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用面积和三角函数证明M+N=P型几何证明题


用面积和三角函数证明 M+N=P 型几何证明题 在一个几何证明题中,垂直条件比较多时,除了使用常规的方 法证明结论外,有些题目还可以尝试用面积方法和三角函数证明, 由此可以达到意外效果。对于培养数学思维习惯,学会从多角度解 决数学问题有很大帮助。 比如:△abc 中,ab=ac,bd、ce 是高。 求证:bd=ce 证明:∵s△=■ab×ce= ■ac×bd,又 ab=ac ∴bd=ce 或者: ∵在 rt△cdb 中 sin∠dcb=■, 在 rt△ceb 中 sin∠dcb=■, 又∠dcb=∠ebc ∴ce=de 除用全等证明的通法解决这个简单几何问题外,用面积法和三角 函数法也很简洁。这种方法对于一些较复杂的几何题目也同样适 用。 例 1:在△abc 中,ab=ac,cg⊥ba 交 ba 的延长线于点 g。一等腰 直角三角尺按如图 15-1 所示的位置摆放, 该三角尺的直角顶点为 f, 一条直角边与 ac 边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点 b。 (1)在图 15-1 中请你通过观察、测量 bf 与 cg 的长度,猜想并 写出 bf 与 cg 满足的数量关系,然后证明你的猜想; (2)当三角尺沿 ac 方向平移到图 15-2 所示的位置时,一条直角 边仍与 ac 边在同一直线上,另一条直角边交 bc 边于点 d,过点 d 作 de⊥ba 于点 e。此时请你通过观察、测量 de、df 与 cg 的长度, 猜想并写出 de+df 与 cg 之间满足的数量关系, 然后证明你的猜想; (3)当三角尺在(2)的基础上沿 ac 方向继续平移到图 15-3 所 示的位置(点 f 在线段 ac 上,且点 f 与点 c 不重合)时, (2)中 的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) 证明: (2)连接 ad,s△abc=■ab×cg= ab=ac 所以:cg=de+df 也可以借助三角函数来证明: 证明∵在 rt△bed 中 sin∠b=■ ∴ de=bdsin∠b 同理在 rt△dfc 中,df= dcsin∠acb ∴de+df= bdsin∠b+ dcsin∠acb,又∠b=∠acb de+df =(bd+dc)sin∠b=bc sin∠b ∵在 rt△bgc 中 cg=bcsin∠b ∴de+df=cg (3)问方法与(2)一样 此题是 2007 年河北省中考试题,在多年没有考截长补短类几何证 明的情况下,出现这样的题目,很多学生束手无策,如果我们平时 教学中, 注意培养学生从多角度思考问题, 防止思维定势解题干扰, 提高学生思维的深度,学会一题多解,学习效果会更好些。用面积 法和函数法解决 m+n=p 型题目一般思路是:找到三条垂直的线段分 ■ab×de+■ac×df,又 布的三角形,利用面积和差、等线段关系证明结论,或者找到三条 垂线所在的直角三角形, 借助三角函数以及相等的线段、 角来解决。 例 2:正方形 abcd 中,直线 mn 经过点 a,de⊥mn,bf⊥mn,cg⊥mn, 求证: (1)de=bf+ef(2)bf=de-cg(3)如果点 m 绕 a 点旋转到 cd 上(2)的结论会发生变化吗? 面积法: (图 2-1) ■ 证明:连接 dm、ac。 ∵ s△ahd=■s 正=s△abh+s△hcd,又 s△hcd=s△ahc ■ah×de=■ah×bf+■ah×cg ∴ de=bf+cg 即:bf=de-cg 三角函数法: 简证:∵de=adsin∠1,bf=bhsin∠2, cg= chsin∠3 易证:∠1=∠2=∠3

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