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第十二章 12.1曲线方程(学)


12.1 曲线和方程 12.1(1)曲线和方程的概念 教学过程: 一、 “曲线的方程”与“方程的曲线”的定义: 1、曲线与方程的定义: 一般地,如果曲线 C 与方程 F ( x, y) ? 0 之间有如下关系: (1)曲线 C 上的坐标都是方程 F ( x, y) ? 0 的解; (2)以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点。 此时,把方程 F (

x, y) ? 0 叫做曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程 F ( x, y) ? 0 的曲线。 由此可以看出:曲线上的点与方程的解是一一对应的, “曲线”是形的概念, “方程”是数的概念,建立了 这样的一一对应关系后,可以利用方程来讨论与研究 曲线的性质,也可以由图形来反映方程的几何特征。 这种借助于平面直角坐标系用代数的方法研究平面 上图形性质的学科称为平面解析几何。

二、曲线与方程定义的应用: 例 1:已知曲线 C 的方程为: x ? 2x ? y ? 6 ? 0 。
2

(1)判断点 P(?2, ?6), Q(3, ?9) 是否在曲线 C 上; (2)若点 R (a, 2) 在曲线 C 上,求实数 a 的值; (3)若点 M (m, a)(m ? R) 是曲线 C 上的点,求实数

a 的取值范围。

解: (1)点 Q(3, ?9) 不在曲线 C 上。 (2) a ? 2 或 a ? ?4 。 (3) a ? [?7, ??) 。 例 2:已知两点 A(?1,1) 和 B (3, ?1) ,求证:线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 2 x ? y ? 2 ? 0 。

证明: (1)设 M ( x1 , y1 ) 是 l 上的任意一点,则由 垂直平分性质知 | MA |?| MB | ,由两点间的 距离公式: ( x1 ? 1) ? ( y1 ? 1) ?
2 2

( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ,

化简得: 2 x1 ? y1 ? 2 ? 0 。即点 M ( x1 , y1 ) 的坐标 是方程 2 x ? y ? 2 ? 0 的解。 (2)设 ( x2 , y2 ) 是方程 2 x ? y ? 2 ? 0 的任意一组解, 则 2 x2 ? y2 ? 2 ? 0 ,即 y2 ? 2 x2 ? 2 。设以 ( x2 , y2 ) 为坐标的点为 P,那么

| PA |? ( x2 ? 1) 2 ? ( y2 ? 1) 2 ? ( x2 ? 1) 2 ? (2 x2 ? 3) 2 ? 5 x2 2 ? 10 x2 ? 10 , | PB |? ( x2 ? 3)2 ? ( y2 ? 1)2 ? ( x2 ? 3)2 ? (2 x2 ? 1) 2 ? 5 x2 2 ? 10 x2 ? 10 ,
所以 | PA |?| PB | ,即点 P 在线段 AB 的垂直平分线 l 上。 由(1) 、 (2)知线段 AB 的垂直平分线的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 。 说明:要证明方程 F ( x, y) ? 0 是曲线 C 的方程一 定要严格地按照定义去证明,两方面缺一不可。 求方程的过程实际上就是验证条件(1)的过程。

例 2: (1)已知点 A?1,0? , B(0,1) ,线段 AB 的方程 是不是 x ? y ? 1 ? 0 ?为什么? (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹 C 的 方程是不是 x ? y ? 0 ?为什么?

说明:对于(1) :以方程 x ? y ? 1 ? 0 的解为坐标的 点有的不在线段 AB 上,即“方程的解为坐标的点比 线段 AB 上的点多” ,说明方程“不纯粹” 。 对于(2) :以“方程 x ? y ? 0 的解为坐标的点比轨迹 C 上的点少” ,说明方程“不完备” 。

思考: (1)求线段 AB 的方程。 ; (2)求到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程。

解: (1) x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 1) (2) x ? y ? 0 或 x ? y ? 0 。

三、完成练习:练习 12.1(1) 。 对于 3 进行深化:已知命题: “坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都在曲线 C 上”是真命题,判断下列命题的真假, 并说明理由。 (1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 F ( x, y) ? 0 的解; (2)不在曲线 C 上的点坐标必不满足方程 F ( x, y) ? 0 ; (3)坐标不满足方程 F ( x, y) ? 0 的点不在曲线 C 上; (4)存在不在曲线 C 上的点的坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 ; (5)存在不满足方程 F ( x, y) ? 0 的点在曲线 C 上。

四、曲线与函数图像的联系和区别 曲线 F ( x, y) ? 0 与函数 y ? f ( x) 图像的区别与联系。

一般地,若曲线 F ( x, y) ? 0 与直线 x ? a(a ? R) 至多 只有一个公共点,则曲线可以作为函数的图像。 即:函数 y ? f ( x) 的图像是曲线,其方程就是 y ? f ( x) (或 f ( x) ? y ? 0 ) ;当曲线 F ( x, y) ? 0 与直线 x ? a(a ? R) 至多只有一个公共点时,曲线才能作为函数的图像,但要 注意的是方程 F ( x, y) ? 0 不能作为函数的解析式。 如:方程 xy ? 4 ? 0 所表示的曲线可以作为函数 的图像,其对应的解析式是 y ?

4 ( x ? 0) , x

方程 xy ? 4 ? 0 不是函数的解析式。

求曲线的方程(一) 一、曲线方程的求法: 例 1:已知两定点 P 1 (?1,0) 和 P 2 (3,0) ,求到点 P 1

16 的点的方程。 和P 2 的距离平方和是
y
M

P1

O

P2

x

解:设 M ( x, y ) 是轨迹上的任意一点,则
2 2 | MP 1 | ? | MP 2 | ? 16 ,由两点间距离公式得:

( x ? 1)2 ? y 2 ? ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,化简
得: x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

(1)

由上面的推导知:所求轨迹上的任意一点都满足方程(1) 。 反过来,设点 Q( x1 , y1 ) 的坐标是方程(1)的解, 即 x1 ? y1 ? 2x1 ? 3 ? 0 ,那么点 Q 到点 P 1, P 2 距离的平方分别为:
2 2 2 2 2 2 2 | QP 1 | ? ( x1 ? 1) ? y1 ? ( x1 ? 1) ? x1 ? 2 x1 ? 3 ? 4 x1 ? 4 2 2 2 2 2 | QP 1 | ? ( x1 ? 3) ? y1 ? ( x1 ? 3) ? x1 ? 2 x1 ? 3 ? ?4 x1 ? 12

所以 | QP 1 | ? | QP 2 | ? 4 x1 ? 4 ? 4 x1 ? 12 ? 16 。
2 2

这说明以方程(1)的解为坐标的点满足轨迹。 综上知,所求的轨迹方程为 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 。
2 2

变式 1:已知平面上两定点 P 1, P 2 的距离为 4,动点

M 到两定点 P 1, P 2 的距离的平方和为 16,

建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹方程。

y
M

P1

O

P2

x

解:如图,以直线 PP 1 2 所在直线为 x 轴, PP 1 2 的垂直线 为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 P 1 (?2,0), P 2 (2,0) 。 设 M ( x, y ) 是轨迹上的任意一点,题意得: (1) ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 16 ,化简得: x2 ? y 2 ? 4 。 由上面的推导可知:动点 M 轨迹上的任意一点都满足 方程(1) ,仿例题可以证明,以方程(1)的解为坐标的 点都在轨迹上,所以动点 M 的轨迹方程为 x ? y ? 4 。
2 2

说明:此变式的目的是说明建立适当坐标系中“适当”的含义。 适当一般地来说要满足“对称” 、 “简单”的原则。

求曲线的方程步骤: 1、建立适当的坐标系(如果已给出坐标系,此步骤省略) ; 2、写出定点坐标,设曲线上任意一点的坐标为 ( x, y ) ; 3、根据给出的几何条件,写出等式; 4、用坐标 x, y 表示等式,并化简; 5、证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 注意:一般地来说,步骤 5 不作要求。但要注意的是, 不作要求不是不需要证明,而是省略了证明步骤(不要求证明) 。

变式 2:已知平面上两定点 P 1, P 2 的距离为 4, △ MPP 1 2 是直角三角形,建立适当的坐标系, 求直角顶点 M 的方程。

y
M

P1

O

P2

x

解:如图,以直线 PP 1 2 所在直线为 x 轴, PP 1 2 的垂直线 为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 P 1 (?2,0), P 2 (2,0) 。 设 M ( x, y ) 是轨迹上的任意一点,

PM ? ( x ? 2, y), P 1 2 1 2 M ? ( x ? 2, y) ,由△ MPP
是直角三角形,则 PM ? P2 M ,所以 PM ? P2 M ? 0 , 1 1 得 ( x ? 2)( x ? 2) ? y ? 0 ,化简得: x ? y ? 4 。
2 2 2

又 M, P 1, P 2 三点不共线,所以 M 不在 x 轴上, 即 y ? 0 。故所求的轨迹方程为: x ? y ? 4( y ? 0) 。
2 2

说明:此变式进一步阐述步骤 5 的“不作要求”不是 不需要证明,但要有必要的验证,经以确保轨迹方程的“纯粹性” 。

2:点 M 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 k (k ? 0) ,建立适当的坐标系,求点 M 的轨迹方程。

y
P O Q M

x

解:如图,以两互相垂直的直线作为坐标轴,建立直角 坐标系。设点 M ( x, y ) ,M 到 x, y 轴的距离分别为 | y | 与 | x | ,所以 | y || x |? k ,即所求点的轨迹方程为 xy ? k 或 xy ? ?k 。

变式:已知平面上两相交直线 l1 , l2 的夹角为

? , 3

动点 M 到两直线的距离的积是常数 k (k ? 0) , 建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹方程。

y

l2
Q M P O

l1

x

图一

解法一:如图-,以直线 l1 , l2 的交点 O 为坐标原点, 直线 l1 为 x 轴建立平面直角坐标系。则直线 l2 的方程 为 y ? 3x 。设点 M ( x, y ) ,则点 M 到 l1 距离为 | y | , 点 M 到 l2 距离为

| 3x ? y | ,由题意得: 2

| y|?

| 3x ? y | ? k ,即 2

3xy ? y2 ? 2k ? 0 或 3xy ? y2 ? 2k ? 0
为所求的轨迹方程。

解法二:如图二,以直线 l1 , l2 的交点 O 为坐标原点,

l1 , l2 的夹角平分线为 x 轴建立平面直角坐标系。
y

O

x
图二

l1

l2

则直线 l1 的方程为 y ?

3 x, 3 3 x 。点 M 到 3

直线 l2 的方程为 y ? ?

直线 l1 的距离为 d1 ?

| x ? 3y | ,点 M 到 2 | x ? 3y | 。由题意得: d1 ? d2 ? k , 2

直线 l2 的距离为 d 2 ?

即 | x ? 3 y |? 4k 。所以所求的点 M 的轨迹方程
2 2

为 x ? 3 y ? 4k 或 x ? 3 y ? ?4k 。
2 2 2 2

说明:对于所给的条件,建立不同的坐标系所得到的轨 迹方程也不相同,但它们的轨迹是不变的。对于本例解法 一中的坐标系的建立不具有对称性,所得的方程形式也不对称, 而解法二的坐标系的建立有对称性,所得到的方程形式就 较简单,便于从方程上研究曲线的性质。如将方程中的 x 换成 ?x , y 换成 ? y 方程不变,可知此表示的曲线关于两 坐标轴对称。但从解法一中所得的方程中不易看出这一点。 这充分反映出适当建立坐标系中“对称”原则的重要性。

12.1(2) :求曲线的方程(二) 一、复习求曲线方程的步骤: 建系――-设点―――代入化简―――验证 二、例题分析: 例 1:已知定点 A(4, 0) 和曲线 x ? y ? 1上的动点 B 。
2 2

求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程。

解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,点 B 的坐标为 ( xB , yB ) , 由题意得:

4 ? xB ? x? ? ? xB ? 2 x ? 4 ? 2 ,即 ? 。 ? ? yB ? 2 y ? y ? 0 ? yB ? ? 2
因为点 B 在曲线 x ? y ? 1上,即 xB ? yB ? 1。
2 2
2 2

代入得: (2 x ? 4) ? (2 y) ? 1 ,化简得:
2 2

( x ? 2) 2 ? y 2 ?

1 即为所求的轨迹方程。 4

说明:这种求轨迹的方法叫做代入法,一般适用于 动点随已知曲线上的动点的运动而运动时,先找出 动点与曲线上点之间的关系,用动点坐标表示出曲线 上点的坐标代入已知曲线方程即可得到要求的轨迹方程。

例 2:过点 P(3,1) 作互相垂直的两条直线 l1 和 l2 。 设直线 l1 与 x 轴交于点 M ,直线 l2 交 y 轴于点 N。 求线段 MN 中点 Q 的轨迹方程。

y

P(3,1)
O N Q M x

解法一:设 Q( x, y) ,则 M (2 x,0), N (0, 2 y) ,于是

PM ? (2x ? 3, ?1), PN ? (?3, 2 y ?1) 。由 l1 和 l2 垂直,
则 PM ? PN ,所以 PM ? PN ? ?3? (2x ? 3) ?1? (2 y ?1) ? 0 , 化简得: 3x ? y ? 5 ? 0 即为所求的轨迹方程。

解法二:由题意知:△PMN 和△OMN 都是以 MN 为斜边的直角三角形,又 Q 是 MN 的中点, 由直角三角形的性质知: | OQ |?

1 1 | MN |,| PQ |? | MN | , 2 2

所以 | OQ |?| PQ | 。于是点 Q 的轨迹是线段 OP 的 垂直平分线,由 P(3,1), O(0, 0) 求得 OP 的垂直平分 线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 ,所以点 Q 的轨迹方程为 3x ? y ? 5 ? 0 。 说明:解法一是利用 PM ? PN 关系,转化坐标后代入 而得,此种方法也可以称为“转化”法,即当直接写出 点条件比较困难时,常用此方法;解法二则是充分利用 直角三角形的性质,确定出轨迹形状再写出方程,这 种方法也称为定义法。

例 3:已知两定点 A(?1, 0), B(2, 0) ,动点 P 满足

?PBA ? 2?PAB ,求动点 P 的轨迹方程。
y

P

A(?1, 0) O

B(2, 0) x

解: 轨迹方程为 3x ? y ? 3( x ? 1, y ? 0) 。
2 2

又当 y ? 0 时,线段 AB 上的点(不含端点) 满足 ?PBA ? 2?PAB ,所以所求点的轨迹 方程为: 3x ? y ? 3( x ? 1) 和 y ? 0(?1 ? x ? 2) 。
2 2

说明:这种充分利用几何条件设点代入的方法叫做 “直译法” 。对于本题要注意到直线的倾斜角与斜率 之间的关系,对于点 P 在 x 轴上方时, ?PAB 是直 线 PA 的倾斜角,而 ?PBA 是直线 PB 倾斜角的补角, 因此要注意其符号关系。另一方面,求出点 P 在 x 轴 上方的轨迹方程后,也可以根据对称性求出点 P 在 x 下方的轨迹方程。特别注意的是,当点在线段 AB 上时也满足题意。

思考:若将此例改成:已知△ ABP 的顶点

A(?1, 0), B(2, 0) ,且 ?PBA ? 2?PAB ,
求顶点 P 的轨迹方程。

解: ( 3x ? y ? 3( y ? 0) ) 。
2 2

备选题: 1、 已知△ABC 的两顶点 B(1,1), C (3, 6) ,又 知△ABC 的面积为 3,求顶点 A 的轨迹方程。

2、 已知△ABC 的边 AB 的长为 2 a ,边 BC 上的中线长为 t ,试求顶点 C 的轨迹方程。

12.1(3)曲线的交点 一、复习引入: 两直线的交点坐标是两直线联立的方程组的解。 对于两曲线也可以利用方程组来探讨它们的交点。 设曲线 C1 , C2 的方程分别为 F 1 ( x, y) ? 0 与

F2 ( x, y) ? 0 。由曲线与方程的定义可知,曲线
? F ( x, y ) ? 0 C1 , C2 的交点是方程组 ? 1 的解,反过 ? F2 ( x, y ) ? 0
来方程组的解为坐标的点是曲线 C1 , C2 的交点。 因此方程组 ?

? F1 ( x, y ) ? 0 解为坐标的点即是两曲线 ? F2 ( x, y ) ? 0

的交点,若方程组没有实数解,则两曲线就没有公共点。

二、两曲线的交点: 例 1:已知曲线 C 的方程 x ? y ? 9 ,当 b 为
2 2

何值时,直线 l : 2 x ? y ? b ? 0 与曲线 C 有两个不 同的公共点?一个公共点?没有公共点?

解:综上知: ?3 5 ? b ? 3 5 有两个公共点;

b ? 3 5 或 b ? ?3 5 有一个公共点; b ? 3 5 或 b ? ?3 5 时,没有公共点。

例 2:求直线 y ? x ?

1 被曲线 2

y?

1 2 x ? 1 截得的线段 AB 的长。 2

解: | AB |? (?1 ? 3) ? (?
2

1 7 2 ? ) ?4 2。 2 2

变式 1:求直线 y ? kx ?

1 (k ? R ) 被曲线 2

y?

1 2 x ? 1 截得的线段 AB 的长。 2
y
B O

A

l

x

2 2 解: | AB |? 2 (1 ? k )(3 ? k ) 。

说明:对于直线被曲线所截的弦长问题, 若是确定的直线与曲线可以利用方程组直接解 出交点的坐标,但对于含有参数的问题,求解比较繁, 可用韦达定理转化。斜率为 k 的直线被曲线 所截的弦 AB 的长可直接应用公式:

| AB |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 | ,此公式也称为弦长公式。

变式 2:已知直线 y ? kx ?

1 (k ? R ) 与曲线 2

y?

1 2 x ? 1 交于 A、B 两点,求线段 AB 中 2

点的轨迹方程。

解: AB 中点 P 的轨迹方程为 y ? x ?
2

1 。 2

说明:此种求轨迹的方法称为参数法,即把动 点的坐标表示为某一变量的函数形式,通过 消去参数得到轨迹方程。

变式 3:已知直线 y ? kx ?

1 (k ? R ) 与曲线 2

1 2 x ? 1 交于 A、B 两点,是否存在实数 k 的值, 2 使 OA ? OB (其中 O 是坐标原点)成立?若成立, 求出 k 的值,不存在,说明理由。 y?

解: k 不存在。 变式 4:已知直线 l : y ? kx ?

1 (k ? R ) 与曲线 2

y?

1 2 x ? 1 交于 A、B 两点,O 是坐标原点, 2
y
B

求△AOB 面积的最小值。

A M O

l

x

解: S ?OAB ? S ?OBM ? S ?OAM ? =

1 1 | OM || x1 | ? | OM || x2 | 2 2

1 1 1 (| x1 | ? | x2 |) ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 4 4 4 1 1 4k 2 ? 12 ? k2 ? 3 , = 4 2
当 k ? 0 时,△ AOB 的最小值为

3 。 2

说明:对于直线与曲线相交的有关问题, 对于交点可以设而不求,简化计算。


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