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条件概率与事件的独立性1 (1)


第五章

概率和概率分布

概率统计的研究对象—随机现象

随机现象--在一定条件下事先无法确定其结果的现象,如:

⒈掷一枚硬币,观察向上的面;
⒉下一个交易日观察股市的指数涨跌情况; ⒊某人射击一次,考察命中环数; ⒋从一批产品中抽取一件,考察其质量; 5.观察待出生婴儿性别


随机现象的统计规律
? 历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验, 结果如下表 : 正面次数 m (m为频数) 1061 2048 6019 12012 14984 36124 抛掷次数

n

m 频率( ) n
0.5181 0.5069 0.5016 05005 0.4996 0.5011

2048 4040 12000 24000 30000 72088

随机现象的统计规律
?有人统计了约438023个英语单词中各字母出现 的频率, 发现各字母出现的频率如下:

A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202

B: 0.0156 C: 0.0268 F: 0.0256 G: 0.0187 J: 0.0010 K: 0.0060 N: 0.0706 O: 0.0776 R: 0.0594 S: 0.0634 V: 0.0102 W: 0.0214 Z: 0.0006

D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016

有关概念
? 基本概念

试验—对现象的观察
随机试验—对随机现象的观测, 满足以下三个特征的试验: 1)可重复性:可以在相同条件下重复进行; 2)可观察性:试验的所有可能的结果是明确的,且不止一个; 3)不确定性:每次试验具体会出现哪个结果是未知的. 随机试验常用E记.

有关概念
? 基本概念

样本点—随机试验的每一种可能出现的结果,常用
ω, e记; 样本空间—随机试验的所有可能的结果所组成的 集合, 亦即样本点的全体,常用Ω,S记.

样本空间与样本点举例
【例1】连续抛掷两枚硬币观察其正面与反面出现的 情况; 【例2】观察某电话交换台在一天内收到的呼叫

次数;
【例3】观察一个新灯泡的寿命。

有关概念
? 基本概念

随机事件—由部分样本点组成的试验结果集, (即既可 能发生,也可能不发生的事件)常用A,B,C记;
事件A发生 出现的样本点ω∈A

必然事件—每次试验中必然发生的事件,即S; 不可能事件—在任一次试验中都不可能会发生的事 件,即Φ。

例题分析
【例4】试指出下列事件中,哪些是不可能事 件?哪些是必然事件?哪些是随机事件?
(1)某地1月1日刮西北风; (2)手电筒的电池没电,灯泡发亮. (3)在标准大气压下,水在温度90?c 时沸腾; (4)直线 y ? k ?x ? 1?过定点 ?? 1,0? ; (5)当 x 是实数时,x? ≥ 0; (6)一个袋内装有形状大小相同的一个白球和 一个黑球,从中任意摸出1个球则为白球.

有关概念
? 基本概念

基本事件—只包含一个样本点的事件;

复合事件—含有两个或两个以上样本点的事件;
【例5】袋中装有8个编号为1,2,3,…,8大小相同小球,每次 取出一球,记录其编号,则 样本空间S={1,2,3,4,5,6,7,8} 基本事件有{1},{2},{3},…,{8} 复合事件有{1,3,5},{2,4,6}等

随机事件举例
【例6】连续掷两枚质地均匀的骰子观察落地点数,记
事件A ? "第一枚骰子出现点i,第二枚骰子出现点j '' (1 ? i, j ? 6)

事件B ? "第一枚骰子出现偶数点,第二枚骰子出现奇数点'' 事件C ? "两枚骰子出现点数之和为10 ''

试用样本点组成的集合表示以上三事件。

随机事件的关系与运算
? 运算

1)称A∪B为事件A,B的和事件,亦可记为A+B; 其涵义即事件A与B至少有一个发生 2)称A∩B为事件A,B的积事件,亦可简记为AB; 其涵义即事件A与B同时发生 3)称A-B={ω∈A且ω ? B}为事件A与B的差; 其涵义即事件A发生但B不发生 如:在抛骰子试验中,若记事件A=“点数为奇数”,B=“点数 小于5”,则A-B={1,3}

随机事件的关系与运算
? 关系

1)若A ?B,称事件B包含事件A;
其涵义即事件A的发生必然导致B的发生

2)若A=B,称事件A与事件B相等;
其涵义即事件A的发生必然导致B的发生,同时B的发 生也必然导致A的发生

3)若A∩B=Φ,称事件A,B互不相容(互斥)
其涵义即事件A与B不能同时发生

随机事件的关系与运算
?

关系

4)若A∪B=S且A ∩B=Φ,称事件A,B互为对立事 件,或称B为A的逆事件,记为 A .
其涵义即事件A与B有且仅有一个发生

5)设A1,A2,…,An,…是有限或可数个事件,满足: ① Ai∩Aj=Φ, i≠j, i, j=1,2,…


A1∪ A2 ∪… ∪ An ∪…=S

则称A1,A2,…,An,…是一个完备事件组

随机事件的关系与运算举例
【例7】考察某一位同学在一次数学考试中的成绩,分 别用A,B,C,D,P,F表示下列各事件(括号表示成绩所 处的范围):
A—优秀([90,100]) B—良好([80,90))

C—中等([70,80))
P—通过([60,100])

D—及格([60,70))
F—未通过([0,60))

随机事件的运算规律
设A,B,C同为一随机试验E中的事件,则有:
1)交换律 A∪B=B ∪A , A∩B=B ∩A

2)结合律 3)分配律 4)自反律

(A∪ B) ∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩ B) ∩ C=A ∩(B ∩ C) (A∪ B) ∩ C=(A ∩ C) ∪(B ∩C) (A ∩ B) ∪ C=(A ∪C) ∩(B ∪ C)
A? A

5)对偶律 A ? B ? A ? B,

A? B ? A? B

注:上述各运算关系可推广到有限或可数个事件情形

随机事件的运算及规律举例
【例8】甲,乙,丙三人各射一次靶,设A—“甲中靶”,B— “乙中靶”,C—“丙中靶”,试用上述三个事件的运算来分别 表

示下列各事件:
1)“甲未中靶” 2)“甲中靶而乙未中靶”

3)“三人中只有丙未中靶”
5)“三个中至少有一人中靶” 靶”

4)“三人中恰好有一个中靶”
6)“三个中至少有一人未中

7)“三人中恰有两人中靶”
9)“三人均未中靶” 11)“三人中至多两人中靶”

8)“三人中至少两人中靶”
10)“三人中至多一个中靶”

随机事件的运算及规律举例
【例9】在经济学院学生中任选一名,记 A=“被选学生为男生” B=“被选学生是二年级学生” C=“被选学生是学生干部”
问:
( 1 ) ABC 表示什么事件?

(2)在什么条件下ABC=C? (3)在什么时候 C ? B 成立? (4)在什么时候 A ? B 成立?

引入概率的目的
随机事件的概率是用来度量一个事件在一次试验中发生 的可能性大小的数值。

我们希望此数值合乎以下几个常理:
?

取值为0到1之间的数

?
?

必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0
事件包含结果越多发生可能性越大,反之则小

随机事件的频率
?随机试验
?试验总次数n ?随机事件 ?事件A出现次数m

抛掷一枚均匀的硬币 将硬币抛掷n次 A=“出现正面” 出现正面m次

m ?随机事件的频率 f n ( A) n 事件A出现的次数m f n ( A) ? 试验总次数n

频率的数学性质
(1) 0 ? f n ( A) ? 1

(2) f n ( S ) ? 1

(3) 设A1 , A2 ,?, As是两两互不相容的事件,则

fn ( A1 ? A2 ??? As ) ? f n ( A1 ) ? f n ( A2 ) ? ? ? f n ( As )

频率的稳定性
?抛硬币历史纪录

试 验 者 抛 掷 次 数n 德.摩 根 2048 蒲 丰 4040 12000 皮尔逊 24000 皮尔逊 维 尼 30000

出现正面的次数m 出现正面的频率m/n

1061 2048 6019 12012 14994

0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998

此例说明:随机事件A在相同条件下重复多次时,事件A 发生的频 率在一个固定的数值p附近摆动,随试验次数的增加更加明显.

频率的稳定性
?某批乒乓球产品质量检查结果表:
优等品数 抽取球数

m

45 50

92 100

194 200

470 500

954 1000

1902 2000

n

优等品频率 m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951

n

此例说明当抽查的球数很多时,抽到优 很多 m 常数0.95,在它附近 等品的频率 接近于常数 n 摆动。

频率的稳定性
?某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表:

当试验的油菜籽的粒数很多时,油菜籽 很多 m 发芽的频率 接近于常数 常数0.9,在它附近 n 摆动。

概率的统计定义
对任意事件A,在相同的条件下重复进行n
次试验,事件A发 生的频率 fn(A),随着试验次

数n的增大而稳定地在某个常数附近摆动那么称p
为事件A的概率, 记为P(A).即

P ( A) ? lim f n ( A)
n ???

当试验次数足够大时,可以用事件A发生的频 率近似的估计事件A的概率.

由定义可知:
(1)求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时, A 这个常数才叫做事件 的概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概 率的近似值; (4)概率反映了随机事件发生的可能性 的大小; (5)必然事件的概率为1,不可能事件的 概率为0.因此 0 ? P? A? ? 1 .

概率的统计定义例
[例1]检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取10件、

20件、50件、100件、150件、200件、300件检查,检
查结果及次品出现的频率如下表:
抽取产品总件 数 n 次品数 m 次品频数 m / n 10 0 0 20 50 100 150 200 300

1 3 5 7 11 16 0.050 0.060 0.050 0.047 0.055 0.053

从上表可看出,次品频率在0.05附近摆动,随着n的增大,次 品率与0.05的差别越来越小,故理由认为该产品的次品率约为 0.05.

? 有限性

古典概率模型

每次试验中,所有可能发生的结果只有有限个, 即样本空间Ω是个有限集

S ? ??1 , ?2 ,? , ?n ?
? 等可能性

每次试验中,每一种可能结果的发生的可能性相 同,即

P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )
Ai ? ??i ? ,
i ? 1, 2,?, n .

其中

古典概型的概率定义
在古典概型中,设试验总结果数为n,事 件A所包含的样本点数为m,则定义事件A的 概率为

m A包含结果个数 P( A) ? ? n S中总包括结果个数

古典概型的概率计算
? 确定试验的样本点总数

设试验共有n个结果ω1,ω2,...,ωn ,而且这些 结果的发生具有相同的可能性
? 确定事件A包含的样本点数

事件A由其中的m个结果组成

事件A包含的结果数 m P( A) ? ? 试验的结果总数 n

古典概率的计算例
[例3]袋中有10个小球,4个红6个白,分别按放回抽样和不放回
的方法随机地从连续从袋中取3个球,试分别按两种取法求下列 事件的概率:

(1)A=“3个球都是白的”
(2)B=“2个红的,1个白的”

古典概率的计算例
[例4] 在电话号码簿中任取一号码,求后面4位数全

不相同的概率(设后面的4个数字中的每一个都是等
可能的取自0,1,2,…,9) 析:记A=“号码后四位数全不相同”

古典概率的计算例
[例5]从1, 2,…, 10这十个数字中任取三个,问大

小在中间的数字恰好为5的概率是多少?
析:记A=“取出来的三个数大小在中间的数 字为5”

思考
[例6]一个班级有30人,要用抽签的办法分配5张电影 票,问第1人抽到电影票和第30个人抽到电影票的概 率各为多少?
[例7]两封信随机地投入4个邮筒,记事件 A=“前两个邮筒内没有信”

B=“第一个邮筒内只有一封信”
试求P(A),P(B).

几何概型
? 将古典概型中的有限性推广到无限性,而保留等可

能性,就得到几何概型。
? 特点 ? 有一个可度量的几何图形G ?试验E看成在G中等可能地投掷一点 ?事件A就是所投掷的点落在G中的可度量图形A中

A 的几何度量 L( A) P ( A) ? ? S的几何度量 L( S )
? 几何度量--------指长度、面积或体积

几何概型的计算
[例8]在一个圆周长为3的陀螺上均匀地刻上刻度,当
陀螺停止转动时,观察它的圆周与桌面的触点的刻

度。求以下几个事件的概率 :
1)A=“触点刻度落在[1,2]内”

2)B=“触点刻度落在[1,2)内”
3)C=“触点刻度落在1处”

4)D=“触点刻度落在(0,3)内”

几何概型的计算
[例9]甲乙二人相约定7:00-8:00在预定地点会面, 先到的人要等候另一人20分钟后,方可离开。求甲 乙二人能会面的概率,假定他们在7:00-8:00内 的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。 y 解:设甲乙二人到达预定地点的时刻
分别为 x 及 y(分钟), 则样本空
间 S ? {( x, y) | 0 ? x ? 60,0 ? y ? 60} 记事件A=“甲乙二人能会面”,则

60

A ? {( x, y ) | x ? y ? 20}
从而 p ( A) ?

20
x 20 60

60 ? 402 60
2

2

5 ? 9

主观概率
定义:指面对不确定性,由个人判断某事件发生的可 能性大小。 特点: 1)对同一事件中不同的人可能给出不同的概率值。 2)依个人经验、知识及前人的经验给出,不是随意确 定的。

例:1、中心气象台预报“明日降水的概率为0.8”
2、某企业决策都认为某种新产品的上市后畅销 的可能性为0.5。

概率的性质
? 0≤P(A) ≤1 ? P(S)=1, P(Φ)=0
? 有限可加性: A1 , A2 ,?, An 两两互不相容时
P(? Ai ) ? ? P( Ai )
i ?1 i ?1 n n

? 完全可加性:
? ? i ?1 i ?1

A1 , A2 ,? 两两互不相容时

P(? Ai ) ? ? P( Ai )

概率的运算性质 ?减法公式
对任意两个随机事件A、B ,有

P( B ? A) ? P( B) ? P( AB)
A

B

B ? AB ? ( B ? A)

P( B) ? P( AB ? ( B ? A)) ? P( AB) ? P( B ? A)
特别当A ? B时, P ( B ? A) ? P ( B ) ? P ( A) 从而有 P( A) ? P ( B )

? 加法公式(一)
对任意两个随机事件A、B ,有

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)
A

B

A ? B ? A ? ( B ? A)

P( A ? B) ? P( A ? ( B ? A)) ? P( A) ? P( B ? A) ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB )

? 加法公式(二)
P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( BC ) ? P( AC ) ? P( ABC )
A B

C

?逆事件的概率
P( A ) ? 1 ? P( A)

证明

由于A与其对立事件互不相容,由加法原理得

P( A ? A) ? P( A) ? P( A)

所以

A ? A ? S , P( S ) ? 1

A

A

P( A) ? P( A) ? 1

概率计算例子
[例10]已知P ( A) ? 0.5, P ( AB ) ? 0.2, P ( B ) ? 0.4,求
(1) P ( AB ) (2) P ( A ? B ) (3)P ( A ? B ) (4)P ( AB )

提示:(1) B ? AB ? AB ? P( AB) ? P( B) ? P( AB)

(2) P ( A ? B) ? P( A) ? P( AB)

(3) P ( A ? B ) ? P (B ) ? 1? P ( A) ? P ( AB )
(4) P ( AB ) ? 1? P ( A ? B )

概率计算例子
[例11]设有一枚质地不均匀的骰子,其偶数点出现的可能性
为奇数点的2倍.若掷此骰子一次,令 Ai ="出现i点", i ? 1, 2, 3, 4,5, 6.求事件A="出现点数小于4"的概率.

概率计算例子
[例12]一副不包括王牌的扑克52张,从中随机地 抽取1张,问抽出红桃或抽出K的概率是多少? 析:记A=“抽出的牌为红桃” B=“抽出的牌为K” [例13]有100件产品,其中10件是次品。任取10 件,问至少有一件是次品的概率是多少?
析:记A=“取出的10件中至少有一件是次品”

有趣现象:生日的巧合
[例14]我们知道,在366人当中,一定 有两个人的生日相同,其实对人数只 有60时,我们也可以很有把握地说这 60人当中至少有2个人生日相同,为 什么呢? 事实上,一般地,在k个人群中, 至少有2人生日相同的概率可 一一计算例成表格如右:
k p

5
10 15

0.027136
0.116948 0.252901

20
22 23 25 30 40 50 60 70 80

0.411438
0.475695 0.507297 0.5687 0.706316 0.891232 0.970374 0.994123 0.99916 0.999914

附录—排列组合简介
(1) 加法原理与乘法原理

加法原理:如果进行某过程有种 m 方式,而第种

i方

式有 k i 种方法 (i ? 1, 2,?, m) ,则完成该过程的方法共有

k1 ? k 2 ? ? ? k m
乘法原理:进行某过程必须经过m 个步骤,而第 i k i 种方法 (i ? 1, 2,?, m) 个步骤有 ,则完成该过程的 方法共有

k1 ? k2 ? k3 ?? ? km

附录—排列组合简介
(2) 常用的排列公式

1°从 n 个不同元素中任取 k ( k ≤ n )个元素(不允 许重复)排成一列,称为选排列,共有
n! A (P ) ? ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) (n ? k )!
k n k n

种排列方法. 特别当 k ? n 时, n 个不同元素的全排列种数为
Pn ? n!? n(n ? 1)(n ? 2)? 3 ? 2 ?1 .

附录—排列组合简介
k n 2°从 个不同元素中任取 k 个允许重复地排成一列,共有 n 种排法.

3°设有 m 种不同元素,同种元素是没有区别的,第 i 种元 素有 k i 个(i ? 1, 2,?, m) ,则全部 n ? k1 ? k 2 ? ? ? k m个元素的全 排列总数为

n! . k1!k 2 !? k m !

(3) 常用的组合公式 1°从 n 个不同元素中任取 成一组,共有 显然
k Cn

k( k ≤ n )个元素(不考虑次序)作

k Cn

k An n?k ? ? Cn k!

n! ?n? ?? ?? 种组合方式. ? k ? k!(n ? k )!

附录—排列组合简介
2°把 n 个不同的元素分成 m 组,使得第 i 组恰有 k i
(i ? 1, 2,?, m) 个元素 (k ? k ? ? ? k ? n),则共有 1 2 m

n! k1!k 2 !? k m ! 种分组方法.
3°设 n 个元素中有 m 种类型,第 i 种类型中有 ni 个元素,

( i ? 1, 2,?, m), n1 ? n2 ? ? ? nm ? n,现从这n个元素中取出 k 个,
使得第 i 种类型的元素恰有
? n1 ? ? n2 ? ? nm ? ?k ? ?? ?k ? ? ?? ?k ? 1 ?? 2 ? ? m

k i个元素 (ki ? ni , i ? 1, 2,?, m) ,

其中 k1 ? k 2 ? ? ? k m ? k ,则共有
? ? ? 种不同的取法. ?


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