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09年高考数学对数函数与指数函数的导数


3.5对数函数 与指数函数 的导数

一、复习与引入:
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式. 5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容. 有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.

二、新课——指数、对函数的导数:
1.对数函数的导数:
(1 ? x ) ? e . 下面给出公式的证明,中间用到重要极限 lim x ?0 证: y ? f ( x ) ? ln x , x ? ?x ?x ?y ? ln(x ? ?x ) ? ln x ? ln ? ln( 1 ? ); x x x

1 (1) (ln x)? ? . x

1 x

?y 1 ?x 1 x ?x 1 ?x ?x ? ln( 1? ) ? ? ln( 1 ? ) ? ln( 1? ) , ?x ?x x x ?x x x x x x ?y 1 ? x ?x 1 ? x ?x ? ? y ? lim ? lim ln ( 1? ) ? ln [lim(1 ? ) ] ?x ? 0 ? x x ?x ? 0 x x ?x ? 0 x 1 1 ? ln e ? . x x

1 ( 2) (log a x)? ? log a e. x 证:利用对数的换底公式即得:
lnx 1 1 l oga e (l oga x )? ? ( )? ? ? ? . l na l na x x

2.指数函数的导数:
x ? (1) (e ) ? e . x x ? ( 2) (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1). x

由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求 导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这 里我们不加以证明,直接拿来使用.

三、例题选讲:
例1:求下列函数的导数: (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg 1 ? x 2 (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x 1 4x ? 3 2 ? (2 x ? 3 x ? 1)? ? 2 . 解:(1) y? ? 2 2x ? 3x ? 1 2x ? 3x ? 1
x lge ( 1 ? x )? ? ? ? 2 . (2)法1: y? ? 2 2 2 x ?1 1? x 1? x 1? x
2

lge

lge

?x

1 2 ? y ? lg 1 ? x ? lg( 1 ? x ); (2)法2: 2
2

1 lge x lge 2 ? y? ? ? ? (1 ? x )? ? 2 . 2 2 1? x x ?1 2x 2x 2x (3) y? ? 2e ? cos3 x ? e (?3 sin3 x) ? e (2 cos3 x ? 3 sin3 x). (4) y? ? a 5 x lna ? (5 x)? ? 5a 5 x lna.

例2:求下列函数的导数:
e 2 x ? e ?2 x (1) y ? x ? x ; e ?e

(e x ? e ? x ) 2 ? 2 x ? x 2 x ?x x ?x ? 解:? y ? ? e ? e ? ; ( e ? e ) ? e ? e ; x ?x x ?x e ?e e ?e x ?2 x 2 2 e ( 1 ? e ) x ?x x ?x x ?x ? y? ? e ? e ? x ? x 2 ( e ? e ) ? e ? e ? . 2x 2 (e ? e ) (1 ? e ) 1
(2) y?a
cos x

(a ? 0, a ? 1)
cos 1 x

解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:
? ? y? ? (a )? u ? uv ? v x ? a
u

1 1 ? l na ? ( ? si n ) ? ( ? 2 ) x x

l na 1 ? 2 si n ? a x x

cos

1 x

.

例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: f ( x) ? x2 x e (1)y=f(lnx); (2)y=f( e ); (3)y=f(e ) . 1 解:(1) y? ? [ f (ln x )]? ? f ?(ln x ) ? (ln x )? ? f ?(ln x ). (2) y? ? [ f (e
?x
2

)]? ? f ?(e f ?(e
? x2

?x

2

) ? (e

?x

2

)? ? f ?(e

x

? x2

) ? (e

? x2

) ? ( ? x 2 )?

? ?2 xe

? x2

).

(3) y? ? [ f (e x )]?e f ( x ) ? f (e x ) ? [e f ( x ) ]? ? f ?(e x ) ? e x ? e f ( x )

? f (e ) ? e
x

f ( x)

f ( x) x x x ? ? ? f ( x ) ? e [ f (e )e ? f (e ) f ?( x )].

解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.

练习:求下列函数的导数:

(1) y ? 2 ; (2) y ? 2

1 x

log3 x

(3) y ? 1 ? lnx

(4) y ? sin(ln x) ? sinx lnx
答案:

ln 2 (1) y? ? ? 2 ? 2 . x
(3) y? ? 1 . 2x 1 ? ln x

1 x

2log3 x ? ln 2 ( 2) y ? ? . x ln3
( 4) y ? ? sin x ? cos(ln x) ? cos x ln x. x

例4:设一质点的运动规律为 s ? e ?2t sin( ?t ? ? ),? ,?为 常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0.
?2t ?2 t ? ? ( e ) sin( ? t ? ? ) ? e [sin( ?t ? ? )]? 解:?v ? s? t

? e ?2t ? (?2t )? ? sin( ?t ? ? ) ? e ?2t ? cos( ?t ? ? ) ? (?t ? ? )?

? ?2e ?2t sin( ?t ? ? ) ? ?e ?2t cos( ?t ? ? ).

故当t=1/2时,质点运动速度v0为: 1 ? ? v0 ? s? | 1 ? ? [2 sin( ? ? ) ? ? cos( ? ? )].
t? 2

e

2

2

例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程. 解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0). 1 ? y? ? x? ln x ? x(ln x )? ? ln x ? x ? ? ln x ? 1. x 故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.
由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0). 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0. 练习2:分别求曲线①y=logxe;② y ? e x?e ln x 在点(e,1)处 的切线方程. 答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0. 延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的 最小距离. 2 . 答案:
2

例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x). 解:(1)两边取对数,得lny=xlnx. 由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式 两边对x求导,可得: 1 1 ? y? ? ln x ? x ? , y? ? y(ln x ? 1),? y? ? x x (ln x ? 1). y x (2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 f ?( x ) ? y? ? g?( x ) ln f ( x ) ? g( x ) ? ; ? y? ? y[ g?( x ) ln f ( x ) ? g( x ) f ?( x ) ] y f ( x) f ( x)
g( x )

f ?( x ) ? y? ? [ f ( x )] [ g?( x ) ln f ( x ) ? g( x ) ]. f ( x) 说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, 1 y=f(x),则 u?x ? u?y ? y?x ? ? f ?( x ). y

(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数: ①形如y=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的函数,取对数后,可
( x ? a1 )?( x ? an ) 将积转化为和的形式,或 y ? ( x ? b )?( x ? b ) , 1 n

取对数后,可转化为代数和的形式. ②无理函数或形如y=[f(x)]g(x)这类幂指函数. (3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式). 又如下面一题我们就有两种不同的解法:

练习:用两种不同的解法求函数 y ? 2x x 的导数. 方法一:由于y>0,故两边取对数,得 ln y ? ln2 ? x ln x.
1 1 1 ln x ? 2 ? ? ? ? ? y ? ( x ) ln x ? x (ln x ) ? ln x ? x ? ? , y x 2 x 2 x

ln x ? 2 ? y? ? ? 2x 2 x

x

?x

x?

1 2

(ln x ? 2).

方法二: y ? 2 x
? y? ? e ln 2? ? 2x
x

x
x ln x

?e

ln 2 x

x

?e

ln 2? x ln x

.
1 ?( ? ln x ? x ? ) x 2 x 1

? (ln2 ? x ln x )? ? e ln 2? (ln x ? 2) ? x
x? 1 2

x ln x

?

1 2 x

(ln x ? 2).

四、小结:
(1)对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较 难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公 式. (2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对 数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性. (3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再 求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则进行求导.


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