 如图(b)所示,设 l1、l2 是两条异面直线, 是 l1 与 l2 的公垂线段 AB 的方向向量,又 C、D 分别是 ??? ? ? ??? ? CD ? n d ? AB ? ? n


【典型例题】
b 分别是直线 l1、l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系。 例 1. 设 a 、
(1) a =(2,3,-1), b =(-6,-9,3); (2) a =(5,0,2), b =(0,4,0); (3) a =(-2,1,4), b =(6,3,3)
? ? ? ? ? ?

?

?

(2, 3, ?1 ) 解:(1)∵ a ? , b =(-6,-9,3)

?

?

35 / 72

1? ? ? a ?? b 3 ,∴ a // b ,∴l1//l2 ∴
(2)∵ a =(5,0,2), b =(0,4,0) ∴ a ? b ? 0 ,∴ a ? b ,∴l1⊥l2 (3)∵ a ? (-2,1,4,), b =(6,3,3) ∴ a 与 b 不共线,也不垂直 ∴l1 与 l2 的位置关系是相交或异面
? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

v 分别是平面α 、β 的法向量,根据下列条件判断α 、β 的位置关系: 例 2. 设 u 、

?

?

1 (1) u =(1,-1,2), v =(3,2, 2 );
? ? ? ?

?

(2) u =(0,3,0), v =(0,-5,0); (3) u =(2,-3,4), v =(4,-2,1)。
?

?

1 解:(1)∵ u =(1,-1,2), v =(3,2, 2 )
? ?

?

∴ u? v ? 0 ? u ? v
?

? ?

?

?

∴α ⊥β
?

(2)∵ u =(0,3,0), v =(0,-5,0)

3? u ?? v 5 ∴
?
? ?

?

? u// v

?

?

?? // ?
?

(3)∵ u =(2,-3,4), v =(4,-2,1) ∴ u 与 v 既不共线、也不垂直,∴α 与β 相交 点评:应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件。 例 3. 已知点 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面 ABC 的一个单位法向量。 ? ? 解:由于 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),∴ AB =(-3,4,0), AC =(-3,0, 5) ? 设平面 ABC 的法向量为 n (x,y,z) ? ? ? ? 则有 n ? AB ? 0且 n ? AC ? 0 ? ? 3x ? 4 y ? 0 5 5 ? x? y? ? 3 x ? 5 z ? 0 3, 4 即? 取 z=1,得 ? 5 5 769 ? ,, 1 | n |? 12 于是 n =( 3 4 ),又 ? 20 15 12 n ?( , , ) 769 769 769 ∴平面α 的单位法向量是

36 / 72

? ? 例 4. 若直线 l 的方向向量是 a =(1,2,2),平面α 的法向量是 n =(-1,3,0),试求直线 l 与平面 α 所成角的余弦值。 分析:如图所示,直线 l 与平面α 所成的角就是直线 l 与它在平面内的射影所成的角,即∠ABO,而

?

在 Rt△ABO 中,∠ABO= 2 ∠BAO,又∠BAO 可以看作是直线 l 与平面α 的垂线所成的锐角,这样∠ BAO 就与直线 l 的方向向量 a 与平面α 的法向量 n 的夹角建立了联系,故可借助向量的运算求出∠BAO, 从而求出∠ABO,得到直线与平面所成的角。

?

解:∵ a =(1,2,2,), n =(-1,3,0) ∴

?

?

| a |? 3

?



| n |? 10

?

, a? n ? 5
?

? ?

cos ? a , n ??

? ?

? ?

a? n

| a |?| n | ∴ 若设直线 l 与平面α 所成的角是θ
则有 cos ? ? sin ? a , n ?
? ?

?

?

10 6

cos ? a , n ??


? ?

10 6 26 6

sin ? a , n ??


? ?

26 26 6 ,即直线 l 与平面α 所成角的余弦值等于 6 。 因此 CC BC ABCD ? A1B1C1D1 例 5. 如图(a)所示,在正方体 中,M、N 分别是 1 、 1 1 的中点。 A BD 求证:(1)MN//平面 1 ; A BD // 平面B1D1C (2)平面 1 。 cos ? ?

37 / 72

(1)证法一:如图(b)所示,以 D 为原点,DA、DC、

DD1

所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立

1 1 空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则可求得 M(0,1, 2 ),N( 2 ,1,1,),D(0,0,0), 1 1 ? A1 (1,0,1),B(1,1,0),于是 M N =( 2 ,0, 2 )。
的法向量是 n (x,y,z) ?x ? z ? 0 ? ? ? ? ? x?y?0 n ? DA 1 ? 0且 n ? DB ? 0 则 ,得 ? 设平面 取 x=1,得 y ? ?1 , z ? ?1,? n =(1,-1,-1)
?

A1 BD

?

1 1 ? ? MN ? n M N ? n 2 2 又 =( ,0, )?(1,-1,-1)=0,∴ A BD ∴MN//平面 1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 1 ? M N ? C 1 N ? C 1 M ? C 1 B 1 ? C 1 C ? (D 1 A 1 ? D 1 D) ? DA 1 2 2 2 2 证法二:∵ ? ? MN // DA1 ,∴ MN// 平面A1BD ∴ ? ? ? ? ? ?1D A ?1D D 1 1 1 2 证法三:∵ MN ? C1 N? C1 M 2 ? 1 ? ? 1 ? ? (DB? BA) ? (D1 A 1 ? A 1 D) 2 2 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? DB? BA? D1 A 1 ? A 1 D 2 2 2 2 1 ? 1 ? 1 ? ? ? DB? DA1 ? (BA? DA) 2 2 2 ? ? 1 1 1 ? ? DB? DA1 ? BD 2 2 2 ? 1 ? ? DA1 ? 0 ? DB 2 ? ? ? ? ? ? MN 可用 DA 与 DB MN 与 DA DB 是共面向量 1 1、 即 线性表示,故 ? ∴ M N //平面 A1BD,即 MN//平面 A1BD。
? ?

38 / 72

(2)证明:由(1)求得平面

A1 BD

? 的法向量为 n =(1,-1,-1)

? 同理可求平面 B1D1C 的法向量 m =(1,-1,-1) ? ? ∴ m// n ∴平面 A1BD//平面 B1D1C
例 6. 如图,在正方体 面 GBD。

ABCD ? A1B1C1D1

中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1 的中点。求证:A1O⊥平

? ? ? ? ? ? A B ? a , A D ? b, A1A ? c ,则 1 1 证明:设 1 1
?? ?? ?? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ?0 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? A1O ? A1 A ? AO ? A1 A ? (AB? AD) ? c ? ( a ? b ) 2 2 而 ? ? ? ? ? BD ? AD? AB ? b ? a ? ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1? OG ? OC? CG ? (AB? AD) ? CC1 ? ( a ? b ) ? c 2 2 2 2 ? ? ? 1? 1? ? ? A1O? BD ? ( c ? a ? b ) ? ( b ? a ) 2 2 ∴
?? ? 1 ? ? ? ? ? c ( b ? a ) ? ( a ? b )( b ? a ) 2 ?? ?? 1 ? ? ? c ? b ? c ? a ? (b 2 ? a 2 ) 2 ? ? 1 ? (| b | 2 ? | a | 2 ) ? 0 2 ? ? A 同理 1O? OG ? 0
A O ? OG , 1 A O? 又 BD ? OG ? O ,∴ 1 面 GBD。
∴ 例 7. (2004 年天津) 如图 (a) 所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点。 (1)证明:PA//平面 EDB; (2)求 EB 与底面 ABCD 所成角的正切值。

A1O ? BD

39 / 72

(1)证明:如图(b)所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点

设 DC=a,连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG

a a 依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E(0, 2 , 2 ) ∵底面 ABCD 是正方形 ∴G 是此正方形的中心 a a 故点 G 的坐标为( 2 , 2 ,0) a a ? ? ? ∴ PA =(a,0,-a), EG =( 2 ,0, 2 ) ? ? PA ? 2 EG ∴ ,这表明 PA//EG ? 而 EG 平面 EDB,且 PA ? 平面 EDB
∴PA//平面 EDB (2)解:依题意得 B(a,a,0),C(0,a,0)

a 如图(b)取 DC 的中点 F(0, 2 ,0),连结 EF、BF a a ? ? ? DC 2 2 ∵ FE =(0,0, ), FB =(a, ,0), =(0,a,0) ? ? ? ? ∴ FE? FB ? 0 , FE? DC ? 0 ∴FE⊥FB,FE⊥DC。 a ? | FE | 5 ? ? 2 ? ? 5 5 a | FB | 2 ∴tan∠EBF

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5 ∴EB 与底面 ABCD 所成角的正切值为 5
A D AC ABCD ? A1B1C1D1 例 8. 正方体 中,E、F 分别是 1 1 、 1 1 的中点,求: (1)异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值; (2)二面角 C—AE—F 的余弦值的大小。 DD1 解:不妨设正方体棱长为 2,分别取 DA、DC、 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间 直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2) ? ? ? ? | AE | ? 5 | CF |? 6 (1)由 AE =(-1,0,2), CF =(1,-1,2),得 , ? ? AE ? CF =-1+0+4=3 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? AE ? CF ? | AE | ? | CF | ? cos ? AE , CF ?? 30 cos ? AE , CF ? 又

? ? 30 30 cos ? AE, CF ?? 10 ,∴所求值为 10 ∴

? EF (2)∵ =(0,1,0) ? ? ∴ AE? EF =(-1,0,2)?(0,1,0)=0 ∴AE⊥EF,过 C 作 CM⊥AE 于 M ? ? ? EF , MC ? 则二面角 C—AE—F 的大小等于 ? ? 设 AM ? m AE ∵M 在 AE 上,∴ ? ? ? ? MC ? AC? AM =(-2,2,0)-(-m,0,2m)=(m-2,2,-2m) AM 则 =(-m,0,2m), ∵MC⊥AE ? ? MC ? AE =(m-2,2,-2m)?(-1,0,2)=0 ∴ ? ? 6 5 2 8 4 m? M C ? (? ,2,? ) | M C|? 5 ,∴ 5 5 5 , ∴ 8 4 ? ? ? ? ∴ EF? M C =(0,1,0)?( 5 ,2, 5 )=0+2+0=2

? ? ? ? ? ? ? ? 6 5 EF? M C ?| EF | ? | M C| ? cos ? EF, M C ?? cos ? EF, M C ? 5 又

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? ? cos ? EF, M C ??


5 3

5 ∴二面角 C—AE—F 的余弦值的大小为 3 例 9. 已知正方形 ABCD 的边长为 4, E、 F 分别是 AB、 AD 的中点, H 是 EF 与 AC 的交点, CG⊥面 ABCD, 且 CG=2。求 BD 到面 EFG 的距离。 分析:因 BD//平面 EFG,故 O 到面 EFG 与 BD 到面 EFG 距离相等,证明 OM 垂直于面 EFG 即可。 解:如图所示,分别以 CD、CB、CG 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。

易证 BD//面 EFG,设 AC ? BD =O,EF⊥面 CGH,O 到面 EFG 的距离等于 BD 到面 EFG 的距离,过 O 作 OM⊥HG 于 M,易证 OM⊥面 EFG,可知 OM 为所求距离。另易知 H(3,3,0),G(0,0,2), O(2,2,0)。 ? ? ? GH GM ? ? GH 设 , =(3,3,-2) ? ? ? 则 OM ? GM? GO ? ? (3,3,?2) ? (2,2,?2) ? (3? ? 2,3? ? 2,?2? ? 2)

? ? 又 OM? GH ? 0 ,∴ 3(3? ? 2) ? 3(3? ? 2) ? 2(2 ? 2? ) ? 0 ? 8 2 2 6 ?? OM ? ( , , ) 11 ,∴ 11 11 11 ∴
? 2 6 2 11 | OM |? 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 11 11 11 ∴

2 11 即 BD 到平面 EFG 的距离等于 11

【励志故事】 习惯
父子俩住山上,每天都要赶牛车下山卖柴。老父较有经验,坐镇驾车,山路崎岖,弯道特多,儿子眼 神较好,总是在要转弯时提醒道:“爹,转弯啦!” 有一次父亲因病没有下山,儿子一人驾车。到了弯道,牛怎么也不肯转弯,儿子用尽各种方法,下车 又推又拉,用青草诱之,牛一动不动。 到底是怎么回事?儿子百思不得其解。最后只有一个办法了,他左右看看无人,贴近牛的耳朵大声叫 道:“爹,转弯啦!” 牛应声而动。 牛用条件反射的方式活着, 而人则以习惯生活。 一个成功的人晓得如何培养好的习惯来代替坏的习惯, 当好的习惯积累多了,自然会有一个好的人生。

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空间向量与立体几何
知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
王新敞
奎屯 新疆

2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图) 。

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ? a (? ? R) ? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向 量, a 平行于 b ,记作 a // b 。 能是平行直线。

? ? ? ? ? ? ? ? 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可

?

?

(2)共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 存在实数 λ,使 a =λ b 。 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。

?

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? p ? xa ? yb 。

( 2 )共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线, p 与向量 a , b 共面的条件是存在实数 x, y 使

? ?

?

? ?

5. 空间向量基本定理:如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实 数组 x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc 。

? ? ?

?

?

?

?

?

若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a , b , c } 叫做空间的一个基底, a , b , c 叫做基向量,空间任意三个不共 面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ,使

???

? ? ?

? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC 。

6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 对空间任一点 A , 存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) , 使 OA ? xi ? yi ? zk , 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫

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纵坐标, z 叫竖坐标。

(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单位正交基底,用 {i, j, k} 表示。 (3)空间向量的直角坐标运算律: ①若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

?? ?

?

?

? ?

? ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , ? ? a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。 ??? ? ②若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) 。
(4)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则 | a |?

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

?

?

? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? (5)夹角公式: cos a ? b ? ? 。 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
(6)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? 或 d A, B ?

?

??? ?

??? ?2 AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a , b ? ;且规定 0 ?? a , b ?? ? ,显然有 ? a , b ??? b , a ? ;若 ? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b 。 2 ??? ? ? ??? ? ? ? (2)向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |c o s ? ,? ab ? 叫做 a, b 的数量积, (3) 向量的数量积: 已知向量 a , b , 则 | a| |? b 记作 a ? b , 即 a ?b ? ? ? ? ? | a| |? b |c o s? ,? ab ? 。
(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA ? a ,OB ?b ,则

7. 空间向量的数量积。

? ?

??? ?

(4)空间向量数量积的性质:

① a ? e ?| a | cos ? a, e ? 。② a ? b ? a ? b ? 0 。③ | a | ? a ? a 。
2

? ?
?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

(5)空间向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 。 ?

① (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) 。② a ? b ? b ? a (交换律) 。

? ?

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【典型例题】
例 1. 已知平行六面体 ABCD- A?B?C?D? ,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量。 ⑴ AB ? BC ;⑵ AB ? AD ? AA? ; ⑶ AB ? AD ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ????

??? ? ????

? ? ???? ???? 1 ???? 1 ??? CC ? ;⑷ ( AB ? AD ? AA?) 。 2 3

M G

例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满足向量式:

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?

例 3. 已知空间四边形 OABC , 其对角线 OB, AC ,M , N 分别是对边 OA, BC 的中点, 点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,用基底向量 OA, OB, OC 表示向量 OG 。

??? ? ??? ? ????

????

例 4. 如图, 在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? , 求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。

45 / 72

O

A

C B

说明:由图形知向量的夹角易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,切记! 例 5. 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 4 , E 为 A1C1 与 B1 D1 的交点, F 为 BC1 与 B1C 的交 点,又 AF ? BE ,求长方体的高 BB1 。

??? ? ??? ?

??? ? ????

【模拟试题】
1. 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下列各表达式,并标 出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ; (2) AB ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? (3) AG ? ( AB ? AC ) 。 ( BD ? BC ) ; 2 2

2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量。

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ???? OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD 。 (1)求证:四点 E , F , G, H 共面;
(2)平面 AC // 平面 EG 。

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3. 如图正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, B1 E1 ? D1 F1 ?

1 A1B1 ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦。 4

4. 已知空间三点 A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) 。 ⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S;

??? ? ????

⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且| a |= 3 ,求向量 a 的坐标。

?

??? ? ????

?

?

5. 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C?D? 中,

AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 90? , ?BAA? ? ?DAA? ? 60? ,求 AC ? 的长。
[参考答案]

1. 解:如图,

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??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ( BD ? BC ) ? AB ? BC ? BD 。 2 2 ??? ? ???? ?2 ???? ? ???? ? AB ? BM ? MG ? AG ; ???? 1 ??? ? ??? ? ???? ???? ? ???? ? (3) AG ? ( AB ? AC ) ? AG ? AM ? MG 。 2 ???? ??? ? ???? 2. 解: (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ??? ? ???? ??? ? ∵ EG ? OG ? OE , ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ? ???? ? EF ? EH ∴ E , F , G, H 共面; ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)解:∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 。 所以,平面 AC // 平面 EG 。
(2) AB ? 3.

(1) AB ? BC ? CD ? AC ? CD ? AD ;

??? ? ??? ? ??? ?

???? ??? ?

????

解:不妨设正方体棱长为 1 ,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 B(1,1, 0) , E1 (1, ,1) , D(0,0,0) , F1 (0, ,1) ,

???? ? 1 1 4 4 ???? ? ???? ? 17 ∴ BE1 ? DF1 ? , 4 ???? ? ???? ? 1 1 15 BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? (? ? ) ? 1?1 ? 。 4 4 16 15 ???? ? ???? ? 15 16 cos BE1 , DF1 ? ? 。 17 17 17 4 4 ??? ? ???? ??? ? ???? AB ? AC 1 ? ???? ? 4. 分析:⑴? AB ? (?2, ?1,3), AC ? (1, ?3, 2),? cos ?BAC ? ??? | AB || AC | 2 ??? ? ???? ? ∴∠BAC=60°,? S ?| AB || AC | sin 60 ? 7 3 ? ? ? ??? ⑵设 a =(x,y,z) ,则 a ? AB ? ?2 x ? y ? 3z ? 0, ? ? ??? ? a ? AC ? x ? 3 y ? 2 z ? 0,| a |? 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ? ? 解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴ a =(1,1,1)或 a =(-1,-1,-1) 。
∴ BE1 ? (0, ? ,1) , DF1 ? (0, ,1) ,

???? ?

3 4

1 4

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5. 解: | AC ? |2 ? ( AB ? AD ? AA?) 2

???? ?

??? ? ???? ????

??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2 ?2 AB ? AD ? 2 AB ? AA? ? 2 AD ? AA?

? 42 ? 32 ? 52 ? 2 ? 4 ? 3 ? cos90? ? 2 ? 4 ? 5 ? cos60? ? 2 ? 3? 5 ? cos60? ? 16 ? 9 ? 25 ? 0 ? 20 ? 15 ? 85 ???? ? 所以, | AC ? |? 85 。

专题四:立体几何 第三讲空间向量与立体几何 【最新考纲透析】 1.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 2.空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量。 (2)能用向量语言表述直线与直线,直线与平面,平面与平面的垂直、平行关系。 (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 。 (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究 立体几何问题中的应用。 【核心要点突破】 要点考向 1:利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦:1.平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系,也是每年的必考内容,利用空间向量判断空 间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2.题型灵活多样,难度为中档题,且常考常新。 考向链接:1.空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容,一方面考查学生的空间 想象能力和逻辑推理能力;另一个方面考查“向量法”的应用。 2.空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路:一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用 空间向量来论证。 例 1: (2010? 安徽高考理科? T18) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形,EF ∥ AB ,

EF ? FB , AB ? 2EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。 (1)求证: FH ∥平面 EDB ; (2)求证: AC ? 平面 EDB ;

(3)求二面角 B ? DE ? C 的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题,考查了考 生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明,亦可采用向量法证明。 【规范解答】

?四边形ABCD为正方形, ? AB ? BC , 又 ? EF ? FB, EF // AB,? AB ? FB, 且BC ? FB ? B, ? AB ? 平面FBC ,? AB ? FH , 又BF ? FC , H 为BC中点, ? FH ? BC , 且AB ? BC ? B, ? FH ? 平面ABC.

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??? ? ???? ???? 如图,以H 为坐标原点,分别以HB、 GH、 HF的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系, 令BH ? 1, 则A(1, ?2,0), B(1,0,0), C (?1,0,0), D(?1, ?2,0), E(0, ?1,1), F (0,0,1).
(1) E D G A X B H Z F C Y

?? ? 设AC与BD的交点为G,连接GE、GH,则G(0,-1,0), ? GE ? (0, 0,1), ???? ?? ? ???? 又 ? HF ? (0, 0,1),? GE // HF GE ? 平面EDB,HF ? 平面EDB,? HF // 平面EDB ???? ?? ? ???? ?? ? ? AC ? (?2, 2, 0), GE ? (0, 0,1),? AC ?GE ? 0,? AC ? GE.

?? ? 设平面BDE的法向量为n1 ? (1, y1 , z1 ), ??? ? ??? ? ? BE ? (?1, ?1,1), BD ? (?2, ?2, 0). ??? ? ?? ? ? ? BE ?n1 ? 0 ??1 ? y1 ? z1 ? 0 由 ? ??? ,即 ? ,得y1 ? ?1,z1 ? 0, ? ?? ? ? 2 ? 2 y ? 0 BD ? n ? 0 ? 1 ? ? 1 ?? ? ? n1 ? ( 1, ? 1,0) ?? ? 设平面CDE的法向量为n 2 ? (1, y2 , z2 ), ??? ? ??? ? ? CD ? (0, ?2, 0), CE ? (1, ?1,1). ??? ? ?? ? ? CD ? n y2 ? 0 ? ? 2 ?0 由 ? ??? ,即 ? ,得y2 ? 0,z2 ? ?1, ? ?? ? 1 ? y ? z ? 0 CE ? n ? 0 ? 2 2 ? ? 2 ?? ? ? n2 ? ( 1, 0,-1) ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1 1 ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? , | n1 || n2 | 2 2 2 ?? ?? ? ?? n1 , n2 ?? 60? ,即二面角B-DE-C为60?。
【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行; 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直; 3、确定二面角的大小,可以先构造二面角的平面角,然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、 以上立体几何中的常见问题, 也可以采用向量法建立空间直角坐标系, 转化为向量问题进行求解证明。 应用向量法解题,思路简单,易于操作,推荐使用。 要点考向 2:利用空间向量求线线角、线面角 考情聚焦:1.线线角、线面角是高考命题的重点内容,几乎每年都考。 2.在各类题型中均可出现,特别以解答题为主,属于低、中档题。 考向链接:1.利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: (1)异面直线所成角

? AC ? 平面EBD. (2) 又AC ? BD,且GE ? BD=G, (3)



分别为异面直线

的方向向量,则

(2)线面角 设 是直线 l 的方向向量, n 是平面的法向量,则

?

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2.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为: (1)建立恰当的空间直角坐标。 (2)求出相关 点的坐标。 (3)写出向量坐标。 (4)结合公式进行论证、 计算。 (5)转化为几何结论。

1 例 2: (2010?辽宁高考理科?T19)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC= 2 AB,N
为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别 为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的 计算问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】建系,写出有关点坐标、向量的坐标,

???? ? ??? ? CM 、 SN 计算 的数量积,写出答案;

求平面 CMN 的法向量,求线面角的余弦,求线面角,写出答案。 【规范解答】 设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB、AC、AP 分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系,如图。

1 1 1 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, 2 ),N( 2 ,0,0),S(1, 2 ,0)
(I)

???? ? ? 1 ??? 1 1 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0), 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 因为CM ?SN ? ? ? ? 0 ? 0 2 2 所以CM ? SN ???? 1 (II) NC ? ( ? ,1, 0), 2 ? 设a ? ( x, y, z )为平面CMN的一个法向量, z ? x? y? ?0 ? ? ? 2 则? 令x ? 2, 得a ? (2,1, ?2) ?? 1 x ? y ? 0 ? ? 2 1 -1? ??? ? 2 ? 2 因为|cos ? a SN ? |= 2 2 3? 2 所SN与平面CMN所成的角为45o

【方法技巧】 (1)空间中证明线线,线面垂直,经常用向量法。 (2)求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。 (3) 线面角的范围是 0°~90°, 因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的, 要取绝对值。 要点考向 3:利用空间向量求二面角 考情聚焦:1.二面角是高考命题的重点内容,是年年必考的知识点。 2.常以解答题的形式出现,属中档题或高档题。 考向链接:求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的 法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

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其计算公式为:设

分别为平面

的法向量,则 ? 与

互补或相等,

例 3: (2010?天津高考理科?T19) 如图,在长方体

ABCD ? A1 B1C1D1

中, E 、 F 分别是 棱 BC ,

CC1

AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 上的点, CF ? AB ? 2CE ,
求异面直线 EF 与 证明 AF ? 平面

A1 D

所成角的余弦值;

A1 ED

求二面角 1 的正弦值。 【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量 解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。 【规范解答】方法一:以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 X 轴,AD 所在直线为 Y 轴建立空间直角坐标系

A ? ED ? F

? 3 ? E ? 1, , 0 ? D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A1 (0, 0, 4) , ? 2 ? (如图所示) ,设 AB ? 1 ,依题意得

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? EF ?A1D 3 ??? ? ? 1 ? cos EF , A1D ? ??? ? ???? ? ?? ? EF ? ? 0, ,1? ???? 5 EF A1D ? 2 ? , A1 D ? (0, 2, ?4) ,于是 易得 , 3 AD 所以异面直线 EF 与 1 所成角的余弦值为 5 。 ???? ? ? ? 3 ? ??? 1 ? ??? ? EA1 ? ? ?1, ? , 4 ? ED ? ? ?1, , 0 ? AF ? (1, 2,1) , 2 ?, 2 ? ? ? 证明:已知 ???? ??? ? ??? ? ??? ? EA AF ? EA1 AF ? ED EA1 ? ED ? E 于是 AF ? 1 =0, AF ? ED =0.因此, , ,又 A1 ED AF ?
所以 平面

?1 y?z ?0 ? ? ??? ? ?2 ? ?u ?EF ? 0 ? ? ?? x ? 1 y ? 0 ? ? ? ??? u ? ( x, y , z ) ? 2 ?u ?ED ? 0 ,即 ? (3)解:设平面 EFD 的法向量 ,则 ?
不妨令 X=1,可得

u ? (1, 2 ?1)

?

。由(2)可知,

AF 为平面 A ED 的一个法向量。
1

?

52 / 72

cos
于是

? 2 u,AF = u AF = 3 sin u,AF |u||AF| ,从而
? ? ? ?
? ?

?

?

=

5 3

所以二面角 要点考向 4:利用空间向量解决探索性问题 考情聚焦:立体几何中已知结论寻求结论成立的条件(或是否存在问题) ,能较好地考查学生的逻辑推理 能力和空间想象能力,是今后考查的重点,也能很好地体现新课标高考的特点。 例 4: ( 2010 ?福建高考理科?T 18 )如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形, 且 AB 是圆 O 的直径。 (I)证明:平面 A1ACC1 ? 平面 B1BCC1; ( II ) 设 AB = AA1, 在 圆 柱 OO1 内 随 机 选 取 一 点 , 记 该 点 取 自 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 内的概率为 p。 (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值;
0 0

A1 -ED-F

5 的正弦值为 3

(ii)记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? ( 0 ? ? ? 90 ) 。当 p 取最

大值时,求 cos ? 的值。 【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几 何概型等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化 思想、必然与或然思想。 【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到面面垂直;第二步首先求出长方体的 体积,并求解三棱柱的体积的最大值,利用体积比计算出几何概率。立体几何中我们可以利用向量处理角 度问题,立体几何中涉及的角:有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算,

? ? a ?b ? ? cos ? a , b ?? ? ? ? ? a , b | a || b | ,利用这一结论,我们可以较 均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量 ,有
方便地处理立体几何中的角的问题。 【规范解答】 (I)

? A1 A ?

? A1 A ? BC 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , ,又 AB 是 ? O 的直径,

? BC ? AB ,又? AC ? AA1 ? A ,? BC ? 平面 A1 ACC1 ,而 BC ? 平面 B1 BCC1 ,所以平面 A1 ACC1
? 平面 B1 BCC1 ;
(II) (i)设圆柱的底面半径为 r ,则 ABC-A1B1C1,的体积为

AB ? AA1 ? 2r

,故圆柱的体积为 V ? ?r ? 2r ? 2?r ,设三棱柱
2 3

V1

P?
,所以

V1 V ,所以当 V1 取得最大值时 P 取得最大值。又因为点 C 在圆周上运

动,所以当 OC ? AB 时, ?ABC 的面积最大,进而,三棱柱 ABC-A1B1C1,的体 1 1 ? 2 r ? r ? 2r ? 2r 3 V1 积 最大,且其最大值为 2 ,故 P 的最大值为 ? ; (ii)由(i)知, P 取最大值时, OC ? AB ,于是,以 O 为坐标原点,建立空 间直角坐标系

O ? xyz , 则 C ? r , 0, 0 ? , B ? 0, r , 0 ? , B1 ? 0, r , 2r ? , ? BC ? 平 面 ??? ? A1 ACC1 ? BC ? ? r , ? r , 0 ? A ACC1 B OC , 是平面 1 的一个法向量,设平面 1 的法 ? ???? ? ? n ? OC ? rx ? 0 ? ? ? ???? ? ? n ? ? x, y , z ? ?n ? OB1 , ?ry ? 2rz ? 0 , 向量为 ,由于 ?

53 / 72

所以平面 1 的一个法向量为 【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题,本题的( II) (i)也可以采用向量法进 行证明: 以 O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 则

B OC

? n ? ? 0, ?2,1?

? ??? ? 10 ? cos ? ? cos n , BC ? 0 0 5 。 ,? 0 ? ? ? 90 ,

C ? r cos ?, r sin ?, 0 ? O ? xyz , 设圆柱的底面半径为 r , ,
3

AB ? AA1 ? 2r

V ,故圆柱的体积为 V ? ?r ? 2r ? 2?r ,设三棱柱 ABC-A1B1C1, 的体积为 1 ,所以
2

V1 1 S?ABC ? ? 2r ? r cos ? ? r 2 cos ? V ,所以当 V1 取得最大值时 P 取得最大值。 2 ,所以当 cos ? ? 1 时的 1 ? 2 r ? r ? 2r ? 2r 3 V ?ABC 的面积最大,进而,三棱柱 ABC-A1B1C1,的体积 1 最大,且其最大值为 2 ,故 P 1 的最大值为 ? ; P?
【高考真题探究】

r r 1. (2010?广东高考理科?T10)若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1),
则x= . 【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.

r r r r ( c ? a ) ? (2 b ) =-2, c =(1,1,1),满足条件

【思路点拨】先算出 c ? a 、 2b ,再由向量的数量积列出方程,从而求出 x.

? ?

?

r r r ? ? ? (c ? a) ? (2b) ? ?2 2 b ? (2 , 4 , 2) ? (0,0,1 ? x ) c ? a 【规范解答】 , ,由 (0,0,1 ? x) ? (2, 4, 2) ? ?2 ,即 2(1 ? x) ? ?2 ,解得 x ? 2. 【答案】2 得
2. (2010?浙江高考理科?T20)如图,在矩形 ABCD 中,点

E , F 分别在线段

2 AE ? EB ? AF ? FD ? 4 ' AB, AD 上 , 3 . 沿 直 线 EF 将 VAEF 翻 折 成 V A EF , 使 平 面 A' EF ? 平面BEF .
(Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;
'

(Ⅱ)点

M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A' 重合,求线

段 FM 的长。 【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,考查空间向量的应用,同时考 查空间想象能力和运算求解能力。 【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系,利用空间向量解决问题;方法二利用几何 法解决 求二面角问题和翻折问题。 【规范解答】方法一: (Ⅰ)取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因为
'

A'E = A' F 及 H 是 EF 的中点,所以 A'H ? EF ,又因为平面 A' EF ? 平面 BEF .
' 如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,
?

0) ,F(4,0,0) ,D(10,0, 0).
? ?

' 故 FA =(-2,2,2 2 ) ,

FD =(6,0,0).设 n =(x,y,z)为平面 A' FD 的一个法向量,所以 ? ? ?2 x ? 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ? ?6 x ? 0 。

54 / 72

? n ? (0, ?2, 2) 。 z ? 2 取 ,则
又平面 BEF 的一个法向量

? m ? (0, 0,1) ,故

? ? n ?m 3 ? ? cos? n , m? ? ? ? ? n ?m 3



3 所以二面角的余弦值为 3 FM ? x, BN ? a ,则 M (4 ? x,0,0) , N (a,8,0) , (Ⅱ)设
因为翻折后, C 与 A ' 重合,所以 CM ? A ' M , CN ? A ' N ,
2 2 2 2 2 2 ? (2 2) ?(6 ? x) ? 8 ? 0 =(? 2 ? x)? 2 ? 21 13 ? x? a? 2 2 2 2 4 , 4 , ?(10 ? a) ? (2 ? a) ? 6 ? (2 2) 故, ? ,得

FM ?

所以 3. (2010?陕西高考理科?T18)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD, AP=AB=2, BC= 2 2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解 问题, 考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决 立体几何问题的方法与技巧。 【思路点拨】思路一:建立空间直角坐标系,利用空间向量求解;思路二: 利用几何法求解. 【规范解答】解法一(Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在的 直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2, BC= 2 2 ,四边 形 ABCD 是矩形. ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2 ,0),D(0, 2 2 ,0), P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD ,PC 的中点,∴E(0, 2 ,0),F(1, 2 ,1).

21 4 。

??? ? ??? ? ??? ? PC 2 2 2 BF EF ∴ =(2, ,-2) =(-1, ,1) =(1,0, 1) , ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ∴ PC ? BF =-2+4-2=0, PC ? EF =2+0-2=0, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PC PC BF ∴ ⊥ , ⊥ EF ,∴PC⊥BF,PC⊥EF, BF ? EF ? F ,∴PC⊥平面 BEF ?? ??? ? ?? ? ???? n1 ? PC ? (2, 2 2, ?2), n2 ? AD ? (0, 2 2, 0), (II)由(I)知平面 BEF 的法向量 平面 BAP 的法向量 ?? ?? ? ? n1 ?n2 ? 8, ?? ?? ? n1 ?n2 ?? ?? ? 8 2 cos ? ? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? , ? ? 2 n1 n2 4 ? 2 2
设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ? ,则
0

0 ∴ ? ? 45 , ∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45

4. (2010?重庆高考文科?T20)如题图,四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面ABCD , PA ? AB ?

2,

55 / 72

点 E 是棱 PB 的中点. (I)证明: AE ? 平面PBC ; (II)若 AD ? 1 ,求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值. 【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线 与平面的位置关系, 考查余弦定理及其应用,考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用,考查空间想象能力,推理论证 能力,运算求解能力,考查数形结合的思想,考查化归与转化的思想. 【思路点拨】 (1)通过证明线线垂直证明结论:线面垂直, (II)作出二面角的平面角,再利用三角函数、 余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系, 利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数 值. 【规范解答】 (I)以 A 为坐标原点, 射线

AB, AD, AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴, A ? xyz .如图所示.

建立空间直角坐标系 设设

D(0, a,0) ,则 B ( 2,0,0) , C ( 2, a, 0) , P (0,0, 2 ) , E ??? ? 2 2 2 2 ??? ? ( ,0, ) AE ? ( , 0, ) BC ? (0, a, 0) 2 2 2 2 。 于 是 , , uuu r uuu r uuu r uuu r ??? ? AE ? BC ? 0, AE ? PC ? 0 PC ? ( 2, a, ? 2) ,则 , uuu r uuu r uuu r uuu r AE ? BC , AE ? PC 所以 ,故 AE ? 平面PBC . ?? n1 (II)设平面 BEC 的法向量为 ,由(Ⅰ)知, AE ? 平面BEC ,故可

?? ? ??? ? 2 2 ?? ? n1 ? EA ? (? , 0, ) n (x2 , y2 , z2) 2 2 .设平面 DEC 的法向量 2 ? 取 ,则 ???? u u r uuu r u u r uuu r AD ? 1 n2 ? DC ? 0, n2 ? DF ? 0 ( 2,1,0) (0,1,0) , ,由 ,得 D ,G ,

? x2 ? 0 ? ??? ? ? 2 2 2 2 x2 ? y2 ? z2 ? 0 DE ? ( ,-1, ) ? x ? 0 z2 ? 2 y2 DC ? ( 2 ,0,0 ) ? 2 2 2 2 从而 , ,故 ,所以 2 , , ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 3 ? ?? cos ? n1 , n2 ?? ?????? ?? ? 3 n1 n2 n2 ? (0, 1,2) y2 ? 1
可取 ,则 ,从而 . 【方法技巧】 (1)用几何法推理证明、计算求解; (2)空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题. 5. (2010?江西高考文科?T20) 如图, ?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形, (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值. 【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平 行关系,考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题,考查空间 向量的坐标运算,考查数形结合思想,考查考生的空间想象能力、推理论 证能力、划归转化能力和运算求解能力。 【思路点拨】本题主要有两种方法,法一:几何法(1)直接找出线面角, 然后求解;
M B D

平面 MCD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD , AB ? 2 3 .

A

C

56 / 72

(2)对二面角的求法思路,一般是分三步①“作” ,②“证” ,③“求”. 其中“作”是关键, “证” 是难点.法二:建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解. 【规范解答】取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD,又平面

MCD ? 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD .

A

z

以 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 如图.OB=OM= 3 ,则各点坐标分别为 O(0,0,0) ,C(1,0,0) ,M(0, 0, 3 ) ,B(0,- 3 ,0) ,A(0,- 3 ,2 3 ) , ? (1)设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 .
B O M D

? ???? ? n ? (0, 0,1) .则有 3 ? 3 BCD AM ? 因 (0, , ) ,平面 的法向量为 ???? ? ? ???? ? ? AM ? n 3 2 sin ? ? cos AM , n ? ???? ? ? ? ? 2 6 AM ? n ? ,所以 ? ? 45 . ???? ? ??? ? CM ? ( ? 1, 0, 3) CA ? (?1, ? 3, 2 3) . (2) , ?? ???? ? ?n1 ? CM ? ?? x ? 3 z ? 0 ? ?? ? ??? ??? ? n1 ? ( x, y, z ) n1 ? CA ? ?? x ? 3 y ? 2 3 z ? 0 . ? 设平面 ACM 的法向量为 ,由 得? ?? ? n1 ? ( 3,1,1) n ? (0, 0,1) y ? z x ? 3 z 解得 , ,取 .又平面 BCD 的法向量为 , ?? ? ?? ? n ?n 1 1 2 5 cos ? n1 , n ?? ??1 ? ? sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? 5 n1 ? n 5 5 ?
则 设所求二面角为 ,则 6. (2010?四川高考理科?T18)

y

x

C

.

已知正方体 ABCD ? A?B?C?D? 的棱长为 1,点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是对角线 BD? 的中点. (Ⅰ)求证: OM 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M ? BC? ? B? 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M ? OBC 的体积. 【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、 二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决 数学问题的能力,转化与化归的数学思想. 【思路点拨】方法一:几何法问题(Ⅰ) ,分别证明 OM ? AA? , OM ? BD? 即可. 问题 (II) 首先利用三垂线定理, 作出二面角 M ? BC? ? B? 的平面角, 然后通过平面角所在的直角三角形, 求出平面角的一个三角函数值,便可解决问题. 问题(Ⅲ)选择便于计算的底面和高,观察图形可知, ?OBC 和 ?OA?D? 都在平面 BCD?A? 内,且
M ?OA?D? O ? MA?D? ,利用三棱锥的体积公式很快求出 ,故 M ?OBC 方法二:建立 空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解.

S?OBC ? S?OA?D?

V

?V

?V

VO ? MA?D?

.

【规范解答】(方法一): (I)连结 AC .取 AC 的中点 K ,则 K 为 BD 的中点,连结 OK . ∵点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是 BD? 的中点, 由 AA? ? AK ,得 OM ? AA? . ∵

AK ? BD, AK ? BB? ,∴ AK ? 平面BDD?B? . ∴ AK ? BD? .∴ OM ? BD? .

57 / 72

又∵ OM 与异面直线 AA? 和 BD? 都相交,故 OM 为异面直线 AA? 和

BD? 的公垂线,

? ? (II)取 BB? 的中点 N ,连结 MN ,则 MN ? 平面BCC B ,
过点过点 N 作 NH ? BC? 于 H ,连结 MH ,则由三垂线 定理得, BC? ? MH . ∴ ?MHN 为二面角 M ? BC? ? B? 的平面角.

1 2 MN ? 1, NH ? BN sin 45? ? ? 2 2 MN tan MHN ? ? NH 在 Rt ?MNH 中.
的大小为 arctan 2 2 . (III) 易知,

?

2 4 .

1 ?2 2 2 4 故二面角 M ? BC? ? B?
h? 1 2,

S?OBC ? S?OA?D?

,且 ?OBC 和 ?OA?D? 都在平面 BCD?A? 内, 点 O 到平面 MA?D? 的距离

1 1 VM ?OBC ? VM ?OA?D? ? VO ? MA?D? ? S?MA?D? h ? 3 24 . ∴
(方法二):以点 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 则 (I)∵点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是 BD? 的中点,

A(1, 0, 0) , B(1,1, 0) , C (0,1, 0) , A?(1, 0,1) , C?(0,1,1) , D?(0,0,1)

D ? xyz ,

???? ? 1 1 1 1 1 1 O( , , ) M (1, 0, ) OM ? ( , ? , 0) 2 2 2 , 2 , 2 2 ∴ , ???? ???? ? AA? ? (0, 0,1) , BD? ? (?1, ?1,1) . ???? ? ???? ? 1 1 ???? ? ???? OM ? BD? ? ? ? ? 0 ? 0 OM ? AA? ? 0 , 2 2 , ∴ OM ? AA? , OM ? BD? ,
又∵ MO 与异面直线 AA? 和 BD? 都相交, 故 MO 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线, ( II ) 设 平 面 BMC? 的 一 个 法 向 量 为

?? n1 ? ( x, y, z )



???? ? 1 ? BM ? (0, ?1, ) ???? ? ? (?1, 0,1) BC 2 , .

1 ?? ???? ? ? ? y ? z ? 0, ? ? n ? BM ? 0, ? 1 2 ? ? ??? ???? ? ? ?n1 ? BC ? ? 0. 即 ? ? x ? z ? 0. ?? ?? ? n ? (2,1, 2) n ? (0,1, 0) x ? 2, y ? 1 . 1 取 z ? 2 ,则 . 取平面 BC?B? 的一个法向量 2 . ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 1 cos ? n1 , n2 ?? ?? ? ?? ? ? 9 ?1 3 n1 n2 ,由图可知,二面角 M ? BC? ? B? 的平面角为锐角,
故二面角 M ? BC? ? B? 的大小为

arccos

1 3.

58 / 72

1 1 2 ?? ? S四边形BCD?A? ? ?1? 2 ? n3 ? ( x1 , y1 , z1 ) OBC 4 4 4 (III)易知, ,设平面 的一个法向量为 , ?? ? ???? ? ? ?n3 ? BD1 ? 0, ? ? x1 ? y1 ? z1 ? 0, ???? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? x ? 0. BD1 ? (?1, ?1,1) BC ? (?1, 0, 0) n ? BC ? 0. ? 3 ? , , 即? 1 ?? ? n3 ? (0,1,1) z1 ? 1 y1 ? 1 S?OBC ?
取 ,则 ,从而 .

???? ? ?? ? 1 BM ? n3 1 1 1 2 1 1 d? ? 2 ? ?? ? ? 2 2 2 VM ?OBC ? 3 S?OBC ? d ? 3 ? 4 ? n3 2 2 24 . 点 M 到平面 OBC 的距离 .
【跟踪模拟训练】 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知点 A(-3,1,-4) ,则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为( ) (A)(-3,-1,4)(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4) 2.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D 是 AC 的中点, AB1⊥BC1, 则平面 DBC1 与平面 CBC1 所成的角为( (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

)

f ( x) ? 2sin 2 ( ? x) g ( x) ? 3 cos 2 x 的图象分别交于 M 、 N 两点,则 4 3. 设动直线 x ? a 与函数 和 | MN | 的最大值为()
A(3, 2) , B(?2, ?3) ,沿 y 轴把坐标平面折成 120o 的二面角后, AB 的长为() 4. 在直角坐标系中,设 A. 6 B. 4 2 C. 2 3 D. 2 11
A. 2 B. 3 C.2 D .3

?

5. 矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积为()

125 ? A. 12

125 ? B. 9

125 ? C. 6

125 ? D. 3

6. 如图: 在平行六面体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? b ,AA1 ? c M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。 若 AB ? a ,

则下列向量中与 BM 相等的向量是()

59 / 72

1 1 1 1 1 1 1 1 ? a? b?c a? b?c ? a? b?c a? b?c 2 2 2 2 (A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 2
二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.OX ,OY ,OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直线,点 P 到这三条直线的距离分别为 10 ,

a , b ,则 OP ? 37 ,则 a 2 ? b2 ? __。
8.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=2,AD=1,且 AB、AD、AA1 两两之间夹角均为 600,

AC1 ? BD 1 = 9.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角后,有下列四个结论:


(1) AC ? BD ; (2) ?ACD 是等边三角形; (3) AB 与平面 BCD 成 6 0° ; (4) AB 与 CD 所成的角 为 60° .其中正确结论的序号为_________(填上所有正确结论的序号) . 三、解答题(共 46 分) 10. 如图, 在 四棱锥 P—ABCD 中, 底面是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,

PO ? 3 ,E、F 分别是 BC、AP 的中点.
(1)求证:EF∥平面 PCD; (2)求二面角 A—BP—D 的余弦值.

11. 某组合体由直三棱柱

ABC ? A1B1C1 与正三棱锥 B ? ACD 组成,如图所示,其中, AB ? BC .它的

正视图、侧视图、俯视图的面积分别为 2 2 +1,1 , 2 2 +1.

(1)求直线 (2)在线段 由.

CA 1 与平面 ACD 所成角的正弦;
AC1 上是否存在点 P ,使 B1P ? 平面 ACD ,若存在,确定点 P 的位置;若不存在,说明理

12. 如图,三棱柱

ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 面 ABC ,

60 / 72

BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点。 AB1 // 面 BDC1 ; (I)求证:
(Ⅱ)求二面角 1 的余弦值 参考答案 1. 【解析】选 A.∵点 A 关于 x 轴对称点的规律是在 x 轴上的坐标不变,在 y 轴,z 轴上的坐标分别变为相 反数,∴点 A(-3,1,-4)关于 x 轴的对称点的坐标为(-3,-1,4). 2. 【解析】选 B.以 A 为坐标原点,AC、AA1 分别为 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系.设底面边长为 2a.侧 棱长为 2b.

C ? BD ? C

3.D

4.D

5.C

6.A

7.64

8.3

9. (1) (2) (4)

10.解: (1)证明:取 PD 的中点 G,连接 FG、CG∵FG 是△PAD 的中卫县,∴FG 在菱形 ABCD 中,AD BC,又 E 为 BC 的中点,∴CE ∴EF∥CG 又 EF ? 面 PCD,CG ? 面 PCD,∴EF∥面 PCD

1 AD 2 ,

FG,∴四边形 EFGC 是平行四边形,

(2)法 1:以 O 为原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 、 图所示的空间直角坐标系。

y 、 z 轴建立如

则 0(0,0,0) ,A(0, ? 3 ,0) ,B(1,0,0) P (0,0, 3 )

AB =(1, 3 ,0) AP =(0, 3 , 3 ) n ? ( x, y, z ) ,则 设面 ABP 的发向量为
? ? ?x ? ? 3 y ?n ? AB ? 0 ?x ? 3 y ? 0 ? ? ? ? ?n ? AP ? 0 ,即 ? ? 3 y ? 3z ? 0 即 ? z ? ? y


n ? ( 3,?1,1) 又 OA ? OP ? 0 , OA ? OB ? 0 ,∴OA⊥面 PBD,∴ OA 为面 PBD 的发向量,

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∴ OA =(0, ? 3 ,0)

cos ? n, OA ??

n ? OA | n || OA |

?

3 5? 3

?

5 5

5 .所以所求二面角的余弦值为 5

法 2:在菱形 ABCD 中,AC⊥BD, ∵OP⊥面 ABCD,AC ? 面 ABCD,∴AC⊥OP,OP ? BD=0,∴AC⊥面 PBD,AC⊥BP, 在面 PBD 中,过 O 作 ON⊥PB,连 AN,PB⊥面 AON,则 AN⊥PB。 即∠ANO 为所求二面角的平面角 AO=ABcos30°= 3 在 Rt△POB 中,

ON ?

OP ? OB 3 15 AN ? OA 2 ? ON 2 ? ? 2 BP 2 ,∴

ON ANO ? ? AN

∴cos∠ 11. 【解析】 解:(1)设BA ? BC ? BD ? a, BB1 ? b

3 2 ? 5 5 5 15 2 。所以所求二面角的余弦值为 5

1 ? ab ? a 2 ? 2 2 ? 1 ? ?a ? 2 ? ? 2 由条件 ? ?? ? ?b ? 2 ? 1 a2 ? 1 ? ?2

以点B为原点,分别以BC、BB1、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 2), C ( 2, 0, 0), D(0, ? 2, 0), B1 (0, 2, 0), C1 ( 2, 2, 0), A1 (0, 2, 2) ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? ??? 2 2? ? ?ACD的重心G ? , ? , ? a ? BG = , ? , ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 为平面ACD的法向量. 3 3 3 3 ? ? ? ? 2 2 ? ???? ? ???? 6 3 又CA1 ? (? 2, 2, 2), 则 cos a, CA1 ? ? 6 6 2 2? 3 6 ? 所求角的正弦值为 6 ??? ? ???? ? (2)令 AP ? m AC1 ? 2m, 2m, ? 2m ???? ???? ??? ? ? B1 P ? B1 A ? AP ? 2m, 2m ? 2, 2 ? 2m ? ? a

?

?

?

?

? 2 ? ? 2m ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2m ? 2 ? ? ? ? 无解 3 ? ? 2 ? ? 2 ? 2m ? 3 ? ? ? 不存在满足条件的点P.

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12.解: (1)连接 B1C,交 BC1 于点 O,则 O 为 B1C 的中点, ∵D 为 AC 中点∴OD∥B1A 又 B1A ? 平面 BDC1,OD ? 平面 BDC1 ∴B1A∥平面 BDC1 (2)∵AA1⊥面 ABC,BC⊥AC,AA1∥CC1 ∴CC1⊥面 ABC 如图以 C 为坐标原点,CA 所在直线为 X 轴,CB 所在直线为 Y 轴, 标系则 C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)

则 BC⊥平面 AC1,CC1⊥AC 所在直线为 Z 轴建立空间直角坐

CC1

? ????? ? ???? n ? ( x, y, z) n ? C 1 D, n ? C1 B ∴设平面 的法向量为 由 得 ? x ? 3z ? 0, 2 y ? 3z ? 0 ,取 z ? 2 ,则 n ? (6,3, 2)
C1 DB

又平面 BDC 的法向量为

???? ? CC1 ? (0, 0,3)

? C1C, n ? ?
cos

C1 C ? n | C1C || n |

?

2 7

2 ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 7
【备课资源】 1.已知两条异面直线 a、b 所成的角为 40°,直线 l 与 a、b 所成的角都等于θ ,则θ 的取值范围是( (A)[20°,90°] (B)[20°,90°) (C)(20°,40°] (D)[70°,90°] 【解析】选 A. )

取空间任一点 O,将直线 a,b,l 平移到过 O 点后分别为 a′,b′,l′,则 l′与 a′,b′所成的角即为 l 与 a,b 所成的角.当 l′与 a′,b′共面时θ 最小为 20°.当 l′与 a′,b′确定的平面垂直时, θ 最大为 90°.故θ 的 取值范围为[20°,90°].

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3.如图甲,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD, ∠DAB= ,点 M、N 分别在 AB, CD 上, 且 MN⊥AB,MC⊥CB, BC=2,MB=4,现将梯形 ABCD 沿 MN 折起,使平面 AMND 与平面 MNCB 垂直(如图乙). (1)求证:AB∥平面 DNC; (2)当 DN 的长为何值时,二面角 D-BC-N 的大小为 30°?

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高中数学知识点总结空间向量与立体几何
一、考点概要: 1、空间向量及其运算 (1)空间向量的基本知识: ①定义:空间向量的定义和平面向量一样,那些具有大小和方向的量叫做向量,并且仍用有 向线段表示空间向量,且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 ②空间向量基本定理: ⅰ定理:如果三个向量 组 x、y、z,使 。且把 不共面,那么对于空间任一向量 叫做空间的一个基底, ,存在唯一的有序实数 都叫基向量。

ⅱ正交基底:如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直,那么这个基底叫正交基底。 ⅲ单位正交基底:当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底,通常 用 表示。 ⅳ空间四点共面:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间中任意一点 P,都存在唯一的有 序实数组 x、y、z,使 ③共线向量(平行向量): ⅰ定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向 量或平行向量,记作 。 。

ⅱ规定:零向量与任意向量共线; ⅲ共线向量定理:对空间任意两个向量 。 ④共面向量: ⅰ定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面 向量。 ⅱ向量与平面平行:如果直线 OA 平行于平面或 在 α 内,则说向量 平行于平面 α ,记作 。平行于同一平面的向量,也是共面向量。 平行的充要条件是:存在实数 λ ,使

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ⅲ共面向量定理:如果两个向量 、 不共线,则向量 y,使 。 ⅳ空间的三个向量共面的条件:当

与向量 、 共面的充要条件是:存在实数对 x、

、 、 都是非零向量时, 共面向量定理实际上也是



、 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线 所确定的平面内。 ⅴ共面向量定理的推论:空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是:存在有序实数对 x、y,使 得 ,或对于空间任意一定点 O,有 。 , 。 (两

⑤空间两向量的夹角:已知两个非零向量 、 ,在空间任取一点 O,作 个向量的起点一定要相同) ,则叫做向量 与 的夹角,记作 ,且

⑥两个向量的数量积: ⅰ定义: 已知空间两个非零向量 、 , 则 即: 。 ⅱ规定:零向量与任一向量的数量积为 0。 叫做向量 、 的数量积, 记作 ,

ⅲ注意:两个向量的数量积也叫向量 、 的点积(或内积) ,它的结果是一个实数,它等于两 向量的模与其夹角的余弦值。 ⅳ数量积的几何意义: 即:数量积 ⅴ基本性质: 叫做向量 在 方向上的投影(其中 θ 为向量 和 的夹角) 。

等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。

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ⅵ运算律:

(2)空间向量的线性运算: ①定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下: ②加法: ③减法: ④数乘向量: ⑤运算律: ⅰ加法交换律: ⅱ加法结合律: ⅲ数乘分配律: 二、复习点睛: 1、立体几何初步是侧重于定性研究,而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入,为解决三维 空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 2、根据空间向量的基本定理,出现了用基向量解决立体几何问题的向量法,建立空间直角坐标系, 形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法,它们的解答通常遵循“三步”:一化向量问题,二进行向量运 算,三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别,向量的数量积满足交换律和分配律,但不满足结合 律,因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是:完全平方公式和平方差公式仍 然适用,数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙,尤其去括号就显得更为突出,下面两个公式 较为常用,请务必记住并学会应用: 2、空间向量的坐标表示: (1)空间直角坐标系: ①空间直角坐标系 O-xyz,在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 分别以 量 平面。 ②右手直角坐标系:右手握住 z 轴,当右手的四指从正向 x 轴以 90°角度转向正向 y 轴时,大拇 指的指向就是 z 轴的正向; ,以点 O 为原点, 。

的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫做坐标轴,点 O 叫做原点,向 叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平面,yOz 平面,zOx

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③构成元素:点(原点)、线(x、y、z 轴)、面(xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面); ④空间直角坐标系的画法:作空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使∠xOy=135° (或 45°), ∠ yOz=90° ,z 轴垂直于 y 轴,z 轴、y 轴的单位长度相同,x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)的一半; (2)空间向量的坐标表示: ①已知空间直角坐标系和向量 ,且设 为坐标向量(如图),

由空间向量基本定理知,存在唯一的有序实数组 。

叫做向量在此直角坐标系中的坐标,记作

②在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任一点 A,对应一个向量

,若



则有序数组(x,y,z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记为 A(x,y,z),其中 x 叫做点 A 的横坐标, y 叫做点 A 的纵坐标,z 叫做点 A 的竖坐标,写点的坐标时,三个坐标间的顺序不能变。 ③空间任一点的坐标的确定:过 P 分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面),分别交坐标 轴于 A、B、 C 三点, │x│=│OA│,│y│=│OB│, │z│=│OC│,当 与 的方向相反时,x<0,同理可确 y、z(如图)。 与 的方向相同时,x>0, 当

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④规定:一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。 ⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 , ,

则: (3)空间向量的直角坐标运算:

⑦空间两点间距离: ⑧空间线段

; 的中点 M (x, y, z) 的坐标: ;

⑨球面方程: 二、复习点睛: 4、过定点 O,作三条互相垂直的数轴,它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别 叫做 z 轴(横轴) 、y 轴(纵轴) 、z 轴(竖轴) ;统称坐标轴。通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上,而 z 轴 则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点 O 叫做坐标原点。 5、空间直角坐标系中的特殊点: (1)点(原点)的坐标:(0,0,0); (2)线(坐标轴)上的点的坐标:x 轴上的坐标为(x,0,0),y 轴上的坐标为(0,y,0),z 轴上的坐 标为(0,0,z); (3)面(xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面)内的点的坐标:平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标 为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z) 6、要使向量 与 z 轴垂直,只要 z=0 即可。事实上,要使向量 与哪一个坐标轴垂直,只要向量 的相应

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坐标为 0 即可。 7、空间直角坐标系中,方程 x=0 表示 yOz 平面、方程 y=0 表示 zOx 平面、方程 z=0 表示 xOy 平面, 方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、 方程 y=b 表示平行于平面 zOx 的平面、 方程 z=c 表示平行于平面 xOy 平面; 8、只要将 和 代入,即可证明空间向量的运算法则与平面向量 一样; 9、由空间向量基本定理可知,空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任意不共面的三 个向量 都可以构成空间的一个基底,此定理是空间向量分解的基础。

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