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三角恒等式变换2


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简单的三角恒等变换( 3.2.3 简单的三角恒等变换(三)综合问题
一、教学目标 1、灵活利用公式,通过三角恒等变形,体现三角变换在简化三角函数式中的作用 灵活利用公式,通过三角恒等变形, 2、感受以角为自变量在解题过程中的有点,体会三角函数在数学中的应用。 感受以角为自变量在解题过程中的有点,体会三角函数在数学中的应用。 二、教学重点与难点 重点:三角恒等变形的应用。 重点:三角恒等变形的应用。 难点:三角函数模型的建立。 难点:三角函数模型的建立。 三、教学过程

( 例 1、 利用三角公式化简 sin 50 ° 1 +

3 tan 10 °) .

1 3 2( cos10° + sin 10°) 3 sin 10° 2 解: 原式 = sin 50° 1 + ( ) sin 50° 2 = cos10° cos 10°
= 2 sin 50° sin 30° cos 10° + cos 30° sin 10° sin 40° = 2 cos 40° cos 10° cos 10° sin 80° cos 10° = = = 1. cos 10° cos 10°

常见的三角变形技巧有 ①切割化弦; ②“1”的变用; ③统一角度,统一函数,统一形式等等. 例 2、如图,在一块半径为 R 的半圆形的铁板中截取 一个内接矩形 ABCD,使其一边 CD 落在圆的直径上, 问应该怎样截取,能使矩形 ABCD 的面积最大?并求 出这个矩形的最大面积。

B

A

C

O

D

例 3、如图 3.2-1,已知 OPQ 是半径 1,圆心角为的扇形,C 是扇形弧上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形。记∠COP=α,求当角取何 值时, 矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积。 Q 分析: 要求当角取何值时, 矩形 ABCD 的面积 S 最大, 可分二步进行; D C (1)找出 S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求 S 的最大值。 解:在 Rt△OBC 中,
α
1

O

A

B

P

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相应练习 如图 ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮,其中 ATPN 是一半径为 90m 的扇形小山, 是弧 TN 上一点, P 其 余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边 落在 BC 与 CD 上的长方形停车场 PQCR. (1)设 ∠PAB = θ ,长方形停车场 PQCR 面积为 S,求 S = f (θ ) (2)求 S = f (θ ) 的最大值和最小值。 解:设 ∠PAB = θ , (0o ≤ θ ≤ 90o ) , 则 AM = 90 cos θ , PM = 90 sin θ , RP = RM PM = 100 90 sin θ , PQ = MB = 100 90 cos θ , ∴ S = PQ PR = (100 90sin θ )(100 90 cos θ ) = 10000 9000(sin θ + cos θ ) + 8100 sin θ cos θ 设 sin θ + cos θ = t ,即 t = 2 sin(θ + )(0 ≤ θ ≤ ) ∴1 ≤ t ≤ 2 4 2 则 sin θ cos θ =
t 2 1 。 2 8100 10 (t ) 2 + 950 。 2 9

π

π

代入化简得 S =

故当 t=

10 时,Smin=950(m2);当 t= 2 时,Smax=14050-9000 2 (m2) 9

2



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