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反三角函数及性质


y=arcsinx.
函数 y=sinx,x∈[-π /2,π /2]的反函数叫做反正弦函数,记作 x=arcsiny. 习惯上用 x 表示自变量,用 y 表示函数,所以反正弦函数写成 y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数 y=sinx,x∈R 因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反 函数。 反正弦函数只对这样一个函数 y=sinx,x∈[-π /2,π

/2]成立,这里截取的是正弦函数 靠近原点的一个单调区间,叫做正弦函数的主值区间。 理解 函数 y=arcsinx 中,y 表示的是一个弧度制的角,自变量 x 是一个正弦值。这点必 须牢记 性质 根据反函数的性质,易得函数 y=arcsinx 的,定义域[-1,1],值域[-π /2,π /2],是单 调递增函数 图像关于原点对称,是奇函数 所以有 arcsin(-x)=-arcsinx,注意 x 的取值范围:x∈[-1,1] 导函数:

,导函数不能取|x|=1



反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x,x∈[-1,1]

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

arcsinx=-arcsin(-x)

arcsin(sinx)=x ,x 属于[0,π /2]

arccosx
反三角函数中的反余弦。意思为:余弦的反函数,函数为 y=arccosx,函数图像如右下 图。 就是已知余弦数值,反求角度,如 cos(a) = b,则 arccos(b) = a; 它的值是以弧度表达的角度。定义域: 【-1,1】 。 由于是多值函数,往往取它的单值支,值域为【0,π 】 ,记作 y=arccosx,我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值,

arctan x
反三角函数中的反正切。意思为:tan(a) = b; 等价于 arctan(b) = a

定义域 :{x∣x∈R} , 值域 :y∈(-π/2,π/2) 计算性质:
tan(arctana)=a arctan(-x)=-arctanx arctan A + arctan B=arctan(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arctan(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用:当 x→0 时,arctanx~x


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