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【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.2.1 椭圆的标准方程(一)备考练习 苏教版


§2.2 2.2.1
一、基础过关





椭圆的标准方程(一)

1.设 F1,F2 为定点,F1F2=6,动点 M 满足 MF1+MF2=6,则动点 M 的轨迹是________. 2.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的周长为______

__. 25 9 3.“1<m<3”是“方程 + =1 表示椭圆”的______________条件. m-1 3-m

x2

y2

x2

y2

4.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 PF1∶PF2=4∶3,则三 24 49 角形 PF1F2 的面积等于________. 5.焦点在坐标轴上,且 a =13,c =12 的椭圆的标准方程为________________. 6.方程 - =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________. 2m m-1 4 2 2 7.已知如图椭圆两焦点为 F1、F2,且方程为 x +y =1,过 F1 作 9 直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为______. 1? ?1 1? ? 8.求经过两点 P1? , ?,P2?0,- ?的椭圆的标准方程. 2? ?3 3? ? 二、能力提升 9.已知两椭圆 ax +y =8 与 9x +25y =100 的焦距相等,则 a 的值为________. 10.已知椭圆 + =1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2,N 是 MF 的中点,O 为 25 9 坐标原点,那么线段 ON 的长是________. 11.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的焦点分别是 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a =4b . (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在这个椭圆上,且 PF1-PF2=1,求∠F1PF2 的余弦值. 12.如图,已知椭圆的方程为 + =1,P 点是椭圆上的一点,且∠F1PF2 4 3 =60°,求△PF1F2 的面积. 三、探究与拓展
2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

y2 x2 a b

2

2

x2 y2

-1-

13.在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC=

2 ,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动, 2

且保持 PA+PB 的值不变,求曲线 E 的方程. 答案 1.线段 2.18 3.必要不充分 4.24 5. +y =1 或 x + =1 13 13

x2

2

2

y2

1 6.0<m< 3 7.6 8.解 方法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0),

x2 y2 a b

???3?? +??3?? =1, ?a b 依题意,知? ?-1? ??? b2?? =1, ?
2 2 2 2

?1?2 ?1?2

?a =1, ? 5 ?? 1 ?b =4. ?
2 2

1 1 2 2 ∵a = < =b ,∴方程无解. 5 4 ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为

y2 x2 + =1 (a>b>0), a2 b2

???3?? +??3?? =1, ?a b 依题意,知? ?-1? ??? a2?? =1, ?
2 2 2 2

?1?2 ?1?2

?a =1, ? 4 ?? 1 ?b =5. ?
2 2

故所求椭圆的标准方程为 + =1. 1 1 4 5 方法二 设所求椭圆的方程为 Ax +By =1 (A>0,B>0).
2 2

y2 x2

-2-

?A?1? +B?1? =1, ? ?3? ?3? ? ? ? ? 依题意,得? 1 ? ? ?B?-2? =1, ?? ?
2 2 2

??

? ?A=5, ?B=4. ?

故所求椭圆的标准方程为 + =1. 1 1 5 4 9 9.9 或 17 10.4 11.解 (1)依题意知 c=1,又 c =a -b ,且 3a =4b , 3 2 1 2 2 所以 a - a =1,即 a =1. 4 4 所以 a =4. 因此 b =3. 从而椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由于点 P 在椭圆上, 所以 PF1+PF2=2a=2×2=4, 又 PF1-PF2=1, 5 3 所以 PF1= ,PF2= , 2 2 又 F1F2=2c=2,所以由余弦定理得
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

y2 x2

cos∠F1PF2=

PF +PF -F F = 2·PF1·PF2

2 1

2 2

2 1 2

?5?2+?3?2-22 ?2? ?2? 3 ? ? ? ?
5 3 2× × 2 2

= . 5

3 即∠F1PF2 的余弦值等于 . 5 12.解 由已知得 a=2,b= 3, 所以 c= a -b = 4-3=1, ∴F1F2=2c=2,在△PF1F2 中,
2 2

F1F2=PF2+PF2-2PF1·PF2·cos 60°, 2 1 2
∴4=(PF1+PF2) -2PF1·PF2-2PF1·PF2·cos 60°, ∴4=16-3PF1·PF2, ∴PF1·PF2=4,
2

-3-

1 ∴S△PF1F2= PF1·PF2·sin 60° 2 1 3 = ×4× = 3. 2 2 13.解 如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,在 Rt△ABC 中,

BC= AC2+AB2=

3 2 , 2 2 3 2 + 2 2

∵PA+PB=CA+CB= =2 2, 且 PA+PB>AB,

∴由椭圆定义知,动点 P 的轨迹 E 为椭圆,且 a= 2,c=1,b=1. ∴所求曲线 E 的方程为 +y =1. 2

x2

2

-4-


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