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2013高考数学一轮同步训练(文科) 8.6椭圆


第六节 椭圆 强化训练当堂巩固
( 1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ) A. 4

5

B. 3

5

C. 2

5

D. 1

5

答案:B 解析:由 2a,2b,2c 成等差数列,所以 2b=a+c. 又 b2 ? a 2 ? c2 ? 所以 (a ? c) 2 ? 4(a 2 ? c 2 ) . 所以 a ? 5 c .所以 e ? c ? 3 .

3

a

5

y 2.已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且
2

2

??? ? ??? ? BF ? x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP ? 2PB ,则椭圆的离心率是( 3 A. B. 2 C. 1 D. 1 3 2 2 2
答案:D ∴a=2c.∴ e ? 1 . 解析:对于椭圆,∵ AP ? 2PB ,则 OA ? 2OF ,

a

b

)

??? ?

??? ?

????

??? ?

2

b a c ? ? 则该椭圆的离心率的取值范围为 上存在一点 P 使 sin?PF1F2 sin?PF2 F1
答案: ( 2 ? 1?1) 解析:因为在△ PF1 F2 中,由正弦定理得 则由已知,得

y2 3.已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别为 F1 (?c? 0) 、 F2 (c? 0)? 若椭圆
2

a

.

? PF2 ? ? PF1 ? ? ? sin?PF1F2 sin?PF2F1

a ? c ? 即 a| PF |=c| PF |.? 1 2 ? PF2 ? ? PF1 ? 1 1 由椭圆的定义知| PF1 |+| PF2 |=2a,
2 则 c | PF2 |+| PF2 |=2a,即| PF2 | ? 2a ?

c?a 2 由椭圆的几何性质知| PF2 |<a+c,则 2a ? a+c,即 c 2 ? 2c ? a 2 ? 0? c?a 2 所以 e ? 2e ? 1? 解得 e ? ? 2 ? 1 或 e ? 2 ? 1 .

a

又 e ? (0?1)? 故椭圆的离心率 e ? ( 2 ? 1?1) . 4.椭圆 x ? | PF2 |=

y2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ? 点 P 在椭圆上,若| PF1 |=4,则 9 2 ; ?F1 PF2 的大小为 .
2

答案:2 120 ? 解析:∵ a 2 ? 9? b 2 ? 2?
2 2 ∴c ? a ?b ? 9?2 ? 7 .

∴| F1 F2 | ? 2 7 . 又| PF1 |=4,| PF1 |+| PF2 |=2a=6, ∴| PF2 |=2. 又由余弦定理,得 cos ?F1PF2 ?

22 ? 42 ? (2 7) 2 ? ?1? 2? 2? 4 2

∴ ?F1 PF2 ? 120 ? ,故应填 2,120 ? .
2 x 2 ? y ? 1(a ? b ? 0)的离心率 e ? 3 ? 连接椭圆的四个顶点得到的菱 5.已知椭圆 2 2 a b2

形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标为(-a,0). ①若|AB| ? 4 2 ? 求直线 l 的倾斜角;

5 ???? ??? ? ②若点 Q(0? y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB =4.求 y0 的值.
解:(1)由 e ? c ?

a 1 ? 2a ? 2b ? 4? 即 ab=2. 由题意可知 2 ?a ? 2b? 解方程组 ? 得 a=2,b=1. ? ab ? 2?
所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 .
2

3 ? 得 3a 2 ? 4c 2 .再由 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 解得 a=2b. 2

(2)①由(1)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x1 ? y1 )? 直线 l 的斜率为 k. 则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

4

? y ? k ( x ? 2)? ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 2 ? 4 ? y ? 1? ? 2 2 2 2 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0 .
2 2 由 ?2 x1 ? 16k ? 24 ? 得 x1 ? 2 ? 8k 2 .从而 y1 ?

1 ? 4k

1 ? 4k

4k . 1 ? 4k 2

2 所以|AB| ? (?2 ? 2 ? 8k 2 ) 2 ? (

1 ? 4k

2 4k ) 2 ? 4 1 ? k . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

4 1? k2 ? 4 2 . 由|AB| ? 4 2 ? 得 2

5 1 ? 4k 整理得 32k ? 9k ? 23 ? 0? 即 (k 2 ? 1)(32k 2 ? 23) ? 0? 解得 k ? ?1 . 所以直线 l 的倾斜角为 ? 或 3? . 4 4

5
4

2

2 ②设线段 AB 的中点为 M,由①得 M 的坐标为 (? 8k 2 ?

2k ) . 1 ? 4k 1 ? 4k 2

以下分两种情况: (ⅰ)当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 于是 QA ? (?2? ? y0 )? QB ? (2? ? y0 ) . 由 QA ? QB =4,得 y0 ? ?2 2 . (ⅱ)当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

????

??? ?

???? ??? ?

2k ? ? 1 ( x ? 8k 2 ) ?. k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

6k . 1 ? 4k 2 ???? ??? ? 由 QA ? (?2? ? y0 )? QB ? ( x1 ? y1 ? y0 )? ???? ??? ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0 )
令 x=0,解得 y0 ? ?

?2(2 ? 8k 2 ) ? 6k 2 ( 4k 2 ? 6k 2 ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 4 2 4(16k ? 15k ? 1) ? ? 4? (1 ? 4k 2 ) 2 ?
整理得 7 k 2 ? 2 .故 k ? ? 14 ?

7

所以 y0 ? ? 2 14 .

5

综上 ? y0 ? ?2 2 或 y0 ? ? 2 14 .

5

课后作业巩固提升 见课后作业 A 题组一 椭圆的离心率问题
2 y2 1.椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存

a

b

在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( A. (0? 2 ]

)

2

B. (0? 1 ]

C. [ 2 ? 1?1) 答案:D

2 1 ?1) D. [ 2

2 2 解析:|AF| ? a ? c ? b ? 而|PF| ? a ? c?

c 2 所以 a ? c ? b ? c

c

即 2e 2 ? e ? 1 ? 0? 解得 1 ? e ? 1 . 2.已知 F1 ? F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 若△ ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )

2

3 2 C. 2 ? 1
A. 答案:C

B. 2

2 D. 2

解析:根据题意: ?AF2 F1 ? 45 ? ? b ? 2c? e 2 ? 2e ? 1=0,又 e ? (0?1)? ∴ e ? 2 ? 1 .

2

a

m n 1 ? 则此椭圆的方程为?( 2 2 y2 A. x ? ?1 12 16 2 x2 ? y ? 1 C. 48 64
答案:B

y 3.设椭圆 x 2 ? 2 ? 1(m ? 0? n>0)的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同,离心率为
2

2

)

y2 ?1 16 12 2 x2 ? y ? 1 D. 64 48
B. x ?
2

解析:由题意可知:c=2,且焦点在 x 轴上.由 e ? 1 ? 可得 m=4,∴ n 2 ? m 2 ? c 2 ? 12 .故

2

选 B. 题组二 椭圆的定义
2 y2 4.设 P 是椭圆 x ? ? 1 上的点.若 F1 ? F2 是椭圆的两个焦点,则| PF1 |+| PF2 |等于

25

16

(

) A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D 解析:因为 a=5,所以| PF1 |+| PF2 |=2a=10.
2

y2 ? 1 的交点为 A、B,点 P 是椭圆上的动点,则使 5.设直线 l:2x+y-2=0 与椭圆 x ? 4 △PAB 面积为 1 的点 P 的个数为( ) 3
A.1 答案:D B.2 C.3 D.4

?2 x ? y ? 2 ? 0? ? x ? 0? ? x ? 1? ? 解析:联立方程组 ? 消去 y 整理解得: ? 或 ? y2 2 ?y ?2 ? y ? 0? ? x ? 4 ? 1? ? |AB| ? 5 ?
结合图象知 P 的个数为 4. 题组三 椭圆的综合应用 6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为
2 y ?1 答案: x ? 2

3 ? 且 G 上一点到 G 的两 2

.

9 2 3 ? 2a ? 12? a ? 6,b=3,则所求椭圆方程为 x 2 ? y ? 1 . 解析: e ? 2 36 9 2 2 y 7.已知 F1 、 F2 是椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 a b ??????? ? ??????? ? . PF1 ? PF2 .若△ PF1 F2 的面积为 9,则 b=
答案:3

36

? ? PF1 ? ? ? PF2 ?? 2a? ? 解析:依题意,有 ? ? PF1 ? ? ? PF2 ?? 18? 可得 4c 2 ? 36 ? 4a 2 ? 即 a 2 ? c 2 ? 9? ∴ ?? PF ?2 ? ? PF ?2 ? 4c 2 ? 2 ? 1
b=3. 8.在平面直角坐标系 xOy 中 ? A1 ? A2 ? B1 ? B2 为椭圆 x 2 ?
2

a

y2 ? 1(a ? b ? 0)的四个顶 b2

点,F 为其右焦点,直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 答案: 2 7 ? 5 .

y 解析:直线 A1 B2 的方程为: x ? ? 1 ;

?a b y b( a ? c ) ? 1 ;二者联立解得点 T ( 2ac ? )? 直线 B1 F 的方程为: x ? c ?b a?c a?c 2 b( a ? c ) y2 ) 在椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上, 则 OT 中点 M ( ac ? a ? c 2(a ? c) a b 2 2 (a ? c) c ? ? 1? c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0? e3 ? 10e-3=0, 2 2 (a ? c) 4(a ? c)
解得 e ? 2 7 ? 5 . 9.已知椭圆 C: x ? y 2 ? 1 的两焦点为 F1 ? F2 ? 点 P ( x0 ? y0 ) 满足 0 ?
2

2

2 x0 2 ? y0 ? 1? 则 2

| PF1 |+| PF2 |的取值范围为,直线 答案: [2? 2 2) 0

x0 x ? y0 y ? 1 与椭圆 C 的公共点个数为 2

.

解析:延长 PF1 交椭圆 C 于点 M,故| F1 F2 | ? | PF1 |+| PF2 |<| MF1 |+| MF2 |=2a, 即 2 ? | PF1 |+| PF2 | ? 2 2 ;
2 当 y0 ? 0 时 ? 0 ? x0 ? 2? 直线

x0 x ? y0 y ? 1 为 x= 2 ? (??? ? 2) ? ( 2 ? ??) 与椭圆 C x0 2

无交 点;?

xx 1? 0 x0 x 2 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 1 中有 ? y0 y ? 1 为 y ? 当 y0 ? 0 时,直线 y0 2 2
2 x0 2 2 ? y0 ) x 2 ? 2 x0 x ? 2 ? 2 y0 ? 0 .? 2 x2 2 2 2 ∵ ? ? 4 x0 ? 4( 0 ? y0 )(2 ? 2 y0 ) 2 x2 2 ? 8( 0 ? y0 ? 1) ? 0? 2

(

且 BF ? 2 FD? 则椭圆 C 的离心率为 答案:

??? ?

∴直线与椭圆无交点. 10.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,

??? ?

.

3 3

解析:如图,不妨设 B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,

设 D(x,y).由 BF ? 2 FD? 得(c,-b)=2(x-c,y),?

??? ?

??? ?

? x ? 3c ? ?c ? 2( x ? c)? ? 2 D( 3c ? ? b ) . 即 ? 解得 ? 2 2 ? ?b ? 2 y? ?y ? ? b ? ? 2 ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 | ??? | ? a ? ① 由 BF ? 2 FD? 可得| FD | ? BF 2 2 ??? ? a 2 ? 3c ) ? e ? ( a 2 ? 3c ) ? c . ② 又由椭圆第二定义知,| FD | ? ( c 2 c 2 a 3. 2 由①②解得 a 2 ? 3c 2 ? 即 e ? 1 ? ∴ e ? 3 3 2 x 2 ? y ? 1 的顶点为 A ? A ? B ? B ? 焦点为 11.如图,椭圆 C: 2 1 2 1 2 a b2 F1 ? F2 ? | A1 B1 | ? 7 ? S? B1 A1 B2 A2
? 2 S? B1 F1 B2 F2 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 n 为过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于 P 点.与椭圆相交于 A,B 两点的直 线,| OP |=1.是否存在上述直线 l 使 OA ? OB ? 0 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,请说明理由?. 解:(1)由| A1 B1 | ? 7 知 a 2 ? b 2 ? 7? 由 S? B1 A1 B2 A2 ? 2 S? B1 F1 B2 F2 知 a=2c, 又 b2 ? a 2 ? c2 ?
2

??? ?

??? ??? ? ?






2

2 x2 ? y ? 1 . 由①②③,解得 a ? 4? b ? 3? 故椭圆 C 的方程为 4 ??? ??? 3 ? ? (2)设 A,B 两点的坐标分别为 ( x1 ? y1 )? ( x2 ? y2 )? 假设使 OA ? OB ? 0 成立的直线 l 存在,

①当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m?,

由 l 与 n 垂直相交于 P 点且| OP |=1 得

??? ?

?m?
2

1? k ??? ??? ? ? 由 OA ? OB ? 0 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
将 y=kx+m 代入椭圆方程,得

? 1? 即 m 2 ? k 2 ? 1 .

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? (4m 2 ? 12) ? 0? 由求根公式可得 x1 ? x2 ? ?8km2 ? ④ 3 ? 4k 2 x1 x2 ? 4m ? 12 . ⑤ 3 ? 4k 2 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?
将④⑤代入上式并化简得

(1 ? k 2 )(4m 2 ? 12) ? 8k 2 m 2 ? m 2 (3 ? 4k 2 ) ? 0 . ⑥ 将 m 2 ? 1 ? k 2 代入⑥并化简得 ?5(k 2 ? 1) ? 0? 矛盾?. 即此时直线 l 不存在. ??? ? ②当 l 垂直于 x 轴时,满足| OP |=1 的直线 l 的方程为 x=1 或 x=-1, 则 A,B 两点的坐标为 (1? 3 )? (1? ? 3 ) 或(-1 ? 3 )? (?1? ? 3 )? 2 2 2 2 ??? ??? ? ? 3 ) ? (1? ? 3 ) ? ? 5 ? 0 ;? 当 x=1 时 ? OA ? OB ? (1? 2 2 4 ??? ??? ? ? 当 x=-1 时 ? OA ? OB ? (?1? 3 ) ? (?1? ? 3 ) ? ? 5 ? 0? 2 2 4
∴此时直线 l 也不存在. 综上可知,使 OA ? OB ? 0 成立的直线 l 不存在?.

??? ??? ? ?

y2 ?1 (a>b>0)过点 (1? 2 )? 离心率为 2 ? 左 、右焦点分别 2 2 2 a b 为 F 1 、F 2 .点 P 为直线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的 交点分别为 A ? B和 C?
12.如图,已知椭圆 x 2 ?
2

D? O为坐标原点?
(1)求椭圆的标准方程. (2)设直线 PF1 ,PF 2 的斜率分别为 k1 ,k 2 . (ⅰ)证明: 1 ? 3 ? 2 .

k1

k2

(ⅱ)问直线 l 上是否存在点 P,使得直线 OA ? OB? OC ? OD的斜率 k OA ,k OB ,k OC ,k OD 满足? kOA + kOB +kOC ? kOD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;存不存在,说 明理由. 解:(1)因为椭圆过点 (1? 2 )? e ?

2 2. 所以 12 ? 1 2 ? 1? c ? a 2 a 2b 2 2 2 又a ?b ?c ?
所以 a ? 2 ? b ? 1? c ? 1.

2? 2

故所求椭圆的标准方程为 x ? y 2 ? 1 . 不在 x 轴上, 所以 k1 ? k2 ? k1 ? 0? k2 ? 0 .

2

2 (2)(ⅰ)证明:方法一:由于 F1 (?1? 0) ,F 2 (1? 0)? PF1 ,PF 2 的斜率分别为 k1 ,k 2 ? 且点 P

又直线 PF1 ? PF2 的方程分别为 y ? k1 ( x ? 1)? y ? k2 ( x ? 1)?

k1 ? k2 ? ? x ? k2 ? k1 ? ? 联立方程解得 ? ? y ? 2k1k2 ? k2 ? k1 ? ? k ? k2 2k1k2 ? ). 所以 P ( 1 k2 ? k1 k2 ? k1
由于点 P 在直线 x+y=2 上,

k1 ? k2 ? 2k1k2 ? 2. k2 ? k1 因此 2k1k2 ? 3k1 ? k2 ? 0? 即 1 ? 3 ? 2? 结论成立. k1 k2
所以

y0 y ? k2 ? 0 . x0 ? 1 x0 ? 1 因为点 P 不在 x 轴上,所以 y ? 0 . 又 x0 ? y0 ? 2? x ? 1 3( x0 ? 1) 4 ? 2 x0 2 y0 ? ? ? ?2. 所以 1 ? 3 ? 0 k1 k2 y0 y0 y0 y0
方法二:设 P ( x0 ? y0 )? 则 k1 ? 因此结论成立. (ⅱ)设 A( x A ? y A )? B ( xB ? yB )? C ( xC ? yC )? D( xD ? yD ) .?

? y ? k1 ( x ? 1)? ? 联立直线 PF1 与椭圆的方程得 ? x 2 2 ? 2 ? y ? 1? ? 化简得 (2k12 ? 1) x 2 ? 4k12 x ? 2k12 ? 2 ? 0?
因此 x A ? xB ? ?

4k12 2k 2 ? 2 ? x A xB ? 12 ? 2k12 ? 1 2k1 ? 1

由于 OA,OB 的斜率存在,

所以 x A ? 0? xB ? 0? 因此 k12 ? 0?1 . 因此 kOA ? kOB ?

y A yB k1 ( x A ? 1) k1 ( xB ? 1) ? ? ? x A xB xA xB

x A ? xB 4k12 ? 2k1 ? k1 ? k1 (2 ? 2 ) x A xB 2k1 ? 2
?? 2k1 . k12 ? 1

2 相似地,可以得到 xC ? 0? xD ? 0? k2 ? 0?1? ? kOC ? kOD ? ?

2k 2 ? 2 k2 ? 1

故 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? ?2(

k1 k ? 22 ) k ? 1 k2 ? 1
2 1

k1k22 ? k1 ? k12 k2 ? k2 2 (k12 ? 1)(k2 ? 1) 2(k k ? 1)(k1 ? k2 ) . ? ? 122 2 (k1 ? 1)(k2 ? 1) 若 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0? 须有 k1 ? k2 ? 0 或 k1k2 ? 1 . ①当 k1 ? k2 ? 0 时,结合(ⅰ)的结论,可得 k2 ? ?2 ,所以解得点 P 的坐标为(0,2); ②当 k1k2 ? 1 时,结合(ⅰ)的结论,解得 k2 ? 3 或 k2 ? ?1( 此时 k1 ? ?1? 不满足 k1 ? k2 ? 舍去),此时直线 CD 的方程为 y=3(x-1),联立方程 x+y=2 得 x ? 5 ? y ? 3 . 4 4 5 ? 3) . 因此 P ( 4 4 综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为(0 ? 2)? ( 5 ? 3 ) .? 4 4 ? ?2

?

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