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高考数学第一轮复习教案 专题7数列


专题七

数列

一、考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. 二、考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公 式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,井能解决简单的实际问题. 三、命题热点 高考对该部分主要从以下几个方面考查:数列的概念、等差数列和等比数列等。高考在解答题中一般 有一道数列题,但总的趋势是难度在下降;试卷中考查数列时可能结合不等式考查。 四、知识回顾 1、知识回顾

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系

项 项数 通项

数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和

等差数列

1

2. ⑴等差、等比数列: 等差数列 定义 等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数)

{an }为G ? P ?

an?1 an

? q(常数)

通项公 式 求和公 式

( d= ( d= an = a1 + n-1) ak + n-k) dn + a1 -d

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
2

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 sn ?
a?b 2
推广: an = an?m ? an?m 2

中项公 式

A=

性 质

1 2

若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq 若 {k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) {a kn } 则 也为 A.P。

若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) , 则 {a kn } 成等比数列。

3 4

. sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列。 sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。

d?

a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

q n ?1 ?

an a1



q n?m ?

an am

(m ? n)
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1 a n?1 ? 0 )


注①:i. b ? ac ,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b ? ac ii. b ? ac (ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分.

a、b、c 等比数列.

2

iv. b ? ? ac 且 ac ? 0 →为 a、b、c 等比数列的充要. 注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列. ⑷数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ? ( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数 列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ?
? ?d ? ?2? ? d? ?n 2?



d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 2

d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的 k2 倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n n ?N

?

?

? ,则 S 偶?S 奇 ? nd, ?

S奇 S偶

?

an a n ?1 ;
S偶 ? n n ?1

③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ,则 S 2 n ?1? ?2n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ?a n , S 奇
? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .

?

3. 常用公式:①1+2+3 ?+n = ② 12 ?2 2 ?32 ? ?n 2 ?

n?n ? 1? 2

n?n ? 1??2n ? 1? 6
2

? n?n ? 1?? ③ 1 ?2 ?3 ?n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ? a n ? 10n ?1 ; 5,55,555,… ? a n ?

5 n 10 ? 1 . 9

?

?

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产量成等比数列, 公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n?1 ,且过 n 年后总产量为:
a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按复利计算,则每 月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:
a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =
a (1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )

⑶分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清; r 为年利率.
3

a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ?1 ? x?1 ? r ?m? 2 ? ...... x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ?

x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 1

5. 数列常见的几种形式: ⑴ a n ? 2 ? pa n ?1 ?qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤:①写出特征方程 x 2 ? Px ? q ( x 2 对应 a n ? 2 ,x 对应 a n ?1 ) ,并设二根 x1 , x 2 ②若 x 1 ? x 2 可设
a n. ?c1 x n ?c 2 x n ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? (c1 ?c 2 n) x n ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 1 2

⑵ a n ? Pa n ?1 ?r (P 、 r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数 n 转化为
a n ? 2 ? Pa n ?1 ? qa n 的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n ?c1 ?c 2 P n?1 (公式法) c 1 ,c 2 由 a 1 ,a 2 确定. ,

①转化等差,等比: a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pan ? Px ? x ? x ? ②选代法: a n ? Pa n?1 ?r ? P( Pa n?2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?
?P n?1a1 ? P n?2 ?r ? ? ? Pr? r .

r . P ?1

r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1

③用特征方程求解:

a n ?1 ? Pa n ? r ? ( ) ? ?相减, a n ?1 ?a n ? Pa n ? Pa n ?1 ?a n ?1 ? P ? 1 a n ? Pa n ?1 . a n ? Pa n ?1 ? r ?

④ 由选代法推导结果: c1 ?

r r r r . ,c 2 ?a1 ? ,a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? a1 ? ( )P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P

6. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ?
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 2 2

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依照等比数列前 1 1 1 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2 ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项, 公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证

an ? an?1 (
都成立。

an 2 (2)通项公式法。 (3)中项公式法:验证 2an?1 ? an ? an?2 (an?1 ? an an?2 )n ? N ) 为同一常数。 an?1

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最大 am?1 ? 0 ?

值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? 转化思想的应用。

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意 ?am?1 ? 0
4

(三) 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ? 阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含 ? an an?1 ?

n( n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

3) 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? ?2 ? 4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

?1

?

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

五、典型例题 (一)数列通项
题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,? ⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9? 解析:⑴将数列变形为

7 7 7 7 ? (10 ? 1), (10 2 ? 1), (10 3 ? 1) , ?, (10 n ? 1) 9 9 9 9

⑶将已知数列变为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,?。可得数列的通项公式为

an ? n ?

1 ? (?1) n 2

点拨:本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项。 题型二 应用 a n

? S1 ?? ?S n ? S n?1

(n ? 1) (n ? 2)

求数列通项

例 2.已知数列 ⑴ Sn

?an ?的前 n 项和 S n ,分别求其通项公式.

? 3n ? 2
5

解析:⑴当 n ? 1 , a1 时 当 n ? 2时, an

? S1 ? 31 ? 2 ? 1 ,

? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2) ? (3n?1 ? 2)
? 2 ? 3n ?1

又 a1

? 1 ? 1 不适合上式,故 an ? ? n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)

题型三、利用递推关系求数列的通项 【例 3】根据下列各个数列 ⑴ a1 ?

?an ?的首项和递推关系,求其通项公式
1
2

4n ? 1 1 解析:⑴因为 a n ?1 ? a n ? ,所以 2 4n ? 1 1 1 1 1 a n ?1 ? a n ? 2 ? ( ? ) 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 所以 a 2 ? a1 ? ( ? ) 2 1 3 1 1 1 a3 ? a 2 ? ( ? ) 2 3 5 1 1 1 a4 ? a3 ? ( ? ) 2 5 7
?,?,

1 , 2

a n ?1 ? a n ?

an ? an ?1 ?

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 3 2n ? 1

以上 (n ? 1) 个式相加得

1 1 (1 ? ) 2 2n ? 1 1 4n ? 3 ? 即: a n ? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 a n ? a1 ?
点拨:在递推关系中若

an?1 ? an ? f (n), 求 an 用 累 加 法 , 若

a n ?1 ? f (n), 求 an 用 累 乘 法 , 若 an

an?1 ? pan ? q ,求 an 用待定系数法或迭代法。
(二)等差数列 1.等差数列

?an ?中,

a 4 ? a 6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 1 则a9 ? a11的值为( C ) 3
6

A.14

B.15

C.16

D.17

1 1 解 a 9 ? a11 ? a 9 ? (a 9 ? 2d ) 3 3 2 2 2 120 ? ( a 9 ? d ) ? a8 ? ? ? 16 3 3 3 5
2.等差数列

?an ?中, a1 ? 0,S9 ? S12 ,则前 10 或 11 项的和最大。
? S12,S12 ? S9 ? 0

解:? S 9

? a10 ? a11 ? a12 ? 0, 3a11 ? 0, ? ? a11 ? 0,又a1 ? 0


?an ?为递减等差数列∴ S10 ? S11 为最大。 ?an ?的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,则前 110 项和为-110

3.已知等差数列 解:∵

S10,S 20 ? S10,S30 ? S 20, ,S110 ? S100, 成等差数列,公差为 D 其首项为 ? ? S10 ? 100,前 10 项的和为 S100 ? 10
?100? 10 ? 又S110 10 ? 9 ? D ? 10, D ? ?22 ? 2 ? S100 ? S10 ? 10D
n(n ? 1) ? ? y ? 50n ? 98 ? ?12n ? ? 4? 2 ? ? 2 ? ?2n ? 40n ? 98 ? ?2(n ? 10) 2 ? 102 所以当n ? 10时,y max ? 102
4.设等差数列

? S110 ? 100 ? 10 ? 10( ? 22 ? ?110 ? )

?an ?的前 n 项和为 S n ,已知

a3 ? 12,S12 ? 0,S13 ? 0
①求出公差 d 的范围,

? ②指出 S1,S 2, ,S12 中哪一个值最大,并说明理由。
d an ? f (n) n an S n ?an ? " n ? 2"
解:① S12

? 6(a1 ? a12 ) ? 6(a3 ? a10 )

7

? 6(2a3 ? 7d ) ? 0 ? 24 ? 7d ? 0 又S13 ? ?d ? ? 24 7

13(a1 ? a13 ) 13 ? (a3 ? a11 ) 2 2 13 ? (2a3 ? 8d ) ? 0 2 ? 24 ? 8d ? 0 ? d ? ?3 24 从而 ? ? d ? ?3 7


? S12 ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 S13 ? 13a7 ? 0 ? a7 ? 0,a6 ? 0
(三)等比数列 1.

? S 6 最大。

设f (n) ? 2 ? 2 4 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10
(n ? N ? ),则f (n)等于 D ) ( 2 2 A. (8 n ? 1) B. (8 n ?1 ? 1) 7 7 2 2 C. (8 n ?3 ? 1) D. (8 n ? 4 ? 1) 7 7

2. 已知数列 猜想:

?an ?是等比数列,且 S m ? 10,S 2m ? 30,则S3m ? 70
2 1 1 1 ? a 2 n ?1 ? ? a 2 n ? 4 2 4

(问题引入)

?bn ?是等比数列,公比为 1 。

证明如下:∵ bn ?1

1 1 1 ( a 2 n ?1 ? ) ? 2 4 4 1 1 1 ? ( a 2 n ?1 ? ) ? bn 2 4 2 ?
即:

bn ?1 1 1 1 ? ,∴ ?bn ? 是首项为 a ? ,公比为 的等比数列。 2 4 bn 2

(四)求和 (1)错位相减法求和 例 1:求和: S n ? 解:⑴

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a
n(n ? 1) 2
8

a ? 1时, S n ? 1 ? 2 ? 3? ? n ?

时,因为a ? 0 ⑵a ?1
Sn ? 1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a 1 1 2 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a
由①-②得: ① ②

1 1 1 1 n (1 ? ) S n ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a 1 1 (1 ? n ) a a ? n ? 1 a n ?1 1? a n a (a ? 1) ? n(a ? 1) 所以 S n ? a n (a ? 1) 2 综上所述, n(n ? 1) ? ? ? 2 Sn ? ? n a (a ? 1) ? n(a ? 1) ? ? a n (a ? 1) 2 ?
点拨:①若数列

(a ? 1) a ? 1)

?an ?是等差数列, ?bn ?是等比数列,则求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和时,可采用错位相减法;
S n 相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号。

②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为 1 进行讨论; ③当将 S n 与 q (2)

裂项相消法求和

例 2:数列

?an ?满足 a1 =8, a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ?an ?的通项公式;

(n? N )

?

①求数列

则d

?

a 4 ? a1 ? ?2 4 ?1

所以, an =8+( n -1)×(-2)=―10-2 n

9

bn ? ?

1 1 ? n(14 ? a n ) 2n(n ? 2)

1 1 1 ( ? ) 4 n n?2 所以
② Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1? 1 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 2 ? 4 ) ? ? ? ( n ? n ? 2 )? 4? ? 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 4 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 m ? ? ? ? 8 4(n ? 1) 4(n ? 2) 32 ?
对一切 n ? N 恒成立。
?

? m ? 12 ?

8 8 ? 对一切n ? N ? 恒成立。 n ?1 n ? 2 8 8 对n ? N ?,( ? 12 ? ) min ? n ?1 n ? 2 故 m 的最大整数值为 5。 8 8 16 12 ? ? ? 1?1 1? 2 3 16 所以 m ? 3

点拨:①若数列

?an ?的通项能转化为 f (n ? 1) ? f (n) 的形式,常采用裂项相消法求和。

②使用裂项消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项。 (3)奇偶分析法求和 例 3:设二次函数

f ( x) ? x 2 ? x,当x ? ?n,n ? 1?
S 2 n 4n ? 2 ? ,n ? 1, ? 2, Sn n ?1

1. 在等差数列

?an ?中, a1 =1,前 n 项和 S n 满足

①求数列 ②记 bn

?an ?的通项公式

? an p an ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

解:①设数列

?an ?的公差为 d ,由

S 2 n 4n ? 2 ? ,n ? 1, ? 2, Sn n ?1

10



a1 ? a 2 ? 3,所以 a 2 ? 2 a1 4n ? 2 S 2 n ? n ?1 Sn (a n ? nd ? a1 )2n 2 ? (a n ? a1 )n 2 2(a n ? n ? 1) ? an ? 1

即 d ? a 2 ? a1 ? 1 又

所以 an = n ②由 bn

? an p an ( p ? 0) ,有 bn ? npn

所以 Tn

? p ? 2 p 2 ? 3 p 3 ? ? ? npn
n(n ? 1) 2



当p ? 1时, Tn ?

当p ? 1时, n ? p 2 ? 2 p 3 ? ? ? (n ? 1) p n ? npn?1 ② pT
①-②得

(1 ? p )Tn ? p ? p 2 ? ? ? p n ? np n ?1 ? 所以 Tn ? p (1 ? p n ) ? np n ?1 1? p p (1 ? p n ) np n ?1 ? 1? p (1 ? p ) 2 ( p ? 1) ( p ? 1)

n(n ? 1) ? ? ? 2 即:Tn ? ? p (1 ? p n ) np n ?1 ? ? ? (1 ? p ) 2 1? p ?

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五、函数与数列的综合问题

例1:已知f ( x) ? loga x (a ? 0且a ? 1), 设f (a1 ),f (a 2 ), ,f (a n ) (n ? N ? ) ? 是首项为4,公差为2的等差数列。
①设 a 是常数,求证: ②若 bn

?an ?成等差数列;

? an f (an ) , ?bn ? 的前 n 项和是 S n ,当 a ? 2 时,求 S n

解:① f (an ) ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 2 ,

即 loga a n ? 2n ? 2,所以a n ? a 2 n ? 2 所以 an a 2n?2 ? 2 n ? a 2 (n ? 2)为定值 a n ?1 a

所以?a n ?为等比数列。
② bn

? a n f (a n )
? a 2 n ? 2 loga a 2 n ? 2 ? (2n ? 2)a 2 n ? 2

当a ? 2时, bn ? (2n ? 2) ? ( 2 ) 2 n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 n ? 2 S n ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? 4 ? 2 5 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 2 S n ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? ? ? n ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3 点拨:本例是数列与函数综合的基 两式相减得 ? S n ? 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? ? ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3 2 4 (1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ?3 1? 2 所以 S n ? n ? 2 n ?3 ? 16 ?
本题型之一,特 征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数 的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解。 1. 已知正项数列 ①求证:数列

?an ?的前 n 项和为 S n , ?an ?是等差数列;

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4

②若 bn ?

an ,数列 ? n ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn b 2n

③在②的条件下,是否存在常数 ? ,使得数列 ? 出 ? ;若不存在,说明理由。

?Tn ? ? ? ? 为等比数列?若存在,试求 ? a n?2 ?

12

解:①

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4

1 (a n ? 1) 2 4 1 当n ? 1时,a1 ? (a1 ? 1) 2 , a1 ? 1 ? 4 1 当n ? 2时,S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 4 所以a n ? S n ? S n ?1 所以S n ? 1 2 2 (a n ? a n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ) 4 即(a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ?

因为an ? 0,所以an ? an?1 ? 2 ? 0 即:an ? an?1 ? 2
所以数列

?an ?是等差数列。
2n ? 3 2n

② Tn ? 3 ?

Tn ? ? 2n ? 3 1 ? (3 ? ? ?) ? n an?2 2n ? 3 2
? 3?? 1 ? n 2n ? 3 2

所以当且仅当 3+ ? =0,即 ? =-3 时,数列

?Tn ? ? ? ? ? 为等比数列。 ? a n?2 ?

2. 已知在正项数列

?an ?中, a1 =2,且

2 2 在双曲线 y ? x ? 1 上, An ( a n , an?1 )

数列

?bn ?中,
点( bn , Tn )在直线 y ? ? 项公式;②求证:数列 解:①由已知带点 An (

1 x ? 1 上,其中 Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,①求数列 ?an ? 的通 2

?bn ?是等比数列。③若 Cn ? an ? bn,求证:Cn?1 ? Cn 。
在 an , an?1 ) y 2 ? x 2 ? 1 上知,

a n ?1 - an =1,所以数列 ?an ? 是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列。
所以 an

? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 1

13

②因为点( bn , Tn )在直线 y ? ?

1 x ? 1 上, 2

1 所以Tn ? ? bn ? 1 2 1 所以Tn ?1 ? ? bn ?1 ? 1 2 两式相减得: 1 1 bn ? Tn ? Tn ?1 ? ? bn ? bn ?1 2 2
1 所以bn ? bn ?1, 3 1 2 令n ? 1得b1 ? ? b1 ? 1,所以b1 ? 2 3 2 所以?bn ? 是一个以 为首项, 3 1 以 为公比的等比数列。 3 2 1 2 所以bn ? ? ( ) n ?1 ? n 3 3 3
③ C n ? a n ? bn ? ( n ? 1) ?

2 3n

所以C n ?1 ? C n ? (n ? 2) ? ? 2 3
n ?1

2 3
n ?1

? (n ? 1)

2 3n

? (?2n ? 1) ? 0

所以C n ?1 ? C n
六、近年高考试题分析

(2009 湖南卷文)对于数列

{un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N * ,恒有
, 则称数列

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ?? u2 ? u1 ? M
?

{un } 为 B ? 数列.

1 (Ⅰ)首项为 1,公比为 2 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由;
(Ⅱ)设

Sn 是数列 {xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断: {xn } 是 B-数列,
② 数列 ④ 数列

A 组:① 数列 B 组:③ 数列

{xn } 不是 B-数列; {Sn } 不是 B-数列.

{Sn } 是 B-数列,

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ )若数列
2 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。

14

{a } 解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 n ,则

1 an ? ( ? ) n ?1 2 .于是

1 1 3 1 an ? an?1 ? (? )n?1 ? (? )n?2 ? ? ( ) n?2 , n ? 2. 2 2 2 2

| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |
3 ? 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ) ? ? ? )-1 ? 3 ? ?1 ? )? ? 3. ( ( n ( n 2 2 2 ? ?= ? =2 ? 2
1 所以首项为 1,公比为 2 的等比数列是 B-数列 ?
(Ⅱ )命题 1:若数列 事实上设

.

{xn } 是 B-数列,则数列 {Sn } 是 B-数列.此命题为假命题.

xn =1, n ? N * ,易知数列 {xn } 是 B-数列,但 Sn =n,

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 命题 2:若数列

{Sn } 不是 B-数列。

{Sn } 是 B-数列,则数列 {xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 {Sn } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N * ,有

事实上,因为数列

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M ,


| xn?1 | ? | xn | ??? | x2 |? M .于是 xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ??? x2 ? x1
,

? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ??? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1
所以数列

{xn } 是 B-数列。

(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ )若数列

?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N ? , 有
.

an?1 ? an ? an ? an?1 ??? a2 ? a1 ? M
因为

an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1
.

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1

15



K ? M ? a1

,则有

2 2 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an
因此

. .

2 2 2 2 2 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a12 ? 2 KM

故数列

?a ? 是 B-数列.
2 n

20. (本题满分 13 分) 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M, 的价值在使用过程中逐年减少, M 从 第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值 为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 n

M 更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ?10(n ?1) ? 130 ?10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( ) n ? 6 ; 4

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4
(II)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ?1), An ? 120 ? 5(n ?1) ? 125 ? 5n; 当 n ? 7 时,

3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
16

所以须在第 9 年初对 M 更新. (2010 年湖南文科)20.(本小题满分 13 分) 给出下面的数表序列:
[来源:学科网]

其中表 n(n =1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行中 的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n≥3) (不要求证明) ; (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为

?bn ?

求和:

b3 b b ? 4 ?? n ? 2 b1b2 b2b3 bnbn ?1

七、总结 (一)数列通项 数列通项 an 与前 n 项和 S n 的关系

1. S n

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ai
i ?1

n

2. a n

? S1 ?? ?S n ? S n ?1

n ?1 n?2

(二)等差数列
1、递推关系与通项公式

17

递推关系:a n ?1 ? a n ? d 通项公式:a n ? a1 ? (n ? 1)d 推广:a n ? a m ? (n ? m)d 变式:a1 ? a n ? (n ? 1)d ; a n ? a1 n ?1 a ? am d? n n?m d?

特征:an ? dn ? (a1 ? d ), 即:an ? f (n) ? kn ? m , (k , m为常数)
an ? kn ? m,(k , m为常数) 是数列 ?an ? 成等差数列的充要条件。
2.等差中项: 若 a, b, c 成等差数列,则 b 称 a与c 的等差中项,且 b ?

a?c ; a, b, c 成等差数列是 2

2b ? a ? c 的充要条件。
3.前 n 项和公式

Sn ?

(a1 ? a n )n n(n ? 1)d ; S n ? na1 ? 2 2

特征:S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n, 2 2 2 即S n ? f (n) ? An ? Bn S n ? An2 ? Bn ( A, B为常数)

是数列

?an ?成等差数列的充要条件。 ?an ?的基本性质 (其中m, n, p, q ? N ? )
p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反之,不成立。

4.等差数列

⑴ 若m ? n ? ⑵ an

? am ? (n ? m)d ? an?m ? an? m ? S n , S3n ? S 2n 仍成等差数列。

⑶ 2an

⑷ S n , S 2n

5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

an?1 ? an ? d (常数)(n ? N ?) ?an ? 是等差数列 ?

18

②中项法:

2an?1 ? an ? an?2
③通项公式法:

(n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列
(k , b为常数) ? ?an ? 是等差数列

an ? kn ? b

④前 n 项和公式法:

S n ? An2 ? Bn
(三)等比数列

( A, B为常数) ? ?an ? 是等差数列

1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为 q,(q ? 0) 。 2. 递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? qan 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q n ? m
3. 等 比 中 项 : 若 三 个 数 a, b, c 成 等 比 数 列 , 则 称 b 为 a与c 的 等 比 中 项 , 且 为

b ? ? ac,注:b 2 ? ac 是成等比数列的必要而不充分条件。
4. 前 n 项和公式

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q 1? q ?

(q ? 1)

5. 等比数列的基本性质, (其中m, n, p, q ? N ① 若m ? n ?
n?m

?

)

p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反之不真!

②q

?

an 2 ,an ? an?m ? an? m (n ? N ? ) am



?an ?为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列。
? S n,S3n ? S 2n, 仍成等比数列。 ?

④ q ? ?1 时,S n,S 2n

6. 等比数列与等比数列的转化 ① ②

?an ?是等差数列 ? ?c a ?
n

(c ? 0,c ? 1) 是等比数列; (c ? 0,c ? 1) 是等差数列;

?an ?是正项等比数列 ? ?logc an ?


?an ?既是等差数列又是等比数列 ? ?an ? 是各项不为零的常数列。
19

7. 等比数列的判定法 ①定义法:

an?1 ? q(常数) ?an ? 为等比数列; ? an
2

②中项法: an?1

? an ? an?2

(an ? 0) ? ?an ? 为等比数列;

③通项公式法:

an ? k ? q n (k , q为常数) ?an ? 为 等 比 数 列 ; ④ 前 n 项 和 法 : ?

S n ? k (1 ? q n ) (k , q为常数) ?an ? 为等比数列。 ?
八、命题预测

?x ? y ? 3 ? 预测 1. 设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A.6 B.7 C.8 D.23

?x ? y ? 3 2x z ? ? 在可行域 解析:画出不等式 ? x ? y ? ?1 表示的可行域,让目标函数表示直线 y ? ? 3 3 ?2 x ? y ? 3 ?
上平移,解方程组 ?

?x ? y ? 3 得 ( 2,1) ,知在点(2,1)处目标函数取到最小值,所 ?2 x ? y ? 3

以 z min ? 4 ? 3 ? 7 ,选 B。 预 测 2. 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1 , 等 差 数 列 ?bn ? 满 足

b3 ? 3, b5 ? 9 ,
(1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
* (2)若对任意的 n ? N , ( S n ? ) ? k ? bn 恒成立,求实数 k 的取值范围.

1 2

解析: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 ----①得 an ? 2Sn?1 ? 1 ----②, ① ? ②得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ,

?an?1 ? 3an ,?an ? 3n?1 ;
b5 ? b3 ? 2d ? 6,?d ? 3,?bn ? 3 ? (n ? 3) ? 3 ? 3n ? 6 ; (2) Sn ?

3n ? 1 1 a1 (1 ? q n ) 1 ? 3n 3n ? 1 ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒成立, 即 , ?( ? ? 2 2 1? q 1? 3 2
20

?k ?

3n ? 6 * 对 n ? N 恒成立, n 3 3n ? 6 3n ? 6 3n ? 9 ?2n ? 7 ? n ?1 ? 令 cn ? , cn ? cn ?1 ? , n 3 3n 3 3n
当 n ? 3 时, cn ? cn?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn?1 ,? (cn ) max ? c3 ?

2 2 ,k ? . 9 9

动向解读:数列知识在高中是主干知识之一,数列题目蕴含着极为丰富的数学思想方 法,高考对数列的考查主要以等差数列和等比数列为主,结合函数、不等式、解析几何等 进行考查;不等式主要考查应用,即应用不等式研究函数的性质、研究直线与曲线的关系 等,利用基本不等式求待定函数的最值,利用不等式表示的平面区域解决线性规划问题。

?x ? y ? 3 ? 预测 1. 设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A.6 B.7 C.8 D.23

?x ? y ? 3 2x z ? ? 在可行域 解析:画出不等式 ? x ? y ? ?1 表示的可行域,让目标函数表示直线 y ? ? 3 3 ?2 x ? y ? 3 ?
上平移,解方程组 ?

?x ? y ? 3 得 ( 2,1) ,知在点(2,1)处目标函数取到最小值,所 ?2 x ? y ? 3

以 z min ? 4 ? 3 ? 7 ,选 B。 预 测 2. 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1 , 等 差 数 列 ?bn ? 满 足

b3 ? 3, b5 ? 9 ,
(1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
* (2)若对任意的 n ? N , ( S n ? ) ? k ? bn 恒成立,求实数 k 的取值范围.

1 2

解析: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 ----①得 an ? 2Sn?1 ? 1 ----②, ① ? ②得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ,

?an?1 ? 3an ,?an ? 3n?1 ;
b5 ? b3 ? 2d ? 6,?d ? 3,?bn ? 3 ? (n ? 3) ? 3 ? 3n ? 6 ; (2) Sn ?

3n ? 1 1 a1 (1 ? q n ) 1 ? 3n 3n ? 1 ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒成立, 即 , ?( ? ? 2 2 1? q 1? 3 2

21

?k ?

3n ? 6 * 对 n ? N 恒成立, n 3 3n ? 6 3n ? 6 3n ? 9 ?2n ? 7 ? n ?1 ? 令 cn ? , cn ? cn ?1 ? , n 3 3n 3 3n
当 n ? 3 时, cn ? cn?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn?1 ,? (cn ) max ? c3 ?

2 2 ,k ? . 9 9

动向解读:数列知识在高中是主干知识之一,数列题目蕴含着极为丰富的数学思想方 法,高考对数列的考查主要以等差数列和等比数列为主,结合函数、不等式、解析几何等 进行考查;不等式主要考查应用,即应用不等式研究函数的性质、研究直线与曲线的关系 等,利用基本不等式求待定函数的最值,利用不等式表示的平面区域解决线性规划问题。 九、巩固练习 一、选择题 an-1-an an-an+1 1.如果数列{an}满足 a1=2,a2=1,且 = (n≥2,n∈N*),则这个数列 an-1 an+1 的第 10 项等于 1 A. 10 2 解析:∵1- 公 1 差为 的等差数列, 2 1 1 1 ∴ = n,∴a10= ,故选 D. an 2 5 答案:D 1 B. 9 2 1 C. 10 1 D. 5 ( )

an an an an 2 1 1 ?1? 1 = -1,∴ + =2, = + ,∴?a ?是首项为 , an an-1 an+1 2 ? n? an-1 an+1 an-1 an+1

2.(2009· 宁夏、海南理)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4 等于 A.7 B.8 C.15 D.16 ( )

解析:设等比数列的公比为 q,则由 4a1,2a2,a3 成等差数列.得 4a2=4a1+a3.∴4a1q =4a1+a1q2.∴q2-4q+4=0 a1?1-q4? ∴q=2,∴S4= =15. 1-q 答案:C 1 3. 等比数列{an}中, 1=512, a 公比 q=- , Πn 表示它的前 n 项之积: n=a1·2· an, 用 Π a ?· 2 则 Πn 中最大的是 A.Π11 B.Π10 C.Π9
+2+?+n-1

( D.Π8

)

解析:Πn=a1a2?an=an·1 1q

1 ?n-1?n n?n-1? -n2+19n =29n?-2? =(-1) 2 ,∴ ? ? 2 2 2
22

当 n=9 时,Πn 最大.故选 C 答案:C
? 1 ? 4. 设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1, 则数列?f?n??(n∈ N*)的前 n 项和是( ? ?

)

n A. n+1

n+2 B. n+1


n C. n-1

n+1 D. n

解析:∵f′(x)=mxm 1+a=2x+1, ∴m=2,a=1, ∴f(x)=x2+x=x(x+1), ∴ 1 1 1 1 = = - , f?x? n?n+1? n n+1

1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=1- + - +?+ - =1- = . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 答案:A 5. 在等差数列{an}中, a2+2a6+a10 =120, a3+a9 等于 若 则 A.30 B.40 C.60 D.80 ( )

解析:由等差数列性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,故 a2+2a6+a10=4a6 =120,故 a6=30,a3+a9=2a6=2×30=60. 答案:C 1 6.数列{an}中,a1=1,an、an+1 是方程 x2-(2n+1)x+ =0 的两个根,则数列{bn}的 bn 前 n 项和 Sn= ( 1 A. 2n+1 1 B. n+1 n C. 2n+1 n D. n+1 )

解析:由题意得 an+an+1=2n+1, 又∵an-n=-[an+1-(n+1)],a1=1 ∴an=n, 1 1 又 an·n+1= ,∴bn= a . bn n?n+1? ∴Sn=b1+b2+?+bn=1- 答案:D
7、设 a n ?

1 n = . n+1 n+1

1 1 1 ? ? ??? ,( n ? N ),则 an ?1与an 的大小关系是( C ) n ?1 n ? 2 2n ? 1
23

A. a n ?1 C. an ?1

? an ? an

B. a n ?1

? an

D.不能确定

解:因为

1 1 1 ? ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 1 1 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 2 a n ?1 ? a n ?
所以 an ?1 8、 已知

? an ,选C
D )

?an ?数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70,则其公差 d 等于(
B. ? 1 3 2 D. 3

A. ? 1 C. 3

2 3

9、 已知等差数列 A.15

?an ?中, a7 ? a9 ?? 16,a4 ? 1,则a12 等于(
C.31 D.64

A )

B.30

解: a7 ? a9 ? a4 ? a12 ? ? a12 ? 15
10、 数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,若 an ?
B. 5 6 C.

1 ,则S 5 等于( B ) n(n ? 1)

1 1 D. 6 30 1 1 1 解:因为 a n ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 所以S 5 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 1 2 2 3 5 6 5 ? 6 A.1
11、 f (x) 的定义域为 R , f (x ) 是以 2 为周期的周期函数, 且 数列

?an ? 是首项为 a
C )

(a ? N ? ) ,

公差为 1 的等差数列,那么 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a10 ) 的值为( A.-1 B.1 C.0 D.10 a

解:因为函数 f (x ) 的定义域为 R ,且 f (x ) 是以 2 为周期的周期函数,
24

所以

f (0) 0,且f ( x ? 2) ? f ( x) ?

又数列

?an ?是首项为 a ,公差为 1 的等差数列

所以 a n ? a ? n ? 1,又 a ? N ? ? f (a) (n为奇数) f (a n ) ? ? ? f (a ? 1) (n为偶数) 所以 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a10 ) ? 5? f (0) ? f (1)? ? 5 f (1) 又 f (?1) f (?1 ? 2) ? f (1) 所以 ? f (1) ? f (1)
故原式=0,选 C。

? 5 f (a) ? 5 f (a ? 1)

即 f (1) ? 0

二、填空题 1.数列{an}的构成法则如下:a1=1,如果 an-2 为自然数且该自然数之前未出现过, 则 用递推公式 an+1=an-2,否则用递推公式 an+1=3an,则 a6=________. 解析:∵a1-2=-1?N,∴a2=3a1=3.∵a2-2=1=a1, ∴a3=3a2=9,∵a3-2=7,∴a4=7,∵a4-2=5,∴a5=5,∵a5-2=3=a2,∴ a6=3a5=15. 答案:15 an+1 n+2 2.已知数列{an}满足 = (n∈N*),且 a1=1,则 an=________. an n an n+1 解析:由已知得 = , an-1 n-1 an-1 n = , an-2 n-2 ? a2 3 = , a1 1 a1=1, 左右两边分别相乘得 3 4 5 6 n-1 n n+1 n?n+1? an=1····· ?· · · = . 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 2 n?n+1? 答案: 2 3.如图,它满足:(1)第 n 行首尾两数均为 n;(2)图
25

中的递推关系类似杨辉三角,则第 n(n≥2)行的第 2 个数是________. 解析:设第 n(n≥2)行的第 2 个数构成数列{an},则 有 a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,?,an -an-1=n- 1, 2+n-1 ?n+1??n-2? 相加得 an-a2=2+3+?+(n-1)= ×(n-2)= , 2 2 ?n+1??n-2? n2-n+2 an=2+ = . 2 2 n2-n+2 答案: 2 4.对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数列
? an ? ? ?的前 n 项和的公式是________. ?n+1?

解析:∵y=xn(1-x), ∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′·n x =n·n 1(1-x)+(-xn). x f′(2)=-n·n 1-2n=(-n-2)·n 1. 2 2 ∵函数在点 x=2 处点的纵坐标为 y=-2n. ∴切线方程为 y+2n=(-n-2)·n 1(x-2),与 y 轴交点纵坐标为 y=(n+1)·n=an 2 2 ∴
? an ? an =2n,∴数列?n+1?成等比数列,首项为 2,公比为 2, n+1 ? ?
- - - -

2?1-2n? + ∴前 n 项和为 =2(2n-1)=2n 1-2. 1-2 答案:2n 1-2
5.已知数列 则 ?an ?的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 4n ? 1, an ? ? ?


? 2 , (n ? 1) ?2n ? 5 , (n ? 2)

6.已知数列

?an ?的通项 n ?

98

n ? 99

(n? N ) ,则数列

?

?an ? 的前 30 项中最大项和最小项

分别是 a10,a9

解:构造函数

y?

x ? 98 x ? 99

? 1?

99 ? 98 x ? 99

由函数性质可知,函数在 (??,99) 上递减,且 y ? 1 函数在 ( 上递增且 y ? 1 99,+?)
26

又 99 ? (9, ) 10 ? a10 ? a11 ? a12 ? ? ? a30 ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? a10最大,a9最小
7、设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S 4 ? 14 S10 ? S 7 ? 30 , ,则S9 =54
8、已知等差数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? ,则

9、设 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同点 7 6

Pi (i ? 1,2,?)使 P1 F ,2 F ,3 F ,? P P
组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为 ??

? 1 ? ? 1? ,? ? ? 0, 0 ? 10 ? ? 10? ?

解:椭圆的焦点 F 到椭圆上的点最大、最小距离分别为 (

7 ? 1)和( 7 ? 1 ,由题意得: )

( 7 ? 1 ? n ? 1) d ? 7 ? 1 )( 2 ? n ? 1 ? 20 n ?1 1 ? d ? ,又d ? 0 10 1 1 ? ? ? d ? 0或0 ? d ? 10 10 ?d ?
10 . 设 等 比 数 列

?an ?
8

的 公 比 与 前

n

项 和 分 别 为 q 和

Sn , 且 q ≠ 1 ,

S S10 ? 8,则 2010 ? 1? q

27

a (1 ? q 10 ) 方法一、1 ?8 1? 2 S a1 (1 ? q 20 ) ? 2010 ? ?8 1? q (1 ? q 10) ? q ) (1 方法二、S 20 ? S10 ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 ? S10 ? q 10 S10 ? S10 (1 ? q 10 ) 所以
11.数列

S 20 ? S10 ? 8 1 ? q 10

?an ?满足 an ?

1 2 n ? ?? ? , n ?1 n ? 2 n ?1

又bn ?

2 ,则数列 an an ?1

?bn ?的前 n 项和为

8n n ?1

解:an ?

1 n (1 ? 2 ? ? ? n) ? n ?1 2 2 8 1 1 bn ? ? an an ?1 n(n ? 1) = 8( n ? n ? 1 )

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 1 ? 数列 ? 8 ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 7. 1, , , , , , , , , , 的 2 2 3 3 3 4 4 4 4 2 3 n n ?1 ? ?1 2 1 ? 8n ? ? 8 ?1 ? ? ? n ? 1? n ? 1 ?
前 100 项的和为 13

9 ? 。 n? N ) ( 14

三、解答题 1.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列, b1=1, 且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +?+ 的值. S1 S2 Sn 解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, an=3+(n-1)d,bn=qn 1,
?S2b2=?6+d?q=64 ? 依题意有? , 2 ? ?S3b3=?9+3d?q =960


? ?d=2 解得? ?q=8 ?

?d=-5 或? 40 ?q= 3
6

(舍去),

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1.
28



1 1 1 1 1 (2)由(1)知 Sn=3+5+?+(2n+1)=n(n+2),所以 + +?+ = + + S1 S2 Sn 1×3 2×4 1 1 +?+ 3×5 n?n+2? 1 1 1 1 1 1 1 1 = ?1-3+2-4+3-5+?+n-n+2? 2? ? 1 1 1 2n+3 1 3 = ?1+2-n+1-n+2?= - 2? ? 4 2?n+1??n+2?. 1 2.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=2?1+n?2an. ? ? (1)求数列 {an}的通项公式; (2)设 bn=(An2 +Bn+C)·n,试推断是否存在常数 A、B、C,使得对一切 n∈N*, 2 an=bn+1-bn 恒成立?若存在,求出 A、B、C 的值;若不存在,说明理由; (3)求证: ?ai<(n2-2n+2)·n 2. 2


n

i=1

an+1 an ?an? an (1)解:由已知得 =2·2,∴?n2?是公比为 2 的等比数列,且首项为 2,∴ 2= n n ? ? ?n+1?2 2·n 1,an=2n·2 2 n (2)解:∵bn=(An2+Bn+C)·n,∴bn+1-bn=[A(n+1)2+B(n+1)+C]·n 1-(An2 2 2 +Bn+C)·n=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]·n. 2 2 若 an=bn+1-bn 恒成立,则 An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2 恒成立,
+ -

?A=1 ? ∴?4A+B=0 ,解得 A=1,B=-4,C=6, ?2A+2B+C=0 ?
故存在常数 A=1,B=-4,C=6 满足条件. (3)证明:由( 2)得,bn=(n2-4n+6)·n, 2 ∴ ?ai=(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+?+(bn+1-bn)
i=1 n

=bn+1-b1=[(n+1)2-4(n+1)+6]·n 1-6=(n2-2n+3)·n 1-6<(n2-2n+3)·n 2 2 2 n 3 n 1 + + =? 2 -n+2?· n 2=??n2-2n+2?-? 2 -n+2??·n 2 ? ? 2 ? ? ?? 2 ?n-1?2? n+2 + =??n2-2n+2?- · ≤(n2-2n+2)·n 2, 2 2 2 ? ? ∴原不等式成立.
2 2





+1

3.(2010· 四川)已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m,n∈N*都有 a2m-1+a2n-1 =2am+n-1+2(m-n)2.

29

(1)求 a3,a5; (2)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (3)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. (1)解:由题意,令 m=2,n=1 可得 a 3=2a2-a1+2=6. 再令 m=3,n=1 可得 a5=2a3-a1+8=20. (2)证明: n∈N*时, 当 由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.于是[a2(n
+1)+1 -

-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8,即 bn+1-bn=8.

所以,数列{bn}是公差为 8 的等差数列. (3)由(1)、(2)的解答可知{bn}是首项 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列. 则 bn=8n-2,即 a2n+1-a2n-1=8n-2. 另由已知(令 m=1)可得,an= a2n-1+a1 -(n-1)2. 2

a2n+1-a2n-1 8n-2 那么,an+1-an= -2n+1= -2n+1=2n. 2 2 于是,cn=2nqn 1. 当 q=1 时 ,Sn=2+4+6+?+2n=n(n+1). 当 q≠1 时,Sn=2·0+4·1+6·2+?+2n·n 1. q q q q 两边同乘 q 可得 qSn=2·1+4·2+6·3+?+2(n-1)·n 1+2n·n. q q q q q 上述两式相减即得 (1-q)Sn=2(1+q +q +?+q 1-?n+1?qn+nqn 1 =2· , 1-q nqn 1-?n+1?qn+1 所以 Sn=2· . ?q-1?2 综上所述,
+ + - - -

1

2

n-1

1-qn )-2nq =2· -2nqn 1-q
n

?n?n+1? ? Sn=? nqn+1-?n+1?qn+1 ?q≠1?. ?2· ?q-1?2 ?
4、 等差数列

?q=1?,

?an ?的前 n 项和记为 S n ,已知 a10 ? 30,a20 ? 50

①求通项 an ;②若 S n =242,求 n 解: an

? a1 ? (n ? 1)d

30

a10 ? 30,a 20 ? 50 ? a ? 9d ? 30 解方程组? 1 ?a1 ? 19d ? 50 ?a ? 12 ?? 1 ?d ?2
由 S n ? na1 ?

? a n ? 2n ? 10
n(n ? 1)d , S n =242 2

?12n ?

n(n ? 1) ? 2 ? 242 2 解得n ? 11或n ? ?22(舍去)

5、 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走 2 m ,以后每分钟比前一 分钟多走 1 m ,乙每分钟走 5 m ,①甲、乙开始运动后几分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后 立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走 1 m ,乙继续每分钟走 5 m ,那么,开始运动几分钟 后第二次相遇? 解:①设 n 分钟后第一次相遇,依题意有:

n(n ? 1) ? 5n ? 70 2 解得n ? 7,n ? ?20(舍去) 2n ?
故第一次相遇是在开始运动后 7 分钟。 ②设 n 分钟后第二次相遇,则:

n(n ? 1) ? 5n ? 3 ? 70 2 解得n ? 15,n ? ?28(舍去) 2n ?
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟 6.已知数列 前 ?an ?中, a1 ? 3, n 和 S n

?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

①求证:数列 ②求数列

?an ?是等差数列

?an ?的通项公式
? 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成 ? a n a n?1 ?
1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

③设数列 ?

立?若存在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。 解:①∵ S n ?

31

? S n ?1 ? ? a n ?1 ?

1 (n ? 2)(a n ?1 ? 1) ? 1 2 ? S n ?1 ? S n

1 ?(n ? 2)(a n?1 ? 1) ? (n ? 1)(a n ? 1)? 2 整理得,nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)a n ?1 ? (n ? 1)a n

? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an? 2 ? an ) ? 2an?1 ? an? 2 ? an
∴数列 ② a1

?an ?为等差数列。

? 3,nan?1 ? (n ? 1)an ? 1

? a 2 ? 2a1 ? 1 ? 5 ? a 2 ? a1 ? 2

? 的公差为2 即等差数列 a n ?
? 2n ? 1

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? (n ? 1) ? 2
1 1 ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3)

③?

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 又当n ? N ?时,Tn ? 6 ?
要使得 Tn 正整数 n 都成立, M 的最小值为

? M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M ≥

1 ,所以存在实数 M 使得 Tn ? M 对一切 6

1 6

7:⑴在等比数列 ①求 an ,

?an ?中, a1 ? a6 ? 33,a3 a4 ? 32,an ? an?1

32

②若 Tn

? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an , 求Tn

⑵在等比数列

?an ?中,若 a15

? 0 ,则有等式

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a29?n (n ? 29,n ? N ? ) 成立,类比上述性质,相应的在
等比数列

?bn ? 中,若 b19 ? 1则有等式

成立。

解:⑴①由等比数列的性质可知:

a1 ? a 6 ? a3 ? a 4 ? 32 又a1 ? a 6 ? 33 a1 ? a 6 , 解得a1 ? 32,a 6 ? 1 所以 a6 1 1 1 ? ,即q 5 ? , q ? ? a1 32 32 2

1 所以a n ? 32 ? ( ) n ?1 ? 2 6? n 2
②由等比数列的性质可知,

?lg an ?是等差数列,因为

lg a n ? lg 2 6?n ? (6 ? n) lg 2, lg a1 ? 5 lg 2 所以Tn ? (lg a1 ? lg a n )n n(11 ? n) ? lg 2 2 2
? 0 在等差数列中有 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a2m?1?n

⑵由题设可知,如果 a m

(n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成立,我们知道,如果 若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq ,而
对于等比数列

?bn ?,则有 若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq 所以可以得出结论,若

bm ? 1,则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b2m?1?n (n ? 2m ? 1,n ? N ? ) 成立,在本题中 则有b1b2 ?bn ? b1b2 ?b37?n (n ? 37,n ? N ? )
点拨:历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积性” ,题目“小而巧”且背景不断更新,要 熟练掌握。

33


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