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新课改-函数单调性-ppt课件


函数单调性

情景引入
引入: 如图为某市2016年元旦24小时内的气 温变化图.观察这张气温变化图:

问题1

描述气温在哪些时间段是升高的?

问题2 怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升 高”这一特征?从左至右图象上升还是下降?

? 问题1:观察下

列函数图象,并指出图像 y y 变化趋势 y

y=x+1

1

-1 O

x

2 2 y=-2x+2 x 1 1 x O

y y
O
1

y=-x2+2x
2

y

x

1 y? x x O

问题2:你能明确说出“图象呈上升趋势”的 意思吗?
? 学生可以讨论,得到结论
? 在某一区间内,

? 当x的值增大时,函数值y也增大,图象在该区间呈上升趋势; ? 当x的值增大时,函数值y反而减小,图象在该区间呈下降趋势。

? 函数的这种性质称为函数的单调性

一、函数是单调性的定义 (一)增函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的 值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有f (x1 ) ? f (x 2 ) ,那么就说函数 y f (x) 在区间D上是增函数 .
f ( x2 )
f ( x1 )

上升 x

0

x1

x2

(二)减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的
值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有f (x1 ) ? f (x 2 ) ,那么就说函数 y f (x) 在区间D上是减函数 .
f ( x1 )

f ( x2 )

下降
x2

0

x1

x

(三)单调性
如果函数 y ? f (x) 在区间D上是增函数或减函数,那么

就说函数 y ? f (x) 在这一区间具有单调性,区间D叫做 y ? f (x)
的单调区间.

二、 对函数单调性定义的理解
1.强调所给区间任意的两个数x1,x2,不能是两个 特殊值; 2.强调不等号方向一致与否; 3.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念。 4.函数单调性的几何意义: 单调增函数:在定义区间上图像从左到右上升 单调减区间:在定义区间上图像从左到右下降

想一想
判断下列说法是否正确 1、如果对于定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x) 是R上单调增函数. 错误 2、如果对于定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在 R上不是单调减函数. 正确 3、若f(x)是R上的增函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 x1 ? x2 正确 。

教学设计
例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上 的函数y=f(x)的图象,根据图象说 出y=f(x)的单调区间,以及在每一 个单调区间上, y=f(x)是增函数还 是减函数。

? 学生展示 (1)这个函数的定义域I是什么? (2)它在定义域I上的单调性是怎样的? 证明你的结论.
1 画出反比例函数 y ? x 的图象.

教学设计
例:证明函数 f ( x ) ? ? 数
1 ?1 在 x

(??,0)

上时单调增函

证明函数单调性的一般步骤:

⑴取值:设x1 ,x2是给定区间内的两个任意值, 且x1< x 2 (或x1 >x 2); ⑵作差:作差f(x1)-f(x2),

( 3 )变形(要注意变形到能判断整个差式符 号为止,变形手段有:通分、因式分解、配方、 分母有理化等);
( 4 )定号:判断 f(x1) - f(x2) 的正负(要注意 说理的充分性),必要时要讨论; (5)下结论:根据定义得出其单调性.

学生小结
1.函数单调性的定义注意哪些地方 2.证明函数单调性的步骤
主要步骤
1. 取值:任取x1,x2∈I,且x1<x2; 2. 作差f(x1)-f(x2); 3. 变形(通常是因式分解和配方); 4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5. 下结论

3.注意单调增区间分为两个区间写法, 用“和”或者逗号隔开

课堂检测
练习
1 课本44页,习题2.2,第2题。 2 证明函数f(x)=-x2在?0, ? ?? 上是 减 函 数。


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