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第2章解析函数


第一节

解析函数的概念

一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、函数解析的充分必要条件 四、解析函数和调和函数的关系
1

一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:

设函数 w ? f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 ? ?z

不出 D 的范围,
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, ?z ? 0 ?z 那末就称 f ( z ) 在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
的导数,

记作

dw f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z0 ) f ?( z0 ) ? ? lim . dz z ? z0 ?z ?0 ?z

2

在定义中应注意:

z0 ? ?z ? z0 (即?z ? 0)的方式是任意的.

即z0 ? ?z在区域D内以任意方式趋于 z0时, f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . ?z

如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.

3

2 求 f ( z ) ? z 的导数. 例1



f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ?( z ) ? lim ?z ? 0 ?z

( z ? ?z ) ? z ? lim ?z ? 0 ?z
2
?z ?0

2

? lim (2z ? ?z ) ? 2 z .

( z 2 )? ? 2 z
4

例2 解

讨论f ( z ) ? Im z的可导性.

?f f ( z ? ?z ) ? f ( z ) Im( z ? ?z ) ? Im z ? ? ?z ?z ?z Im z ? Im ?z ? Im z Im ?z ? ? ?z ?z

?y Im(?x ? i?y ) ? ? , ? x ? i? y ? x ? i? y
当点沿平行于实轴的方 向(?y ? 0)而使?z ? 0时,
5

?y ?f f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? lim ? 0, lim ? lim ? x ? 0 ? x ? i? y ?z ? 0 ? z ?z ? 0 ?z ?y ? 0

当点沿平行于虚轴的方 向(?x ? 0)而使?z ? 0时,
?y 1 ?f f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? lim ? , lim ? lim ? y ? 0 ? x ? i? y ?z ? 0 ? z ?z ? 0 i ?z ?x ? 0

当点沿不同的方向使 ?z ? 0时, 极限值不同 , 故f ( z ) ? Im z在复平面上处处不可导 .
6

例3 问f ( z ) ? x ? 2 yi是否可导?    解

?f f ( z ? ?z ) ? f ( z ) lim ? lim ?z ? 0 ? z ?z ? 0 ?z ( x ? ?x ) ? 2( y ? ?y )i ? x ? 2 yi ? lim ?z ? 0 ?z y

?x ? 2?yi ? lim ?z ? 0 ?x ? ?yi

z
o

?

?y ? 0
x

设z ? ?z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z,
7

?x ?x ? 2?yi ? lim ? 1, lim ?x ? 0 ? x ?z ?0 ?x ? ?yi

设z ? ?z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z,

?x ? 2?yi 2?yi lim ? lim ? 2, ?z ?0 ?x ? ?yi ?y ? 0 ?yi
所以f ( z ) ? x ? 2 yi的导数 不存在.   
o

?x ? 0
y

z

?

?y ? 0
x

8

2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证

根据在 z0 可导的定义,
?? ? 0, ?? ? 0,

使得当0 ?| ?z |? ? 时,

f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 有 ? f ?( z0 ) ? ? , ?z
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 令 ? ( ?z ) ? ? f ?( z0 ) ?z
9

则 lim ? (?z ) ? 0,
?z ?0

因为 f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 )?z ? ? ( ?z )?z ,

所以 lim f ( z0 ? ?z ) ? f ( z 0 ),
?z ?0

即f ( z )在 z0 连续.

[证毕]

10

3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.

求导公式与法则: (1) (c )? ? 0, 其中c为复常数.

( 2) ( z n )? ? nz n?1 , 其中n为正整数.

11

( 3) (4)

? f ( z ) ? g( z )? ? f ( z ) g( z )?
?

?

? f ?( z ) ? g?( z ).

?

? f ?( z ) g( z ) ? f ( z ) g?( z ).

f ?( z ) g( z ) ? f ( z ) g?( z ) ? f ( z )? ( 5) ? ? . ( g ( z ) ? 0) 2 ? g (z) ? g( z ) ?

? ? ? (6) f [ g( z )] ? f ?( w ) g?( z ). 其中 w ? g( z )
1 (7) f ?( z ) ? , 其中 w ? f ( z )与z ? ? ( w )是 ? ?( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且? ?( w ) ? 0
12

4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w ? f ( z )在 z0 可导, 则 ?w ? f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 ) ? ?z ? ? ( ?z )?z ,
式中 lim ? ( ?z ) ? 0, ? ( ?z )?z 是 ?z 的高阶无穷
?z ? 0

小, f ?( z0 ) ? ?z 是函数 w ? f ( z ) 的改变量 ?w 的 线性部分. f ?( z0 ) ? ?z 称为函数 w ? f ( z )在点 z0 的微分,

记作

dw ? f ?( z0 ) ? ?z .
13

如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地,

当 f ( z ) ? z 时,

dw ? dz ? f ?( z0 ) ? ?z ? ?z ,
dw dw ? f ?( z0 ) ? ?z ? f ?( z0 ) ? dz , 即 f ?( z0 ) ? dz z ? z 0
函数 w ? f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
14

二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义

如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).

15

2. 奇点的定义 如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为

f ( z ) 的奇点.
根据定义可知:

函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.

16



研究函数 f ( z ) ? z 2 , g( z ) ? x ? 2 yi 和
2

h( z ) ? z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:

f ( z ) ? z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) ? x ? 2 yi 处处不解析;

下面讨论 h( z ) ? z 的解析性 ,
h( z0 ? ?z ) ? h( z0 ) z0 ? ?z ? z0 ? ?z ?z
2 2

2

17

?z ( z0 ? ?z )( z0 ? ?z ) ? z0 z0 ? z0 ? ?z ? z0 , ? ?z ?z h( z0 ? ?z ) ? h( z0 ) lim ? 0. (1) z0 ? 0, ? z ?0 ?z
( 2) z0 ? 0,

令 z0 ? ?z 沿直线 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 趋于 z0 , ?y 1? i 1 ? ik ? z ? x ? i? y ? x ? ? ? ?z ?x ? i?y 1 ? i ?y 1 ? ik ?x
18

由于 k 的任意性,

?z 1 ? ki ? 不趋于一个确定的值 . ?z 1 ? ki
h( z0 ? ?z ) ? h( z0 ) lim 不存在. ?z ? 0 ?z
因此 h( z ) ? z 仅在 z ? 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
19

2

1 例5 研究函数 w ? 的解析性. z



1 因为 w ? 在复平面内除 z ? 0 处处可导, z dw 1 且 ?? 2, dz z
所以 w在复平面内除 z ? 0 外处处解析,
z ? 0 为它的奇点 .

20

. 例6 研究函数 f ( z ) ? z Re( z ) 的可导性与解析性



(1) z ? 0,

f ( 0 ? ?z ) ? f ( 0 ) ?z Re(?z ) lim ? lim ? 0, ?z ? 0 ?z ? 0 ?z ?z

故 f ( z ) ? z Re( z ) 在 z ? 0 处可导.
( 2 ) z ? 0,

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ( z ? ?z ) Re( z ? ?z ) ? z Re( z ) ? ?z ?z
21

z ? [Re( z ? ?z ) ? Re( z )] ? Re( z ? ?z ) ?z

令 ?z ? ?x ? i?y ,

?x f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ?z ? x ? ?x , ?x ? i?y ?z
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) 因为 lim ? x, ?x ? 0 ?z ?y ? 0

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) lim ? z ? x, ?y ? 0 ?z ?x ? 0
22

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) 所以 lim 不存在. ?z ? 0 ?z

即当 z ? 0 时, f ( z ) 不可导,
因此 f ( z ) 仅在 z ? 0 处可导, 而在其他点都不 可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
1 课堂练习 研究函数 w ? 的解析性. z

答案

处处不可导,处处不解析.
23

定理

(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析.

( 2) 设函数 h ? g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w ? f ( h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点z , 函数 g( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w ? f [ g( z )] 在 D 内解析.
以上定理的证明, 可利用求导法则.
24

根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.

P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析 的, 使分母为零的点是 它的奇点.

25

思考:理解复变函数导数与微分以及解析函数 的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以 及求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数

的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求
导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多.
26

三、函数解析的充分必要条件
定理

设函数 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) 定义在区域 D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z ? x ? yi 可导的充要条 件是 : u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微, 并且在该 点满足柯西-黎曼方程 ?u ?v ?u ?v ? , ?? . ?x ?y ?y ?x
27



(1) 必要性.

设 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) 定义在区域 D 内, 且 f ( z ) 在 D内一点 z ? x ? yi 可导,

则对于充分小的?z ? ?x ? i?y ? 0,
有 f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? f ?( z )?z ? ? ( ?z )?z ,

其中 lim ? (?z ) ? 0,
?z ?0

令 f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?u ? i?v ,
f ?( z ) ? a ? ib,

? ( ?z ) ? ?1 ? i? 2 ,
28

所以 ?u ? i?v ? (a ? ib )? ( ?x ? i?y ) ? ( ?1 ? i? 2 ) ? ( ?x ? i?y )

? (a?x ? b?y ? ?1?x ? ? 2 ?y ) ? i (b?x ? a?y ? ? 2 ?x ? ?1?y )
于是 ?u ? a?x ? b?y ? ?1?x ? ? 2?y,
?v ? b?x ? a?y ? ? 2?x ? ?1?y .

因为 lim ? (?z ) ? 0, 所以 lim ? 1 ? lim ? 2 ? 0,
?z ?0
?x ? 0 ?y ? 0
?x ? 0 ?y ? 0

29

由此可知 u( x , y ) 与 v( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微,

?u ?v ?u ?v 且满足方程 ? , ?? . ?x ?y ?y ?x
(2) 充分性.

由于
? i[v ( x ? ?x , y ? ?y ) ? v ( x , y )]

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? u( x ? ?x , y ? ?y ) ? u( x , y )

? ?u ? i?v ,
又因为 u( x , y ) 与 v( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微,
30

?u ?u 于是 ?u ? ?x ? ?y ? ? 1?x ? ? 2 ?y , ?x ?y ?v ?v ?v ? ?x ? ?y ? ? 3 ?x ? ? 4 ?y , ?x ?y
其中 lim ? k ? 0,
?x ? 0 ?y ? 0

( k ? 1,2,3,4)

因此 f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ?
? ?u ?v ? ? ?u ?v ? ? ? i ? ?x ? ? ? i ? ?y ? (? 1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y . ?y ? ? ?x ?x ? ? ?y
31

?u ?v ?u ?v 2 ?v 由柯西-黎曼方程 ? , ?? ?i , ?x ?y ?y ?x ?x
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ?

? ?u ?v ? ? ? i ?( ?x ? i?y ) ? (? 1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y. ? ?x ?x ?
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?z ? u ?v ?x ?y ? i ? (? 1 ? i? 3 ) ? (? 2 ? i? 4 ) . ? x ?x ?z ?z
32

?x 因为 ? 1, ?z

?y ? 1, ?z

?x ?y ? ? lim ?(? 1 ? i? 3 ) ? (? 2 ? i? 4 ) ? ? 0, ?z ? 0 ? ?z ?z ?
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? u ? v 所以 f ?( z ) ? lim ? ?i . ?z ? 0 ?x ?x ?z

即函数 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y ) 在点 z ? x ? yi 可导.
[证毕]
33

根据定理一, 可得函数 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) 在 点 z ? x ? yi 处的导数公式: ?u ?v 1 ?u ?v f ?( z ) ? ?i ? ? . ?x ?x i ?y ?y 函数在区域 D 内解析的充要条件

定理二

函数 f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) 在其定义

域 D 内解析的充要条件是: u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且满足柯西-黎曼方 程.

34

解析函数的判定方法:

(1) 如果能用求导公式与求 导法则证实复变函 数 f ( z ) 的导数在区域 D 内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f ( z ) 在 D 内是解析的.
( 2) 如果复变函数 f ( z ) ? u ? iv 中 u, v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在 、连续(因而 u, v ( x , y ) 可微)并满足 C ? R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f ( z ) 在 D 内解析.
35

典型例题
例 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:

(1) w ? z; ( 2) f ( z ) ? e x (cos y ? i sin y ); ( 3) w ? z Re( z ).
解 (1) w ? z ,
u ? x, v ? ? y,

?u ?u ?v ?v ? 1, ? 0, ? 0, ? ?1. ?x ?y ?x ?y 不满足柯西-黎曼方程,
故 w ? z 在复平面内处处不可导 , 处处不解析.
36

(2) f ( z ) ? e x (cos y ? i sin y ) 指数函数 x x u ? e cos y, v ? e sin y, ?u ?u x x ? e cos y , ? ?e sin y , ?x ?y 四个偏导数 ?v ?v 均连续 x ? e sin y , ? e x cos y , ?x ?y ? u ?v ?u ?v 即 ? , ?? . ? x ?y ?y ?x
故 f ( z ) 在复平面内处处可导 , 处处解析.

且 f ?( z ) ? e x (cos y ? i sin y ) ? f ?( z ).
37

( 3) w ? z Re( z ) ? x 2 ? xyi,

u ? x , v ? xy,
2

?u ?u ?v ?v ? 2 x, ? 0, ? y, ? x. ?x ?y ?x ?y
四个偏导数均连续

仅当 x ? y ? 0 时, 满足柯西-黎曼方程 , 故函数 w ? z Re( z ) 仅在 z ? 0 处可导,
在复平面内处处不解析.
38

例 设 f ( z ) ? x ? axy ? by ? i (cx ? dxy ? y ), 问常数 a , b, c , d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
2 2 2 2

解析?


?u ?u ? 2 x ? ay, ? ax ? 2by, ?x ?y ?v ?v ? 2cx ? dy, ? dx ? 2 y , ?x ?y ?u ? v ?u ?v 欲使 ? , ?? , ?x ?y ?y ?x 2 x ? ay ? dx ? 2 y , ? 2cx ? dy ? ax ? 2by ,

所求 a ? 2, b ? ?1, c ? ?1, d ? 2.
39



如果 f ?( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在

区域 D 内为一常数.



?u ?v ? v ? u f ?( z ) ? ?i ? ? i ? 0, ?x ?x ? y ?y

? u ? v ?u ?v 故 ? ? ? ? 0, ? x ? y ?y ?x
所以 u ? 常数, v ? 常数,

因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
40

参照以上例题可进一步证明:

如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) ? 恒取实值;
( 2) f ?( z ) ? 0;

( 3) f ( z ) ? 常数;
(5) Re[ f ( z )] ? 常数;

(4) f ( z )解析;
(6) Im[ f ( z )] ? 常数; (8) arg f ( z ) ? 常数.

( 7 ) v ? u2 ;

41



设 f ( z ) ? u ? iv 为一解析函数, 且 f ?( z ) ? 0,

那末曲线族 u( x , y ) ? c1 与 v ( x , y ) ? c2 必相互正交, 其中 c1 , c2 为常数.


?v 1 ?u ? ? 0, 因为 f ?( z ) ? ?y i ?y ?v ?u 所以 与 不全为零, ?y ?y ?v ?u 如果在曲线的交点处 与 都不为零, ?y ?y
根据隐函数求导法则,
42

曲线族 u( x , y ) ? c1 与 v ( x , y ) ? c2 中任一条曲 ux vx 线的斜率分别为 k1 ? ? , k2 ? ? , uy vy 根据柯西-黎曼方程得

? ux ? ? v x ? ? v y ? ? u y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1, k1 ? k2 ? ? ? ? u ? ? v ? ? u ? ?v ? y? ? y? ? y? ? y ? ? 故曲线族 u( x, y ) ? c1 与 v( x, y ) ? c2 相互正交.
如果 u y 和 v y 中有一个为零, 则另一个必不为零 , 两族中的曲线在交点处 的切线一条是水平的 ,另 一条是铅直的, 它们仍然相互正交 .
43

思考:在本课中我们得到了一个重要结论—函数

解析的充要条件:
u( x , y )与 v ( x , y ) 在D 内可微, 并且满足柯西- 黎曼方程

?u ?v ? u ?v ? , ?? . ?x ?y ?y ?x

掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
44

第二节

初等函数的解析性

一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
45

一、指数函数
1.指数函数的定义:

当函数 f ( z ) 在复平面内满足以下三 个条件 :
(1) f ( z )在复平面内处处解析 ;
(2) f ?( z ) ? f ( z );

(3)当Im( z ) ? 0时, f ( z ) ? e x , 其中x ? Re( z ).
此函数称为复变数z 的指数函数, 记为 exp z ? e (cos y ? i sin y )
x
46

指数函数的定义等价于关系式:

? | exp z |? e x , ? (其中k为任何整数) Arg(exp z ) ? y ? 2k?,?

指数函数exp z 可以用e 来表示. e z ? e x (cos y ? i sin y )

z

注意 e z 没有幂的意义, 只是代替 exp z 的符号.

47

2. 加法定理 证
x1

exp z1 ? exp z2 ? exp(z1 ? z2 )

设 z1 ? x1 ? iy1 , z2 ? x2 ? iy2 ,
x2

左端 ? exp z1 ? exp z2

? e (cos y1 ? i sin y1 ) ? e (cos y2 ? i sin y2 )
?e
x1 ? x2

[(cos y1 cos y2 ? sin y1 sin y2 )]

? i[(sin y1 cos y2 ? cos y1 sin y2 )]

? e x1 ? x2 [cos( y1 ? y2 ) ? i sin( y1 ? y2 )]
? exp(z1 ? z2 ) ? 右端.
48

根据加法定理, 可以推出exp z 的周期性, exp z 的周期是2k?i ,

即 e z ? 2 k?i ? e z ? e 2 k?i ? e z . (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 e x所没有的.
例1 设 z ? x ? iy , 求(1) e
i ?2 z

; ( 2) e ; ( 3) Re(e );

z2

1 z



因为 e z ? e x ? iy ? e x (cos y ? i sin y )

所以其模 e z ? e x , 实部 Re(e z ) ? e x cos y.
49

(1) e

i ?2 z

? e i ?2( x ? iy ) ? e ?2 x ? i (1?2 y ) ,

e i ?2 z ? e ?2 x ;
( 2) e ? e
z2

( x ? iy )2
x2 ? y2

?e

x 2 ? y 2 ? 2 xyi

,

e

z2

?e

;
x ?y ? i x2 ? y2 x2 ? y2

( 3) e ? e
1 z

1 z

1 x ? yi

?e

,

Re(e ) ? e

x x2 ? y2

y cos 2 . 2 x ?y
50

例 解

求函数 f ( z ) ? e 的周期.  

z 5

e z 的周期是2k?i ,
f (z) ? e ? e
z 5
z ? 2 k?i 5

?e

z ?10 k?i 5

? f ( z ? 10k?i ),

故函数 f ( z ) ? e 的周期是 10k?i .  

z 5

51

二、对数函数
1. 定义
满足方程 e w ? z ( z ? 0) 的函数 w ? f ( z ) 称为对数函数, 记为 w ? Lnz ? ln z ? iArgz .

由于 Argz 为多值函数, 所以对数函数 w ? f ( z ) 也是多值函数, 并且每两值相差2πi的整数倍.

52

如果将 Lnz ? ln z ? iArgz 中 Argz 取主值arg z ,
那末 Lnz 为一单值函数, 记为 ln z, 称为 Lnz 的主值.

ln z ? ln z ? i arg z .
其余各值为 Lnz ? ln z ? 2k?i ( k ? ?1,?2,?),
对于每一个固定的k , 上式确定一个单值函数 , 称为 Lnz 的一个分支.

特殊地, 当 z ? x ? 0 时, Lnz 的主值 ln z ? ln x , 是实变数对数函数 .
53

例 解

求 Ln2, Ln( ?1) 以及与它们相应的主值 .
因为 Ln2 ? ln 2 ? 2k?i ,
所以 Ln2 的主值就是 ln2.

因为 Ln( ?1) ? ln 1 ? iArg( ?1) ? ( 2k ? 1)?i ( k为整数) 所以 Ln(?1) 的主值就是?i .
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
54



解方程 e z ? 1 ? 3i ? 0.



因为 e z ? 1 ? 3i ,

所以 z ? Ln(1 ? 3i )

?? ? ? ln 1 ? 3i ? i ? ? 2k? ? ?3 ? ?? ? ? ln 2 ? i ? ? 2k? ? ?3 ?
( k ? 0, ? 1, ? 2,?)
55



求下列各式的值: (1)Ln( ?2 ? 3i ); ( 2)Ln( 3 ? 3i ); ( 3)Ln( ?3).



(1)Ln ( ?2 ? 3i )

? ln ? 2 ? 3i ? iArg(?2 ? 3i )

1 3 ? ? ? ln 13 ? i ? ? ? arctan ? 2k? ?. 2 2 ? ?
( k ? 0, ? 1, ? 2,?)
56

( 2)Ln( 3 ? 3i )
? ln 3 ? 3i ? iArg( 3 ? 3i )
? 3 ? ? ? ln 2 3 ? i ? arctan ? 2k? ? 3 ? ?

?? ? ? ln 2 3 ? i ? 2k? ? ?. 6? ?
( 3)Ln ( ?3) ? ln ? 3 ? iArg(?3) ? ln 3 ? ( 2k ? 1)?i .

( k ? 0, ? 1, ? 2,?)

( k ? 0, ? 1, ? 2,?)
57

2. 性质
(1) Ln( z1 ? z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2 ,
z1 ( 2) Ln ? Lnz1 ? Lnz2 , z2

( 3) 在除去负实轴 (包括原点)的复平面内 , 主值支 和其它各分支处处连续 , 处处可导, 且

1 1 ? ? (ln z ) ? , (Lnz ) ? . z z
58

证 (3)
y ?0

设 z ? x ? iy , 当 x ? 0 时,
y ?0

lim? arg z ? ? ?,

lim? arg z ? ?,

所以, 除原点与负实轴 , 在复平面内其它点ln z 处处连续.

z ? e w在区域 ? ? ? arg z ? ?内的反函数 w ? ln z 是单值的,
d ln z 1 1 ? w ? . dz de z dw
[证毕]
59

三、乘幂 a 与幂函数
1. 乘幂的定义

b

设 a 为不等于零的一个复数 , b 为任意一个 复数, 乘幂 a b 定义为 e bLna ,
注意:
由于 Lna ? ln a ? i (arga ? 2k?) 是多值的, 因而 a 也是多值的.
b

即 a b ? e bLna .

(1) 当 b 为整数时, a ? e
b

bLna

?e

b[ln a ? i ( arg a ? 2 k? )]

60

?e

b (ln a ? iarg a )? 2 kb?i

? e b ln a , a b具有单一的值.

p ( 2) 当 b ? ( p与q为互质的整数, q ? 0)时, q
ab ? e
?e
b
p [ln a ? i ( arg a ? 2 k? )] q

?e

p p ln a ? i ( arg a ? 2 k? ) q q

p ln a q

p p ? ? ?cos q (arga ? 2kπ) ? i sin q (arga ? 2kπ)? ? ?

a 具有 q 个值, 即取 k ? 0,1,2,?, (q ? 1)时相应的值.
61

特殊情况:

1) 当 b ? n (正整数)时,
a n ? e nLna ? e Lna ?Lna ???Lna ? e Lna ? e Lna ? ? ? e Lna

(指数 n 项)

(因子 n 个) (因子 n 个)

? a ? a ? ?? a. 1 2) 当 b ? (分数)时, n
a ?e
1 n 1 Lna n

?e

1 ln a n

arga ? 2k? ? ? arga ? 2k? cos ? i sin ? ? n n ? ?
62

arga ? 2k? ? n ? arga ? 2k? ? a ?cos ? i sin ? a, ? n n ? ?
1 n

其中 k ? 0,1,2,?, ( n ? 1).

如果 a ? z 为一复变数, 就得到一般的幂函数 w ? zb;
1 当 b ? n 与 时, 就分别得到通常的幂函 数 w ? zn n 及 z ? w n 的反函数 w ? z ? n z .
63

1 n

例 解

求 1 2 和 i i 的值.
1
2

?e

2Ln1

? e 2 k?i?

2

? cos(2 2k?) ? i sin(2 2k?) 其中 k ? 0,?1,?2,?.
i i ? e iLni ? e
?? ? i ? i ? 2 k?i ? ?2 ?

?e

?? ? ?? ? 2 k? ? ?2 ?

其中 k ? 0,?1,?2,?.

课堂练习 计算 ( ?3) 5 . 答案 ( ?3)
5

? 3 5 [cos 5( 2 k ? 1)? ? i sin 5( 2 k ? 1)?]. ( k ? 0,?1,?2,?)
64

例 解

求 (1 ? i )i 的辐角的主值 . (1 ? i ) ? e
i iLn(1? i )

?e

i [ ln 1? i ? iArg (1? i )]

?e

?1 ?? ?? i ? ln 2?? i ? 2 k?i ? ? ?4 ?? ?2
?? ? ?? ? 2 k? ? ?4 ?

?e

?? ? 1 ?? ? 2 k? ? ? i ln 2 ?4 ? 2

?e

? ?1 ? ?1 ?? ? ?cos? ln 2 ? ? i sin? ln 2 ? ? ? ?2 ?? ? ?2

其中 k ? 0,?1,?2,?. 1 i 故 (1 ? i ) 的辐角的主值为 ln2. 2
65

2. 幂函数的解析性

(1) 幂函数 z 在复平面内是单值解析 的,

n

? n?1 ( z ) ? nz .
n

( 2) 幂函数 z 是多值函数, 具有n个分支.

1 n

它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, ? 1 ? 1 1 Ln z ?1 ? n? ? ? ? 1 n ? z ? ? ? z ? ? ? en ? ? zn . ? ? ? ? n ? ? ? ?
66

1 (3) 幂函数 w ? z ( 除去 b ? n 与 两种情况外) n 也是一个多值函数 ,
b

当 b 为无理数或负数时 , 是无穷多值的 .

它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的,

( z b )? ? bz b?1 .

67

四、三角函数和双曲函数
1. 三角函数的定义

因为 e iy ? cos y ? i sin y,
将两式相加与相减, 得

e ?iy ? cos y ? i sin y,

e iy ? e ?iy cos y ? , 2
数取复值的情况.

e iy ? e ?iy sin y ? . 2i

现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变
68

e iz ? e ?iz 我们定义余弦函数为 cos z ? , 2 e iz ? e ?iz 正弦函数为sinz ? . 2
容易证明, sin z 是奇函数, cosz 是偶函数.
sin( ? z ) ? ? sin z , cos( ? z ) ? cos z .

正弦函数和余弦函数都 是以 2? 为周期的.
sin( z ? 2?) ? sin z , cos( z ? 2?) ? cos z .
69

例 解

求 f ( z ) ? sin 5 z 的周期. 因为 sin(z ? 2?) ? sin z , 所以 sin(5 z ? 2?) ? sin 5 z ,

2? ? ? 又因为 sin(5 z ? 2?) ? sin 5? z ? ? 5? ? 2? ? ? 所以 sin 5? z ? ? ? sin 5 z , 5? ? 2? 故 f ( z ) ? sin 5 z 的周期是 . 5
70

正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.

(sin z )? ? cos z , (cos z )? ? ? sin z .
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式

?cos(z1 ? z2 ) ? cos z1 cos z2 ? sin z1 sin z2 , ? (1) ?sin(z1 ? z2 ) ? sin z1 cos z2 ? cos z1 sin z2 , ? 2 2 sin z ? cos z ? 1. ?

?cos( x ? yi ) ? cos x cos yi ? sin x sin yi , ( 2) ? ?sin( x ? yi ) ? sin x cos yi ? cos x sin yi .
71

当 z 为纯虚数 yi 时,

e? y ? e y cos yi ? ? cosh y , 2 e? y ? e y sin yi ? ? i sinh y . 2i ?cos( x ? yi ) ? cos x cosh y ? i sin x sinh y , ( 3) ? ?sin( x ? yi ) ? sin x cosh y ? i cos x sinh y .

当 y ? ?时, sin yi ? ?, cos yi ? ?.
(注意:这是与实变函数完全不同的)
72

其他复变数三角函数的定义

sin z 正切函数 tan z ? , 余切函数 cot z ? cos z , cos z sin z 1 正割函数 secz ? , cos z 1 余割函数 csc z ? . sin z

与 sin z 和 cos z 类似, 我们可以讨论它们的 周期性, 奇偶性, 解析性.

73



求 cos(1 ? i ) 和 tan( 3 ? i ) 的值.

e i (1? i ) ? e ?i (1? i ) e ?1? i ? e1?i 解 cos(1 ? i ) ? ? 2 2 1 ?1 ? [e (cos 1 ? i sin1) ? e(cos 1 ? i sin1)] 2 1 ?1 1 ?1 ? (e ? e ) cos 1 ? (e ? e )i sin1 2 2 ? cos 1cosh1 ? i sin1sinh1.

sin(3 ? i ) sin 3 cos i ? cos 3 sin i ? tan( 3 ? i ) ? cos(3 ? i ) cos 3 cos i ? sin 3 sin i
74

sin 3 cosh1 ? i cos 3 sinh1 ? cos 3 cosh1 ? i sin 3 sinh1
(sin 3 cosh1 ? i cos 3 sinh1)(cos 3 cosh1 ? i sin 3 cosh1) ? (cos 3 cosh1)2 ? (sin 3 sinh1)2
sin 3 cos 3 ? i cosh1 sinh1 ? cos 2 3 cosh2 1 ? sin2 3 cosh2 1 ? sin2 3 cosh2 1 ? sin2 3 sinh2 1

sin 6 ? i sin 2 ? . 2 2 2(cosh1) ? 2(sin 3)
75

2. 双曲函数的定义

e z ? e?z 我们定义双曲余弦函数 为 cosh z ? , 2 e z ? e?z 双曲正弦函数为sinhz ? , 2 e z ? e?z 双曲正切函数为tanh z ? z . ?z e ?e
当 z 为实数 x 时, 它与高等数学中的双曲 函数 的定义完全一致 .
76

容易证明, sinh z 是奇函数, coshz 是偶函数.
它们都是以 2?i 为周期的周期函数, 它们的导数分别为 ? (sinh z ) ? cosh z ,

(cosh z )? ? sin z .

并有如下公式:
cosh yi ? cos y , sinh yi ? i sin y .

?cosh( x ? yi ) ? cosh x cos y ? i sinh x sin y , ? ?sinh( x ? yi ) ? sinh x cos y ? i cosh x sin y .
77



解方程 tanh z ? 1.

e z ? e?z e2z ? 1 2z 2z e ? 1 ? e ? 1, 解 tanh z ? z ? , ?z 2z e ?e e ?1 2z 两边平方, 并令 e ? u ? iv ,

(u ? 1) ? v ? (u ? 1) ? v 或 u ? 0,
2 2 2 2

因为 u ? Re(e 2 z ) ? e 2 Re(z ) cos[2 Im( z )], ? k? u ? 0 ? cos[ 2 Im( z )] ? 0 ? Im( z ) ? ? , 4 2 ? k? 故 tanh z ? 1 的解是Im( z ) ? ? 的所有复数z . 4 2 其中 k ? 0,?1,?2,?.
78

五、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义
设 z ? cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w ? Arc cos z . e iw ? e ?iw 2 iw iw 由 z ? cos w ? , 得 e ? 2ze ? 1 ? 0, 2 方程的根为e iw ? z ? z 2 ? 1, 两端取对数得

Arc cos z ? ? iLn( z ? z 2 ? 1).
79

同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:

Arcsin z ? ? iLn( iz ? 1 ? z 2 ),
i 1 ? iz Arctanz ? ? Ln . 2 1 ? iz
2. 反双曲函数的定义

反双曲正弦 Arsinh z ? Ln( z ? z 2 ? 1), 反双曲余弦 Arcosh z ? Ln( z ? z 2 ? 1), 1 1? z 反双曲正切 Artanhz ? Ln . 2 1? z

80



求函数值 Arc tan( 2 ? 3i ).

i 1 ? i ( 2 ? 3i ) 解 Arc tan( 2 ? 3i ) ? ? Ln 2 1 ? i ( 2 ? 3i ) i ?3?i ? ? Ln 2 5
i? 2 ? 1 ?? ? ? ?ln ? i ? ? ? arctan ? 2k? ? ? 2? 5 ? 3 ??

i 2 ?1 1 1 ? ? ? ln ? ? ? k ? ? ? arctan . 4 5 ?2 2 3 ?
其中 k ? 0, ? 1, ? 2, ?.
81

六、小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 4. 双曲正弦与余弦都是周期函数
82

思考题
实变三角函数与复变三角函数在性质上有 哪些异同?

83

思考题答案
两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是 类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数 的平方和等公式也有相同的形式.

最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都 是有界函数, 但在复变三角函数中,

sin z ? 1 与 cos z ? 1 不再成立.
84


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